北京市西城区学高二下学期期末考试数学理

2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设i 是虚数单位，则复数i1+i 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数y =f(x)的图象如图，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是( )．A. f′(x A )>f′(x B )B. f′(x A )<f′(x B )C. f′(x A )=f′(x B )D. 不能确定3.盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m ，则二项式(m +x 2)6的展开式中x 8的系数为( )A. 3600B. 3840C. 5400D. 60004.若函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0，那么f(1)+f′(1)=( )．A. 0B. −3C. 3D. −25.设随机变量x ～B(n,p)，若Ex =2.4，Dx =1.44则( )A. n =4，p =0.6B. n =6，p =0.4C. n =8，p =0.3D. n =24，p =0.16.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k =1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)等于( )A. 89B. 23C. 13D. 297.设函数f(x)在R 上可导，且f(x −1)=x 2−2x ，则f′(3)=( )A. 0B. 4C. 6D. 88.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数y =f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”，区间[a,b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b 的“关联区间”是[−3,0]，则b 的取值范围是( )A. [−9,0]B. [0,53]C. [0,53)D. [−9,53)9.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有( )种．A. 15B. 11C. 9D. 3x2+bln(x+2)在(−1,+∞)上单调递减，则b的取值范围是()10.f(x)=−12A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.复数z=2+4i，则|z|=______ ．1+i)12的二项展开式中的常数项为m，则m=______ ．12.若(x+2x213.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______ ．14.设随机变量ξ的分布列为：则m=______ ；随机变量ξ的数学期望Eξ=______ ．+sinx，则关于a的不等式f(a−2)+f(a2−4)<0的解集是______．15. 已知函数f(x)=ln1+x1−x16. 事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分），其中k∈R．17. 已知函数f(x)=x+2k+1x(1)当k≥0时，证明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)若对任意k∈[1,7]，不等式f(x)≥m在x∈[2,3]上恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(|2x−−1|)−3k−2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．18. 一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，若从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，试求停机维修的概率．ax+b．19. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=12(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，试求g(x)的表达式；(2)若φ(x)=m(x−1)−f(x)在[1,+∞)上是减函数，求实数m的取值范围；x+1(3)证明不等式：2n n+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．20. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．(Ⅰ)设X 表示一周5天内机器发生故障的天数，求X 的分布列； (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则一周内利润的期望是多少？21. 已知函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，求a 的值；(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：∑sin n k=11(k+1)2<ln2．．22. 已知函数f(x)=mx −alnx −m ，g(x)=xe x−1，其中m ，a 均为实数． (Ⅰ)求函数g(x)的极值；(Ⅱ)设m =1，a <0，若对任意的x 1、x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求实数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数i1+i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．解：由i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，可得复数i1+i 在复平面内所对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．2.答案：B解析：分别作出A、B两点的切线，由图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A).3.答案：B解析：先求出至少有一个是红色的不同取法种数m的值，再二项展开式的通项公式求出r的值，即可求出答案．本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是计算题目．解：∵至少有一个是红色的不同取法种数是m=C21×C42+C22×C41=2×6+1×4=16；∴二项式(m+x2)6=(16+x2)6展开式的通项是：T r+1=C6r⋅166−r⋅x2r，令2r=8，则r=4；∴C64×162=15×256=3840，即展开式中x8的系数为3840．故选：B．4.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出切线斜率是解决本题的关键．根据导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0， ∴切线方程为y =−2x +1，则切线斜率k =f′(1)=−2，且f(1)=−2+1=−1， 则f(1)+f′(1)=−1−2=−3， 故选：B ．5.答案：B解析：解：∵随机变量x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，∴{np =2.4np(1−p)=1.44∴n =6，p =0.4 故选B ．根据x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，建立方程组，即可求得n ，p 的值． 本题考查二项分布，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴P(ξ=k)=431k(1+k) ∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ．先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0,1]之间；概率和为1；常与求随机变量的期望、方差一起出题，常出现在高考题中的解答题中．7.答案：C解析：解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， ∴f′(x)=2x ， ∴f′(3)=6， 故选：C ．先计算f(x)，再求导，再代入值计算即可． 本题考查导数的运算，求出f(x)是计算的关键．8.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b ，∴设y =m(x)=f(x)−g(x)=13x 3−x 2−x −2x −b =13x 3−x 2−3x −b ， 则m′(x)=x 2−2x −3，由m′(x)=x 2−2x −3=0，解得m =−1或m =3， ∵f(x)与g(x)在[−3,0]上是“关联函数”，∴当x =−1是函数m(x)在[−3,0]上的极大值，同时也是最大值， 要使m(x)=f(x)−g(x)在[−3,0]上有两个不同的零点， 则{m(0)≤0m(−1)>0m(−3)≤0.即{−b ≤053−b >0−9−b ≤0，则{b ≥0b <53b ≥−9，解得0≤b <53，故b 的取值范围是[0,53)， 故选：C求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，利用导数求出函数的极值和单调性，根据关联函数的定义建立不等式关系即可得到结论．本题考查函数“关联函数”的定义，导数的应用以及二次函数的性质，体现了转化的数学思想，综合性较强，设计的知识点较多．9.答案：D解析：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，则{x +y +z =153x +y =33. 解得x =11−y3，所以{x =11y =0z =4，{x =10y =3z =2，{x =9y =6z =0.共3种情形．故选：D ．本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论． 本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．10.答案：C解析：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，是中档题．函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，f′(x)=−x2+2x−bx+2，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立，求出y=x2+2x在(−1,+∞)上的取值范围即可．解：由x+2>0，得x>−2，所以函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，再由f(x)=−12x2+bln(x+2)，得：f′(x)=−x+bx+2=−x2+2x−bx+2，要使函数f(x)在(−1,+∞)内是单调减函数，则f′(x)在(−1,+∞)上恒小于等于0，因为x+2>0，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立．又x2+2x=(x+1)2−1>−1，故b≤−1．故选C．11.答案：√10解析：解：复数z=2+4i1+i ，则|z|=|2+4i1+i|=|2+4i||1+i|=√20√2=√10．故答案为：√10；直接利用复数的模的求法运算法则求解即可．本题考查复数的基本运算，模的求法，考查计算能力．12.答案：7920解析：解：(x+2x2)12的展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅x12−r⋅(2x2)r=2r⋅C12r⋅x12−3r，令12−3r=0，解得r=4；∴常数项m=24⋅C124=16×12×11×10×94×3×2×1=7920．故答案为：7920．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．13.答案：5解析：本题考查排列、组合的应用，涉及组合数公式的计算，关键是列出关于x 的方程．由分步计数原理分析可得恰有1名女生入选时的不同选法为C x 2C 21，结合题意可得C x 2C 21=20，解可得x 的值，即可得答案．解：根据题意，从男女学生中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有C x 2C 21种， 则有C x 2C 21=20，即C x2=10， 即x(x−1)2=10，解可得x =5或−4(舍去) 故答案为：5．14.答案：16 23解析：解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：12+13+m =1， 解得m =16，则E(ξ)=0×12+1×13+2×16=23， 故答案为：16；23．根据分布列的性质即可求出m 的值，由此即可求出期望．本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.答案：(√3,2)解析：解：由1+x1−x >0，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1,1)．再根据函数满足f(−x)=ln(1−x1+x )+sin(−x)=−ln 1+x1−x −sinx =−f(x)，可得函数为奇函数， 故关于a 的不等式f(a −2)+f(a 2−4)<0，即f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2)，再由函数1+x1−x 、sin x 在的定义域(−1,1)上单调递增，可得函数f(x)在其定义域上单调递增，可得 {−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，解得√3<a <2， 故答案为(√3,2)． 分析：由1+x1−x >0，求得函数的定义域为(−1,1).再根据函数为奇函数，不等式即 f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2).函数f(x)在其定义域上单调递增， 可得{−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.答案：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 故答案为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.答案：(1)证明：由f(x)=x +2k+1x，得f′(x)=1−2k+1x 2=x 2−(2k+1)x 2，当k ≥0时，若x ∈[√2k +1,+∞)，则x 2−(2k +1)≥0， ∴f(x)在[√2k +1,+∞)上单调递增； (2)解：由k ∈[1,7]，得2k +1∈[3,15]， 函数f(x)=x +2k+1x在(0,√2k +1]上为减函数，在[√2k +1,+∞)上为增函数，当√2k +1<2，即2k +1∈[3,4)时，f(x)min =f(2)=k +52≥72； 当√2k +1>3，即2k +1∈(9,15]时，f(x)min =f(3)=103+2k 3>6；当2≤√2k +1≤3，即2k +1∈[4,9]时，f(x)min =f(√2k +1)=2√2k +1≥4． ∴对任意k ∈[1,7]，不等式f(x)≥m 在x ∈[2,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是m ≤72； (3)设2x −1=t ，则t >−1，且t ≠0， 方程f(|2x −1|)−3k −2=0，即|t|+2k+1|t|=3k +2，当t >0时，方程可化为：t 2−(3k +2)t +(2k +1)=0，由题意得{(3k +2)2−4(2k +1)>03k +2>02k +1>0，解得：−12<k −49或k >0 ①，当−1<t <0时，方程可化为：t 2+(3k +2)t +(2k +1)=0， 设f(t)=t 2+(3k +2)t +(2k +1)， 只需对称轴x =−3k+22<−1，f(−1)<0，f(0)>0即可，∴{−3k+22<−11−(3k+2)+(2k+1)<02k+1>0，解得：k>0②，①，②取交集得：k>0，∴实数k的取值范围是(0,+∞)．解析：(1)求出原函数的导函数，利用导函数在[√2k+1,+∞)上大于0说明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)对k分类求出函数在x∈[2,3]上的最小值得答案；(3)设2x−1=t，将问题转化为求方程t2−(3k+2)t+(2k+1)=0在(0,+∞)有2个交点，方程t2+ (3k+2)t+(2k+1)=0在(−1,0)有1个交点求解．本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.答案：解：一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，停机维修的概率为：P=1−C50×0.985−C51⋅0.984⋅0.02=0.0038144．解析：利用对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(1)∵f(x)=lnx，∴f′(x)=1x ，∴f′(1)=1=12a，得：a=2．又∵g(1)=0=12a+b，∴b=−1，∴g(x)=x−1；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)=m(x−1)x+1−lnx在[1,+∞)上是减函数，∴ϕ′(x)=−x2+(2m−2)x−1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立．即x2−(2m−2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立，由2m−2≤x+1x，x∈[1,+∞)，∵x+1x∈[2,+∞),∴2m−2≤2得m≤2；证明：(3)由(1)可得：当x≥2时：lnx<x−1≤x2(x−1)，∴lnx<12x(x−1)得：2x(x−1)<1lnx，∴2(1x−1−1x)<1lnx．当x=2时：2(11−12)<1ln2，当x=3时：2(12−13)<1ln3，当x=4时：2(13−14)<1ln4，…当x=n+1时：2(1n−1n+1)<1ln(n+1)，n∈N+，n≥2，上述不等式相加得：2(1−1n+1)<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)，即：2nn+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．解析：(1)求导数，利用f(x)与g(x)在x=1处相切，可求g(x)的表达式；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)在[1,+∞)上是减函数，可得导函数小于等于0，在[1,+∞)上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；(3)当x≥2时，证明2(1x−1−1x)<1lnx，当x=2时，当x=3时，当x=4时，…，当x=n+1时，利用叠加法，即可得到结论．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X−B(5,0.2)，P(X=k)=C5k0．2k0．85−k，k=0，1，2，3，4，5，∴X的分布列为：(Ⅱ)以Y表示一周内所获利润，则y=g(X)={10,X=0 5,X=1 0,X=2−2,X≥3，P(Y=10)=P(X=0)=0.32768，P(Y =5)=P(X =1)=0.4096， P(Y =0)=P(X =2)=0.2048，P(Y =−2)=P(X ≥3)=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792， ∴一周内利润的期望为：EY =10×0.32768+5×0.4096+(−2)×0.05792=5.20896(万元)．解析：(Ⅰ)以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X −B(5,0.2)，由此能求出X 的分布列． (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则y =g(X)={10,X =05,X =10,X =2−2,X ≥3，一周内利润的期望值．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ．∴F(x)=ax −lnx ，则F′(x)=a −1x ， ∵函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1， ∴F′(1)=0，∴a −1=0，解得a =1；(Ⅱ)∵函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)=asin(1−x)+lnx ， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ，只要G′(x)在区间(0,1)上大于等于0， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ≥0， ∴a ≤1xcos(1−x)，求1xcos(1−x)的最小值即可，求ℎ(x)=xcos(1−x)的最大值即可，0<1−x <1， ∵ℎ′(x)=cos(1−x)+xsin(1−x)>0， ∴ℎ(x)在(0,1)增函数， ℎ(x)<ℎ(1)=1， ∴1xcos(1−x)的最小值为1， ∴a ≤1；(Ⅲ)∵0<1(k+1)2<1，∵sinx <x 在x ∈(0,1)上恒成立，∴∑sin n k=11(k+1)2=sin 122+sin132+⋯+sin1(n+1)2≤122+132+⋯+1(n+1)2<14+19+116+14×5+15×6+⋯+1n(n+1)=97144−1n+1<97144<ln2，∴∑sin n k=11(k+1)2<ln2；解析：(Ⅰ)根据已知条件函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，可得F′(1)=0，得出等式，求出a 值； (Ⅱ)因为函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′(x)>0在(0,1)上恒成立，利用常数分离法进行求解；(Ⅲ)这个证明题可以利用一个恒等式，sinx <x ，然后对∑sin n k=11(k+1)2从第三项开始进行放缩，然后进行证明；第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx <x 进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；22.答案：解：(Ⅰ)g′(x)=1−xe x−1，令g′(x)=0，得x =1，列表如下：∴当x =1时，g(x)取得极大值g(1)=1，无极小值；(Ⅱ)当m =1时，a <0时，f(x)=x −alnx −1，x ∈(0,+∞)， ∵f′(x)=x−a x >0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数，设ℎ(x)=1g(x)=e x−1x，∵ℎ′(x)=e x−1(x−1)x 2>0在[3,4]上恒成立，∴ℎ(x)在[3,4]上为增函数，不妨设x 2>x 1，则|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|等价于：f(x 2)−f(x 1)<ℎ(x 2)−ℎ(x 1)，即f(x 2)−ℎ(x 2)<f(x 1)−ℎ(x 1)，设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x −alnx −1−e x−1x，则u(x)在[3,4]上为减函数，∴u′(x)=1−ax −e x−1(x−1)x 2≤0在[3,4]上恒成立，∴a ≥x −ex−1+e x−1x恒成立，∴a ≥(x −e x−1+e x−1x)max ，x ∈[3,4]，设v(x)=x −e x−1+e x−1x，∵v′(x)=1−e x−1+e x−1(x−1)x 2=1−e x−1[(1x −12)2+34]，x ∈[3,4]，∴e x−1[(1x −12)2+34]>34e2>1，∴v′(x)<0，v(x)为减函数，∴v(x)在[3,4]上的最大值v(3)=3−23e2，∴a≥3−23e2，∴a的最小值为3−23e2；解析：(Ⅰ)对函数g(x)求导，得到g′(x)=0，得到极值点，求出极值．(Ⅱ)不妨设x2>x1，则|f(x2)−f(x1)|<|1g(x2)−1g(x1)|等价于：f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，即f(x2)−ℎ(x2)<f(x1)−ℎ(x1)，分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于中档题型，在高考中经常涉及．。

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）2与8的等差中项是（A ）5- （B ）5 （C ）4 （D ）4±（2）已知函数()e xxf x =，则()f x '= （A ）1e x x - （B ）1e xx + （C ）1ex x -（D ）1ex x +-（3）在抛物线22(0)y px p =>上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p =（A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4（4）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（A ）25（B ）35（C ）13（D ）23（5）圆221:(3)(4)1C x y -+-=和圆222:16C x y +=的位置关系为（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切（D ）外离（6）设{}n a 是公比为q 的等比数列，且0(1,2,)n a n <=．若{}n a 为递增数列，则q 的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(1,0)- （C ）(0,1)（D ）(1,)+∞（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X 为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X 的方差()D X = （A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）14（8）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(,0,0),(0,,0),(0,0,)(0,0,0)A a B b C c a b c >>>，且ABC △的面积为6．过O 作OH ⊥平面ABC 于点H ．若三棱锥O ABC -的体积为6，则点H 的坐标可以为（A ）(1,1,1) （B ）(1,2,2) （C ）(1,2,1)（D ）(1,2,3)（9）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（A ）{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 （B ）{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 （C ）{}n a 有最小项，{}n S 有最大项 （D ）{}n a 有最小项，{}n S 有最小项 （10）已知函数32()31f x ax x =-+．若()f x 有且只有一个零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是 （A ）(,2)-∞- （B ）(2,0)- （C ）(2,)+∞ （D ）(0,2)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024北京西城高二（下）期末数 学本试卷共9页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =A.8B.10C.12D.142. 设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是A.110B.310C.15D.35 4. 在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =A.4B.6C.2D.6±5. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =A.518B.13C.53D.5366. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =−，1053231S S =，则6a =A.132−B.164−C.132D.1647. 设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则A.(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<−B.(3)(3)(2)(2)f f f f ''<−<C.(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<−D.(2)(3)(2)(3)f f f f ''<−<8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 如果()e x f x ax =−在区间(1,0)−上是单调函数，那么实数a 的取值范围为A.1(,][1,)e −∞+∞B.1[,1]eC.1(,]e −∞D.[1,)+∞10. 在数列{}n a 中，12a =，若存在常数c (0)c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则A.符合条件的数列{}n a 有无数个B.存在符合条件的递减数列{}n aC.存在符合条件的等比数列{}n aD.存在正整数N ，当n N >时，2024n a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．等差数列﹣2，1，4，…的第10项为（ ） A ．22B ．23C ．24D ．252．设函数f （x ）＝sin x ，则f '（π）＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．π3．某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ） A ．29B ．827C ．49D ．234．记函数f(x)=1x 的导函数为g （x ），则g （x ）（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列{a n }中，若a 1＝9，a 8＝﹣5，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ） A ．80万吨B ．90万吨C ．100万吨D ．120万吨7．如果函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 在区间（1，e ）上单调递增，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，2]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q =23，记其前n 项的和为S n ，则对于n ∈N *，使得S n ＜m 都成立的最小整数m 等于（ ） A ．6B ．3C ．4D ．29．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（ ） A ．P （ξ≤2）＝1﹣P （ξ≥3）B ．当a n =12n （n ＝1，2，3，4）时，a 5=124 C ．若{a n }为等差数列，则a 3=15D ．{a n }的通项公式可能为a n =1n(n+1)10．若函数f(x)={xe x +a ，x ＜1，a −x ，x ≥1有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，e ）B ．（﹣∞，e ）C ．(0，1e )D ．(−∞，1e )二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷(共10题；共20分)1．（2分）若a、b、c成等差数列，则（）A．2b=a+c B．2b=ac C．b2=a+c D．b2=ac 【答案】A【解析】【解答】因为a、b、c成等差数列，则b−a=c−b，可得2b=a+c.故答案为：A.【分析】由等差中项的性质可得答案.2．（2分）函数f(x)=1x在x=2处的瞬时变化率为（）A．－2B．－4C．－12D．－14【答案】D【解析】【解答】由题设f′(x)=−1x2，故f′(2)=−14.故答案为：D【分析】函数在x=2处的瞬时变化率为曲线在该点处的导数，计算可得答案.3．（2分）将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为()A．14B．38C．12D．58【答案】B【解析】【解答】投掷4次的所有可能结果为24=16种，其中恰好出现2次正面向上的事件有C42=6种，据此可得，题中所求事件的概率值为：p=616=38故答案为：B.【分析】根据题意利用古典概率的等于求出即可。

4．（2分）已知函数f(x)=sinx+cosx，f′(x)为f(x)的导函数，则（）A．f(x)+f′(x)=2sinx B．f(x)+f′(x)=2cosxC．f(x)−f′(x)=−2sinx D．f(x)−f′(x)=−2cosx【答案】B【解析】【解答】解：因为f(x)=sinx+cosx，所以f′(x)=cosx−sinx，所以f(x)+f′(x)=2cosx，f(x)−f′(x)=2sinx.故答案为：B.【分析】根据导数的公式即可得答案.5．（2分）在等比数列{a n}中，a1=4，a5=1，则a3＝（）A．4B．±4C．2D．±2【答案】C【解析】【解答】由题意a32=a1a5=4，又a1，a3，a5同号，所以a3=2．故答案为：C．【分析】利用等比数列的性质求解可得答案.6．（2分）若等差数列{a n}满足a8>0，a7+a10<0，则当{a n}的前n项和最大时，n＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}满足a7+a10<0，∴a8+a9=a7+a10<0，∵a8>0，∴a9<0，则a9−a8=d<0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8.故答案为：B.【分析】由题意和等差数列的性质求出{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此求出答案. 7．（2分）设函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为－8，其导函数y=f′(x)的图象过点（－2，0），如图所示，则f(x)＝（）A ．−23x 3−x 2+4xB ．−x 3−2x 2+4xC ．−x 3+4xD ．−2x 3+x 2+4x【答案】B【解析】【解答】由题设，f ′(x)=3ax 2+2bx +4，则f ′(−2)=12a −4b +4=0，故b =3a +1，所以f ′(x)=3ax 2+2(3a +1)x +4=(3ax +2)(x +2)，令f ′(x)=0，可得x =−2或x =−23a，由图知：a <0且x =−2处有极小值，所以−8a +4b −8=−8，即a =−1，b =−2，经验证满足题设， 故f(x)=−x 3−2x 2+4x . 故答案为：B【分析】 由题设f ′(x)=3ax 2+2bx +4，根据所过的点可得b =3a +1，结合图象求出极小值点并代入 f(x)求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设，即可得答案.8．（2分）在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=−1．记T n =a 1a 2⋯a n (n =1，2，⋯)，则数列{T n }（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【解析】【解答】设等比数列{a n }为q ，则等比数列的公比q 4−1=a 4a 1=−18，所以q =−12，则其通项公式为：a n =a 1⋅q n−1=8×(−12)n−1=(−1)n−124−n ， 所以T n =a 1a 2⋯a n =(−1)0(−1)1⋯(−1)n−1×23×22⋯24−n =(−1)n(n−1)2×2n(3+4−n)2=(−1)n(n−1)2×2n(7−n)2，令t =n(7−n)，所以当n =3或n =4时，t 有最大值，无最小值， 即2n(7−n)2有最大值，无最小值，结合前面(−1)n(n−1)2，当(−1)n(n−1)2为正数时，T n 为正数，当(−1)n(n−1)2为负数时，T n为负数，所以当n=3时，T n有最小项，当n=4时，T n有最大项.故答案为：A.【分析】根据题意，求出等比数列{a n}的公比，即可得{a n}的通项公式，由此可得T n的表达式，分n 为偶数和奇数两种情况讨论，分析可得答案.9．（2分）数列{a n}的通项公式为a n=n2−2λn(n=1，2，⋯)．若{a n}为递增数列，则λ的取值范围是（）A．[1，＋∞）B．(32，+∞)C．（－∞，1]D．(−∞，3 2)【答案】D【解析】【解答】因为数列{a n}的通项公式为a n=n2−2λn(n=1，2，⋯)，且{a n}为递增数列，所以a n<a n+1对于∀n∈N∗都成立，所以n2−2λn<(n+1)2−2λ(n+1)对于∀n∈N∗都成立，即n2−2λn<n2+2n+1−2λn−2λ，所以2λ<2n+1对于∀n∈N∗都成立，所以λ<n+12对于∀n∈N∗都成立，所以λ<1+12=32，即λ的取值范围是(−∞，3 2)，故答案为：D【分析】由已知条件推导出2λ<2n+1对于∀n∈N∗恒成立，由此能求出实数λ的取值范围. 10．（2分）设P为曲线y=e x上一点，Q为曲线y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为（）A．√22B．1C．√2D．2【答案】C【解析】【解答】y=e x，y′=e x，x=0时，y′=1，y=1，所以y=x+1是y=e x图象的一条切线，切点为(0，1)，y=lnx，y′=1x，x=1时，y′=1，y=0，所以y=x−1是y=lnx的图象的一条切线，切点为(1，0)，k =1−00−1=−1，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直， |PQ|的最小值即为两切点间的距离． 所以|PQ|min =√2， 故答案为：C ．【分析】 利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由|PQ|的最小值即为两切点间的距离，即可求解出答案.(共5题；共7分)11．（1分）设函数f(x)=lnx x ，则f ′(1)= ． 【答案】1【解析】【解答】解：因为f(x)=lnx x ，所以f ′(x)=1−lnx x 2，所以f ′(1)=1−ln112=1； 故答案为：1【分析】利用求导法则，先求出f ′(x)，再求f ′(1)即可.12．（1分）已知{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项和为S n ．若S 4=5S 2，则q ＝ ． 【答案】±2【解析】【解答】当q =1时，由S 4=5S 2，得4a 1=5×2a 1显然不成立； 当q ≠1时，由S 4=5S 2，得a 1(1−q 4)1−q =5×a 1(1−q 2)1−q，q =±2；故答案为：±2.【分析】 根据题意，由等比数列的前n 项和公式可得a 1(1−q 4)1−q =5×a 1(1−q 2)1−q ，求解可得q 的值.13．（1分）已知正方形ABCD 的边长为1.取正方形ABCD 各边的中点A 1，B 1，C 1，D 1，作第2个正方形A 1B 1C 1D 1；然后再取正方形A 1B 1C 1D 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，作第3个正方形A 2B 2C 2D 2；…，依此方法一直继续下去． 给出下列四个结论：①从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列； ②从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列； ③从正方形ABCD 开始，所有这些正方形周长之和趋近于8； ④从正方形ABCD 开始，所有这些正方形面积之和趋近于2. 其中所有正确结论的序号是 ．【答案】②④【解析】【解答】由题意，第1个正方形边长为1，则周长为4，面积为1；第2个正方形边长为√22，则周长为2√2，面积为12；第3个正方形边长为12，则周长为2，面积为14；……第n 个正方形边长为(√22)n−1，则周长为4⋅(√22)n−1，面积为(12)n−1，周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；所有正方形周长之和为4×[1−(√22)n]1−√22=4(√2+2)[1−(√22)n]，故周长之和无限接近于4(√2+2)，③错误；所有正方形面积之和为1−(12)n1−12=2[1−(12)n ]，故面积之和趋近于2，④正确. 故答案为：②④【分析】根据规律确定各正方形周长、面积所成数列的性质，结合等比数列前n 项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值，逐项进行判断，可得答案.14．（2分）已知随机变量X 的分布列如下：则P ＝ ；D （X ）＝ ．【答案】0.4；0.8【解析】【解答】根据随机变量分布列的性质，知0.4+p +0.4=1，所以p =0.2，∵E(X)=0.4×0+0.2×1+0.4×2=1，∴D(X)=(0−1)2×0.4+(1−1)2×0.2+(2−1)2×0.4=0.8；故答案为：0.4；0.8.【分析】利用分布列的性质求解p，然后求解期望和方差即可.15．（2分）若曲线y=xe a−x+bx在x=2处的切线方程为y=(e−1)x+4，则a=；b=．【答案】2；e【解析】【解答】解：因为y=xe a−x+bx，所以y′=(1−x)e a−x+b，又函数x=2处的切线方程为y=(e−1)x+4，所以y′|x=2=(1−2)e a−2+b=e−1，且2(e−1)+4=2e a−2+2b，解得b=e，a=2；故答案为：2；e.【分析】求出原函数的导函数，利用函数在x=2处的导数值等于切线的斜率，且函数在x=2处的函数值相等，列方程组求解出a与b的值.(共6题；共70分)16．（10分）已知函数f(x)=(x−1)e x．（1）（5分）求f（x）的极值；（2）（5分）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．【答案】（1）解：f′(x)=e x+(x−1)e x=xe x，x>0时，f′(x)>0，f(x)递增，x<0时，f′(x)<0，f(x)递减，所以f(x)极小值=f(0)=−1．无极大值．（2）解：由（1）知f(x)在[−1，0)上递减，在(0，2]上递增，2．f(0)=−1，f(−1)=−2e，f(2)=e所以最大值为e2，最小值为-1．【解析】【分析】(1)求出导函数f'(x)，由f'(x)>0得增区间，由f'(x)<0得减区间，从而得f(x)的极值；(2)由(1)得函数在[-1，2]上的单调性，计算出区间端点处的函数值，即可求出f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值．17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=3，a4=7.（1）（5分）求{a n}的通项公式；（2）（5分）若{b n−a n}是公比为2的等比数列，b1=3，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）解：设公差为d，则a4−a2=2d=4，解得d=2，则a2=a1+2=3，所以a1=1，所以a n=2n−1（2）解：b1−a=12，因为{b n−a n}是公比为2的等比数列，所以b n−a n=2n，所以b n=2n+(2n−1)，所以S n=(2+22+⋯+2n)+[1+3+5+⋯+(2n−1)]=2(1−2n)1−2+(1+2n−1)n2=2n+1−2+n2【解析】【分析】(1)直接利用等差数列的性质求出首项和公差，进而求出数列{a n}的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列{b n}的前n项和S n．18．（15分）某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．（1）（5分）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；（2）（5分）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）（5分）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．【答案】（1）解：由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为P=60100=0.6（2）解：易知X的可能值是2，3，4，P(X=2)=40100×60100=0.24，P(X=3)=40100×40100+60100×60100=0.52，P(X =4)=60100×40100=0.24，X 的分布列为E(X)=2×0.24+3×0.52+4×0.24=3（3）解：甲在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为P 1=2050=0.4，乙在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为P 2=2545=59>0.4，所以乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐．【解析】【分析】(1)由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算出一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；(2)得出X 的可能值是2， 3， 4，计算出概率的分布列，由期望公式计算出 X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，午餐选择B 餐厅用餐的概率，比较即得结论.19．（10分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是C(x)=10000+20x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是S(x)={−130x 3+3x 2+290x ，0<x <12025400，x ≥120．（1）（5分）把商品的利润表示为生产量x 的函数； （2）（5分）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】（1）解：由题意，利润W(x)=S(x)−C(x)={−130x 3+3x 2+270x −10000，0<x <12015400−20x ，x ≥120（2）解：由（1），当0<x <120时，W(x)=−130x 3+3x 2+270x −10000， 所以W ′(x)=−110x 2+6x +270=−110(x −90)(x +30)，令W ′(x)=0，则x =90或x =−30（舍），故x ∈(0，90)，W ′(x)>0，即W(x)递增；x ∈(90，120)，W ′(x)<0，即W(x)递减； 所以W(x)的极大值也是最大值为W(90)=14300（万元）； 当x ≥120时W(x)递减，此时最大值为W(120)=13000（万元）.综上，使商品的利润最大，产量为90百件.【解析】【分析】(1)利用W(x)=S(x)-C(x)，即可求出商品的利润表示为生产量x的函数；(2)利用导数求W (x)在0<x<120上的最大值，由一次函数单调性求x≥120上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.20．（10分）已知函数f(x)=x−lnx．（1）（5分）判断f（x）在区间(0，1)上的单调性，并加以证明；（2）（5分）设a<0，若f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，求a的最小值．【答案】（1）解：因为f′(x)=1−1x=x−1x，且x∈(0，1)，所以f′(x)<0，所以f(x)=x−lnx在区间(0，1)上单调递减（2）解：因为x∈(1，+∞)，所以0<e−x<1e<1，又因为当a<0，x∈(1，+∞)时，0<x a<1，由（1）知f(x)=x−lnx在区间(0，1)上的单调递减，所以f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，等价于e−x≤x a对x∈(1，+∞)恒成立，等价于lne−x≤lnx a对x∈(1，+∞)恒成立，即a≥−xlnx对x∈(1，+∞)恒成立，令g(x)=−xlnx，x∈(1，+∞)，则g′(x)=−lnx+1ln2x，令g′(x)=−lnx+1ln2x=0，得x=e，所以当x∈(1，e)时，g′(x)>0；当x∈(e，+∞)时，g′(x)<0；所以g(x)在(1，e)单调递增，在(e，+∞)单调递减，所以g max(x)=g(e)=−elne=−e，所以−e≤a<0，所以a的最小值为-e.【解析】【分析】(1)对f(x)求导，利用导数的正负判断f(x)在区间(0，1)上的单调性；(2)先判断出0<e−x<1e<1，0<x a<1，结合(1)中f (x)的单调性，将f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，等价转化为a≥−xlnx对x∈(1，+∞)恒成立，令g(x)=−xlnx，x∈(1，+∞) ，利用导数求出 g(x) 的最大值即可求解出 a 的最小值．21．（15分）已知{a n }是公差不为0的无穷等差数列．若对于{a n }中任意两项a m ，a n ，在{a n }中都存在一项a i ，使得a i =a m a n ，则称数列{a n }具有性质P ．（1）（5分）已知a n =3n ，b n =3n +2(n =1，2，⋯)，判断数列{a n }，{b n }是否具有性质P ； （2）（5分）若数列{a n }具有性质P ，证明：{a n }的各项均为整数； （3）（5分）若a 1=20，求具有性质P 的数列{a n }的个数．【答案】（1）解：因为a n =3n ，所以3(3mn)=3m ×3n ，所以对于{a n }中任意两项a m ，a n ，在{a n }中都存在一项a i =a 3mn ，使得a i =a m a n ， 所以数列{ a n }具有性质P ，因为b n =3n +2，所以取n =1，m =2，则a m a n =5×8=40， 因为40=3×13+1，所以不存在一项a i =40，所以数列{ b n }不具有性质P（2）证明：设数列{ a n }的公差为d ，因为数列{ a n }具有性质P ，所以存在a i 使得a i =a n a n+1，同理，存在a j 使得a j =a n a n+2， 两式相减，得a j −a i =a n (a n+2−a n+1)，即(j −i)⋅d =a n ⋅d ， 因为d ≠0，所以a n =j −i ，所以{ a n }的各项均为整数．（3）解：由题意结合（2）知{ a n }的各项均为整数，所以d 为整数， 首先证明d 为正整数，否则假设d 为负整数，则{ a n }为递减数列，所以{ a n }中各项的最大值为a 1， 由题设，{ a n }中存在某项a k <0，且|a k | > |a 1|，所以a k a k+1>a 1， 从而对任意正整数i ，a i ≠a k a k+1，这与{ a n }具有性质P 矛盾； 其次证明d 为a 1(a 1−1)的约数，由a i =a m a n 得，a 1+(i −1)d =[a 1+(m −1)d][a 1+(n −1)d]，所以i −1=a 1(a 1−1)d+(m +n −2)a 1+(m −1)(n −1)d ， 所以a 1(a 1−1)d为整数，即d 为a 1(a 1−1)的约数， 由d 为正整数，所以d 为20×19的正约数，因为20×19=2×2×5×19，所以20×19的正约数共有3×2×2=12个， 对于首项为20，20×19的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质P ，所以具有性质P的数列{ a n }共有12个．【解析】【分析】(1)根据数列{ a n }具有性质P的定义即可判断出数列{a n}，{b n}是否具有性质P；(2)设数列{ a n }的公差为d，由题意，存在a i使得a i=a n a n+1，同理，存在a j使得a j=a n a n+2，两式相减，根据等差数列的定义即可得证{ a n }的各项均为整数；(3)由题意结合(2)知{ a n }的各项均为整数，所以d为整数，首先证明d为正整数，其次证明d为a1(a1−1)的约数，从而即可求解出具有性质P的数列{a n}的个数．试题分析部分1、试卷总体分布分析2、试卷题量分布分析3、试卷难度结构分析4、试卷知识点分析。

2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为．10．展开式中的常数项是．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1= ；p2= ．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：复数=．故选A．2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得其导数f′（x），将x=﹣1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣x，则f′（x）=﹣e﹣x，则f′（﹣1）=﹣e﹣（﹣1）=﹣e；故选：D．3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）=，P（B）=，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p=1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=1﹣=．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S=（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=，故选：C6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2×2=4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D．7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．【解答】解：函数，∴f′（x）=1﹣cosx；令f′（x）=0，解得cosx=，又x∈[0，π]，∴x=；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）=﹣sin=﹣1，f（0）=0，f（π）=π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．【考点】62：导数的几何意义．【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在x=2处的导数值．【解答】解：∵y=∴y′=﹣则y′=﹣∴曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．故答案为：﹣10．展开式中的常数项是24 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为 T r+1=•24﹣r•（﹣1）r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项是24，故答案为：24．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1= ；p2= ．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由Eξ=2，利用离散型随机变量ξ的分布列，列出方程组，由此能求出解得p1，P2．【解答】解：∵Eξ=2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P2=．故答案为：，．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42 种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，②、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33=6种情况，则此时有3×2×6=36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33=6种情况，则此时有1×1×6=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：42．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）或﹣1 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（0）＜0，进而验证a=﹣1与a=0时是否符合题意，即可求答案．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣2ax+1，a≠0时，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，当a=﹣1时，f′（x）=﹣3x2+2x+1=0，在（﹣1，0）上恰有一根x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0，函数无极值点，综上，a∈（﹣∞，﹣）或a=﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣）或﹣1．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为0 ；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】①若a=e，可得b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax求出导数和单调区间，可得b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a﹣b的最小值．【解答】解：①若a=e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax的导数为y′=e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x=lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna的导数为f′（a）=lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a=时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，利用数学归纳法证明可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1=1，，则a2=×a1+1=4，a3=×a2+1=9，a4=×a3+1=16，a5=×a4+1=25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，用数学归纳法证明：①、当n=1时，a1=12=1，即n=1时，a n=n2成立，②、假设n=k（k≥1）时，结论成立，即a k=k2，n=k+1时，a k+1=×a k+1=（k+1）2，即n=1时，结论也成立，根据①②可得：a n=n2成立．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•=，故甲至少命中1次的概率为1﹣=．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）=，∴p=．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•=，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••=，故两人共命中3次的概率为+=．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣1时，f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，x=2是极小值点，极小值是f（2）=﹣4；（Ⅱ）f′（x）=3x2+6ax=3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max=f（2）=12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，故f（x）max=f（0）=0或f（2）=12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max=f（0）=0．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）=，从而求出P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）===∴P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）=1﹣=，整理，得：x2﹣29x+120=0，解得x=5或x=24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX=．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣==，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x=处取得极小值，且为最小值，且h（）=+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）=ax2+bx的导数为f′（x）=2ax+b，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，可得2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），则u′（m）=，当m＞e时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m=e处取得极小值，且为最小值，且u（e）==﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到函数g（x）在（1，+∞）的零点个数，求出方程在（1，+∞）的解的个数即可；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，根据函数的单调性求出函数的最小值，h （x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0=a﹣alna≥0，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣a=（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）=xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）=﹣a＜0，g（a+1）=ae a+1﹣a=a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）=xe x﹣﹣a= [（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）=0，则（x﹣1）e x﹣a=0，由（Ⅱ）得g（x）=（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a=0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：x （1，x0）x0（x0，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）递减极小值h（x0）递增∴函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a=0，得x0﹣1=，故h（x0）=•﹣aln=a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。

（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．==2．（5分）甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有，第三个路口遇到红灯，概率等于解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是=，=3．（5分）函数的图象在点（2，φ（2））处的切线方程是（）解：求导函数，可得的图象在点﹣=（326．（5分）已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与ξ轴所围成的封闭图形的面积等于（）=7．（5分）（2006广州二模）4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一种排列方法．由分步计数原理求出有解：随机排成一行，总共有个整体，有种排法，而女生的排法是=8．（5分）已知函数，若同时满足条件：⎺ξ0 （0，+），ξ0为φ（ξ）的一个极大值点；α ξ（8，+），φ（ξ）＞0．得到；，则=，则，即即上的最小值为解得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．（5分）的二项展开式中的常数项为160．（用数字作答）解：由于=10．（5分）如果函数φ（ξ）=χοσξ，那么=．和，再求出=χοσ=σιν=故答案为：且Ξ的数学期望，那么Ξ的方差∆（Ξ）=．，4π=θ==故答案为：12．（5分）已知函数的图象在ξ=0和处的切线互相平行，则实数α=﹣1．、代入求出导数值，再根据直线平行的充要=，ψ2=由题意得，=13．（5分）有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有90种不同的组队方法．（用数字作答）别，故无需排列，最后再除以最后再除以即不同的组队方法有14．（5分）设函数φν（ξ）=ξν+ξ﹣1，其中νN*，且νε2，给出下列三个结论：⎺函数φ3（ξ）在区间（，1）内不存在零点；α函数φ4（ξ）在区间（，1）内存在唯一零点；β设ξν（ν＞4）为函数φν（ξ）在区间（，1）内的零点，则ξν＜ξν+1．其中所有正确结论的序号为αβ．函数在（，）＜）在区间（，，函数在（，﹣，，，函数在（，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．的概率为因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮一次且没有命中的概率为同理，乙投篮一次且没有命中的概率为．次，且都没有命中的概率为．因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮次投篮命中的概率为（．．16．（13分）设函数，且，其中ν=1，2，3， ．（I）计算α2，α3，α4的值；（II）猜想数列{αν}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．，，即可求得======，右边=，所以等式成立．====17．（13分）已知函数φ（ξ）=ε2ξ﹣1﹣2ξ．（I）求函数φ（ξ）的单调区间；（II）设βP，求函数φ（ξ）在区间[β，β+1]上的最小值．，解得）在（）上单调递减，在）当）在时，函数）有最小值综上，当18．（13分）箱中装有4个白球和μ（μN*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量Ξ为取出的3个球所得分数之和．（I）若，求μ的值；（II）当μ=3时，求Ξ的分布列和数字期望E（Ξ）．，，，．3 4 5 6．19．（14分）请先阅读：设平面向量=（α1，α2），=（β1，β2），且与的夹角为⎝，因为 =||||χοσ⎝，所以 δ||||．即，当且仅当⎝=0时，等号成立．（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意α1，α2，α3，β1，β2，β3 P，都有成立； （II）试求函数的最大值．）利用 δ||）构造空间向量=，，且=，与的夹角为 =||||χοσ⎝δ||||（，）解：设空间向量=，，且的夹角为，，（即与时，函数有最大值．20．（14分）已知函数，．（I）求函数φ（ξ）的解析式；（II）若对于任意ξ（0，+），都有φ（ξ）+γ（ξ）δα成立，求实数α的取值范围； （III）设ξ1，ξ2＞0，α1，α2 [0，1]，且α1+α2=1，求证：．，再分别令）因为，Φ2（。

2021-2022学年北京西城区实验学校高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：）A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关参考答案：D【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（k≈9.643＞7.879）=0.005，可得结论．【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，P（k≈9.643＞7.879）=0.005∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．故选：D．2. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y 的值分别为（）A ．2,5B ．5,5 C．5,8 D．8,8参考答案：C考点：茎叶图试题解析：因为甲组数据的中位数为15，所以x=5；又因为乙组数据的平均数为16．8，所以，解得：故答案为：C3. 已知直线,且于,为坐标原点,则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．参考答案：A略4. 今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是( )A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 100参考答案：C【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：111÷2=55 (1)55÷2=27 (1)27÷2=13 (1)13÷2=6 (1)6÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故111（10）=1101111（2）故选：C．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．5. 在△ABC中，若，，，则△ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，，，，则四面体S-ABC的外接球半径R=（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.【详解】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.故选A.【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.6. 执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A. 8B. 6C. 5D. 3参考答案：A【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。

北京市西城区2015-2016学年下学期期末考试高二 数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 在复平面内，复数z=i31-对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在（x+2）4的展开式中，x 2的系数为 A. 24B. 12C. 6D. 43. 已知函数f （x ）=ln2x ，则f'（x ）= A.x41B.x21C.x2D.x1 4. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为 A.41B.83C.21D.85 5. 函数f （x ）=-21x 2+lnx 的极值点是 A. x=-1B. x=-21C. x=1D. x=21 6. 5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲、乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为A. 120B. 144C. 216D. 2407. 设a ，b ，c 是正整数，且a ∈[70，80），b ∈[80，90），c ∈[90，100]。

当数据a ，b ，c 的方差最小时，a+b+c 的值为A. 252或253B. 253或254C. 254或255D. 267或2688. 已知函数f （x ）=e x +ax-2，其中a ∈R 。

若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1<x 2，都有x 2·f （x 1）-x 1·f （x 2）<a （x 1-x 2）成立，则a 的取值范围是A. [1，+∞）B. [2，+∞）C. （-∞，1]D. （-∞，2]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9. 函数f （x ）=cosx ，则f'（6π）=____________。

10. 定积分⎰-112dx x 的值为___________。

2022届北京市西城区高二第二学期数学期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125|PF PQ F F +恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．15⎛ ⎝⎭B ．14⎛ ⎝⎭C ．13⎛ ⎝⎭D ．25⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】由题设可得22214a e b +<，即()()22241141e e e -+<-，解之得212e <，即0e <<；结合图形可得1121222PF PQ PF PF F F a c +>++=+，即122104a c c e+⇒，应选答案B 。

点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程得到22214a e b +<，即()()22241141e e e -+<-，解之得212e <，从而求得02e <<，然后再借助1125PF PQ F F +与椭圆的几何性质，建立了不等式122104a c c e+⇒，进而使得问题获解。

2．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A ．乙有四场比赛获得第三名 B ．每场比赛第一名得分a 为4 C ．甲可能有一场比赛获得第二名 D ．丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案. 【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）． 详解：模拟程序的运行，可得12,4,1,18,8a b n a b =====， 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2,27,16n a b ===；不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，813,,322n a b ===； 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2434,,644n a b ===；满足结束循环的条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．若焦点在y 轴上的双曲线22113y xm m -=--的焦距为4，则m 等于（ ）A ．0B ．4C ．10D ．6-【答案】B 【解析】分析：根据题意，由焦点的位置可得1030m m ->->，又由焦距为4，即2c =，再由双曲线的几何性质可得2134c m m =-+-=，即可求得m .详解：根据题意，焦点在y 轴上的双曲线， 则1030m m ->->，即3m >，又由焦距为4，即2c =， 则有2134c m m =-+-=， 解得4m =. 故选：B.点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y 轴上，先求出a 的范围. 5．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a 的值为（ ） A ．3- B ．6-C ．32D ．23【答案】B 【解析】试题分析：因为直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，所以66a a -=⇒=-，故选B ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．6．设集合A ＝{x|x 2－3x ＜0}，B ＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝( ) A ．{x|2≤x＜3} B ．{x|－2≤x＜0} C ．{x|0＜x≤2} D ．{x|－2≤x＜3} 【答案】C【解析】 【分析】求出集合A 中不等式的解集，结合集合B ，得到两个集合的交集． 【详解】A={x|x 2﹣3x ＜0}={x|0＜x ＜3}， ∵B={x|﹣2≤x≤2}， ∴A∩B={x|0＜x≤2}， 故选：C ． 【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．7．已知函数f(x)＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．1【答案】B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 8．已知2πϕ<，将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ为（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-【答案】D 【解析】 【分析】由()f x 平移后，得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于y 轴对称，得()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，解之即可.【详解】将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位,得 ()2sin 2sin 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()g x 图象关于y 轴对称∴()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭∴2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，即,6k k πϕπ=-+∈Z又2πϕ<∴0k =时6πϕ=-满足要求.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和函数的对称性，属于中档题.9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8D ．5【答案】D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n n ae a e =⇒=，代入(5)1142m nmn aea e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。