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第1课时函数的单调性1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．( )(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．( )[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．2.函数f (x )的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_____．[－1,2] [在区间[－1,2]上，函数f (x )的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f (x )随着x 的增大而增大，∴在[－1,2]上，f (x )为增函数．]3．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (a )＞f (b )，则a 与b 的大小关系是__________．a ＜b [由减函数的定义知a ＜b .](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.思路点拨：在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减． [解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0]，递增区间为[0，＋∞)． (2)y ＝－2x的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．(3)f (x )的单调增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [(1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]【例2】 用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 思路点拨：解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[证明] 设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．用定义证明(判断)函数单调性的步骤2．证明函数f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明] 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1，x 2>1，∴x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0. 又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示] 先判断函数f (x )在区间D 上的单调性，如果函数f (x )在D 上是增函数，当x 1<x 2时，则f (x 1)<f (x 2)，如果f (x )在D 上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示] 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f 符号，转化为自变量的大小关系．【例3】 已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为________．思路点拨：根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 [∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32.]1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；另一方面是逆向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)<f (x 2)时，x 1<x 2，当f (x 1)>f (x 2)时，x 1>x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．3．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________．m ≤3 [由题意可得2m ≤9－m ，∴m ≤3.]1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．2．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断．(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．f (x )＝－1x ＋1B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝－|x |A [函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故B 、C 、D 错误．]2.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的单调减区间为____．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 [由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.]3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________．k ＜2 [∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，∴k －2＜0，∴k ＜2.]4．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)．(1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008)．[解] (1)设1≤x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008)⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。
