2016-2017学年北京市西城156中高二下学期期中数学文试题(解析版)

2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为．10．（5分）展开式中的常数项是．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ＝2，则p1＝；p2＝．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数＝．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e﹣x，则f′（x）＝﹣e﹣x，则f′（﹣1）＝﹣e﹣（﹣1）＝﹣e；故选：D．3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）＝，P（B）＝，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣＝．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S＝（x﹣x2）dx＝（x2﹣x3）＝﹣＝，故选：C．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2×2＝4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2＝8个比2000大的偶数，故选：D．7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．【解答】解：函数，∴f′（x）＝1﹣cos x；令f′（x）＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）＝﹣sin＝﹣1，f（0）＝0，f（π）＝π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为﹣．【解答】解：∵y＝∴y′＝﹣则y′＝﹣∴曲线y ＝在x ＝2处的切线的斜率为﹣． 故答案为：﹣ 10．（5分）展开式中的常数项是 24 ． 【解答】解：展开式的通项公式为 T r +1＝•24﹣r•（﹣1）r •x 4﹣2r，令4﹣2r ＝0，求得r ＝2，可得常数项是24， 故答案为：24．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且E ξ＝2，则p 1＝；p 2＝．【解答】解：∵E ξ＝2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P 2＝．故答案为：，．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 42 种．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置， 分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置， 甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A 33＝6种情况， 则此时有3×2×6＝36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33＝6种情况，则此时有1×1×6＝6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6＝42种；故答案为：42．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：由题意，f′（x）＝3ax2﹣2ax+1，a＝0显然不成立；a≠0时，对称轴为x＝∉（﹣1，0），f′（x）在（﹣1，0）为单调函数，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为0；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【解答】解：①若a＝e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y＝e x﹣ex的导数为y′＝e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x＝1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）＝alna的导数为f′（a）＝lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a＝时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1＝1，，则a2＝×a1+1＝4，a3＝×a2+1＝9，a4＝×a3+1＝16，a5＝×a4+1＝25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n＝n2，用数学归纳法证明：①、当n＝1时，a1＝12＝1，即n＝1时，a n＝n2成立，②、假设n＝k（k≥1）时，结论成立，即a k＝k2，n＝k+1时，a k+1＝×a k+1＝（k+1）2，即n＝1时，结论也成立，根据①②可得：a n＝n2成立．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•＝，故甲至少命中1次的概率为1﹣＝．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）＝，∴p＝．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•＝，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••＝，故两人共命中3次的概率为+＝．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，f（x）＝x3﹣3x2，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x＝0是极大值点，极大值是f（0）＝0，x＝2是极小值点，极小值是f（2）＝﹣4；（Ⅱ）f′（x）＝3x2+6ax＝3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max＝f（2）＝12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，若a＝﹣时，f（x）max＝0；若﹣1＜a＜﹣时，f（0）＞f（2），可得f（x）max＝f（0）＝0；若﹣＜a＜0时，f（0）＜f（2），可得f（x）max＝f（2）＝12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max＝f（0）＝0．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）＝＝＝∴P（A）最小时n＝5．（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，整理，得：x2﹣29x+120＝0，解得x＝5或x＝24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，∴X的分布列为：EX＝．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a＝b＝1，即有f（x）＝x2+x，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，h′（x）＝2x+1﹣＝＝，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x＝处取得极小值，且为最小值，且h（）＝+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）＝ax2+bx的导数为f′（x）＝2ax+b，g（x）＝lnx的导数为g′（x）＝，可得2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2＝lnm，可得a＝（m＞0），令u（m）＝（m＞0），则u′（m）＝，当m＞时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m＝处取得极小值，且为最小值，且u（）＝＝﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣a＝（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）＝xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）＝﹣a＜0，g（a+1）＝ae a+1﹣a＝a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）＝xe x﹣﹣a＝[（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）＝0，则（x﹣1）e x﹣a＝0，由（Ⅱ）得g（x）＝（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a＝0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：∴函数h（x）的最小值是h （x0），h（x 0）＝（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a＝0，得x0﹣1＝，故h（x0）＝•﹣aln＝a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．【解答】==1+i．故选：D．2．【解答】（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B3．【解答】曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．4．【解答】解：a＞0，b＞0，则“a＞b”⇔“lna＞lnb”．因此a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的充要条件．故选：D．5．【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选C．6．【解答】解：由=，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．7．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C8．【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．9．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．故选D．10．【解答】解：令f（x）=x2﹣xsinx﹣cosx，则f′（x）=2x﹣sinx﹣xcosx+sinx=x（2﹣cosx），∵2﹣cosx＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值﹣1，又x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有2个零点，即发出x2=xsinx+cosx有2解．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．【解答】解：∵（2+i）•i=﹣1+2i，∴复数（2+i）•i的模为．故答案为：．12．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，故答案为：（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，13．【解答】解：设P0点的坐标为（a，f（a）），由f（x）=x3+x﹣2，得到f′（x）=3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1，当a=1时，f（1）=0；当a=﹣1时，f（﹣1）=﹣4，则P0点的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故答案为：（1，0）或（﹣1，﹣4）．14．【解答】解：x=0时，f（0）=0．x∈（0，3]时，f（x）=≤=3，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．故答案为：3．15．【解答】解：命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，说明对于任意x，不等式x2﹣5x+4＞0不成立，即x2﹣5x+4≤0成立．解得1≤x≤4．∴x的取值范围是1≤x≤4．故答案为：1≤x≤4．16．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在[1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣x2+x其中x＞0，所以f'（x）=﹣2x+1=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0．18．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，．…（2分）∴f'（0）=2，∵f（0）=0，∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…（4分）（Ⅱ）求导函数可得，．当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．当a≠0，．①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a ，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是，（﹣a，+∞）；单调减区间是，（﹣a，+∞）．综上，a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（﹣a，+∞）单调递增；在单调递减．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则a﹣1≤1，解得：a≤2，故选：C．20．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵g（x）为f（x）的导函数，∴g（﹣x）=g（x）．故选：C21．【解答】解：|z﹣1+i|=|z﹣（1﹣i）|，其几何意义为动点Z到定点P（1，﹣1）的距离，又|z|=1，如图：则|z﹣1+i|的最大值为．故选：C．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．【解答】解：由y=x n，得y′=nx n﹣1，又曲线y=x n在x=2处的导数为12，所以n•2n﹣1=12，n=3．故答案为3．23．【解答】解：由题意，导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=1处有极值，f′（1）=0，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab的最大值等于9．故答案为：9．24．【解答】解：的导数又.（x0∈[0，π]），∴函数f（x）在[0，x0]上是增函数，f（x）在[x0，π]上是减函数∴f（x）的最大值为f（x0）由此知①④是正确命题故答案为①④三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．【解答】解：（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10，即，解得：或，经验证，若，则f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，当x＞1或x＜1时，均有f'（x）＞0，可知此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故．（II）当a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2+bx+l，若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，即x3﹣x2+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，即b＜在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，则g'（x）==，由﹣2x3+x2+1=1﹣x3+x2（1﹣x）可知x∈[1，2]时g'（x）＜0，即g（x）=在x∈[1，2]单调递减，g（x）max=g（2）=﹣，∴b＜﹣时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．26．【解答】解：（Ⅰ）易得，f'（x）=3x2﹣3a，所以f'（1）=3﹣3a，依题意，，解得；…（3分）（Ⅱ）因为==，则F'（x）=lnx+1﹣x+1=lnx﹣x+2．设t（x）=lnx﹣x+2，则=．令t'（x）=0，得x=1．则由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F'（x）为增函数；由t'（x）＜0，得x＞1，F'（x）为减函数；而=，F'（1）=1＞0．则F'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1，且在（0，x1）上F'（x）＜0，F（x）为减函数；在（x1，1）上F'（x）＞0，F（x）为为增函数．所以x1为极值点，此时m=0．又F'（3）=ln3﹣1＞0，F'（4）=2ln2﹣2＜0，则F'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，且在（3，x2）上F'（x）＞0，F（x）为增函数；在（x2，4）上F'（x）＜0，F（x）为减函数．所以x2为极值点，此时m=3．综上m=0或m=3．…（9分）（Ⅲ）（1）当x∈（0，e）时，g（x）＞0，依题意，h（x）≥g（x）＞0，不满足条件；（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3﹣3ae+e，①若f（e）=e3﹣3ae+e≤0，即，则e是h（x）的一个零点；②若f（e）=e3﹣3ae+e＞0，即，则e不是h（x）的零点；（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为f'（x）=3x2﹣3a＞3e2﹣3a，所以①当a≤e2时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．又f（e）=e3﹣3ae+e，所以（i）当时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）当时，f（e）＜0，又f（2e）=8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；②当a＞e2时，令f'（x）=0，得．由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得；所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．因为f（e）=e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0，f（2a）=8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e=2a2+e＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，．第11页（共11页）。

北京市第五十五中学2016—2017学年度第二学期高中考试试卷高二数学（理科）第一部分（选择题共50分）一、选择题（每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 复数等于（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】复数．故选．2. 用反证法证明命题：“若，，能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设应为（）．A.，都能被整除B.，都不能被整除C.，不都能被整除D.不能被整除【答案】B【解析】用反证法证明命题时，应假设命题的反面成立，“，中至少有一个能被整除”的反面是：“，中都不能能被整除”，因此，应假设，都不能能被整除．故选．3. （）．A. B. C. D.【答案】C【解析】．故选．4. 曲线在点处的切线平行与直线，则点的坐标为（）．A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由得，设点，则有，解得或，又，，所以点的坐标为或．故选．5. 下面为函数的递增区间的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，代入选项，显然当时，，从而，即函数在区间上单调递增．故选．6. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．视频7. 将不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种商品必须排在一起，丙、丁两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（）．A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】试题分析：将甲和乙捆绑，看成一个元素，丙和丁不能排在一起，所以采用插空法，种方法，故选C.考点：排列8. 已知的展开式中含的项的系数为，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，令，可得，故选D.考点：二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.9. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中实心点的个数，，，，被称为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第项为，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，当时，，当时，，当时，，由此推断，，则．故选．点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；再者还可以通过递推关系式发现规律，总结归纳出通项；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=06．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= ．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】阅读型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的概念得答案．【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的简单性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】结合直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线垂直的条件是解决本题的关键．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作椭圆，从而可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1|•|PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】计算题；运动思想；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= 1：4 ．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ﹣1+2i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；图表型；方程思想；数系的扩充和复数．【分析】由图形得到复数z1=﹣2﹣i，z2=i，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，故左视图是长方形，长为2，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：【点评】本题考查空间图形的三视图，是一个基础题，考查的内容比较简单，解题时要认真审题，仔细解答14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③【点评】本题考查的知识点是曲线Cx4+y2=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．在直角三角形PDB中，．（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以．由（Ⅰ）知，所以 AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD==．【点评】本题考查几何体的表面积，点、线、面距离的求法，考查计算能力．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．在直角三角形ADC中，．由点到直线的距离公式，得，∴，解得m=±15．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】规律型；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．又 EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，所以QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．所以AE⊥平面QDC．所以平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，所以．【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以 x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A1F，由此能证明DM∥平面A1EF．（Ⅱ）推导出EF⊥平面A1BD，从而A1B⊥EF，假设A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD，A1E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A1B与直线CD不能垂直．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．【点评】本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出5m2﹣2m﹣3=0，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且，解得 a2=4．所以，椭圆C的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得 x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④将①代入④，整理得 5m2﹣2m﹣3=0．解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．解得 x=0，或．设 P（x1，y1），所以，，所以．以替换点P坐标中的k，可得．从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．。

北京市156中学2016—2017学年度第二学期高一数学期中测试一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =，那么5a =（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且12a =，故数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以31410a a d =+=．故选C ．2．若a b >，则下列不等式正确的是（）．A ．11a b< B ．33a b > C ．22a b > D ．||a b >【答案】B 【解析】∵函数3y x =在R 上单调递赠，∴若a b >，则33a b >．故选B ．3．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数2z x y =+的最小值为（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】作出约束条件所表示的可行域如图所示，2z x y =+可化为122z y x =-+，作出直线12y x =-，并且平移直线， 由图可知，当直线经过(2,0)C 时，纵截距最小，从而z 的值最小，将(2,0)C 代入2z x y =+得min 2z =．故选A ．4．已知ABC △在正方形网格中的位置如图所示，则cos ABC ∠=（）． 1y 2=0A ．310B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】由图可知AB =，BC =，AC则由余弦定理可知2223cos 25AB BC AC ABC AB AC +-∠==⋅． 故选C ．5．已知集合2{40}A x x x =->，301x B x x ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合A B 等于（）． A ．{10}x x -<≤ B ．{10}x x -<< C ．{03}x x <≤ D ．{10x x -<≤或34}x <≤ 【答案】B 【解析】∵集合2{40}{0A x x x x x =->=<或4}x >，集合30{13}1x B x x x x ⎧-⎫==-<⎨⎬+⎩⎭≤≤， ∴集合{10}A B x x =-<< ．故选B ．6．数列{}n a 的通项为1(1)n a n n =+，其前n 项和为n S ，则10S 的值为（）． A ．910B ．1011C ．1112D ．1213 【答案】B 【解析】∵111(1)1n a n n n n ==-++， ∴1012910S a a a a =++++111111112239101011=-+-++-+- 1111=- 1011=． 故选B ．7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2580a a +=，则下列式子中数值不能确定的是（）． A ．53a a B ．53S S C ．1n n a a + D ．1n nS S + A BC【答案】D【解析】由2580a a +=得3528a q a ==-，得2q =-． A 项，2534a q a ==； B 项，51553313(1)113233111(1)118931a q S q q a q S q q--+-=====--+-； C 项，12n na q a +==-； D 项，11111(1)11(1)11n n n n nn a q S q q a q S q q+++---==---． 与n 的取值有关，所以1n nS S +的数值不能确定． 故选D ．8．已知数列1:A a ，2a ， ，12(0,3)n n a a a a n <<< ≤≥具有性质P ；对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ；②若数列A 具有性质P ，则10a =；③若数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=．其中，正确结论的个数是（）．A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】①项，数列0，2，4，6，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432a a -=是该数列中的项，故①正确； ②项，若数列{}n a 具有性质P ，取数列{}n a 中最大项n a ，则2n n n a a a +=与0n n a a -=两数中至少有一个是该数列中的一项，而2n a 不是该数列中的项，所以0是该数列的项，又由120n a a a << ≤，可得10a =，故②正确；③项，∵数列1a ，2a ，3a 具有性质P ，1230a a a <<≤，∴13a a +与31a a -中至少有一个是该数列中的一项，且10a =．（1）若13a a +是该数列中的一项，则133a a a +=，所以10a =，易知23a a +不是该数列的项， ∴322a a a -=，∴1322a a a +=．（2）若31a a -是该数列中的一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=，同（1），②若312a a a -=，则32a a =，与23a a <矛盾，③若311a a a -=，则312a a =．综上1322a a a +=，故③正确．综上所述，正确结论的个数是3个．故选A ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．在ABC △中，若2a =，b π4A =，则角B =__________． 【答案】π6【解析】由正弦定理可得sin sin a b A B =，即2πsin 4，所以π14sin 22B ==．又a b >，故π6B =． 10．已知24a <<，35b <<，那么2a b +的取值范围是__________，a b 的取值范围是__________． 【答案】(7,13)；24,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵24a <<，35b <<，∴428a <<，11153b <<． 故7213a b <+<，2453a b <<．11．数列{}n a 的通项公式为221n n a n =++，则其前n 项和n S =___________．【答案】12222n n n +++-【解析】数列{2}n 是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和为12(12)2212n n +-=--． 数列{21}n +是以3为首项，2为公差的等差数列，其前n 项和为2(321)22n n n n ++⨯=+． 故数列n a 的前n 项和12222n n S n n +=++-．12．已知点(1,1)在不等式||y x m >-所表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(0,2)【解析】已知点(1,1)在不等式||y x m >-所表示的平面区域内，则1|1|m >-，故111m -<-<，解得02m <<，故实数m 的取值范围是(0,2)．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32n S n n =+，则56a a +=__________．【答案】172【解析】5664216366416172a a S S +=-=+--=．14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是__________．【答案】乙【解析】由甲、乙、丙、丁四人说的话可知乙和丁同真同假，假设乙和丁说的是真话，则甲说的话也是真话，与题设条件两人说的是真话，另外两人说的是假话相矛盾，所以乙说的是假话．故罪犯是乙．三、解答题（共80分）15．（本小题共13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4sin 5A =，且ABC △的面积为2． （1）求bc 的值．（2）若6b c +=，求a 的值．【答案】【解析】（1）∵4sin 5A =，且ABC △的面积为2， ∴12sin 225ABC S bc A bc ===△， ∴5bc =．（2）∵ABC △是锐角三角形，且4sin 5A =，∴3cos 5A ． ∵5bc =，6b c +=，∴1b =，5c =或5b =，1c =． 由余弦定理得22232cos 12510205a b c bc A =+-=+-⨯=，∴a =．16．（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且112a b ==，514a =，33b a =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求数列{}n a 中满足35n b a b <<的所有项的和．【答案】【解析】（1）∵在等差数列{}n a 中，12a =，514a =，∴设公差为d ，则511423514a a d --===-． ∴数列{}n a 的通项公式为31n a n =-．又∵在等比数列{}n b 中，各项均为正数，12b =，338b a ==，∴设{}n b 的公比为q ，则2314b q b ==，解得2q =-（舍去）或2q =，∴数列{}n b 的通项公式为2n n b =．（2）∵38b =，532b =，35n b a b <<，∴83132n <-<，即311n <<，∴数列{}n a 中满足35n b a b <<的项为4a ，5a ，6a ，7a ，8a ，9a ，10a ． ∴410()7(1129)714022a a S +⨯+⨯===．17．（本小题满分13分）甲乙两地相距300海里，某货轮匀速行驶从甲地运输货物到乙地，运输成本包括燃料费用和其他费用．已知该货轮每小时的燃料费与其速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y 表示为航行速度x （海里/小时）的函数．（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？【答案】【解析】（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤，从甲地到乙地所用的时间为300x 小时， 则从甲地到乙地的运输成本23003000.5800y x x x=⋅+⋅，(050)x <≤， 故所求的函数为230030016000.5800150y x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，(050)x <≤．（2）由（1）知160015015012000y x x ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当1600x x=，即40x =时等号成立． 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少为12000元．18．（本小题满分14分） 已知函数2()(31)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ．（1）若()0f x >的解集是{12}x x -<<，求a 的值．（2）当0a >时，解不等式()0f x >．【答案】【解析】（1）若()0f x >的解集是{12}x x -<<，则1-，2是方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=的两根， 由韦达定理得3112a a+-+=， 解得12a =-． （2）2()(31)2(1)[(1)(2)0f x ax a x a ax a x =-+++=-+->，(0)a >．令()0f x =，解得1a x a +=或2x =． ①当12a a+=时，即当1a =时，解得2x ≠． ②当12a a+>即01a <<时，解得2x <或1a x a +>．③当12a a +<即1a >时，解得1a x a+<或2x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集为{2x x <或1a x a +⎫>⎬⎭； 当1a =时，不等式的解集是{2}x x ≠；当1a >时，不等式的解集是1a x x a ⎧+<⎨⎩或2}x >．19．（本小题满分13分）如图所示，在山顶P 点已测得A ，B ，C 的俯角分别为α，β，γ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出AD ，EB ，BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量得线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤．解： 步骤1：还需要直接测量得线段为__________．步骤2：计算线段．计算步骤：步骤3：计算线段计算步骤：步骤4：计算线段计算步骤：【答案】【解析】步骤1：还需要直接测量得线段为AD ，BE ，BC ．步骤2：计算线段PB 的长．计算步骤：在ABC △中BPC βγ∠=-，πPBC β∠=-，PCB γ∠=， 由正弦定理得sin sin BC PB BPC PCB=∠∠， 整理可得sin sin()BC PB γβγ=-． 步骤3：计算线段AB 的长．计算步骤：在PAB △中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--， 由正弦定理可得：sin sin AB PB APB PAB=∠∠, 整理可得sin()sin PB AB αβα+=． 步骤4：计算线段DE 的长，D E AB AD EB =--．D AB CE Pαβγ20．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的首项1(0,1)a ∈，132n n a a --=，2n =，3，4， ． （Ⅰ）若112a =，写出2a ，3a ，4a 的值． （Ⅱ）求证：{1}n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式．（Ⅲ）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．【答案】【解析】（1）由112a =，132n n a a --=得， 1213353224a a --===， 2353374228a a --===， 347331782216a a --===．（2）由11313222n n n a a a ---==-+，得 111(1)2n n a a --=--， 又1(0,1)a ∈，110a -≠，∴{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列， ∴1111(1)2n n a a -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，∴{}n a 的通项公式1111(1)2n n a a -⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可知302n a <<，故0n b >． 则2222111(32)(32)n n n n n n b b a a a a +++-=---223332(32)22n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 29(1)4n n a a =-． 由（2）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，∴1n n b b +<，其中n 为正整数．。

北京156中学2016-2017学年度第二学期高二物理阶段测试第Ⅰ卷一、选择题1．下列用电器属于涡流现象应用的是（ ）A ．电磁灶B ．电视机C ．电冰箱D ．电吹风2．现将电池组、滑线变阻器、带铁芯的线圈A 、线圈B 、电流计及开关如下图连接，在开关闭合、线圈A 放在线圈B 中的情况下，某同学发现当他将滑线变阻器的滑动端P 向左加速滑动时，电流计指向右偏转．由此可以判断（ ）A ．线圈A 向上移别或滑动变阻器的滑动端P 向右加速滑动都能引起电流计指针向左偏转B ．线圈A 中铁芯向上拔出或断开开关，都能引起电流计指针向右偏转C ．滑动变阻器的滑动端P 匀速向左或匀速向右滑动，都能使电流计指针静止中央D ．因为线圈A 、线圈B 的绕线方向未知，故无法判断电流计指针偏转的方向3．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是（ ）4．如图所示，a 、b 是同种规格的铜丝做成的两个同心圆环，两环半径之比为2:3，其中仅在a 环所围区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场．当该匀强磁场的磁感应强度均匀增大时，a 、b 两环内的感应电动势大小和感应电流大小之比分别为（ ）A ．1:1，3:2B ．1:1，2:3C ．4:9，2:3D ．4:9，9:45．如图所示，先后以速度1v 和2v 匀速把一矩形线圈拉出有界的匀强磁场区域，212v v =，在先后两种情况下 A ．线圈中的感应电流之比12:1:2I I =B ．作用在线圈上的外力大小之比12:1:2F F =C ．线圈中产生的焦耳热之比12:1:4Q Q =D ．通过线圈某截面的电荷量之比12:1:2q q =6．如图所示，MN是一根固定的通电长直导线，电流方向向上，今将一金属线框abcd放在导线上，让线框的位置偏向导线左边，两者彼此绝缘，当导线中的电流突然增大时，线框整体的受力情况为（）A．受力向左B．受力向右C．受力向上D．受力为零7．如图所示电路中，线圈L与灯泡A并联，当合上开关S后灯A正常发光．己知，线圈L的电阻小于灯泡A 的电阻．则下列现象可能发生的是（）A．当断开S时，灯泡A立即熄灭B．当断开S时，灯泡A突然闪亮一下，然后逐渐熄灭C．若把线圈L换成电阻，断开S时，灯泡A逐渐熄灭D．若把线圈L换成电阻，断开S时，灯泡A突然闪亮一下然后逐渐熄灭8．如图是交流发电机的示意图。

北京市西城区普通中学2015—2016学年度第二学期高二数学（文科）期末综合模拟测验卷满分150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U AC B = ( ) DA ．{2}B ．{2,3}C ．{3}D ．{1,3}2. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上为减函数的是( ) CA ．12y x = B ．3log y x =C ．cos y x =D ．y x =3．下列命题中正确的是（ ）DA ．x ∀∈Z ，41x ≥B ． x ∃∈Q ，23x = C ．x ∀∈R，210x -> D ． x ∃∈N ，0x ≤4． “0ab ≥”是 “0ab≥”的（ ）B A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5. 如图，P 、Q 是单位圆上两个点，圆心O 为坐标原点，90POQ ∠=，且1)2P ，则Q 点的横坐标为( ) A A ．12-B．C．2-D ．13-6. 函数1()e xf x x=-（其中e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是 ( ) B A ． 11(,)42B ． 1(,1)2C ． 3(1,)2D ． 3(,2)27. 已知函数()sin(2)3f x x π=+，下列判断错误的．．．是( ) D A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．直线12x π=是函数()f x 图象的对称轴C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5(,)1212ππ-上单调递增8. 已知函数()sin f x x =，若当7[,]63x ππ∈--时，()m f x n ≤≤恒成立，则n m -的最小值是 ( ) CA ．2B．12C ．32D．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 函数()y f x =是函数2xy =的反函数，则()0f x <的解集是_____________.{01}x x <<10. 计算1lglg 254-的值为_________.2- 11. 已知31sin()23πα-=，则cos2α=__________.79-12. 已知221,0,()log (1),0,x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩ 若3()4f x =-，则x 的值是_________. 2-13.函数sin y x x =的最大值为_________；若其图象向右平移ϕ个单位（0ϕ>）后所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为___________．2，6π14. 已知()f x 是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =. 那么，当12x ≤≤时，()f x =____________；若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个公共点，则实数a 的值是____________.2(2)x -； 2a k =或12()4a k k =-∈Z三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知函数2()(1)1f x x a x =+-+在区间1(,1)2上是减函数. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为3-，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程.16. （本小题满分13分）已知4tan 3α=-. （1）求tan()4πα+的值； （2）求2cos sin 21cos 2ααα++的值.17. （本小题满分13分）已知函数32()3f x x x a =-++. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[1,3]上的最大值为10，求它在该区间上的最小值.18. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos (2)cos 0b C a c B ++=. （1）求角B 的度数；（2）若3b =，求ABC ∆面积的最大值.19. （本小题满分14分）如图所示，已知AB BC ⊥，//OA BC ，且24AB BC OA ===，曲线段OC 是以点O 为顶点且对称轴与AB 平行的抛物线的一段.设P 是曲线段OC 上任意一点，点M 在AB 上，点N 在BC 上，PMBN 是矩形，问点P 在曲线段OC 上什么位置的时候才能使矩形PMBN 的面积最大？并求出最大面积.20.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+. （其中0a <，e 为自然对数的底数） （1）()f x 在(0,e]上的最大值为3-，求a 的值；（2）若定义在区间D 上的函数()y g x =对于区间D 上的任意两个值1x 、2x 总有不等式12121[()()]()22x x g x g x g ++≥成立，则称函数()y g x =为区间D 上的“凹函数”. 试证明：当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”.POCBM A N参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.D ;2. C;3.D ;4. B;5.A ;6. B;7. D;8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （一题两空的试题两空依次为2分、3分）9. {01}x x << ; 10. 2-; 11. 79-; 12. 2-; 13. 2，6π ; 14. 2(2)x -； 2a k =或12()4a k k =-∈Z .三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15. （本小题满分12分）解：（1）函数为二次函数，在区间1(,1)2上是减函数，所以112a --≥，即1a ≤-. ……………4分（2）函数()y f x =的最小值为3-，所以24(1)34a --=-，解得3a =-或5a =， 注意到1a ≤-，所以 3a =-. ……………6分此时2()41f x x x =-+，()24f x x '=-，……………8分所以曲线在(1,(1))f 处切线的斜率为(1)242f '=-=-，……………10分所以，所求切线的方程为20x y +=. ……………12分16. （本小题满分13分） 解：（1）tan 11tan()41tan 7πααα++==--. ……………5分（2）222cos sin 2cos 2sin cos 1cos 22cos ααααααα++=+……………10分1tan 2α=+……………12分 145236=-=-……………13分17. （本小题满分13分）解：（1）由已知，2()36f x x x '=-+， ………………2分解2()360f x x x '=-+>，得02x <<，解2()360f x x x '=-+<，得2x >或0x <，……………5分所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞. ……………7分 （2）由（1）知函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 所以在区间[1,3]上()f x 的最大值是(2)f ， ……………9分 所以(2)10f =，解得6a =. ……………11分 故32()36f x x x =-++， 计算(1)8f =，(3)6f =，所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为6.……………13分18. （本小题满分14分）解：（1）因为cos (2)cos 0b C a c B ++=，由正弦定理sin cos (2sin sin )cos 0B C A C B ++=, ……………2分所以sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A B ++=，sin()2sin cos 0B C A B ++=，2sin cos sin 0A B A +=， ……………4分因为0180A <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =-， 又0180B <<，所以120B =. ……………6分 （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即22222132()2a c ac a c ac =+-⨯-=++， ……………8分 又2223a c ac ac ac ac ++≥+=，所以3ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，即当a c ==ac 的最大值为3. (12)分1sin 244ABC S ac B ac ∆==≤, 所以ABC S ∆. ……………14分19. （本小题满分13分）解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 依题意，(2,4)C ， ……………2分设曲线段所对应的抛物线方程为2y ax =，因为P 在曲线段OC 上，所以242a =⨯，1a =， ……………4分 抛物线段方程为2(02)y x x =≤≤，设2(,)P x x (02)x ≤≤是曲线段上任意一点，则2PM x =+，24PN x =-，所以223(2)(4)842(02)PMBN S x x x x x x =+-=+--≤<， …………8分2344(32)(2)S x x x x '=--+=--+， ……………10分当223x -<<时，0S '>；当23x >时，0S '<， 所以，在区间2[0,)3上，S 是x 的增函数，在区间2(,2)3上，S 是x 的减函数， ……………12分所以，当23x =时，S 取得最大值，此时329PN =， ……………13分 即点P 在曲线段OC 上，到BC 的距离为329时，矩形PMBN 面积的最大值为25627. ……………14分20. （本小题满分14分）解：（1）由已知，(0,)x ∈+∞，11()ax f x a x x+'=+=，……………1分 当0a <时，解1()0ax f x x +'=>得10x a <<-，解()0f x '<得1x a >-，所以函数()f x 在1(0,)a -上是增函数，在1(,)a-+∞上是减函数. ……………3分当1e a ->，即10a e-<<时，函数()f x 在(0,e]上的最大值为(e)e 1f a =+，解e 13a +=-得41a e e=-<-，不符合题意；……………5分当1e a -≤，即1a e ≤-时，函数()f x 在(0,e]上的最大值为11()1ln()f a a-=-+-，解11ln()3a-+-=-得2e a =-，符合题意.综上，2e a =-.……………7分（2）当1a =-时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值为(1)1f =-，即()0f x <恒成立. 所以111()()()ln g x f x f x x x x x x=+=-+=+-，(0,)x ∈+∞.……………9分 设12,(0,)x x ∈+∞，计算121212112212121111[()()](ln ln )ln 2222x x x x g x g x x x x x x x x x +++=+-++-=+-121212122()ln 222x x x x x x g x x +++=+-+，因为122x x +≥12ln 2x x +≥12ln 2x x+-≤-11分 22121212121212121212124()()2022()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---==≤+++，所以12121222x x x x x x +≤+，……………13分所以12121[()()]()22x x g x g x g ++≥，即当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”. …………14分。