MATLAB实验-最优化 数学软件与数学实验 教学课件
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MATLAB优化的设计实验课件.ppt
1）直接列表定义数组 变量＝[元素值1 元素值2 … 元素值n] 变量＝[元素值1,元素值2 ,…,元素值n] 变量＝[行1各元素;行2各元素;…;行n各元素]
例如： x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
2021/3/3
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2021/3/3
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a 1 n ,b 1 n ,x 1 m ,g m n ,h n m ,fm n 变量或常量c1,c2,..c.k
2021/3/3
1.2.2数组
2）域表定义数组 变量＝初值：增量：终值｜初值：终值 变量＝（初值：增量：终值）＊常数 例如： x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5
2021/3/3
1.2.2数组
3）利用函数定义数组 变量＝linspace(初值,终值,元素个数)
如：x = linspace(0,pi,11) 的结果为:
x= Columns 1 through 4
0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8
1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11
2.5133 2.8274 3.1416
2021/3/3
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
例如： x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
2021/3/3
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2021/3/3
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a 1 n ,b 1 n ,x 1 m ,g m n ,h n m ,fm n 变量或常量c1,c2,..c.k
2021/3/3
1.2.2数组
2）域表定义数组 变量＝初值：增量：终值｜初值：终值 变量＝（初值：增量：终值）＊常数 例如： x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5
2021/3/3
1.2.2数组
3）利用函数定义数组 变量＝linspace(初值,终值,元素个数)
如：x = linspace(0,pi,11) 的结果为:
x= Columns 1 through 4
0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8
1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11
2.5133 2.8274 3.1416
2021/3/3
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
MATLAB课件第七章 最优化计算方法
以fun702为文件名保存此函数文件。 在命令窗口输入： x0=[-2;4]; x=fminunc('fun702',x0) 结果显示：
f=
-1.0000 x=
Matlab程序： ch702.m
1.0000 1.0000
即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。
【例 3】 解非线性方程组
x1 2 x 2 1 0 ( x1 2 ) 2 ( x 2 0 .5 ) 2 1 0
max f 3x1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 x 3 11 4 x 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 x 3 1 x 0 , i 1, 2 , 3 i
s .t .
解：考虑到linprog函数只解决形如
【例 4】 求解约束非线性规划：
max s .t . e
e
x1
x1
x 2 (3 e
2
2
x1
x2 )
(初值为[1;1])
2
x2
3
首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub
解:首先建立一个m文件fun7041.m
function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);
k 1
k
k
k
由此得到下一个点 4) 检验新得到的点
x
k
P
k
k
k 1
是否满足精度要求的最
优解。
如果是，则结束运算；
否则，令 k k 1, 返回 ( 2 ) 继续迭代
MATLAB优化设计实验课件
2020/5/5
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2020/5/5
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a1n , b1n , x1m , gmn , hnm , fmn变量或常量c1, c2 ,...ck
结果为[a1ωc1 或[c1ωa1
3. 数组加（减）
a2ωc1 … anωc1] c1ωa2 … c1ωan]
使两数组的对应各元素相加(减)
a+b 结果为[a1+b1 a2+b2…an+bn] a–b 结果为[a1–b1 a2–b2…an–bn]
启动MATLAB 其窗口如右
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
1、Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果
命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结 果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有 续行；最后用回车提交命令。 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键－取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量 名可查看数值大小。
也可用who和whos命令查看 3、Command History(命令记录)
记录了Command Window 中的每一条命令，双击 Command History中的命令，即可重复那条命令。
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2020/5/5
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a1n , b1n , x1m , gmn , hnm , fmn变量或常量c1, c2 ,...ck
结果为[a1ωc1 或[c1ωa1
3. 数组加（减）
a2ωc1 … anωc1] c1ωa2 … c1ωan]
使两数组的对应各元素相加(减)
a+b 结果为[a1+b1 a2+b2…an+bn] a–b 结果为[a1–b1 a2–b2…an–bn]
启动MATLAB 其窗口如右
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
1、Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果
命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结 果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有 续行；最后用回车提交命令。 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键－取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量 名可查看数值大小。
也可用who和whos命令查看 3、Command History(命令记录)
记录了Command Window 中的每一条命令，双击 Command History中的命令，即可重复那条命令。
Matlab 7.2优化设计实例指导教程完整教学课件
3.1.2 函数式文件
• MATLAB函数通常是指MATLAB系统中以 设计好的完成某一种特定的运算或实现某 一特定功能的一个子程序。MATLAB函数 或函数文件是MATLAB语言中最重要的组 成部分，MATLAB提供的各种各样的工具 箱几乎都是以函数形式给出的。MATLAB 的工具箱是内容极为丰富的函数库，可以 实现各种各样的功能。
3.2.4 人机交互语句
• echo命令 • input命令 • keyboard命令
3.2.5 MATLAB程序的调试命令
• dbstop命令 • dbcont命令 • dbstep命令 • dbstack命令 • dbstatus命令 • dbtype命令 • dbquit命令
3.3 函数变量及其作用域
1.4.2帮助命令
• 为了使用户更快捷地获得帮助，MATLAB 提供了一些帮助命令 。
• 1. help系列命令 • 2. lookfor函数 • 3.其它的帮助命令
1.4.3联机演示系统
• 单击MATLAB主窗口菜单的【Help】中的 【Demos】选项 ，将进入MATLAB帮助系 统的主演示页面。
4.1.2 MATLAB编译器4.4的新特点
• 使用MATLAB组件运行时取代MATLAB数 学和图形库
• 只为接口函数生成代码 • 具有代码生成和格式化有关的选项，包括
了几个新选项，取消了一些打包选项与相 关打包文件。 • 支持.NET。 • 支持Microsoft Visual C/C++8.0。 • 不再支持HP-UX。
地确定可行方案并找到其中最优方案的学 科。 • 作为20世纪应用数学的重要研究成果，最 优化理论在工业生产与管理、计算机和信 息科学、系统科学、国民经济等许多领域 产生很大效益。
MATLAB的优化函数PPT教学课件
P1、P2等是传递给fun的附加参数。
例8-7 已知梯形截面管道的参数是：底边长
度为 c，高度为 h ，面积 A645m 16m 2，斜边
与底边的夹角为 。管道内液体的流速与管
道截面的周长 s的倒数成比例关系。试按照
使液体流速最大确定该管道的参数。
解：1、建立优化设计的 数学模型
管道截面周长 sc 2h
2、求解约束极小值问题的 函数fmincon
fmincon是求解多维约束优化问题
min f (X) s.t.: AX b (线性不等式约)束
Aeq(X) beq (线性等式约束) C（X） 0 (非线性不等式约)束 Ceq（X） 0 (非线性等式约)束 Lb X Ub (边界约束)
的优化工具箱函数。
MATLAB优化工具箱
常用函数的应用
MATLAB6.5优化工具箱（Optimization Toolbox） 中包含有一系列优化算法和模块，可以用于求 解约束线性最小二乘优化、约束非线性或无约 束非线性极小值问题、非线性最小二乘逼近和 曲线拟合、非线性系统方程和复杂结构的大规 模优化问题。
处理优化设计问题的分析和计算时，根据优化 设计的数学模型，按照所选用优化工具函数的 要求，输入初始点，与约束条件相应的约束函 数和系数矩阵，将优化工具函数作为 “黑箱” 调用，即可获得与所有条件都相容的优化结果。
1、求解多维无约束优化问题的 函数fminunc
fminunc是基于梯度搜索法实现的优化工具箱函数，它 的语法说明如下：
[x，fval，exitflag，output，grad，hessian]
=fminunc(@fun，x0，options，P1，P2…)
其中，输出参数有：
x是返回目标函数的最优解；
例8-7 已知梯形截面管道的参数是：底边长
度为 c，高度为 h ，面积 A645m 16m 2，斜边
与底边的夹角为 。管道内液体的流速与管
道截面的周长 s的倒数成比例关系。试按照
使液体流速最大确定该管道的参数。
解：1、建立优化设计的 数学模型
管道截面周长 sc 2h
2、求解约束极小值问题的 函数fmincon
fmincon是求解多维约束优化问题
min f (X) s.t.: AX b (线性不等式约)束
Aeq(X) beq (线性等式约束) C（X） 0 (非线性不等式约)束 Ceq（X） 0 (非线性等式约)束 Lb X Ub (边界约束)
的优化工具箱函数。
MATLAB优化工具箱
常用函数的应用
MATLAB6.5优化工具箱（Optimization Toolbox） 中包含有一系列优化算法和模块，可以用于求 解约束线性最小二乘优化、约束非线性或无约 束非线性极小值问题、非线性最小二乘逼近和 曲线拟合、非线性系统方程和复杂结构的大规 模优化问题。
处理优化设计问题的分析和计算时，根据优化 设计的数学模型，按照所选用优化工具函数的 要求，输入初始点，与约束条件相应的约束函 数和系数矩阵，将优化工具函数作为 “黑箱” 调用，即可获得与所有条件都相容的优化结果。
1、求解多维无约束优化问题的 函数fminunc
fminunc是基于梯度搜索法实现的优化工具箱函数，它 的语法说明如下：
[x，fval，exitflag，output，grad，hessian]
=fminunc(@fun，x0，options，P1，P2…)
其中，输出参数有：
x是返回目标函数的最优解；
MATLAB优化设计实验课件
2010-4-22
1.2.1数据的输出格式 数据的输出格式
例如: format long e 5/3 ans = 1.66666666666667e + 000 format rat 0.75 ans = 3/4
2010-4-22
1.2.2数组 数组
1.2.2 数组 分为行向量,列向量,矩阵.普通变量可看成1×1数组. 1,创建数组的基本方法 1)直接列表定义数组 变量=[元素值1 元素值2 … 元素值n] 变量=[元素值1,元素值2 ,…,元素值n] 变量=[行1各元素;行2各元素;…;行n各元素] 例如: x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
1.1 MATLAB窗口
启动MATLAB 其窗口如右
2010-4-22
1.1 MATLAB窗口
1,Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令,命令之间用逗号或分号隔开,如果 命令尾带分号将不显示该命令的执行结果;如果命令有返回结 果,如果不赋给自定义变量,将默认赋给变量ans;变量还可有 续行;最后用回车提交命令. 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键-取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2010-4-22
1.2.2数组 数组
例如:a = 1:2:15 则: a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8]) 1 3 5 7 9 11 13 15
a的值 的值
2010-4-22
1.2.3 数组运算
1,数组的基本运算 设有数组 a1×n , b ×n , x1×m, gm×n , hn×m, fm×n变量或常量 c1, c2 ,...ck 1 1)一维数组拼接 u = [a x] 结果为[a1…an x1…xm] 或u = [a c1 c2 … ck] 结果为 [a1…an c1 c2 … ck] 2)转置 a.' 点转置 a' 共轭转置
MATLAB实验-最优化 数学软件与数学实验 教学课件
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/6/17
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
a1m+1 … a1n a2m+1 … a2n ……………
am1 … amm amm+1 … amn
B＝ [P1 … Pm] ，N =[Pm+1 … Pn]
P1 … Pm Pm+1 … Pn
定义2：基(基阵) ——若A中一个子矩阵方阵B可逆， 则矩阵B称为LP问题的一个基(基阵) 。
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/6/17
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/6/17
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
a1m+1 … a1n a2m+1 … a2n ……………
am1 … amm amm+1 … amn
B＝ [P1 … Pm] ，N =[Pm+1 … Pn]
P1 … Pm Pm+1 … Pn
定义2：基(基阵) ——若A中一个子矩阵方阵B可逆， 则矩阵B称为LP问题的一个基(基阵) 。
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/6/17
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
智能优化算法（ga求解器）
优化工具箱中的智能优化算法包括遗传算法（ga）和模拟退火算法（simulannealbnd），MATLAB中的ga求解器功能非常强大，既能求解无约束优化问题，也能求解约束优化问题，而且约束条件可以是非线性的，但是simulannealbnd求解器只能求解无约束优化问题。 在Solver下拉选框中选择ga； 在适应函数栏输入@(x)x^4-3*x^3+x^2-2； 变量个数输入1，其余参数默认； 单击Start按钮运行。
精通MAI优化工具应用实例
例5-1 fminunc求解器应用实例。 例5-2 fminsearch求解器应用实例。 例5-3 fmincon求解器应用实例。 例5-4 lsqnonlin求解器应用实例。 例5-5 linprog求解器应用实例。 例5-6 ga求解器应用实例。
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
5.4 小结
本章全面介绍了优化工具箱函数的功能、语法，以及GUI优化工具的使用及实例，GUI优化工具是进行MATLAB最优化计算的最简洁、最容易掌握的工具，后面的章节还会对常用的工具箱的函数进行详细讲述，并辅以实例。 通过本章读者不仅对MATLAB优化工具箱函数的强大功能有一个初步了解，还为后面更具体的介绍及应用打下基础。
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
5.3.2 GUI优化工具的界面
GUI优化工具的界面主要分为三大块： 左边为优化问题的描述及计算结果显示（Problem Setup and Results）； 中间为优化选项的设置（Options）； 右边为帮助（Quick Reference）。 为了界面的简洁，可以单击右上角的“<<”按钮将帮助隐藏起来。
大学数学实验MATLAB操作基础PPT教案
(4) MATLAB常用数学函数
MATLAB 提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法 则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数 的矩阵。
第15页/共39页
Matlab中常见数学函数
1．基本数学函数： abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度 sqrt(x)：开平方 imag(z)：复数z的虚部 round(x)：四舍五入至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 rat(x)：将实数x化为分数表示 rem(x,y)：求x除以y的余数 lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数 pow2(x)：2的指数 log2(x)：以2为底的对数 sign(x)：符号函数 (Signum function).
注5：若“[ ]”中无元素表示空矩阵.
第19页/共39页
（2）利用冒号和函数
>> a=1:0.5:4 % 格式是 初始值：步长：终止值
a=
Columns １ through 7
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
函数linspace（a，b，n）产生第一个元素为a，最后一个元素为b总数为n的行 向量.
angle(z)：复数z的相角(Phase angle) real(z)：复数z的实部 conj(z)：复数z的共轭复数
fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数
rats(x)：将实数x化为多项分数展开 gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数 exp(x)：自然指数 log(x)：以e为底的对数，即自然对数 log10(x)：以10为底的对数
>> C=A([1,3],2:end)
数学实验--MATLAB简介PPT课件
1
一，课程绪论
1，数学实验课程的主要内容 数学实验是近年来国内外高校所开设的一门新课 程，因为较能适应时代的需要深受同学们的欢迎。 类似的课程在研究生阶段，甚至一些中学也纷纷 开设。关于该课程准确的界定没有统一的说法， 一般认为可以是通过借助计算机以及相关软件对 已有的数学结论的验证和探索，这部分可以看成 和其他的实验一样；另一个方面可以看成将数学 的有关知识和实际问题结合，利用计算机进行求 解分析。
“；”“，”“…”的作用
1) 表达式后面跟分号“；”，将不
显示结果； 2) 跟‘，’或不跟任何符号，将显 示表达式的计算结果； 3) 当一个表达式没写完就需换行时， 应在该行末尾键入‘…’之后再回 车换行。（但若行末是‘.’时，应键入 ‘....’）。 34
三.数组和函数——矩阵的创建
3) 一维数组的操作 键入：x=pi*(0:0.1:1); y=sin(x)
三.数组和函数——矩阵的创建
1) 直接定义 键入：A=[1 2 3;4 5 6] 输出：A= 123 456
2) 一维数组的简单构造:
x=0 : 0.1 : 1
% 从0到1, 增量为0.1。
x=linspace(0, pi, 11) % 11个从0到pi的
等间隔数.
33
三.数组和函数——矩阵的创建
2
一，课程绪论
前一种界定可以看成是狭义的，后一种界定包 括非常的广泛，也可以认为是数学的应用，相关 的课程比如有数学模型等。我们课程的内容应该 属于后一种界定。
当然由于学时的限制，主要以下面的几个方面 进行讲解：方程求解，微分方程，数据处理（插 值和拟合），最优化方法。
数学软件是进行数学实验的基本平台，我们的 实验主要依靠matlab进行，可以是直接调用该软 件的函数，也可能是通过软件进行编程解决问题。
一，课程绪论
1，数学实验课程的主要内容 数学实验是近年来国内外高校所开设的一门新课 程，因为较能适应时代的需要深受同学们的欢迎。 类似的课程在研究生阶段，甚至一些中学也纷纷 开设。关于该课程准确的界定没有统一的说法， 一般认为可以是通过借助计算机以及相关软件对 已有的数学结论的验证和探索，这部分可以看成 和其他的实验一样；另一个方面可以看成将数学 的有关知识和实际问题结合，利用计算机进行求 解分析。
“；”“，”“…”的作用
1) 表达式后面跟分号“；”，将不
显示结果； 2) 跟‘，’或不跟任何符号，将显 示表达式的计算结果； 3) 当一个表达式没写完就需换行时， 应在该行末尾键入‘…’之后再回 车换行。（但若行末是‘.’时，应键入 ‘....’）。 34
三.数组和函数——矩阵的创建
3) 一维数组的操作 键入：x=pi*(0:0.1:1); y=sin(x)
三.数组和函数——矩阵的创建
1) 直接定义 键入：A=[1 2 3;4 5 6] 输出：A= 123 456
2) 一维数组的简单构造:
x=0 : 0.1 : 1
% 从0到1, 增量为0.1。
x=linspace(0, pi, 11) % 11个从0到pi的
等间隔数.
33
三.数组和函数——矩阵的创建
2
一，课程绪论
前一种界定可以看成是狭义的，后一种界定包 括非常的广泛，也可以认为是数学的应用，相关 的课程比如有数学模型等。我们课程的内容应该 属于后一种界定。
当然由于学时的限制，主要以下面的几个方面 进行讲解：方程求解，微分方程，数据处理（插 值和拟合），最优化方法。
数学软件是进行数学实验的基本平台，我们的 实验主要依靠matlab进行，可以是直接调用该软 件的函数，也可能是通过软件进行编程解决问题。
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Experiments in
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
Matlab数学实验
2020/10/2
——最优化方法
• 美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中 ，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维 生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可 以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质 和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维 生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限 ，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决 定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要 ，又可以降低成本？
• 现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用 有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如
何解决这些问题？
解决问题的方法：线性规划
１
2020/10/2
线性规划
一、引例
例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
A
煤
1
劳动日 3
仓库 0
利润 40
B 备用资源 2 30 2 60 2 24 50
料头 2020/10/2
0 0.1 0.2 0.3 0.8
8
例4、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
2020/10/2
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)，则：
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。
项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。
项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。
项目D：每年初投资，每年末回收本பைடு நூலகம்1.11倍。
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
11
13
2020/10/2
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高.
2.某项任务确定后，如何安排人力、财力 、物力，使之最省.
即以上问题都是在一定条件下，求线性函数 的最大值或最小值问题。这类问题称为线性 规划LP (Linear Programming) 问题。
资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3
s.t. x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D
x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
x1 + 2x2 + x4 =100，
s.t.
2x3 +2x4+ x5=100，
3x1+ x2+2x3 +3x5=100，
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
ⅠⅡⅢⅣⅤ
2.9m 1 2 0 1 0 2.1m 0 0 2 2 1
1.5m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
2020/10/2
线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2,
s.t. … … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm,
xj 0(j=1,…,n);
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/10/2
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/10/2
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
或
m in (或 m a x )zfTx
s.t. 2020/10/2
A x (或 ,或 )b
x i0 (i 1 ,2 , ,n )
三、线性规划问题的求解方法
9
2020/10/2
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 =50， x21+x22+x23 = 30，
s.t. x31+x32+x33 = 10，
2020/10/2
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份
项目
12345
A x1A x2A x3A x4A
B
x3B
C
x2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
12
2020/10/2
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
库存容量 50 30 10
2020/10/2
例5、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下：
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
Matlab数学实验
2020/10/2
——最优化方法
• 美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中 ，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维 生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可 以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质 和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维 生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限 ，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决 定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要 ，又可以降低成本？
• 现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用 有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如
何解决这些问题？
解决问题的方法：线性规划
１
2020/10/2
线性规划
一、引例
例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
A
煤
1
劳动日 3
仓库 0
利润 40
B 备用资源 2 30 2 60 2 24 50
料头 2020/10/2
0 0.1 0.2 0.3 0.8
8
例4、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
2020/10/2
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)，则：
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。
项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。
项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。
项目D：每年初投资，每年末回收本பைடு நூலகம்1.11倍。
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
11
13
2020/10/2
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高.
2.某项任务确定后，如何安排人力、财力 、物力，使之最省.
即以上问题都是在一定条件下，求线性函数 的最大值或最小值问题。这类问题称为线性 规划LP (Linear Programming) 问题。
资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3
s.t. x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D
x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
x1 + 2x2 + x4 =100，
s.t.
2x3 +2x4+ x5=100，
3x1+ x2+2x3 +3x5=100，
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
ⅠⅡⅢⅣⅤ
2.9m 1 2 0 1 0 2.1m 0 0 2 2 1
1.5m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
2020/10/2
线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2,
s.t. … … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm,
xj 0(j=1,…,n);
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/10/2
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/10/2
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
或
m in (或 m a x )zfTx
s.t. 2020/10/2
A x (或 ,或 )b
x i0 (i 1 ,2 , ,n )
三、线性规划问题的求解方法
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2020/10/2
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 =50， x21+x22+x23 = 30，
s.t. x31+x32+x33 = 10，
2020/10/2
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份
项目
12345
A x1A x2A x3A x4A
B
x3B
C
x2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
12
2020/10/2
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
库存容量 50 30 10
2020/10/2
例5、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下：