北京市高二下学期期末数学试卷含答案(共3套)

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测数学（答案在最后）2024．72022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在621()x x-的展开式中，常数项为（A ）15（B ）30（C ）15-（D ）30-（2）若数列19a b c ，，，，是等比数列，则实数b 的值为（A ）3-（B ）3（C ）9-（D ）9（3）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（A ）55A （B ）44A （C ）4554A A -（D ）1434A A （4）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（A ）2431r r r r <<<（B ）2413r r r r <<<（C ）4213r r r r <<<（D ）4231r r r r <<<（5）已知函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则()f x 的极大值点为（A ）1x 和4x （B ）2x （C ）3x （D ）5x 1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

（6）随机变量X 服从正态分布2~(2)X N σ，，若(24)0.3P X <= ，则(0)P X =≤（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.5（7）已知{}n a 为等差数列，若m n p q ，，，是正整数，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为（A ）562C （B ）563C （C ）663C （D ）763C （9）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且20S <，则（A ）数列{}n S 是递增数列（B ）数列{}n S 是递减数列（C ）数列2{}n S 是递增数列（D ）数列2{}n S 是递减数列（10）已知函数1().e xx f x +=若过点(1)P m -，存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是（A ）(1e e )4-，（B ）(0)8e ，（C ）(04e，（D ）(1e )8e，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京二中2023—2024学年度第六学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅲ得分：一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合A ={x||x|<3,x ∈Z}，B ={x||x|>1,x ∈Z}，则A ∩B = A. ∅ B. {−3,−2,2,3} C. {−2,0,2} D. {−2,2}2.李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3. 已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为 A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.63.已知函数f(x)=2x +x ，g(x)=log 2x +x ，ℎ(x)=x 3+x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为 A. b >c >aB.a >b >cC. c >a >bD. b >a >c4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β， 则A. α//β，l//αB. α与β相交，且交线平行于lC. α⊥β，l ⊥βD. α与β相交，且交线垂直于l5.已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是增函数D. 在区间上是增函数 6.命题“∀x ∈[1,2]，2x +ax ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是 A. a ≥−1B. a ≥−2C. a ≥−3D. a ≥−47.有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有 A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种8.已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +8)=−f (x )，若y =f (x +2)的图象关于点(−2,0)对称，且f (3)=3，则f (43)= A. 0B. −3C. 3D. 4()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈0,.ωπϕπ>−<≤()f x 6π2x π=()f x ()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−班级学号 姓名 密 封 线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(−1)=−1，当a ，b ∈[−1,1]，且a +b ≠0时，(a +b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x)<m 2−2tm +1对任意的[1,1]x ∈−,[1,1]t ∈−恒成立，则实数m 的取值范围是A. (−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞)B.(−2,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)10.已知a >0，b >0，且ab =1，不等式12a+12b+m a+b≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是A. [2,+∞)B. [4,+∞)C. [6,+∞)D. [8,+∞)二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2>0”的否定是 ． 12. 在二项式251()x x−的展开式中，含x 的项的系数是 ．13.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,[0,]2()121,(,)2x x f x x x ⎧−∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则5[()]8f f = ；不等式3(1)4f x −≤的解集为 ． 14.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点A 是抛物线上的动点．设点B(−2,0)，当|AF||AB|取得最小值时，|AF|= ；此时△ABF 内切圆的半径为 ．15.已知函数|1|,1,()(2)(1), 1.x a x f x a x x ⎧−⎪=⎨−−>⎪⎩≤其中0a >且1a ≠. 给出下列四个结论：① 若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,1)；③ 若存在实数M ，使得对任意的x R ∈,都有()f x M ≤，则M 的最小值为1； ④ 若关于x 的方程()2f x a =−恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为(2,3)，且123x x x ++的取值范围为(,2)−∞.其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题（共6小题，共85分。

东城区2023—2024学年度第二学期期末统一检测高二数学（答案在最后）2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}20,,M a a =，{}2,1,0,1,2N =--，若1M ∈，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】结合集合与元素的关系求出参数a 的值，结合交集的概念即可得解.【详解】由题意1a =或21a =，但是2a a ≠，所以1a =-，{}0,1,1M =-，因为{}2,1,0,1,2N =--，所以{}1,0,1M N ⋂=-.故选：B.2.某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（）A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI 指数【答案】A 【解析】【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得.【详解】对于A ，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A 正确；对于B ，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B 错误；对于C ，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C 错误；对于D ，BMI 指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D 错误.故选：A3.已知,R x y ∈，且x y >，则下列不等式中一定成立的是（）A.22x y >B.11x y> C.ln ln x y> D.22x y>【答案】D 【解析】【分析】举反例排除ABC ，由指数函数单调性即可说明D.【详解】取0x y =>，则22x y <，1,ln ,ln x y x无意义，故ABC 错误；对于D ，由指数函数2t y =在实数域上关于t 单调递增，且x y >，所以22x y >，故D 正确.故选：D.4.袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）A.23B.12C.13 D.310【答案】A 【解析】【分析】由条件概率、古典概型概率计算公式即可求解.【详解】在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球，所以所求概率为6293P ==.故选：A.5.已知23a =，4log 5b =，则22a b -的值为（）A.15B.53C.35D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.【详解】由4log 5b =，得45b =，即225b =，而23a =，所以2223225a a bb --==.故选：C6.A ，B ，C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（）A.30种B.36种C.72种D.81种【答案】B 【解析】【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校求解.【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁，由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校.则不同的报名方法共有2114213C C C =36种.故选：B.7.2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F 处.若“金色大伞”的深度为0.49m ，则“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为（）A.2.25mB.2.74mC.4.5mD.4.99m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点(0.49,2.1)A 设抛物线的方程为22(0)y px p =>，则22.120.49p =⨯，解得29p =，抛物线29y x =的焦点9(,0)4F ，准线方程为94x =-，||0.49 2.25 2.74AF =+=，所以“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为2.74m .故选：B8.已知直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】首先求得d =，又d ==4，所以分4,3,2,1n =进行讨论即可求解.【详解】圆()()22344x y -+-=的圆心、半径分别为()3,4,2r =，圆心()3,4到直线:250l mx y m --+=的距离为d ==，设直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为n ，由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度24r =，故分以下情形讨论：当4n =时，0d ===，解得1m =-，当3n =时，2d ====，化简得23830m m -+=，解得43m ±=，当2n =时，d ====，化简得210m m -+=，该方程无解，当1n =时，152d ==，化简得2118110m m -+=，该方程无解，而直线:250l mx y m --+=是斜率为m 且过定点()2,5的直线，直线l 由m 唯一决定，综上所述，满足条件的直线l 共有3条.故选：C.9.已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在0b a >>的条件下利用导数证明b 为()f x 的极小值点，然后说明当1a =-，2b =-时，b 为()f x 的极小值点，但0b a >>并不成立，从而得到答案.【详解】由题设，()()()()()()][()()222322232f x a x b a x a x b a x a b x b a b a x a b x b ⎡⎤=-+--=-+++=-+-⎣⎦'，若0b a >>，则23a b a b +<<，故()2,,3a b x b +⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>，2,3a b x b +⎛⎫∈⎪⎝⎭上()0f x '<，所以()f x 在()2,,,3a b b +⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，2,3a b b +⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故b 为()f x 的极小值点，从而条件是充分的；当1a =-，2b =-时，有()()()212f x x x =--+，则()()()342f x x x '=-++，显然()4,2,3x ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，42,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上()0f x '>，所以()f x 在()4,2,,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭上递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，此时2b =-为()f x 的极小值点，但此时0b a >>并不成立，从而条件不是必要的.故选：A.10.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.若()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ ，则b 的值可以是（）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】D 【解析】【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.【详解】()202401222024202420242024202420242024C C 3C 3C 3451a =+⨯+⨯++⨯==- 20241202322022202312024202420245C ×5C ×5C ×51=-+-⋯-+()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1=-+-⋯-+则()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C -+-⋯-能被5整除，故()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1-+-⋯-+除以5余数为1，所以0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯++⨯ 除以5余数为1，由()mod5a b ≡，所以202354043÷= ，202454044÷= ，20255405÷=，202654051÷= ，故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()lnf x x =的定义域是_________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由表达式中的每个部分有意义得到不等式组，解之即可得到定义域为()1,+∞.【详解】为了让函数()ln f x x =的表达式有意义，需要1000x x -≥⎧≠>⎩.解得1x >，所以函数()f x 的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.12.已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，一条渐近线方程为y =，则C 的方程为_________.【答案】2213y x -=【解析】【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出,a b 即可得解.【详解】双曲线C 的焦点在x 轴上，设C 的方程为()22221,0,0x ya b a b-=>>，由题意2222,bc a b c a==+=，解得1,a b ==所以C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.13.已知二项式()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++的所有项的系数和为243，则n =_____________；2a =_________.【答案】①.5②.40【解析】【分析】首先利用系数和条件，再原式中取1x =得到5n =；再对展开式两边求导两次并取0x =，得到240a =.【详解】由已知有()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++，且110...243n n a a a a -++++=.再前一式中令1x =得1103...nn n a a a a -=++++，所以3243n =，得5n =.所以()5543254321021x a x a x a x a x a x a +=+++++.由二项式定理可知，353325C 21104140a -=⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：5；40.14.某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.【答案】20【解析】【分析】分选择两个项目、三个项目、四个项目和五个项目四种情况考虑.【详解】由题意得选择两个项目有4种组合；选择三个项目有35C 10=种组合；选择四个项目有45C 5=种组合；选择五个项目有55C 1=种组合，所以共有4105120+++=种.故答案为：20.15.设R a ∈，函数()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩给出下列四个结论：①当0a =时，函数()f x 的最大值为0；②当7a =时，函数()f x 是增函数；③若函数()f x 存在两个零点，则01a <<；④若直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，则a<0.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③##③①【解析】【分析】把0a =和7a =代入解析式，分析单调性即可判断①②，令()0f x =，解出零点，判断零点是否在区间内，对含a 的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点，解出零点，易得取2a =-时有3个零点，可判断④错误.【详解】①当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，()0f x ≤，当0x >时，()0f x <，故max ()0f x =，故①正确；②当7a =时，()327,7,7x x x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩，当0x ≤时，2()f x x =-在(,0)-∞上单调递增，当07x <≤时，2()f x x =-在(0,7)上单调递减，故()f x 不是增函数，故②错误；③当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩只有一个零点，令函数30y ax x =-=，解得1230,x x x ===当a<0时，函数2y x =-在(,]a -∞上没有零点，23,x x 无意义，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有且只有一个零点为0，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；当0a >时，函数2y x =-在(,]a -∞上有1个零点为0，10x =，3x =x a >范围内，当01a <<时，21x a =>>，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有一个零点，即()f x 有两个零点，符合题意，当1a >时，21x a =<<，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上没有零点，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；综上所述：当01a <<时，()f x 有两个零点.故③正确；④直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，可转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点.令函数30y ax ax x =--=，解得1230,x x x ===，当2a =-时，123,,x a x a x a >>>，函数3y ax ax x =--在(,)a +∞上有3个零点，令220y x x =-+=得340,2x x ==，故函数22y x x =-+在(,]a -∞上没有零点，即()g x 有3个零点，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为45，乙发球时甲得分的概率为12，求甲4:0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为13，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.【答案】（1）425；（2）227.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即得.（2）确定乙以3:1赢得比赛的事件，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=，所以单局比赛中甲4:0领先的概率为425.【小问2详解】设事件B ：乙以3:1赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件，则3212()3()3327P B =⨯⨯=，所以乙以3:1赢得比赛的概率是227.17.设函数()e xf x a x =+，其中R a ∈.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2a b ==-（2）递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义列式计算即得.（2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间.【小问1详解】依题意，(0)f a b ==，又()e 1xf x a '=+，则(0)11f a '=+=-，解得2a =-，所以2a b ==-.【小问2详解】由（1）知，()2e xf x x =-+的定义域为R ，()2e 1x f x '=-+，当ln 2x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,ln 2)-∞-上单调递增，当ln 2x >-时，()0f x '<，函数()f x 在(ln 2,)-+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.18.近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 这6个国产新能源品牌或在1B ，2B ，3B ，4B 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：00 1.00.8平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷当日23：00—次日7：000.4时（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌1A 被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X 为遥遥每次充电的费用，求X 的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.【答案】（1）13（2）分布列见解析，期望()48E X =（3）选择新能源汽车的总花费最少【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）X 的所有可能取值为36,45,54，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较.【小问1详解】若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有26C 15=种，若品牌1A 被选中，则有15C 5=种选择，从而所求概率为51153P ==；【小问2详解】在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费()10.83054+⨯=，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.70.83045+⨯=，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.40.83036+⨯=，所以X 的所有可能取值为36,45,54，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以()65412P X ==，()4145123P X ===，()2136126P X ===，X 的分布列为：X k =364554()P X k =161312X 的数学期望为()11136455448632E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】解法一：设燃油车购车成本为x 万元，则新能源汽车购车成本为()4x +万元，燃油车能源消耗支出为33814.45⨯⨯=万元，设Y 为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费10.8 1.8+=，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.70.8 1.5+=，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.40.8 1.2+=，则Y 的所有可能取值为1.8,1.5,1.2，且()()()5313321811.8, 1.5, 1.2243243243P Y P Y P Y +++=========，所以() 1.8 1.5 1.21.53E Y ++==，新能源汽车能源消耗支出为138 1.57.25⨯⨯⨯=万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为114.4y x =+，新能源汽车的总花费为2147.211.2y x x y =++=+<，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少.解法二：按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=(元)，新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=(元)，因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以144000400008640017600--=(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.（1）求E 的方程；（2）过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【小问1详解】由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b =，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m m m m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k为定值.20.已知函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R .（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∈+∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：若()f x 在区间()1,+∞上存在唯一零点0x ，则20e a x -<（其中e 2.71828...=）.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）(],2-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值；（2）对2a >和2a ≤分类讨论，当2a >时由0f <知条件不满足，当2a ≤时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到a 的取值范围是(],2-∞；（3）由条件可直接得到2a >，然后通过导数判断()f x在∞⎫+⎪⎪⎭上的单调性，再证明20e a x -≥>，即可通过反证法得到结论.【小问1详解】当2a =时，()22ln 1f x x x =--，从而()()()21122x x f x x x x-+=-='.故对01x <<有()()()2110x x f x x-'+=<，对1x >有()()()2110x x f x x-'+=>.所以()f x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增.从而()f x 有唯一的极值点1x =，且是极小值点，对应极小值为()10f =，无极大值.【小问2详解】由()2ln 1f x x a x =--，知()2222a a f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'.若2a >1>.而对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，所以()f x 在⎡⎢⎣上递减.故()10f f <=，从而()0f x >对x =若2a ≤，则对1x >有()2221022a a f x x x x ⎛⎫⎛⎫=->-≥ ⎪ ⎝'⎪⎝⎭⎭，所以()f x 在[)1,+∞上递增.从而对任意()1,x ∞∈+，有()()10f x f >=，满足条件.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【小问3详解】据（2）的结果，当2a =时对()1,x ∞∈+有()0f x >，故对1x >有22ln 10x x -->.此即()22ln 1x x >+，所以对任意的1t >，在()22ln 1xx >+中取2t x =就有ln 1t t >+.回到原题.若()f x 在区间()1,∞+上存在唯一零点0x ，根据（2）的结果，首先有2a >.此时对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，对x >()2202a f x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'.所以，()f x 在⎡⎢⎣上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.而()10f =，故()1,∞+上的零点0x 满足0x >.由于2e 1a ->，而对任意的1t >，都有ln 1t t >+，取2e a t -=，就有2e 1a a ->-，从而()224e 1a a ->-.所以()()()()()222222424e e ln e 1e 21e 10a a a a a f a a a a -----=--=---=-->.假设20ea x -≥，由2a >及2e 1a a ->-有2e 1a a ->-=>，所以20e a x -≥>.由()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增，且()2e 0af ->，即可从20e a x -≥>，推知()()20e0a f x f -≥>.但这与0x 是()f x 的零点矛盾，所以20e a x -<.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论.21.已知n 项数列()12:,,...,3n n A a a a n ≥，满足对任意的i j ≠有i j a a ≠.变换T 满足对任意{}1,2,...,i n ∈，有(){}12,,...,i n T a a a a ∈，且对i j ≠有()()i j T a T a ≠，称数列()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a 是数列nA 的一个排列.对任意{}1,2,...,i n ∈，记()()1i i T a Ta =，()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N ，如果k 是满足()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==的最小正整数．．．．．，则称数列n A 存在k 阶逆序排列，称T 是n A 的k 阶逆序变换.（1）已知数列4:1,2,3,4A ，数列()4:3,1,4,2T A ，求()24T A ，()44T A ；（2）证明：对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；（3）若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，求n 的最小值.【答案】（1）()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A （2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）直接根据定义求解对应的数列即可；（2）先证明若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数，再由4n =不满足该条件，即得结论；（3）由上面的结果可知6n ≥，然后对6n =构造符合条件的3阶逆序变换T 即可.【小问1详解】由于4:1,2,3,4A ，()4:3,1,4,2T A ，故()13T =，()21T =，()34T =，()42T =.所以()()()()()24:3,1,4,2T A T T T T ，即()24:4,3,2,1T A .所以()()()()()34:4,3,2,1T A T T T T ，即()34:2,4,1,3T A .所以()()()()()44:2,4,1,3T A T T T T ，即()44:1,2,3,4T A .故()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A .【小问2详解】对3n ≥，设有n 个不同的点12,,...,n P P P ，若()i j T a a =，则在,ij P P 之间画一个箭头i j P P →.则每个点恰好发出一个箭头，也恰被一个箭头指向，这些箭头将形成若干互不相交的圈.若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则对12n i +≠，i a 经过三次变换T 后得到1n i a +-.这意味着i P 和n i P -必然位于一个长度为6的圈中.从而，如果n 是偶数，则必定有12n i +≠，故每个点12,,...,n P P P 都位于一个长度为6的圈中，所以n 是6的倍数；如果n 是奇数，则除12n P +以外的点都位于一个长度为6的圈中，若12n P +单独作为一个圈，则n 1-是6的倍数，若12n P +位于包含其它点的圈中，则n 是6的倍数.但n 是奇数，故只可能是：12n P +单独作为一个圈，n 1-是6的倍数.综上，若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数.由于4n =不满足该条件，故对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；【小问3详解】若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，根据（2）的结果，n 1-和n 中必有一个是6的倍数.而3n ≥，故6n ≥.而当6n =时，对各项互不相同的数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，构造变换{}{}123456123456:,,,,,,,,,,T a a a a a a a a a a a a →，满足()12T a a =，()23T a a =，()36T a a =，()41T a a =，()54T a a =，()65T a a =.则()16236145:,,,,,TA a a a a a a ，()26365214:,,,,,T A a a a a a a ，()36654321:,,,,,T A a a a a a a .所以T是数列6A的3阶逆序变换.综上，n的最小值为6.和n中必有一个是6的倍数，进【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从3阶逆序变换的存在性推出n1而可以迅速由条件确定n的大致范围，最后得到结果.。

2022-2023学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．等差数列﹣2，1，4，…的第10项为（ ） A ．22B ．23C ．24D ．252．设函数f （x ）＝sin x ，则f '（π）＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．π3．某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ） A ．29B ．827C ．49D ．234．记函数f(x)=1x 的导函数为g （x ），则g （x ）（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列{a n }中，若a 1＝9，a 8＝﹣5，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ） A ．80万吨B ．90万吨C ．100万吨D ．120万吨7．如果函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 在区间（1，e ）上单调递增，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，2]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q =23，记其前n 项的和为S n ，则对于n ∈N *，使得S n ＜m 都成立的最小整数m 等于（ ） A ．6B ．3C ．4D ．29．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（ ） A ．P （ξ≤2）＝1﹣P （ξ≥3）B ．当a n =12n （n ＝1，2，3，4）时，a 5=124 C ．若{a n }为等差数列，则a 3=15D ．{a n }的通项公式可能为a n =1n(n+1)10．若函数f(x)={xe x +a ，x ＜1，a −x ，x ≥1有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，e ）B ．（﹣∞，e ）C ．(0，1e )D ．(−∞，1e )二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．6.在数列中，，其中。

记的前n项和为，那么等于（）A．B．C．D．7.已知函数在区间上存在零点，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知是函数的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知命题：，，那么命题为____________________________.2.已知函数若，则实数_________.3.设，那么实数a, b, c的大小关系是_________.4.在等比数列中，，，则________.5.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。

6.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。

给出下列三个结论：①；②数列是公比为的等比数列；③当时，.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题1.设，集合，.（Ⅰ）当a=3时，求集合；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.2.已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前n项和.3.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.4.如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？5.设函数，其中.（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）求函数的极值.6.在数列中，对于任意，等式成立，其中常数. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】解：因为全集，集合，那么集合的子集个数为8，选C2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，选D3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为函数为偶函数关于y轴对称，排D,A，因为在x>0增函数，则排除C，选B4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】解：因为，则“”是“”的充分但不必要条，选A5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为函数是偶函数，且在x>0递减，则利用函数的对称性可知，f(2)=f(-2)=0,那么使得成立的x的范围是,选C6.在数列中，，其中。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则＝（）A．U B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，4}2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．44.命题“对任意实数x，都有x>1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x<1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤15.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知，则（）A．B．C．D．7.函数的图象可能是（）A B C D8.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．9.已知数列的前n项和，那么数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列10.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数。

其中正确的判断是（）A．①③B．②C．②③D．①②二、填空题1.＝____________。

2.已知函数，则＝____________。

3.若，则的取值范围是____________。

4.已知函数是奇函数，且当时，，则＝____________。

5.已知函数则方程的解为____________；若关于x的方有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。

6.若在区间上存在实数x使成立，则a的取值范围是____________。

三、解答题1.已知集合。

（1）求集合；（2）若，求实数a的取值范围。

2.已知数列是公差为－2的等差数列，是与的等比中项。

（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求的最大值。

3.已知一次函数满足。

（1）求的解析式；（2）求函数的值域。

2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10B．15C．20D．253．已知a＝lge，b＝e2，c=ln1（e＝2.71828⋯），那么（）10A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b4．如图，曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′（2）+f（2）＝（）A．1B．2C．3D．45．在（x﹣2）10的展开式中，x6的系数为（）A．16C104B．32C104C．﹣8C106D．﹣16C1066．如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1B．r2＜r3＜r1C．r3＜r1＜r2D．r1＜r3＜r27．已知等比数列{a n}的首项和公比相等，那么数列{a n}中与a3a7一定相等的项是（）A．a5B．a7C．a9D．a108．已知x＝1是函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣a）的极小值点，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）9．在函数y ＝xlnx ，y ＝cos x ，y ＝2x ，y ＝x ﹣lnx 中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．y ＝xlnxB ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝x ﹣lnx10．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A ．47B ．23C ．13D ．1611．声压级（SPL ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB （分贝）．人类产生听觉的最低声压为20μPa （微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：SPL =20×lgP P ref，其中P 是测量的有效声压值，P ref 声压的基准值，P ref ＝20μPa ．由公式可知，当声压P ＝20μPa 时，SPL ＝0dB ．若测得某住宅小区白天的SPL 值为50dB ，夜间的SPL 值为30dB ，则该小区白天与夜间的有效声压比为（ ） A ．53B ．10C ．32D ．2012．已知函数f(x)=ae x −12x 2(a ∈R)，①当a ≤0时，f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减； ②当0＜a ＜1e 时，f （x ）有两个极值点； ③当a ≥1e 时，f （x ）有最大值． 那么上面说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（）A．4＋3i B．4－3i C．－3＋4i D．－3－4i2.在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4B．5C．6D．73.若，则n的值为（）A．7B．6C．5D．44.已知，则＝（）A．0B．1C．－1D．－25.计算定积分＝（）A．B．C．D．6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.85D．7.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个8.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．9.甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30B．24C．12D．610.已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点.其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③二、填空题1.函数的图象在点处切线的斜率是___________.2.设，则＝____________；_____________.3.在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）.4.设函数有极值，则实数a的取值范围是_________.5.某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.6.设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________.三、解答题1.（本小题满分13分）已知数列中，.（Ⅰ）计算的值；}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.（Ⅱ）根据计算结果猜想{an2.（本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率.3.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在上的最小值；（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围.4.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.5.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.6.（本小题满分14分）已知函数，，令.（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（）A．4＋3i B．4－3i C．－3＋4i D．－3－4i【答案】B【解析】因为，,所以，,故选B.【考点】复数的运算.2.在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】因为的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式共有7项，所以.故选C.【考点】二项式定理及二项式系数的性质.3.若，则n的值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】因为，,所以，,解得：,故选D.【考点】排列数公式与组合数公式.4.已知，则＝（）A．0B．1C．－1D．－2【答案】C【解析】因为,所以，,所以，故选C.【考点】求导公式的应用.5.计算定积分＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以答案选B.【考点】定积分的运算.6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.85D．【答案】C【解析】线路能够了正常工作的概率=,故选C.【考点】独立事件，事件的关系与概率.7.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个【答案】A【解析】符合条件的三位数中，百位数字为偶数的有个，百位数字为奇数的有个，共有30个，故选A.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.8.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】因为所以，令，则或由得：；由得：或所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为.故选C.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用.9.甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30B．24C．12D．6【答案】B【解析】确定选法种数可分如下三步：第一步：确定相同的品牌，有4种不同的方法；第二步：甲再从剩下的三个品牌中选一个，有3种不同的方法；第三步：乙最后从剩下的两个品牌中再选一个，有2种不同的方法；由分步乘法计数原理知，共有种不同的方法.故选B.【考点】分步乘法计数原理.10.已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点.其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③【答案】B【解析】因为，所以，令，则所以，当时，；当时，所以，函数在区间为增函数，在上为减函数，所以，当时，函数取得最大值，且当时，所以只有①③正确，故选B.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、数形结合的思想.二、填空题1.函数的图象在点处切线的斜率是___________.【答案】3【解析】因为，所以，所以，，即函数在点处的切线的斜率是3.所以答案应填：3.【考点】导数的几何意义.2.设，则＝____________；_____________.【答案】1,-1【解析】在中令得：在中令得：所以答案应填：1，-1.【考点】二项式定理.3.在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）.【答案】34【解析】从7人任选4人参加一项活动，一共有种选法，其中没有男生的选法有所以，其中至少有1名男生的选法种数是34种.【考点】1、组合；2、事件及其关系.4.设函数有极值，则实数a的取值范围是_________.【答案】【解析】因为，所以，由函数有极值知其导数有两个零点，所以，所以，答案应填：【考点】导数与函数的极值.5.某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.【答案】；16【解析】根据题意，每次抽奖，中奖的概率都是，而且相互独立；所以某人抽奖2次恰中20元的概率为：若某人消费200元，有四次抽奖机会，设其所中奖次数服从，则设其所得奖金为元，则，所以所以答案应填：.【考点】1、古典概型；2、独立事件同时发生的概率；3、二项分布；4、离散型随机变量的数学期望.6.设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以，，所以，所以，,从而有：由，得：，所以，所以，,即又因为恒成立，所以，.所以答案应填：【考点】1、新定义；2、导数的几何意义.三、解答题1.（本小题满分13分）已知数列中，.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.n【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据递推公式依次计算可得的值；（Ⅱ）首先由数列的前四项归纳出其通项公式，然后按数学归纳法的步骤证明结论正确即可.试题解析：解：（Ⅰ）由可得. 5分（Ⅱ）由猜想：. 7分以下用数学归纳法证明：（1）当时，左边，右边，符合结论； 8分（2）假设时结论成立，即， 9分那么，当n＝k＋1时，.11分所以，当n＝k＋1时猜想也成立；12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N*都成立.13分【考点】1、数列的递推公式与通项公式；2、合情推理；3、数学归纳法.2.（本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设该同学“在A处击中目标”为事件A，“在B处击中目标”为事件B，“在C处击中目标”为事件C，因为事件A，B，C相互独立，事件“该同学得4分”可表示为：，从而求得概率值.（Ⅱ）首先依次求出该同学得0分、2分，3分、4分，并把所求事件表示成如下、、、互斥事件的和事件，从而求得该同学得分少于5分的概率.试题解析：解：（Ⅰ）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立.依题意.3分则该同学得4分的概率为5分.答：该同学得4分的概率为. 6分（Ⅱ）该同学得0分的概率为；8分得2分的概率为； 10分得3分的概率为； 11分得4分的概率为；则该同学得分少于5分的概率为.答：该同学得分少于5分的概率为. 13分【考点】1、独立事件；2、互斥事件与对立事件.3.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在上的最小值；（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由，先求函数的导数，利用导数的符号研究函数在区间上的单调性与极值，从而求出函数在上的最小值；（Ⅱ）因为函数的导数为，它在区间的符号与的取值有关，因此要对的取值分类讨论，以确定在相应情况下函数在区间上的单调性与最大值并进一步求出的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）时，，则.2分令，得. 4分列表：－f（x）在区间（－1，所以，当时，最小值为. 7分（Ⅱ）由已知. 8分当时，，函数为减函数，在区间上的最大值为＝－4，不符合题意. 9分当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意.10分当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.所以，在区间上的最大值为， 11分依题意，令，解得，符合题意. 12分综上，a的取值范围是. 13分【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.4.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，一共有种不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，故可用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5，其中表示取出的三个零件中有一个是没有用过的，两个用过的；表示取出的三个零件中有两个是没有用过的，一个用过的；表示取出的三个零件都是没有用过的；再根据古典概型求出相应的概率值，从而得到X的分布列和期望.试题解析：解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A.1分则. 3分所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率.5分（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5. 7分；；. 10分随机变量X的分布列为：11分. 13分【考点】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.5.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；(III) .【解析】（Ⅰ）因为，可先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线在点（0，1）处的切线的斜率进而求出此切线的方程；（Ⅱ）先求出函数的导数，再根据的取值对函数值及其导数符号的影响，讨论函数在区间上的最小值并求出的取值.（III）构建新函数，从而将不等式恒成立的问题转化为函数的最小值问题，再利用导数解决.试题解析：解：（Ⅰ）时，， 2分所求切线的斜率为. 3分所以，曲线在点处的切线方程为.4分（Ⅱ）当时，函数，不符合题意.5分当时，，令，得， 6分所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 7分①当，即时，最小值为.解，得，符合题意. 8分②当，即时，最小值为.解，得，不符合题意. 9分综上，.（Ⅲ）构建新函数.10分①当，即时，因为，所以.（且时，仅当时，.）所以在R上单调递增.又，所以，当时，对于任意都有. 12分②当时，解，即，得，其中.所以，且，.所以在上单调递减.又，所以存在，使，不符合题意.综上，a的取值范围为. 14分【考点】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想.6.（本小题满分14分）已知函数，，令.（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.【答案】（Ⅰ）（0，1）;（Ⅱ）整数m的最小值为2; (III)详见解析.【解析】（Ⅰ）先求函数的定义域，再利用导数的符号确定函数的单调递增区间；（Ⅱ）令，则关于x的不等式恒成立就等价于恒成立，从而转化为函数的最值问题;(III) 时，由，得，即，（*）构造函数求出的最小值，从而将（*）化为关于的一元二次不等式，解得的取值范围即可.试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为， 2分由，得，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）. 4分（Ⅱ）.令，则不等式恒成立，即恒成立.. 5分①当时，因为，所以所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立. 6分②当时，.令，因为，得，所以当时，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.7分故函数的最大值为.8分令，因为在上是减函数，又因为，，所以当时，.所以整数m的最小值为2. 10分（Ⅲ）时，由，得，即，整理得， 11分令，则由得，， 12分可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以， 13分所以，解得，因为为正整数，所以成立. 14分【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、构造函数证明不等式.。

2021-2022学年北京市西城区高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．若a 、b 、c 成等差数列，则（ ） A ．2b a c =+ B ．2b ac = C ．2b a c =+ D ．2b ac =【答案】A【分析】由等差数列的性质化简可得结果.【详解】因为a 、b 、c 成等差数列，则b a c b -=-，可得2b a c =+. 故选：A. 2．函数()1f x x=在2x =处的瞬时变化率为（ ） A ．－2 B ．－4 C ．－12D ．－14【答案】D【分析】对函数求导，将2x =代入导函数求值即可得瞬时变化率. 【详解】由题设()21f x x '=-，故()124f '=-. 故选：D3．将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】B【详解】投掷4次的所有可能结果为4216= 种， 其中恰好出现2次正面向上的事件有246C = 种， 据此可得，题中所求事件的概率值为：63168p . 本题选择B 选项.4．已知函数()sin cos f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则（ ） A ．()()2sin f x f x x '+= B ．()()2cos f x f x x '+= C ．()()2sin f x f x x -'-= D ．()()2cos f x f x x -'-=【答案】B【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案. 【详解】解：因为()sin cos f x x x =+， 所以()cos sin f x x x '=-，所以()()2cos f x f x x '+=，()()2sin f x f x x '-=. 故选：B.5．在等比数列{n a }中，154,1a a ==，则3a ＝（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2【答案】C【分析】由等比数列的性质求解．【详解】由题意23154a a a ==，又135,,a a a 同号，所以32a =．故选：C ．6．若等差数列{n a }满足87100,0a a a >+<，则当{n a }的前n 项和最大时，n ＝（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B【分析】由题意和等差数列的性质可得{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．【详解】解：等差数列{}n a 满足7100a a +<， ∴897100a a a a +=+<，80a >，90a ∴<，则980a a d -=<，∴等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴当{}n a 的前n 项和最大时n 的值为8.故选：B.7．设函数()324f x ax bx x =++的极小值为－8，其导函数()y f x ='的图象过点（－2，0），如图所示，则()f x ＝（ ）A ．32243x x x --+B ．3224x x x --+C ．34x x -+D ．3224x x x -++【答案】B【分析】由题设2()324f x ax bx '=++，根据所过的点可得31b a =+，结合图象求出极小值点并代入()f x 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.【详解】由题设，2()324f x ax bx '=++，则(2)12440f a b '-=-+=，故31b a =+， 所以2()32(31)4(32)(2)f x ax a x ax x '=+++=++， 令()0f x '=，可得2x =-或23x a=-，由图知：0a <且2x =-处有极小值， 所以8488a b -+-=-，即1a =-，2b =-，经验证满足题设， 故32()24f x x x x =--+. 故选：B8．在等比数列{n a }中，148,1a a ==-．记()121,2,n n T a a a n ==，则数列{nT}（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项.【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414118a qa -==-，所以12q =-， 则其通项公式为：()1114118122n n n n n a a q ----⎛⎫=⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以()()()1341122221112n n n n T a a a ----=⨯-=⨯()()()()()()3+471122221212n n n n n n n n ----=-⨯=-⨯，令()7t n n =-，所以当3n =或4n =时，t 有最大值，无最小值， 即()722n n -有最大值，无最小值，结合前面()()121n n --，当()()121n n --为正数时，n T 为正数，当()()121n n --为负数时，n T 为负数，所以当3n =时，n T 有最小项，当4n =时，n T 有最大项. 故选：A.9．数列{n a }的通项公式为()221,2,n a n n n λ=-=．若{n a }为递增数列，则λ的取值范围是（ ）A ．[1，＋∞）B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（－∞，1]D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意可得1n n a a +<对于*N n ∀∈都成立，化简求解即可求出λ的取值范围【详解】因为数列{n a }的通项公式为()221,2,n a n n n λ=-=，且{n a }为递增数列，所以1n n a a +<对于*N n ∀∈都成立，所以222(1)2(1)n n n n λλ-<+-+对于*N n ∀∈都成立， 即2222122n n n n n λλλ-<++--， 所以221n λ<+对于*N n ∀∈都成立， 所以12n λ<+对于*N n ∀∈都成立， 所以13122λ<+=， 即λ的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：D10．设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（ ）A B ．1 C D ．2【答案】C【分析】由导数求出两曲线的切线【详解】e x y =，e x y '=，0x =时，1y '=，1y =，所以1y x =+是e x y =图象的一条切线，切点为(0,1)， ln y x =，1y x'=，1x =时，1y '=，0y =，所以1y x =-是ln y x =的图象的一条切线，切点为(1,0)，10101k -==--， 这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直， |PQ |的最小值即为两切点间的距离．所以min PQ 故选：C ． 二、填空题 11．设函数()ln xf x x=，则(1)f '=___．【答案】1【分析】求出函数的导函数，代入计算可得； 【详解】解：因为()ln x f x x =，所以()21ln x f x x -'=，所以()21ln1111f -'==； 故答案为：112．已知{n a }是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n S ．若425S S =，则q ＝___． 【答案】2±【分析】分两种情况，当1q =时，当1q ≠时，分别代入等比数列前n 项和公式计算可得.【详解】当1q =时，由425S S =，得11452a a =⨯显然不成立； 当1q ≠时，由425S S =，得()()421111511a q a q qq--=⨯--，2q =±；故答案为：2±.13．已知正方形ABCD 的边长为1.取正方形ABCD 各边的中点1A ，1B ，1C ，1D ，作第2个正方形1111D C B A ；然后再取正方形1111D C B A 各边的中点2222,,,A B C D ，作第3个正方形2222A B C D ；…，依此方法一直继续下去． 给出下列四个结论： ①从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列； ②从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列； ③从正方形ABCD 开始，所有这些正方形周长之和趋近于8； ④从正方形ABCD 开始，所有这些正方形面积之和趋近于2. 其中所有正确结论的序号是___． 【答案】②④【分析】根据规律确定各正方形周长、面积所成数列的性质，结合等比数列前n 项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值.【详解】由题意，第1个正方形边长为1，则周长为4，面积为1；第2个正方形边长为2，则周长为12； 第3个正方形边长为12，则周长为2，面积为14；……第n 个正方形边长为1n -，则周长为14n -⋅，面积为11()2n -，周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；)41421nn⎡⎤⎢⎥⨯-⎡⎤⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故周长之和无限接近于)42，③错误；所有正方形面积之和为11()122[1()]1212nn-=--，故面积之和趋近于2，④正确.故答案为：②④三、双空题14．已知随机变量X的分布列如下：则P＝___；D（X）＝___．【答案】0.4250.845【分析】利用随机变量分布列的性质知0.40.41p++=，求得；利用期望和方差的公式求得()D X；【详解】根据随机变量分布列的性质，知0.40.41p++=，所以0.2p=，()0.400.210.421E X⨯+⨯+⨯==，()()()()222010.4110.2210.40.8D X∴-⨯+-⨯⨯=+-=；故答案为：0.4；0.8.15．若曲线e a xy x bx-=+在2x=处的切线方程为()e14=-+y x，则=a___；b=___．【答案】2e【分析】求出函数的导函数，依题意可得()221|12e eaxy b-='-+=-=，且()222124e e a b--=++，解得即可.【详解】解：因为e a xy x bx-=+，所以()1e a xy x b-'=-+，又函数2x=处的切线方程为()e14=-+y x，所以()221|12e eaxy b-='-+=-=，且()222124e e a b--=++，解得e b =，2a =； 故答案为：2；e . 四、解答题16．已知函数()()1e xf x x =-．(1)求f （x ）的极值；(2)求f （x ）在区间[－1，2]上的最大值和最小值． 【答案】(1)()f x 极小值(0)1f ==-．无极大值． (2)最大值为2e ，最小值为1-．【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间，从而得极值；（2）由（1）得函数在[1,2]-上的单调性，计算出区间端点处的函数值，极值后可得最值．【详解】(1)()e (1)e e x x x f x x x '=+-=，0x >时，()0f x '>，()f x 递增，0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 所以()f x 极小值(0)1f ==-．无极大值．(2)由（1）知()f x 在[1,0)-上递减，在(0,2]上递增， (0)1f =-，2(1)ef -=-，2(2)e f =．所以最大值为2e ，最小值为1-． 17．在等差数列{n a }中，243,7.a a == (1)求{n a }的通项公式；(2)若{}n n b a -是公比为2的等比数列，13b =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-(2)1222n n S n +=-+【分析】（1）设公差为d ，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；（2）根据等差数列的通项求出数列{}n n b a -的通项，即可得出数列{n b }的通项，再利用分组求和法即可得解. 【详解】(1)解：设公差为d ，则4224a a d -==，解得2d =， 则2123a a =+=，所以11a =， 所以21n a n =-； (2)解：112b a -=，因为{}n n b a -是公比为2的等比数列，所以2nn n b a -=，所以()221nn b n =+-，所以()()222213521nn S n =++++++++-⎡⎤⎣⎦()()1212121222212nn n n n +-+-=+=-+-.18．某单位有A ，B 两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立． (1)估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；(2)记X 为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)判断甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B 餐厅用餐？说明理由． 【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，期望为3； (3)乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐【分析】（1）由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算概率； （2）得出X 的可能值是2,3,4，计算出概率得分布列，由期望公式计算期望． （3）直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，午餐选择B 餐厅用餐的概率，比较即得．【详解】(1)由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为600.6100P ==； (2)易知X 的可能值是2,3,4， 4060(2)0.24100100P X ==⨯=，40406060(3)0.52100100100100P X ==⨯+⨯=， 6040(4)0.24100100P X ==⨯=， X 的分布列为()20.2430.5240.243E X =⨯+⨯+⨯=．(3)甲在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为1200.450P ==， 乙在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为22550.4459P ==>， 所以乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐．19．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：百件）间的函数关系是()1000020C x x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是3213290,0120()3025400,120x x x x S x x ⎧-++<<⎪=⎨⎪≥⎩．(1)把商品的利润表示为生产量x 的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】(1)321327010000,0120301540020,(12)0x x x x x W x x -++-<<-≥⎧⎪=⎨⎪⎩；(2)商品的利润最大时生产量为90百件.【分析】（1）利用()()()W x S x C x =-求出利润函数即可；（2）利用导数求()W x 在0120x <<上的最大值，由一次函数单调性求120x ≥上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.【详解】(1)由题意，利润321327010000,012030154002()()0,12()0W x S x C x x x x x x x -++-<⎧⎪=-=-≥⎨<⎪⎩. (2)由（1），当0120x <<时，32132701000030()x x W x x -++-=，所以2116270(90)(30)1()100W x x x x x -++'=-+=-，令0()W x '=，则90x =或30x =-（舍），故(0,90)x ∈，()0W x '>，即()W x 递增；(90,120)x ∈，()0W x '<，即()W x 递减； 所以()W x 的极大值也是最大值为(90)14300W =（万元）； 当120x ≥时()W x 递减，此时最大值为(120)13000W =（万元）. 综上，使商品的利润最大，产量为90百件. 20．已知函数()ln f x x x =-．(1)判断f （x ）在区间()01，上的单调性，并加以证明；(2)设0a <，若()()e x af f x -≥对()1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值．【答案】(1)f （x ）在区间()01，上的单调递减，证明见解析； (2)e -【分析】（1）求导，利用导函数的正负判断单调性（2）先判断出1<e 1e0x-<<，01a x <<，结合（1）中()f x 的单调性，将()()e x a f f x -≥对()1,x ∈+∞恒成立，等价转化为ln xa x ≥-对()1,x ∈+∞恒成立，令n (l )x xx g =-，借助()g x 单调性求出()g x 的最大值，继而得解.【详解】(1)因为()111x f x x x-'=-=，且()01x ∈，，所以()0f x '<，所以()ln f x x x =-在区间()01，上单调递减； (2)因为()1,x ∈+∞，所以1<e 1e0x -<<， 又因为当0a <，()1,x ∈+∞时，01a x <<，由（1）知()ln f x x x =-在区间()01，上的单调递减， 所以()()e x af f x -≥对()1,x ∈+∞恒成立，等价于e x a x -≤对()1,x ∈+∞恒成立， 等价于lne ln x a x -≤对()1,x ∈+∞恒成立， 即ln xa x≥-对()1,x ∈+∞恒成立， 令n (l )x x x g =-，()1,x ∈+∞，则2ln 1)ln (x x xg -+'=， 令21()0ln ln x x xg -+'==，得e x =，所以当()1,e x ∈时，()0g x '>；当()e,+x ∈∞时，()0g x '<；所以()g x 在()1,e 单调递增，在()e,+∞单调递减， 所以max e ()(e)e ln eg x g -===-，所以e 0a -≤<，所以a 的最小值为e -. 21．已知{n a }是公差不为0的无穷等差数列．若对于{n a }中任意两项m a ，n a ，在{n a }中都存在一项i a ，使得i m n a a a =，则称数列{n a }具有性质P ．(1)已知()3,321,2,n n a n b n n ==+=，判断数列{n a }，{n b }是否具有性质P ；(2)若数列{n a }具有性质P ，证明：{n a }的各项均为整数；(3)若120a =，求具有性质P 的数列{n a }的个数．【答案】(1)数列{}n a 具有性质P ，数列{}n b 不具有性质P(2)证明见解析(3)12个【分析】（1）根据数列{n a }具有性质P 的定义即可求解；（2）设数列{}n a 的公差为d ，由题意，存在i a 使得1i n n a a a +=，同理，存在j a 使得2j n n a a a +=，两式相减，根据等差数列的定义即可得证；（3）由题意结合（2）知{}n a 的各项均为整数，所以d 为整数，首先证明d 为正整数，其次证明d 为11(1)a a -的约数，从而即可求解.【详解】(1)解：因为3n a n =，所以()3333mn m n =⨯，所以对于{n a }中任意两项m a ，n a ，在{n a }中都存在一项3i mn a a =，使得i m n a a a =， 所以数列{}n a 具有性质P ，因为32n b n =+，所以取1,2n m ==，则5840m n a a =⨯=，因为403131=⨯+，所以不存在一项40i a =，所以数列{}n b 不具有性质P ；(2)证明：设数列{}n a 的公差为d ，因为数列{}n a 具有性质P ，所以存在i a 使得1i n n a a a +=，同理，存在j a 使得2j n n a a a +=， 两式相减，得21()j i n n n a a a a a ++-=-，即()n j i d a d -⋅=⋅，因为0d ≠，所以n a j i =-，所以{}n a 的各项均为整数．(3)解：由题意结合（2）知{}n a 的各项均为整数，所以d 为整数，首先证明d 为正整数，否则假设d 为负整数，则{}n a 为递减数列，所以{}n a 中各项的最大值为1a ，由题设，{}n a 中存在某项0k a <，且1||||k a a >，所以11k k a a a +>， 从而对任意正整数i ，1i k k a a a +≠，这与{}n a 具有性质P 矛盾； 其次证明d 为11(1)a a -的约数，由i m n a a a =得，111(1)[(1)][(1)]a i d a m d a n d +-=+-+-， 所以111(1)1(2)(1)(1)a a i m n a m n d d --=++-+--， 所以11(1)a a d-为整数，即d 为11(1)a a -的约数， 由d 为正整数，所以d 为2019⨯的正约数， 因为201922519⨯=⨯⨯⨯，所以2019⨯的正约数共有32212⨯⨯=个， 对于首项为20，2019⨯的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质P ， 所以具有性质P 的数列{}n a 共有12个．【点睛】关键点点睛：解决本题（3）问需结合（2）的结论，得{}n a 的各项均为整数，所以d 为整数，进而证明d 为正整数，然后再证明d 为11(1)a a -的约数，这里牢牢抓住性质P 的定义及等差数列的通项公式是解题的关键.。

一、单选题1．已知椭圆与双曲线焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点距离和为10，则椭圆C 221313x y -=C C的短轴长为（ ） A ．3 B ．6 CD ．【答案】B【分析】根据条件求出，,应用关系计算即可．a c ,,abc 2b 【详解】因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即，C 210a =5a =因为椭圆与双曲线的焦点相同，，即，C 221313x y -=231316c =+=4c =，则椭圆的短轴长为．3b ∴==C 26b =故选：．B 2．等差数列的前项和为，已知，则（ ） {}n a n n S 59a =9S =A ．9 B ．45C ．81D ．162【答案】C【分析】根据等差数列求和公式及等差中项性质即可求值． 【详解】因为等差数列中，所以． {}n a 59a =195959()929998122a a a S a +⨯====⨯=故选：C ．3．若数列的前项和，则等于（ ） {}n a n 2*()n S n n N =∈12231111+++⋯+n n a a a a a a A ．B ．C ．D ．21nn +421nn +21nn -12n +【答案】A【分析】根据给定条件，利用数列的前项和求出该数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.n 【详解】当时，，而满足上式，则，2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-111a S ==21n a n =-因此， 111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+所以1223111111111111[(1((()]2335572121n n a a a a a a n n ++++=-+-+-++--+L L . 11(122121n n n =-=++故选：A4．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）2255x ky -=kA ．或B ．或C ．D ．53-1-531-53-1-【答案】D【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求2255x ky -=x y 出的值．k 【详解】由椭圆化为标准形式得：2255x ky -=， 2215y x k-=且椭圆的焦距，2255x ky -=242c c =⇒=当椭圆焦点在轴上时，，，x 21a =25b k=-则由，所以，222a b c =+2225551143c a b k k k ⎛⎫=-=--=+=⇒= ⎪⎝⎭此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，2213y x -=当椭圆焦点在轴上时，，，y 25a k=-21b =，解得，2222512c a b k=-=--=1k =-此时方程为：，满足题意2215y x +=综上所述，的值为． k 1-故选：D ．5．已知公比为的等比数列前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）条件 q {}n a n n S 1q >{}n S A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若时，，1,2q n >≥1n n n S S a --=当时，，则，此时为递减数列，10a <110n n a a q -=<1n n S S -<{}n S 即充分性不成立； ②若“为递增数列”，{}n S 即时，，则有，2n ≥1n n S S ->10n n S S -->而并不能推得，如，故必要性不成立， 110n n a a q -=>1q >111,2a q ==故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件， 1q >{}n S 故选：D.6．已知函数在处有极值10，则（ ） 322()f x x ax bx a =+++1x =a b +=A ．0或－7 B ．0 C ．－7 D ．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得． ()f x '()01f '=1(1)0f =【详解】解：由，322()f x x ax bx a =+++得，()232f x x ax b '=++，即， (1)0(1)10f f =⎧⎨='⎩2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩解得或（经检验应舍去），411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩， 4117a b +=-=-故选：C ．7．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于()222210,0y x a b a b -=>>21y x =+（ ）A B C D 【答案】A【分析】将双曲线渐近线方程代入抛物线方程，由可求得，根据Δ0=2214b a =e =果.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， ay x b=±将代入抛物线方程得：，，解得：，a y xb =20bx ax b -+=2240a b ∴∆=-=2214b a =双曲线的离心率∴c e a ===故选：A.8．函数，正确的命题是()ln f x x x =A ．值域为B ．在 是增函数R ()1+¥，C ．有两个不同的零点 D ．过点的切线有两条()f x ()1,0【答案】B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为，所以，()ln f x x x =1()ln 10f x x x e'=+=⇒=因此当时在上是增函数，即在上是增函数；1x e >()0,()'>f x f x 1(,)e+∞(1,)+∞当时在上是减函数，因此；值域不为R;10x e <<()0,()'<f x f x 1(,)e -∞11()(f x f e e≥=-当时,当时只有一个零点，即只有一个零点； 10x e <<()0f x <1x e>(1)0f =∴ ()f x ()f x 设切点为，则，所以过点的切线只有一条； 000(,ln )x x x 00000ln ln 111x x x x x =+∴=-()1,0综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.9．，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为A B 22y x =O OA OB ⊥||||OA OB ⋅（ ） A ．B ．4C ．8D ．6454【答案】C【分析】联立直线，的方程和抛物线方程，求出点，的坐标，再求出，OA OB A B 22444||OA k k=+，根据基本不等式即可求出最小值．242||44OB k k =+【详解】解：设直线的方程为，， OA y kx =0k ≠，OA OB ⊥ 直线的方程为，∴OB 1=-y x k由，解得，即，，则，22y kx y x =⎧⎨=⎩222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222(,A k k 22444||OA k k =+由，解得，即，则， 212y xk y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩222x k y k ⎧=⎨=-⎩2(2,2)B k k -242||44OB k k =+ 2422242441(||||)(4)16(2)OA OB k k k k k k∴⋅=++=++，当且仅当时取等号，16(264≥+=1k =±的最小值为8．||||OA OB ∴⋅故选：C ．10．设函数，，若曲线上存在一点，使得点关于原1()2f x x x=+-()e ()=-+∈x ag x a R x ()y f x =P P 点的对称点在曲线上，则（ ） O ()y g x =a A ．有最小值 B ．有最小值1e-1e C ．有最大值 D ．有最大值1e -1e【答案】A【分析】设，则点关于原点的对称点为，则，即(,)P x y P (,)x y --12e x y x x ay x -⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪-⎩12e xa x x x -+-=+有解，即可得出答案．【详解】设，则点关于原点的对称点为，(,)P x y P (,)x y --所以，12e x y x x a y x -⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪-⎩因为存在这样的点使得点关于原点的对称点在曲线上，P P O ()y g x =所以有解，12e xa x x x-+-=+所以， 212e x x x a x -+--=所以， 2(1)e x x a x ---=令，2()(1)h x x a =--所以在处取得最小值，且， ()h x 1x =(1)h a =-令，()e x t x x -=，()()e e e 1x x x t x x x ---='=--当时，，当时，，1x <()0t x '>1x >()0t x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()t x (,1)-∞(1,)+∞所以在取得最大值， ()t x 1x =()1111e et -=⨯=因为方程有解， 所以，()()11h t ≤即， 1ea -≤所以，1ea ≥-所以的最小值为． a 1e-故选：A ．二、填空题11．已知二项式，则__．52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++135a a a ++=【答案】122【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出． 【详解】解：令得，①， 1x =015...1a a a +++=令得，② =1x -0125...243a a a a -+--=-①②得，． -135122a a a ++=故答案为：．12212．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则P 212y x =-P x M 74,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最小值为_____．||||PA PM +【答案】##4.592【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为到准线与到点距离之和最P P A 小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断出、P P P A 、三点共线时距离之和最小，利用两点间距离公式求得，则可求． F ||||PF PA +||FA ||||PA PM +【详解】解：依题意可知，抛物线即抛物线焦点为，准线方程为，212y x =-22y x -=10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭12y =只需直接考虑到准线与到点距离之和最小即可，（因为轴与准线间距离为定值不会影响讨P P A x 12论结果），如图所示：由于在抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，P P 此时问题进一步转化为距离之和最小即可为曲线焦点）， ||||PF PA +(F 显然当、、三点共线时距离之和最小，为， P A F ||||PF PA +||FA由两点间距离公式得，5FA ==那么到的距离与到轴距离之和的最小值为． P A P x 1195222FA -=-=故答案为：．9213．等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____ {}n a 410a =3a 6a 10a {}n a 20S =【答案】200或330【分析】根据等差数列中，且，，成等比数列，列出关于首项、公差的方{}n a 410a =3a 6a 10a 1a d 程，解方程可得与的值，再利用等差数列的求和公式可得结果. 1a d 【详解】设数列的公差为，则，{}n a d 3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+由成等比数列，得，3610,,a a a 23106a a a =即，()()()210106102d d d -+=+整理得，解得或， 210100d d -=0d =1d =当时，； 0d =20420200S a ==当时，， 1d =14310317a a d =-=-⨯=于是， 2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基n本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，1,,,,,n n a d n a S 通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答） 【答案】144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，2323A A 12=②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，24A 12=则有种排法， 1212144⨯=故答案为：144．15．设函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定()y f x =11(,)A x y 22(,)B x y ,A B k k ，（为线段的长度）称为曲线在点与点之间的“弯曲度”，给||(,)||A B k k A B AB ϕ-=AB AB ()y f x =A B 出以下命题，其中所有真命题的序号为 __．①函数图像上两点与的横坐标分别为1和，则； 3y x =A B 1-(,)0A B ϕ=②存在这样的函数，其图像上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③，是抛物线上任意不同的两点，都有；A B 2y x =(,)2A B ϕ≤④曲线是自然对数的底数）上存在不同的两点，，使． e (e =x y A B (,)1A B ϕ>【答案】①②③【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数，在点与点之间的“弯曲度”判断3y x =21y x =+A B ①、③；举例说明②正确；求出曲线上两点，的“弯曲度”，然后结合不等式的性11(,)A x y 22(,)B x y 质，即可判断④．【详解】对于①：因为， 3y x =所以，23y x '=所以，，3A k =3B k =所以，故①正确； (,)0A B ϕ=对于②：例如，， y x =1y '=即曲线上任意一点，都有， P 1P k =所以为常数，故②正确； (,)0A B ϕ=对于③：，， 21y x =+2y x '=所以(,)A B ϕ因为，，2111y x =+2221y x =+所以，(,)2A B ϕ≤故③正确；对于④：，，e x y =e x y '=(,)A B ϕ=因为，为不同的两点， A B 所以， 12x x ≠所以，(,)1A B ϕ<=故④错误．故答案为：①②③．三、解答题16．已知数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且，{}n a {}n b n n S 1122a b ==，_____．现有条件：①；②；③． 2810a a +=1()n n S b R λλ=-∈43212a S S S =-+2()n n b a R λλ=∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)条件①②③中有一个不符合题干要求，请直接指出（无需过程）；(3)从剩余的两个条件中任选一个作为条件（在答题纸中注明你选择的条件），求数列的前{}n n a b +n 项和．n T【答案】(1) n a n =(2)③ (3)答案见解析【分析】（1）直接利用等差数列的性质，建立关系式，进一步求出数列的通项公式； （2）直接利用已知条件求出结果；（3）先算得公比为2，再利用分组法的应用求出数列的和．【详解】解：（1）由于数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且{}n a {}n b n n S ，，1122a b ==2810a a +=故，整理得，； 11710a d a d +++=11a =1d =故；11n a n n =+-=（2）选项③不符合题干，由于，，整理得， 11a =12b =1λ=所以，与数列为等比数列相矛盾， 2n b n ={}n b 故③错误．（3）选①时，，①， 1()n n S b R λλ=-∈当时，整理得，解得； 1n =111b b λ=-12λ=所以，112n n S b =-当时，，②， 2n ≥11112n n S b --=-①②得：（常数）， -12nn b b -=故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；{}n b 故；2nn b =选条件②时，；设等比数列的公比为， 43212a S S S =-+q 所以，解得舍去）；220q q --=2(1q =-所以；2nn b =故，2nn n a b n +=+所以． 2121(1)2(21)(12...)(22...2)222212n nn n n n n nT n ++⨯-+=+++++++=+=+--17．根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自i a 1i =⋯⋯110~a a 1120~a a 独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表： 学生科目 1a 2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a 13a14a15a16a17a18a 19a20a政治 1 1 1 1 1 1 1 1 1历史 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1地理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1物理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1化学 1 1 1 1 1 1 1 1 1生物 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分X X 布列和数学期望；(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文1()E ξ1()D ξ，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）． 2()E ξ2()D ξ1()E ξ2()E ξ1()D ξ2()D ξ【答案】(1)3376(2)分布列见解析，3()5E X =(3)， 12()()E E ξξ<12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可． （2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，的所有可能取值为0，1，2，310X 结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到的分布列，进而求出即可．X ()E X （3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，12()()E E ξξ<．12()()D D ξξ<【详解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人， 则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件，A 则（A ）．P 21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人， 所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为， 632010=则，1，2，X 0=，，， 2349(0)(1)10100P X ==-=()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭239(2)(10100P X ===所以的分布列为： X X 01 2P 4910021509100． 492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人， 则，12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，， 12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，故，． 12()()E E ξξ<12()()D D ξξ<18．已知函数． ()3ln 4f x x x x=--(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)若函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围．()()g x f x a =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 7y =-(2) [)8ln2,7---【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得到答案.()f x 【详解】（1）由题意得，，则，又， ()2134f x x x=+-'()10f '=()17f =-故所求切线方程为y ＝－7．（2）函数的定义域为， ()f x (0,)+∞由（1）知，， ()()()22431134x x f x x x x +-=+=-'-注意到，430x +>当时，，单调递增； 01x <<()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ()f x ()0,1()1,+∞∴在x ＝1时取得极大值．()f x ()17f =-而，，18ln22f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()3ln313f =-则，即．()13ln3ln2502f f ⎛⎫-=+-< ⎪⎝⎭()132f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭作出函数在上的大致图象，()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦由题意只需y =a 与y =f (x )有两个交点观察图象可知，实数a 的取值范围为．[)8ln2,7---【点睛】利用导数分析函数的单调性，结合单调性作函数的图象，利用函数图象研究方程的解是问题解决的关键.19．已知椭圆的右焦点为，且经过点.2222:1x y C a b+=(1,0)(0,1)A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于:(1)l y kx t t =+≠±点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）；2212x y +=（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以； (1,0)1225因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.(0,1)A 1b =2222a b c =+=2212x y +=（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立得，2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩222(12)4220k x ktx t +++-=，，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++121222()212t y y k x x t k +=++=+. 222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+直线，令得，即；111:1y AP y x x --=0y =111x x y -=-111x OM y -=-同理可得. 221x ON y -=-因为,所以；2OM ON =1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.221121t t t -=-+0=t y kx =l (0,0)【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．已知函数．()()2ln f x x ax x a R =+-∈（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；()f x []1,2a （2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存()()2g x f x x =-a (]0,x e ∈()g x 在，求出实数的值；若不存在，说明理由；a （3）当时，证明. (]0,x e ∈225(1)ln 2e x x x x >++【答案】（1）（2）存在，（3）见解析72a ≤-2a e =【分析】（1）先求导可得,则可将问题转化为在上恒成2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=()0f x '≤[]1,2立,即在上恒成立,设,求得,即可求解；12a x x ≤-+[]1,2()12h x x x =-+()min h x （2）先对求导,再分别讨论,,时的情况,由最小值为3,进而求解；()g x 0a ≤10e a<<1e a ≥（3）令,结合（2）中知的最小值为3.再令并求导,再由导函数()2ln F x e x x =-()F x ln 5()2x x x ϕ=+在大于等于0可判断出函数在上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有0x e <≤()ϕx (]0,e 成,，即成立,即可得证. 2ln 5ln 2x e x x x ->+225ln ln 2e x x x x x ->+【详解】（1）解:在上恒成立,2121()20x ax f x x a x x'+-=+-=≤[]1,2即在上恒成立, 2210x ax +-≤[]1,2所以在上恒成立, 12a x x≤-+[]1,2设,则在上单调递减,所以()12h x x x =-+()h x []1,2()()min 722h x h ==-所以72a ≤-（2）解:存在,假设存在实数,使有最小值3,a ()()(]()2ln 0,g x f x x ax x x e =-=-∈ 11()ax g x a x x'-=-=①当时,,则在上单调递减, 0a ≤()0g x ¢<()g x (]0,e 所以,解得（舍去）； ()()min 13g x g e ae ==-=4a e=②当时,当,则；当,则, 10e a <<10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ¢<1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ¢>所以在上单调递减,在上单调递增,()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦∴,解得,满足条件；()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭2a e =③当时,,则在上单调递减,1e a ≥()0g x ¢<()g x (]0,e 所以,解得（舍去）, ()()min 13g x g e ae ==-=4a e=综上,存在实数,使得当时有最小值3.2a e =(]0,x e ∈()g x （3）证明:令,由（2）知,,()2ln F x e x x =-()min 3F x =令,则,ln 5()2x x x ϕ=+21ln ()xx x ϕ'-=当时,,则在上单调递增, 0x e <≤()0x ϕ'≥()ϕx (]0,e ∴max 1515()()3222x e e ϕϕ==+<+=∴, 2ln 5ln 2x e x x x ->+即． 225(1)ln 2e x x x x >++【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.21．已知数列，，，满足且，2，，，数列，，1:A a 2a ⋯(2)n a n ≥*i a ∈N 1(1i a i i ≤≤=⋯)n 1:B b 2b，满足，2，，，其中，，2，，表示，，⋯(2)n b n ≥()1(1i i b a i τ=+=⋯)n 1()0a τ=()(1i a i τ=⋯)n 1a 2a ，中与不相等的项的个数． ⋯1i a -ia (1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列； :1A B (2)证明：，2，，(1i i b a i ≥=⋯)n (3)若数列A 相邻两项均不相等，且与A 为同一个数列，证明：，2，，． B (1i a i i ==⋯)n 【答案】(1)1，1，3，4，5 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）分类证明，时，；时，设，证即可证明； 1i =111b a =≥2i ≥i a k =()1i a k τ≥-i i b a ≥（3）分类证明，时，，结论正确；时，假设，，，中有一项与相等，1i =11a =2i ≥1a 2a ⋯1i a -i a 设为，利用反证法证明即可.k a 【详解】（1），，，11()1011b a τ=+=+=22()1011b a τ=+=+=33()1213b a τ=+=+=，.44()1314b a τ=+=+=55()1415b a τ=+=+=故数列为1，1，3，4，5.B （2）证明：i. 时，由知，，结论正确； 1i =1i a i ≤≤11a =111()11b a a τ=+=≥ii. 时，设，， 2i ≥i a k =(1)k i ≤≤①若，则有；1k =i i b a ≥②若，则由，，，知，，，中均不与相等， 2k i ≤≤11a ≤22a ≤⋯11k a k -≤-1a 2a ⋯1k a -i a 于是，. ()1i a k τ≥-()1i i i b a k a τ=+≥=综上，2，，.(1i i b a i ≥=⋯)n （3）证明：i. 当时，，结论正确；1i =11a =ii. 当时，假设，，，中有一项与相等，设为，2i ≥1a 2a ⋯1i a -i a k a 在数列，，，，，中，由，，可知第i 项之前与不相等的项比第1a 2a ⋯k a ⋯1i a -i a 1i i a a -≠i k a a =i a 项之前与不相邻的项至少多了一项，则，k k a 1i a -()()i k a a ττ>于是，又与A 为同一个数列，则，这与矛盾，()1()1i i k b a k b ττ=+>+=B i i k k a b b a =>=i k a a =于是，，，中均不与相等，则.1a 2a ⋯1i a -i a ()1i i i a b a i τ==+=综上若数列A 相邻两项均不相等，且与A 为同一个数列，则，2，，．B (1i a i i ==⋯)n。

1北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学参考答案2024．7一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C（7）C（8）B（9）A（10）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（11）()2,+∞（12）1（13）6n =，20-（14）10,310（15）2()1f x x =-+（答案不唯一）（16）①③④三、解答题（共5小题，共70分）（17）（本小题12分）解：（Ⅰ）当4t =时，集合A ={}22x x -<<,集合B ={2x x >或}1x <.则(),2(2,)A B =-∞+∞ .………………………6分（Ⅱ）若A B A = ，则A B ⊆.由已知，集合A 为非空集合，则0t >.则集合A={x x <<，B ={2x x >或}1x <.1≤或2≥（舍）.2所以t 的取值范围是(]0,1.…………………………12分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .()2()23e xf x a x x '=+-.令()0f x '=，则1x =或3x =-.当0a >时,()f x '与()f x 的变化情况如下表:x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x ↗极大值↘极小值↗当0a <时,()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,3)-∞-，(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-;当0a <时，函数()f x 的单调增区间为(3,1)-，单调减区间为(,3)-∞-,(1,)+∞.…………………………10分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a >时，()f x 的极小值为(1)f =2e =2e a --，则1a =.x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f x '-0+0-()f x ↘极小值↗极大值↘3当0a <时，()f x 的极小值为3(3)6e2e f a --==-，则41e 3a =-.综上1a =或41e 3a =-.…………………………14分（19）（本小题14分）（Ⅰ）设事件A =“甲车间生产的零件个数小于50”，由数据可知甲车间在这10个工作日中有2个工作日生产零件个数小于50，则21()105P A ==.…………………………3分（Ⅱ）由题意可知，从未来的工作日里随机抽取1天，乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数的概率可估计为15.X 的可能取值为0123，，，.所以(0)P X =可估计为3164(1)5125-=，(1)P X =可估计为1231148(155125C ⨯⨯-=，(2)P X =可估计为2231112((1)55125C ⨯⨯-=，(3)P X =可估计为311()5125=，随机变量X 的分布列为X0123P6412548125121251125所以()E X 可估计为6448121301231251251251255⨯+⨯+⨯+⨯=.……………11分（Ⅲ）64a =.(答案不唯一)………………………14分4（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）（i）函数()f x 的定义域为()0,+∞.211()f x x x'=-.设曲线()y f x =上一点P 的坐标为0001(,ln )x x x +，则0200111()4f x x x '=-=，解得02x =，则1(2,ln 2)2P +.曲线()y f x =在点P 处的切线方程为11(ln 2)(224y x -+=-），化简得，直线l 的方程1ln 24y x =+.…………………………4分（ii）11()ln (ln 2)4F x x x x =+-+，函数()F x 的定义域为()0,+∞.2222211144(2)()0444x x x F x x x x x-+---'=--==≤.所以，函数()F x 在()0,+∞上单调递减.…………………………8分（Ⅱ）证明：当0x x ≠时，()()0f x g x x x -<-恒成立等价于0(0,)x x ∈时()()f x g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x <.211()f x x x'=-，则:l 002000111(ln )()()y x x x x x x -+=--.即:l 0020012ln 1x y x x x x -=++-.5设()()()F x f x g x =-，则00200112()ln (ln 1)x F x x x x x x x -=+-++-，则0220111()x F x x x x -'=--，化简得[]000220()(1)()x x x x x F x x x ----'=,（1）当01x =时，21()x F x x -'=.当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，则()(1)0F x F >=.与“T 点”定义矛盾，不合题意.（2）当01x ≠时，令0001x x x =-，解得02x =.①当02x =时，x ∀∈()0,+∞,()0F x '<,()F x 单调递减，而0()0F x =，则当0(0,)x x ∈时，0()()0F x F x >=，()()f x g x >；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0F x F x <=，()()f x g x <.所以02x =是“T 点”.②当0(2,)x ∈+∞时，则当000,1x x x ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，()0F x '<,()F x 单调递减；当000,1x x x x ⎛⎫∈⎪-⎝⎭，()0F x '>，()F x 单调递增.则存在0100,1x x x x ⎛⎫∈⎪-⎝⎭，使得10()()0F x F x <=,这与“T 点”的定义矛盾.③当0x ∈(1,2)时，则当0(0,)x x ∈，()0F x '<,()F x 单调递减；当0001x x x x ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，，()0,F x '>()F x 单调递增.6则存在02001x x x x ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，，使得20()()0F x F x >=,这与“T 点”的定义矛盾.④当0(0,1)x ∈时，则当0(0,)x x ∈，()0F x '<,()F x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>,()F x 单调递增.则存在30(,)x x ∈+∞，使得30()()0F x F x >=,这与“T 点”的定义矛盾.所以函数1()ln f x x x=+有且只有一个“T 点”.………………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）3{3,2,1,0,1,2,3}M =---．因为{3,1,1,3}P =--，且231-=-+，011=-+，213=-+，所以{3,1,1,3}P =--是3M 的4元基子集．……………………4分（Ⅱ）P 不一定是4M 的7元基子集．理由如下：考虑{4,3,2,1,0,1,2}P =----是4M 的7元子集，因为01234++=<，所以44M ∈不能写成P 中若干个不同元素之和，所以{4,3,2,1,0,1,2}P =----不是4M 的7元基子集．…………………………8分（Ⅲ）当14k ≤时，考虑集合10M 的k 元子集{10,9,8,,101}Q k =----+- ，当11k ≤时，Q 中的元素均不是正数，所以10M 中的正整数均不能表示为Q 中若干个不同元素之和．当1114k <≤时，Q 中所有正整数之和(11)(10)12(11)6102k k k --+++-=< ≤，7所以1010M ∈不能表示为Q 中若干个不同元素之和．所以15k ≥．设{,}(110)t T t t t =-≤≤，则110102{0}M T T T = ．任取10M 的15元子集P ，因为1511>，所以0P ∈或者存在t 使得t T P ⊆．所以0可表示为P 中若干个不同元素之和．由对称性，只需证明整数{1,2,,10}l ∈ 均可表示为P 中若干个不同元素之和．设1212{1,2,,10}={,,,}()m m A P a a a a a a =<<< ．因为P 中最多包含11个非正数，所以1511410m -=≤≤．下面证明,1,2,,10l l l l +++ 这11个数中至少有3m -个数可表示为A 中若干个不同元素之和．①若12,,,m a a a 中存在不小于l 的数，设其中最小的一个为j a ，则11110j j m m m j l a a a a a a a l +-<<<<+<<+<+ ≤，所以,1,,10l l l ++ 中至少有3m m -≥个数可表示为A 中若干个不同元素之和．②若12m a a a l <<<< ，设在所有可表示为A 中若干个不同元素之和的数中，小于l 的最大数为12s j j j a a a +++ ，则12(1)1102sj j j s s a a a l ++++-< ≤≤，所以(1)20s s +<，解得3s ≤．设12{,,,}m s i i i a a a - (12m s i i i -<<< )是12{,,,}s j j j a a a 在A 中的补集，则对于任意的{1,2,,}r m s ∈- ，均有1210s r j j j i l a a a a l ++++<+ ≤，即,1,,10l l l ++ 中至少有3m s m --≥个数可表示为A 中若干个不同元素之和．设{10,9,8,,0}B P =--- ，{{10,9,8,0}|}C x A l x =∈---- 可表示为中若干不同元素之和．因为集合B的元素个数||15C m-B m=-，集合C的元素个数||3≥，又||11≤，B C所以||||||||1≥，即B C≠∅B C B C B C=+-．设x B C-可表示为A中若干个不同元素之和，∈ ，则l x所以l可表示为P中若干个不同元素之和．综上，k的最小值为15．…………………………15分8。

2022-2023学年北京市东城区高二下学期期末检测数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =≤，那么A B ⋂等于（）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}23x x ≤<【答案】C【分析】先解绝对值不等式求出集合B ,再应用交集定义计算求解即可.【详解】[](]{|2}2,21,2B x x B A B =≤⇒=-⇒⋂=.故选:C.2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则||z =（）A ．10B ．5C ．7D ．25【答案】B 【分析】计算出34iiz -=，利用复数模长的性质计算出答案.【详解】i 34i z ⋅=-，故34iiz -=，则34i 9165i ||1z -+===.故选：B3．4(2)x y -的展开式中含22x y 的项的系数为（）A ．24B ．24-C ．6D ．6-【答案】A【分析】写出展开式的通项，从而计算可得.【详解】二项式4(2)x y -展开式的通项为()414C 2rr rr T xy -+=-（04r ≤≤且N r ∈），所以展开式中含22x y 的项为()2222234C 224T x y x y =-=，即展开式中含22x y 的项的系数为24.故选：A4．关于向量a ，b ，c，下列命题中正确的是（）A ．若a b = ，则a b= B ．若a b ∥ ，b c∥，则a c∥C ．若a b =- ，则a b∥D ．若a b > ，则a b>【答案】C【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，因为a b =，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A 错误；选项B ，当0b = 时，有a b ∥ ，b c∥，但a 可以和c 不平行，故选项B 错误；选项C ，若a b =- ，由向量相等的条件知：a b ∥，故选项C 正确；选项D ，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D 错误.故选：C5．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（）A ．14B ．12C ．22D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =-- ，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=-，设平面QGC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n =，则点A 到平面QGC 的距离22n AC d n⋅== .故选：C6．点F 是抛物线28x y =的焦点，A 为双曲线C ：2218x y b-=的左顶点，直线AF 平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b 的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】由题可得,F A 坐标，根据28AFbk =可得答案.【详解】由题()0,2F ，()22,0A -，则22222AF k ==.因直线AF 平行于双曲线C 的一条渐近线，则22482bb ⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，60A ∠=︒，且ABC 的面积为3，若6b c +=，则=a （）A ．26B ．5C ．30D ．27【答案】A【分析】根据三角形面积可推出4bc =，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由于60A ∠=︒,13sin 24ABC S bc A bc ==△，故有334bc =，解得4bc =，又6b c +=，则()2222cos 3361226a b c bc A b c bc =+-=+-=-=,故选：A ．8．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()210f x f x ->恒成立，设()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】因为当121x x <<时，()()210f x f x ->恒成立，即()()21f x f x >恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，因为(1)f x +是偶函数，所以()f x 的图象关于1x =对称，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2b f =，()3c f =，因为5232<<，所以()()5232f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()1232f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以b a c <<．故选：D ．9．数列{}n a 的通项公式为()2*N n a n cn n =-∈．则“2≤c ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列{}n a 的通项公式为2n a n cn =-，若数列{}n a 为单调递增数列，则有221[(1)(1)]()210n n a a n c n n cn n c +-=+-+--=+->（*n ∈N ），所以21c n <+，因为*n ∈N ，所以3c <，所以当2≤c 时，数列{}n a 为单调递增数列，而当数列{}n a 为单调递增数列时，2≤c 不一定成立，所以“2≤c ”是“数列{}n a 为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A.10．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x xy y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列5个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②()1,e x x M x y y ⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭；③(){}2,1M x y y x ==-；④(){}2,22M x y y xx ==++；⑤(){},cos sin M x y y x x ==+．其中是“Ω集合”的所有序号是（）A ．②③B ．①④⑤C ．③⑤D ．①②④【答案】C【分析】根据集合M 是“Ω集合”，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解.【详解】题意，集合M 是“Ω集合”，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，对于①中，1(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，假设集合M 是“Ω集合”，则存在两点111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足1212111x x x x ⋅=-，即22121x x =-，方程无解，所以假设不成立，所以集合M 不是“Ω集合”；对于②中，函数1e x x y -=，则2e xx y -'=，当(,2)x ∞∈-时，0'>y ，函数单调递增，当(2,)x ∈+∞时，0'<y ，函数单调递减，且当2x =时，1ey =，图象如图所示，设图象上对任意一点()(),0A x y x ≠时，则11e ex OAxx y x k x x x --===，若令11e OA xx k x -==，即1e xx x -=，也即1e 1x x-=-，由函数1y x=-的图象与函数的图象e 1x y =-无交点，即11e OA x x k x -==无解，所以1OA k ≠，故对于1OA k =-时不存在1OB k =，此时不存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合1(,)|e x x M x y y -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭不是“Ω集合”；对于③中，集合(){}2,|1M x y y x ==-的图象表示一个在x 轴上方的半圆（包括x 轴上的点），如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点A ，总是存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合(){}2,|1M x y y x ==-是“Ω集合”；对于④中，函数2222(1)1y x x x =++=++，当点22(0,2),(,)A B x y 时，若12120x x y y +=，则20y =不成立，所以集合{}2(,)|22M x y y x x ==++不是“Ω集合”；对于⑤中，函数πcos sin 2sin 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其大致图象如下.设A 是其图象上任意一点，由图可知直线OA 的斜率的范围是()-∞+∞，根据图象可得，其图象上任意一点A ，总是存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合{}(,)|cos sin M x y y x x ==+是“Ω集合”.故选：C .【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合M 是“Ω集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题11．已知函数()()()()21lg 11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则((1))=f f ．【答案】0【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.【详解】由题意，1(1)22f ==，()()1(2)lg10f f f ∴===．故答案为：012．能够说明“若0a b c <<<，则a bc <”是假命题的一组实数,,a b c 的值依次为.【答案】111,,432（答案不唯一）【分析】由条件可得存在,,a b c 满足条件0a b c <<<，a bc ≥，由此可得1c <，再取满足条件的特殊值.【详解】由“若0a b c <<<，则a bc <”是假命题可得，存在,,a b c 满足条件0a b c <<<，但a bc ≥，由此可得b bc >，故1c <，若取12c =，14a =，则12b ≤，故可取13b =.故答案为：111,,432（答案不唯一）.13．已知数列{}n a 满足2*21,n n n a a a n ++=∈N ，若73516,4a a a ==，则3a 的值为．【答案】1【分析】由等比的定义结合其性质得出3a 的值.【详解】因为221n n n a a a ++=，*n ∈N ，所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由716a =，23544a a a ==，得42a =±，所以3748a q a ==±，所以2q =±，所以73416116a a q ===.综上，3a 的值为1.故答案为：114．设F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是抛物线上的两点，线段AB 的中点P 的坐标为(),m n ，若5AF BF +=，则实数m 的值为．【答案】2【分析】设()()1122,,A x y B x y ，根据焦点弦公式得124x x +=，再利用中点公式即得到m 的值.【详解】F 是抛物线22y x =的焦点，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-，设()()1122,,A x y B x y ，1211||||522AF BF x x ∴+=+++=，124x x ∴+=，∴线段AB 的中点横坐标为2，即2m =.故答案为：2.15．在数列{}n a 中，对任意的*n ∈N 都有0n a >，且211n n n a a a ++-=，给出下列四个结论：①对于任意的3n ≥，都有2n a ≥；②对于任意10a >，数列{}n a 不可能为常数列；③若102a <<，则数列{}n a 为递增数列；④若12a >，则当2n ≥时，12n a a <<.其中所有正确结论的序号为.【答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，得到2n a -与12n a +-同号，当102a <<时，02n a <<，①错误；当12a =时，推导出此时{}n a 为常数列，②错误；作差法结合102a <<时，102n a +<<，求出数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，得到当12a >，有2n a >，结合作差法得到{}n a 为递减数列，④正确.【详解】因为211n n n a a a ++-=，所以()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，因为任意的N n *∈都有0n a >，所以110n a ++>，所以2n a -与12n a +-同号，当102a <<，则3n ≥时，都有02n a <<，①错误；当12a =时，1222201a a a -=+=-，所以22a =，同理得：()23n a n =≥，此时{}n a 为常数列，②错误；()221111211n n n n n a a a a a ++++-=--=++-，由A 选项知：若102a <<，则102n a +<<，所以()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+>-+-==，则数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，当12a >，则2n ≥时，都有2n a >，且此时()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+<-+-==，所以数列{}n a 为递减数列，综上：若12a >，则当2,n ≥时，12n a a <<，④正确.故答案为：③④三、解答题16．已知()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()sin()||2f x A x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象可以由sin cos y x x =-的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为2π；④最大值为2.（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围.【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；（2）先根据（1）求解出()f x 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的对称轴方程，然后对k 进行赋值，确定出在区间[]0,m 上仅有一条对称轴时m 的取值范围.【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下：若满足②：因为sin cos 2sin 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2,1A ω==；若满足③：因为22T π=，所以2T ππω==，所以2ω=，若满足④：2A =，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；（2）由③④知：()()2sin 2f x x ϕ=+，由①知：16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<，2,36k k Z ππϕπ+=+∈或52,36k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=-∈或2,2k k ϕπ=π+∈Z ，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不妨令2,62x k k Z πππ-=+∈，所以,23k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，6x π=-；当0k =时，3x π=；当1k =时，56x π=，所以若要()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，只需5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以m 的取值范围是5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 图象的对称轴，则令2x k πωϕπ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令x k ωϕπ+=，Z k ∈．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB 上．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【详解】（1）因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以2AC BC ==．所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．（2）解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0B，()0,2,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()2,,2,,2x y z x y z -=---，即23x =，0y =，43z =，所以24,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()0,2,0CA = ，24,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以2024033y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取22x =，则0y =，1z =-．所以平面ACE 的一个法向量为()22,0,1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()2,0,0CB = ．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则()()()22222222cos cos ,32212n CB θ⨯===+-⨯．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则()()()()22222313122cos cos ,3333112n CB θ⨯+-⨯-===⎛⎫+-+-⨯+- ⎪⎝⎭．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为22318．某单位有A ，B 两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：选择餐厅（早餐，午餐）（A ，A ）（A ，B ）（B ，A ）（B ，B ）甲30204010乙20251540假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．(1)估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；(2)记X 为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)判断甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B 餐厅用餐？说明理由．【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，期望为3；(3)乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐【分析】（1）由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算概率；（2）得出X 的可能值是2,3,4，计算出概率的分布列，由期望公式计算期望．（3）直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，午餐选择B 餐厅用餐的概率，比较即得．【详解】（1）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为600.6100P ==；（2）易知X 的可能值是2,3,4，4060(2)0.24100100P X ==⨯=，40406060(3)0.52100100100100P X ==⨯+⨯=，6040(4)0.24100100P X ==⨯=，X 的分布列为X234P0.240.520.24()20.2430.5240.243E X =⨯+⨯+⨯=．（3）甲在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为1200.450P ==，乙在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为22550.4459P ==>，所以乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐．19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，124A A =，椭圆E 的离心率为32．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过(1,0)D 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，其中l 与x 轴不重合，直线1A M 与直线52x =交于点P ，判断直线2A N 与DP 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)椭圆E 的标准方程为2214x y +=；(2)平行，理由见解析.【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程求,,a b c 。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集，集合.则（）2.若命题“或”是真命题，“且”是假命题，则（）命题和命题都是假命题命题和命题都是真命题命题和命题“非”的真值不同命题和命题的真值不同3.设集合，，那么“”是“”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件4.在以下区间中，存在函数的零点的是（）5.已知函数，则与两函数图象的交点个数为（）6.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）7.已知在上是增函数，则的取值范围是（）8.若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是（）9.设（其中），则大小关系为（）10.定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对共有()1对2对3对4对二、填空题1.变量满足条件，则的最大值为 .2.计算= .3.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是 .4.函数（）的值域为 ________ .5.已知函数，则不等式的解集为 .6.函数的最小值为 .7.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则＝________.8.关于函数，有下列命题：①其图像关于轴对称；②当时，是增函数，当时，是减函数；③的最小值是；④在区间（-1,0），（2,）上是增函数；⑤无最大值，也无最小值。

其中所以正确结论的序号是 .三、解答题1.（13分）记函数的定义域为，函数的定义域为.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.2.（13分）已知函数在上是增函数，求的取值范围。

3.（14分）已知是定义在上的奇函数，且，若时，（1）用定义证明：在上是增函数；（2）解不等式：；（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围。

北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设全集，集合.则（）【答案】C【解析】本题考查集合的表示及含义，集合的运算.故选C2.若命题“或”是真命题，“且”是假命题，则（）命题和命题都是假命题命题和命题都是真命题命题和命题“非”的真值不同命题和命题的真值不同【答案】D【解析】分析：本题考查的是复合命题的真假问题．在解答时，可先结合条件“p或q”为真命题判断p、q的情况，由此即可获得p且q 的情况，通过最终的情况判断即可对“p且q为真”的真假做出判断．解答：解：由题意可知：“p或q”为真命题，∴p、q中至少有一个为真，∴当p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立；当p、q中一真一假时，p且q为假，即“p且q为真”此时不成立．∴“p且q为真”是假命题．故答案为：D．点评：本题考查的是复合命题的真假问题．在解答的过程当中充分体现了命题中的或且关系、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思。

2023北京顺义高二（下）期末数 学考生须知1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}14,22A x x B x x =≤<=-≤<，则A B = （ ）A. [)2,1- B. [)2,4- C. [)1,2 D. []2,1-2. 命题“R,0x x x ∀∈+≥”的否定是（ ）A. R,0x x x ∃∈+≥ B. R,0x x x ∃∈+<C. R,0x x x ∀∈+≤ D. R,0x x x ∀∈+<3. “1x >”是“21x >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 数列{}n a 是等差数列，若3151163,5a a a =+=，则15a a ⋅=（ ）A. 52 B. 5C. 9D. 155. 某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ）A. 48种B. 96种C. 144种D. 192种6. 下列给出四个求导的运算：①2211x x x x '+⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②()()2ln 2121x x '-=-；③()2e 2e x x x x '=；④()21log ln2x x '=．其中运算结果正确的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ）A. 12 B. 35 C. 310 D. 348. 已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A. 若24a a =，则23a a =B. 若31a a >，则42a a >C. 2432a a a +≥ D. 2222432a a a +≥9. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()2y x f x =+'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 当2x =-时，函数()f x 取得极大值B. 当2x =-时，函数()f x 取得极小值C. 当1x =时，函数()f x 取得极大值D. 当1x =时，函数()f x 取得极小值10. 某银行在1998年给出的大额存款的年利率为5%，某人存入0a 元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为10a ，下列各数中与100a a 最接近的是（ ）A. 1.5 B. 1.6C. 1.7D. 1.8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 计算：23log 1log 9+=________．（用数字作答）12. 函数()()lg 12x f x x -=-的定义域为__________.13. 在61(x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)14. 若幂函数()m f x x =在()0,∞+上单调递减，()ng x x =在()0,∞+上单调递增，则使()()y f x g x =+是奇函数的一组整数,m n 的值依次是________．15. 已知R k ∈，函数()2e ,0,1,0.x kx x f x kx x x ⎧-≥=⎨-+<⎩．给出下列四个结论：①当1k =，函数()f x 无零点；②当0k <时，函数()f x 恰有一个零点；③存在实数k ，使得函数()f x 有两个零点；④存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16. 已知5250125(12)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+．（1）求0a ；（2）求135a a a ++．17. 已知函数()31443f x x x =-+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值．18. ,A B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从,A B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设X 表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求X 的分布列及数学期望；（3）A 组病人康复时间的方差为(),D A B 组病人康复时间的方差为()D B ，试判断()D A 与()D B 的大小．（结论不要求证明）19. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若1231,2a S a ==，设4n a n b =．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20. 已知函数()()1ln ,ln f x x g x x x x=+=-．（1）若对任意()0,x ∈+∞时，()f x a ≥成立，求实数a 的最大值；（2）若()1,x ∈+∞，求证：()()f x g x <；（3）若存在12x x >，使得()()12g x g x =成立，求证：121x x ⋅<．21. 已知整数数列{}n a 满足：①13a ≥；②11,,1,2,3,,2n n n n n a a a n a a ++⎧⎪==⎨⎪⎩ 为奇数为偶数．（1）若41a =，求1a ；（2）求证：数列{}n a 中总包含无穷多等于1的项；（3）若m a 为{}n a 中第一个等于1的项，求证：21211log 22log a m a +≤<+．参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910C B A B D C A D DB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 212. ()()1,22,⋃+∞13. 2014. 3-、3（答案不唯一）15.①②③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16. （1）5250125(12)x a a x a x a x+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ∴令0x =，可得01a =（2）令1x =，可得50123453a a a a a a =+++++ ①令=1x -，可得0123451a a a a a a -=-+-+- ②①式减②式可得，()5135231244a a a ++=+=135122a a a ∴++=17. （1） 函数()31443f x x x =-+，()113f ∴=，又()24f x x '=-，()13f '∴=-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1313y x -=--即10303x y +-=；（2）()24f x x '=- ，∴令()0f x ¢>，解得2x >或<2x -，当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表所示：x (),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增283单调递减43-单调递增又0x = 时，()04,3f x ==时，()31f =，∴当0x =时，()f x 在[]0,3上的最大值为()04f =，当2x =时，()f x 在[]0,3上的最小值为()423f =-．18. （1）设甲的康复时间不多于14天为事件C ，A 组中的数据共有7个，∴基本事件共有7种，且相互独立又A 组中的数据不多于14天的有5个，即事件C 中包含的基本事件有5个∴甲的康复时间不多于14天的概率()57P C =（2）甲康复效果不佳的概率127P =，乙康复效果不佳的概率247P =X 表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数X ∴的可能取值是0，1，2X 0=表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0()()()121501149P x P P ∴==--=1X =表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1()()()12122611149P x P P P P ∴==-+-=2X =表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2()128249P x PP ∴===X ∴的分布列为X 012P 15492649849X ∴的数学期望为1526860124949497EX =⨯+⨯+⨯=.（3）()()D A D B <.根据A 组：10，11，12，13，14，15，16，B 组：12，13，14，15，16，17，20B 组数据波动性较大，所以()()D A D B <.19. （1）证明：设等差数列{}n a 的公差为d ，则通项公式为()11n a a n d +-=， 23S a = 1122a d a d∴+=+11122a d =∴= ()111222n na n ∴=+-=又4n an b =，则114n a n b ++=1114424n n nn a a a n a n b b ++-+∴===即数列{}n b 是等比数列，公比为2，首项1142ab ==．（2）由（1）知数列{}n b 是等比数列，公比为2，首项12b =2nn b ∴=*2,N 2nn n n nc a b n =+=+∈ ∴数列{}n c 的前n 项和212222222nn nT =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()1*122,N 4n n n n ++=+-∈20. （1）()()1ln ,0,f x x x x =+∈+∞，()22111x f x x x x -'∴=-=，∴令()0f x ¢>解得1x >，()f x \在()0,1单减，在()1,+∞上单增，()f x \在1x =取得极小值，也是最小值()11f =，()0,x ∞∈+ 时，()f x a ≥成立．∴只需1a ≤即可，∴实数a 的最大值为1．（2）证明：设()()()()12ln ,1,h x f x g x x x x x =-=+-∈+∞，()222222121(1)10x x x h x x x x x ---∴=--=='-<，()12ln h x x x x ∴=+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()12ln 10h x x x h x ∴=+-<=，()()1ln 0h x x g x x ∴=+-<，即()()f x g x <．（3）法一：证明： 存在12x x >时，便得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，112122ln ln ln x x x x x x ∴-=-=，令t =，由120x x >>可知1t >，由（2）知()12ln h x x x x =+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()1h t h ∴<即0+-<，∴<-，即12ln x x <，1122ln x x x x ∴-=<，由120x x >>知120x x ->，1>1<，121x x ∴⋅<.法二：()()ln ,0,g x x x x =-∈+∞ ，()()111,01x g x g x x x x '-∴=>'=-⇒>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．存在12x x >时，使得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，且122110,1x x x >>>>，()1112222222222111111ln ln ln ln 2ln g x g x x x x x xx x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=---=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()12ln ,0,x x x x x ϕ=--∈+∞，()222221221(1)10x x x x x x x x ϕ-+-'∴=+-==≥，()12ln x x x x ϕ∴=--在()0,x ∈+∞上单调递增，又201x << ，()()222212ln 10x x x x ϕϕ∴=--<=，即()1210g x g x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭即()121g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()121,1,,x g x x ∈+∞ 在()1,+∞上单调递增，121x x ∴<即121x x ⋅<.21. （1）解：因为整数数列{}n a 满足11,1,2,3,,,2n n n nn a a a n a a ++⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪⎩为奇数为偶数，若41a =，可得32a =或0；若30a =，可得{}20,1a ∈-，此时不满足13a ≥，32a =，此时{}21,4a ∈，当21a =时，{}10,2a ∈不满足13a ≥，所以24a =，故13a =或18a =.（2）证明：首先*0,n a n N >∀∈．否则，记()2m a m ≥为{}n a 中第一个小于等于0的项，则12m m a a -=或1m a -，从而10m a -≤，与m 的最小性矛盾，记t 为{}n a 的最小值，则t 为奇数并且{}12n t a +∈，根据t 的最小性，可知112t t t +≤⇔≤，根据*0,n a n N >∀∈可知1t =，注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，从而数列{}n a 中总包含无穷多等于1的项.（3）暂无。

2023北京朝阳高二（下）期末数 学2023.7（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合=−A {1,0,1,2}，集合≤=−<B x x {|11}，则=A B（A ）{0,1}（B ）−{1,1}（C ）−{1,0}（D ）−{1,0,1}（2）已知∈α2)π(,π，且−=α3)πsin(1，则=αcos（A ） （B ）−32 （C ）32 （D（3）已知不等式++<x ax 402的解集为空集，则实数a 的取值范围是（A ）−∞−+∞(,4)(4,) （B ）−∞−+∞(,4][4,) （C ）−(4,4)（D ）−[4,4]（4）从集合{2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为（A ）72 （B ）73（C ）74 （D ）76 （5）已知=a 3lg1，=b 30.1，=c sin 3，则（A ）>>a b c（B ）>>b c a（C ）>>b a c（D ）>>c b a（6）设R ∈a b ,，则“−<a b a ()02”是“<a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）36（8）已知函数=−f x x 3()sin(2)π，则下列结论正确的是（A ）函数+f x )π(的一个周期为2π （B ）函数+f x )π(的一个零点为6π（C ）()f x =y 的图象可由=y x sin 2的图象向右平移3π个单位长度得到 （D ）()f x =y 的图象关于直线=x 2π3对称 （9）良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量y （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为≥=−y y t kte (0)0，k 为常数且>k 0，y 0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的 （A ）1%（B ）2%（C ）3%（D ）5%（10）已知定义在R 上的函数f x ()满足：①++−=f x f x (2)()0； ②−+=−−f x f x (1)(1)；③当∈−x [1,1]时，⎩−∈⎪⎨=⎪∈−⎧x x f x x x 1,(0,1],2()cos ,[1,0],π 则函数=+g x f x 2()()1在区间−[5,3]上的零点个数为 （A ）3（B ）4（C ）5（D ）6第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{}202A x x x x =-≥=≥，{}1,2,3B =，所以A B = {}2,3，故选:D2．由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（）A ．21B ．18C ．15D ．12【答案】A【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问题列举求解.【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况，有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个；有两位数字相同的三位数的个数为236C 18=,所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B ，C ，D 错误.故选：A.3．已知数列{}n a 是递增的等比数列,且149a a +=,238a a =,则数列{}n a 的前n 项和为（）A ．21n -B ．11612n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．121n --D ．111612n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由题可得141,8a a ==,进而可得2q =,然后利用求和公式即得.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,由题意可得：14231498a a a a a a +=⎧⎨==⎩,又数列{}n a 是递增的等比数列,所以141,8a a ==,所以4312a q a ==,所以数列{}n a 的前n 项和为()1122112n n n S ⨯-==--.故选:A.4．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布律如下表X123P!?尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同．据此求()E X 的结果为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．不确定【答案】B【分析】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得出21a b +=，再利用随机变量的期望公式可求得()E X 的值.【详解】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得21a b +=，所以，()()2342222E X a b a a b a b =++=+=+=.故选：B.5．若函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上不单调，则实数a 的取值范围为（）A ．944⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．904⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．944⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．904⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】C【解析】求出()f x 的导数，先求出()f x 在区间(0，4)上单调的a 的范围，即()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，即可得出不单调的a 的取值范围.【详解】可知()2239324f x x x a x a ⎛⎫'=-+=--+ ⎪⎝⎭，若函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，39024f a ⎛⎫'∴=-≥ ⎪⎝⎭或()440f a '=+≤，解得4a ≤-或94a ≥，函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上不单调，944a ∴-<<.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题.6．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）A ．3.4尺B ．4.36尺C ．5.32尺D ．21.64尺【答案】B【分析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可．【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列{}n a 的前13项，则11313, 1.48==a a 所以公差为()11.48130.96131=⨯-=--d ，则立夏的晷影长应为()1011011390.96 4.36=+-=-⨯=a a d (尺)故选：B7．已知函数()ln f x x x m =-+，若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，则m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e -∞【答案】C【分析】将题意转化为ln m x x ≤-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln g x x x =-，即()max m g x ≤，对()g x 求导，求出()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值即可得出答案.【详解】若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，即()ln 0f x x x m =-+≤，所以ln m x x ≤-，令()ln g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，解得：(]1,e x ∈，令()0g x '<，解得：1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()g x 在[]1,e x ∈上单调递增，在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()111111,ln 1,11e ee e e g e e g e ⎛⎫=-=-=+->+ ⎪⎝⎭所以1m e ≤-.故选：C.8．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）A ．10B ．20C ．24D ．30【答案】D【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有66A 种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有6644A 30A =种排法，故A ，B ，C 错误.故选：D.9．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的定义域可排除B ，取特值可排除D ，当x 趋近负无穷时，()0f x <可排除C ，即可得出答案.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，排除B ；当12x =时，()11ln 022f x =->，排除D ；当x 趋近负无穷时，10,ln x x -<趋于正无穷，所以()()1ln 0f x x x =-<，排除C.故选：A.10．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p =，20.75p =，30.3p =，40.2p =，用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持第i 种方案()1,2,3,4i =，那么方差()1D ξ，()2D ξ，()3D ξ，()4D ξ的大小关系为（）A ．()()()()1234D D D D ξξξξ<<<B ．()()()()4321D D D D ξξξξ<<<C ．()()()()2314D D D D ξξξξ<<<D ．()()()()1423D D D D ξξξξ<<<【答案】D【分析】由题意可知：随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，由两点分布的方差公式()(1)D p p ξ=-可解.【详解】由题意可知：用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持，第i 种方案()1,2,3,4i =，所以随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，则()111(1)0.90.10.09D p p ξ=-=⨯=，()2220.750.250.1875(1)D p p ξ-==⨯=，()333(1)0.30.70.21D p p ξ=-=⨯=，()444(1)0.20.80.16D p p ξ=-=⨯=，所以()()()()1423D D D D ξξξξ<<<，D 选项正确.故选：D11．若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若01ab <<，若0b >，则0a >，此时有10a b<<，若a<0，则0b <，此时有10b a<<，所以，若01ab <<，则“10a b <<或10b a<<”，即“01ab <<”⇒“1a b <或1b a>”；若“1a b <或1b a>”，若1a b <，不妨取2a =-，1b =-，则1ab >；若1b a>，不妨取2b =，1a =，则1ab >.所以，“01ab <<”⇐/“1a b <或1b a>”.因此，“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的充分不必要条件.故选：A.12．已知项数为()*k k ∈N 的等差数列{}n a 满足11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ．若128k a a a +++= ，则k 的最大值是（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【分析】通过条件11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ，得到332d k ≥--，再利用条件128k a a a +++= 得到162(1)k k k d =+-，进而得到不等关系：3162(1)32k k k k -≥+--，从而得到k 的最大值.【详解】由11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ，得到[]1(2)41(1)n d n d +-≤+-，即3(32)0n d +-≥，当2,3,,n k = 时，恒有3(32)0n d +-≥，即332d n ≥--，所以332d k ≥--，由128k a a a +++= ，得到[]12(1)()822k k k d k a a +-+==，所以3162(1)2(1)32k k k d k k k k -=+-≥+--，N,2k k ∈≥ ，整理得到：2349320k k -+≤，所以15k ≤.故选：B二、填空题13．如表定义函数()f x ：x12345()f x 54312对于数列{}n a ，14a =，()1n n a f a -=，n =2，3，4，…，则2023a =．【答案】5【分析】根据已知条件及数列的周期性即可求解.【详解】由题意，14a =，()1n n a f a -=，所以()()()()()()21324341,15,52,a f a f a f a f a f a f =========()()()()()()54657624,41,15,,a f a f a f a f a f a f ========= 所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列，所以20235054335a a a ⨯+===.故答案为：5.14．4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则邮箱A 的信件数X 的数学期望()E X =．【答案】43【分析】根据已知，利用二项分布以及二项分布的期望公式计算求解.【详解】4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，每封信投入邮箱A 的都是13，所以邮箱A 的信件数1~43X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以邮箱A 的信件数X 的数学期望()43E X =.故答案为：43.15．已知数列{an }为等比数列，Sn 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于．【答案】31【分析】根据两个已知条件求出1,a q 的值，再利用等比数列的前n 项和求S 5.【详解】设数列{a n }的公比为q ，则a 2·a 3＝231a q ＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋234a q ＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12.故a 1＝4316a q =，()5151311a q S q-==-.故答案为：3116．过点()0,2P 作曲线()2f x x x=+的切线l ，则l 的方程为．【答案】22x y =+【分析】利用导数计算公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.【详解】设曲线()2f x x x=+的切点为()00,P x y ，又()221f x x '=-，所以切线斜率()0k f x '=，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()00200221y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又因为切线过点()0,2P ，所以()0020022210x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，解得02x =，所以切点()2,3P ，所以切线l 的方程为：22x y =+.故答案为：22x y =+.17．5个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学，不同分法的总数为．【答案】6【分析】在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.【详解】问题等价于：在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板，所以，不同的分法种数为24C 6=种.故答案为：6.18．已知函数()2ln 2f x x a x x =+-，有下列四个结论：①当0a ≥时，()y f x =在()0,∞+上为增函数；②当102a <<时，()y f x =存在两个极值点；③当0a ≤时，()y f x =存在极大值；④若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，则()122f x x 的最大值恒为负．其中所有正确结论的序号是．【答案】②④【分析】根据导函数的正负，即可判断①,极值点的定义，结合函数的单调性即可判断②③，根据极值点，构造函数()2ln 2,g a a a a a =+-，即可利用导数求解函数单调性进而可求解④【详解】()2ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=+-=，当0a ≥时，2211112222222x x a x a a ⎛⎫-+=-+-≥-≥- ⎪⎝⎭，故无法确定()y f x =在()0,∞+上为增函数；故①错误，若()y f x =存在两个极值点；则2220x x a -+=有两个相异的正实数根，所以1212Δ4800210a a x x x x =->⎧⎪⎪=>⎨⎪+=>⎪⎩，解得102a <<，故②正确，当0a ≤时，令()0,f x '=则2220x x a -+=，设该方程的两个根为1x <2x ，则1202ax x =≤，则120,0x x <>，当()()'∈<20,,0x x f x ，当()()'∈+∞>2,,0x x f x ，所以()f x 在()20,x 单调递减，在()2,x +∞单调递增，因此当2x x =时，()f x 取极小值，不存在极大值；③错误，由②知若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，102a <<，()()21212ln ,222x x f x x f a a a a a a +===-∴，令()()2ln 2,2ln 1g a a a a a g a a a '=+-=+-，由于2,ln 1y a y a ==-均为102a <<上的单调递增函数，所以()2ln 1g a a a '=+-为102a <<上的单调递增函数，11ln 21ln 202g ⎛⎫'=--=-< ⎪⎝⎭，所以()0g a '<在102a <<恒成立，故()g a 为102a <<上的单调递减函数，当a 趋近于0时，()g a 也趋向于于0，因此()0g a <，则()122f x x 的最大值恒为负．④正确，故答案为：②④【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题19．已知函数()32241=+-+f x x x x ．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]3,1-上的最值．【答案】(1)减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为(),2-∞-和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)最大值为9，最小值为1327-【分析】（1）求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）求出函数()f x 在区间[]3,1-上的极大值和极小值，再与()3f -、()1f 比较大小，即可得出结论.【详解】（1）解：因为()32241=+-+f x x x x ，其中x ∈R ，则()()()2344322f x x x x x '=+-=-+，由()0f x '<可得223x -<<，由()0f x ¢>可得<2x -或23x >，所以，函数()f x 的减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为(),2-∞-和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）解：列表如下：x[)3,2--2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x '+-+()f x 增极大值9减极小值1327-增又因为()34f -=，()10f =，则1304927-<<<，因此，函数()f x 在[]3,1-上的最大值为9，最小值为1327-.20．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，分别求甲、乙进球的概率；(2)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(3)经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数．【答案】(1)甲、乙进球的概率分别为13，14(2)分布列见解析，1()12=E X (3)3【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列，由期望的计算公式及可求解期望，（3）利用期望的性质即可求解.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：111()(1)233P A =⨯-=，111()(1)224P B =⨯-=，（2）甲的得分X 的可能取值为1-，0，1，111(1)()()()(1)346P X P AB P A P B =-===-⨯=，11117(0)()()()()()()(1)(1)343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+-⨯-=，111(1)()()()(1)344P X P AB P A P B ====⨯-=，所以X 的分布列为：X1-01p16712141711()101612412E X =-⨯+⨯+⨯=．（3）又（1）知一轮比赛中甲进球的个数Y 的可能取值为0，1，所以一轮比赛中甲进球个数Y 的分布列为Y1p2313211()01333E Y =⨯+⨯=,故10轮比赛的进球个数为()10(10)1033E Y E Y ==≈，故经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数为3.21．已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆G 的方程；(2)若过点M （1，0）的直线与椭圆G 交于两点A ，B ，设点1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，求NA NB + 的范围．【答案】(1)2214x y +=(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意列方程解出,,a b c ，即可得出方程；（2）根据题意设直线AB 及交点,A B 坐标，联立直线与椭圆的方程得到12y y +，12y y ，表示出NA NB +，再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.【详解】（1）依题意可得22222=+3=213+=14a b cca ab ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得=2=1=3a b c ⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 斜率为0时，:0AB l y =，()()2,0,2,0A B -，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()53,0,01,022NA NB ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1NA NB += ，当直线AB 斜率不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：1x my =+，联立方程组可得22=+1+=14x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得到()224230m y my ++-=，()222412416480m m m ∆=++=+>，由根与系数的关系得到12224m y y m +=-+，12234y y m -=+，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1122121211,,1,22NA NB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，而()21212222411144m m x x m y y m m m -+⎛⎫+-=++=⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以222224244m m NA NB m m ⎛⎫-+⎛⎫+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 42422242424241681612121816816816m m m m m m m m m m m m -+++-===-++++++当0m =时，NA NB +=101-=，当0m ≠时，NA NB +=22121168m m-++，因为2222161682816m m m m++≥⋅+=，当且仅当2216m m=时取等，221230,1648m m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，221211,11648m m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭++，所以221211,11628m m⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭++.故NA NB + 的范围为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.综上所述：NA NB + 的范围为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公式求解即可.22．已知函数()()2e 1xf x ax x =--．(1)求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；(2)若()f x 在2x =-处取得极大值，求a 的取值范围；(3)求证：当1a ≥时，()e f x ≥-．【答案】(1)210x y ++=(2)12a >-(3)证明见解析【分析】（1）求出()0f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）求得()()()e 12x f x ax x '=-+，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在2x =-附近的单调性，结合极值点的定义可得出实数a 的取值范围；（3）由()0f x <可得11411422a a x a a -+++<<，利用导数分析函数()f x 在114114,22a a a a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上的单调性，证明出函数()f x 在114114,22a aa a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上的最小值1e f a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）解：因为()()2e 1xf x ax x =--，则()()()()22e 1e 21e 212x x xf x ax x ax ax a x '⎡⎤=--+-=+--⎣⎦，所以，()02f '=-，又因为()01f =-，所以，曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=.（2）解：因为()()()()2e 212e 12x xf x ax a x ax x '⎡⎤=+--=-+⎣⎦，因为()f x 在2x =-处取得极大值，①当0a =时，()()2e xf x x '=-+，当<2x -时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当2x >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，则函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；②当0a >时，12a>-，当<2x -时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当12x a-<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，则函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；③当12a=-时，即当12a =-时，()()21e 202x f x x '=-+≤且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在R 上单调递减，即函数()f x 无极值点，不合乎题意；④当102a -<<时，12a <-，当12x a<<-时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当2x >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；⑤当12a <-时，12a>-，当<2x -时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12x a-<<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以，函数()f x 在2x =-处取得极小值，不合乎题意.综上所述，12a >-.（3）证明：当1a ≥时，由()()2e 10xf x ax x =--<，可得11411422a a x a a -+++<<，因为1a ≥，则()()14141141411420222a a a a a a a a++-+-+-++==>，所以，11422aa-+>-，所以，只需证当11411422a ax a a-+++<<时，()e f x ≥-，当11412a x a a -+<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当11142ax a a++<<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以，当11411422a ax a a -+++<<时，()11e e a f x f a ⎛⎫≥=-≥- ⎪⎝⎭，因此，当1a ≥时，对任意的x ∈R ，()e f x ≥-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.23．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥ .如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= ，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t - ，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ；(2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥ ，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=- ，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.【答案】(1)4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列()T A 的定义，得到4n =且12a a >，23a a <，34a a <，确定21a =，按照14a =或44a =分别讨论可得答案；（2）设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，在按照0s =、1s n =-、01s n <<-三种情况分别讨论可证结论；（3）按照n 的奇偶分类讨论，结合数列()T A 的定义可证结论.【详解】（1）因为():0,1,1T A ，所以13-=n ，则4n =因为10t =，21t =，31t =，所以12a a >，23a a <，34a a <，又{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=，所以21a =，14a =或44a =，当14a =时，342,3a a ==，当44a =时，133,2a a ==或132,3a a ==，综上所述：所有具有性质P 的数列A 为：4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4.（2）由于数列E ：121,,,n e e e - ，其中{0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ ，不妨设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，若0s =，则:,1,,1A n n - 符合题意，若1s n =-，则:1,2,,A n 符合题意，若01s n <<-，则设这s 项分别为12,,,s k k k e e e 12()s k k k << ，构造数列12:,,,n A a a a L ，令1211,,1,s k k k a a a +++ 分别为1,2,,n s n s n -+-+ ，数列A 的其余各项12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< 分别为,1,,1n s n s --- ，经检验数列A 符合题意.（3）对于符合题意的数列1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ，①当n 为奇数时，存在数列11:,,,n n A a a a -' 符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个，当3n =时，这样的数列A 也有偶数个，②当n 为偶数时，如果,1n n -是数列A 中不相邻的两项，交换n 与n 1-得到数列A '符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以这样的数列A 有偶数个，如果,1n n -是数列A 中相邻的两项，由题设知，必有1n a n -=，1n a n =-，12a n =-，除这三项外，232,,,n a a a - 是一个3n -项的符合题意的数列A ，由①可知，这样的数列A 有偶数个，综上，这样的数列A 有偶数个.【点睛】关键点点睛：正确理解数列()T A 的定义，并利用定义求解是解题关键.。

2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ） A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1 B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1 C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ） A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ） A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．y =1x+15．已知a ＜b ，则（ ） A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则f ′(π2)的值为（ ） A ．0B ．πC ．π24D ．−π247．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ） A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ） A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法（）A．756种B．56种C．28种D．255种3.在极坐标中，与圆相切的一条直线方程为（）A．B．C．D．4.若变量与之间的相关系数，则变量与之间（）A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定5.下列求导数运算正确的是（）A．B．C．D．6.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．67.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确8.直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）A．B．或C．D．或9.袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为（）A．B．C．D．10.已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.展开式中的常数项是．2.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为．3.已知函数,则在点处的线方程为．4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取到次品的件数，则．5.用长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____．6.“整数对”按如下规律排成一列: ,,,,,,,,,,……,则第个数对是．三、解答题1.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为：，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．2.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）过点作曲线的切线,求此切线方程．3.（本小题满分12分）已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望；（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数的数学期望．4.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）当时，函数恰有3个零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．5.（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次为，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率．6.（本小题满分13分）已知函数，，其中，为自然对数的底数．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由于复数对应的点为在第三象限；故选C．【考点】复数的运算及几何意义．2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法（）A．756种B．56种C．28种D．255种【答案】D【解析】分三类进行：第一类，从高一抽1人，高二抽1人，有种不同的选法；第二类，从高二抽1人，高三抽1人，有种不同的选法；第三类，从高一抽1人，高三抽1人，有种不同的选法；由分类计数原理知共有种不同的选法；故选D【考点】排列与组合．3.在极坐标中，与圆相切的一条直线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程得：圆的直角坐标方程：化为标准方程得知其圆心为半径为2．对于A：；对于B：；对于C：；对于D：；作出草图知只有直线与已知圆相切；故选B．【考点】极坐标方程．4.若变量与之间的相关系数，则变量与之间（）A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定【答案】B【解析】由相关系数的意义可知越接近1，表明两相关变量的线性相关关系就越强，这表明变量与之间具有线性相关关系；故选B．【考点】线性回归分析．5.下列求导数运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由导数公式及导数的运算法则可知：；；；；知只有D正确；故选D．【考点】导数公式及导数的运算法则．6.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【答案】A【解析】如图，易求得曲线与直线的交点坐标为，所以由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为：故选A．【考点】定积分．7.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【答案】C【解析】由于函数是幂函数，而不是指数函数，所以小前提不正确；故选C．【考点】1．指数函数、幂函数的概念及性质；2．演绎推理．8.直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】设直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是，则有即，所以所求点的坐标为或．故选D．【考点】两点间的距离公式及直线的参数方程．9.袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设在题目条件下“前两次取出的是白球”为事件A，“第三次取出红球”为事件B；则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为故选A．【考点】条件概率．10.已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，则，故知函数在上是增函数，又因为是奇函数，所以函数是偶函数，且知；所以，且在是减函数，在坐标系中作出函数的草图如下：由图可知使得成立的的取值范围是；故选B．【考点】1．导数的求导法则；2．函数导数与单调性之间的关系．二、填空题1.展开式中的常数项是．【答案】-10【解析】二项式展开式的通项公式为，令，所以常数项是．故答案为：-10．【考点】二项式定理．2.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为．【答案】【解析】由正态分布曲线是关于直线对称的可知：电子元件的使用寿命服从正态分布，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，又，所以．故答案为：．【考点】正态分布．3.已知函数,则在点处的线方程为．【答案】【解析】，，从而；所以在点处的线方程为，即．故答案为：．【考点】导数的几何意义．4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取到次品的件数，则．【答案】【解析】由已知的所有可能取值为：0，1，2；则所以．故答案为：【考点】随机变量的分布列与数学期望．5.用长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____．【答案】【解析】高宽为x米，则长为2x米，高h米满足，所以米，从而其体积，，由于函数仅有唯一极值，所以此极值即为所求的最大值为．故答案为：．【考点】导数的应用．6.“整数对”按如下规律排成一列: ,,,,,,,,,,……,则第个数对是．【答案】【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列, ,和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列,,,和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列, ,,,……依此类推；由于，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对；故答案为：．【考点】归纳推理．三、解答题1.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为：，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）过椭圆一点的切线方程为．【解析】（Ⅰ）用分析法证明：将所证等式（分式）等价转化为整式，直到转化为恒成的三角恒成式为止，注意分析法的书写格式：欲证……，只需证……，直到一个显然成立的等式为止；此题也可从平方关系入手用综合法加以证明；（Ⅱ）运用类比推理可得到椭圆类同于圆的切线的性质；试题解析：（Ⅰ）证明：欲证，只需证，即证，上式显然成立，故原等式成立．（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个与分别用的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆类似的性质为：过椭圆一点的切线方程为．【考点】1．分析法、综合法；2．类比推理．2.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）过点作曲线的切线,求此切线方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）由函数在处取得极值可知，从而求出可得到关于的二元一次方程组，解之即可得到实数的值；注意对于求出的值一定要加以检验是否符合已知条件．（2）设出切点坐标为，用写出切线的方程，然后将点的坐标代入切线方程得到关于的方程，解此方程得到的值，再代回切线方程即得所求；本题注意曲线“过”与“在”某点处切线的区别．试题解析：（Ⅰ），即解得，此时在两边（附近）符号相反，所以处函数取得极值，同理，在处函数取得极值．（Ⅱ）设切点坐标为．则切线方程为化简，得，即，所求的切线方程为：．【考点】1．导数与极值的关系；2．导数的几何意义．3.（本小题满分12分）已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望；（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数的数学期望．【答案】（Ⅰ）的分布列为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）首先找出的所有可能值为1，2,3,4；然后由古典概率公式及排列组合知识分别求出的每一个取值时的概率，从而得到的分布列；最后由数学期望公式求出．（Ⅱ）由题意取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以，从而由求得的数学期望．试题解析：（Ⅰ）的所有可能值为1，2,3,4．，，，．故的分布列为．（Ⅱ）取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以，所以．【考点】1．离散型随机变量的分布列与数学期望；2．次独立重复试验．4.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）当时，函数恰有3个零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）当时，求出，令求得对应的的值，然后列出的取值区间与的正负变化及相应区间上函数的增减情况表，从而就可求得函数的极大值与极小值，结合图形知：要使函数恰有3个零点，必须且只需得到的取值范围．（2）按，，分别求出函数在上的最小值，让最小值大于零即可求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）令当变化时，的取值情况如下：，，所以，实数的取值范围是．（Ⅱ）,令（1）当时，在上为增函数，不合题意；（2）当时，在上是减函数，在上为增函数，，得；（3）当时，在上是减函数，在上为增函数，，不合题意．综上，．【考点】1．利用函数的导数求极值；2．函数恒成立．5.（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次为，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）记“选手能正确回答第轮的问题”的事件记为，由已知有，，，彼此相互独立，且知各事件的概率；则选手进入第四轮才被淘汰这一事件可表示为：，由相互独立事件的概率积公式有：；从而可求出所求事件的概率．（Ⅱ）选手至多进入第三轮考核的事件可分为：第一轮即被淘汰；第二轮才被淘汰；第二轮才被淘汰；从而选手至多进入第三轮考核的事件为，再由互斥事件的概率和公式相互独立事件的概率积公式可求得结果．试题解析：（Ⅰ）记“选手能正确回答第轮的问题”的事件记为，则，，所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率．【考点】1．互斥事件的概率和公式；2．相互独立事件的概率积公式．6.（本小题满分13分）已知函数，，其中，为自然对数的底数．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．【解析】（Ⅰ）首先求出，然后求出使成立的，由于是求在上的最小值，故需按、与分别讨论求最小值即可．（Ⅱ）按字母讨论分别求出函数与的单调区间，然后求出两有相同单调性的区间的交集，若这种交集为空，则所求的区间M不存在，当交集不空时，则此区间的任一子区间符合题意．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，且．令，得．若，即时，，在上为增函数，；…3分若，即时，，在上为减函数，；若，即时，由于时，；时，，所以综上可知（Ⅱ）的定义域为，且．时，，在上单调递减．令，得（1）时，，在上，单调递增，由于在上单调递减，所以不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；……10分（2）若时，，在上，单调递减；在上，单调递增．由于在上单调递减，∴存在区间，使得和在区间上均为减函数．综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．【考点】1．利用导数求函数的最值；2．用导数讨论函数的单调性；3．分类讨论．。