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第2章-质点和质点系动力学

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大学物理课件第二章质点动力学

大学物理课件第二章质点动力学
N sin m(a 'cos a) N cos mg m(a 'sin )

m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B

A
F
B

m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B

A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。

第2章 质点组力学

第2章 质点组力学
则质点系总外势能：
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:

大学物理——第2章-质点和质点系动力学

大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1

大学物理3.6火箭飞行原理

大学物理3.6火箭飞行原理

F

d
P
dt
以 dt 时间被喷出的气体 dm 为系统
u
dm
P1 v d m
dt
P2 v u d m
气体受到冲量 气体受推力
F dt P2 P1 u d m
F u d m dt
火箭受推力
F F u dm
dt
返回2
3
第 2 章 质点和质点系动力学 2.1 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2.2 动量定理 动量守恒定律 2.3 角动量定理 角动量守恒定律 2.4 功能原理和机械能守恒定律
1
火箭飞行原理
1. 飞行原理
M
v
MdM
udm
v+dv
u — 喷气速度——气体 相对火箭的速度
t 时刻 P Mv
t +dt时刻 P M d M v d v d mv u
P P M dv udm ud M
增大单级火箭的末速度
u 用高能
推进剂
M0 有限 M
采用多级火箭！
vt
d v u
M
dM
v 0
M M 0
vt v0 uln M0
质 量
M比
速度增量
返回2
2
2. 火箭的ຫໍສະໝຸດ 力v被喷出的气体与火 箭之间 的作用力。

大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题

大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题

第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。

难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。

动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。

2。

保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。

）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。

《大学物理》第2章 质点动力学

《大学物理》第2章 质点动力学

TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律

02质点动力学(守恒定律)


冲量为 I

t
0
Fdt mv4 mv0 16kg m s 1
（2）由动能定理
1 2 1 2 W mv4 mv0 176J 2 2
2. 如图所示，长为l 的细线一端固定，一质量为m的小球系在 细线的另一端，并可在竖直面内摆动。若先拉动小球使线保 持平直，并在水平位置静止，然后放手使小球下落，在线下 摆至 角时，求： （1）小球的速率v； （2）细线中的张力T。
I Fdt 25t 2dt
0 0
3
3
25 3 t 225N s 3 0
I 225 0.9m s 1 m1 250
3
由动量定理：
I m1v1 0 225 I m2 v2 0 225 v1
I 225 v2 0.45m s 1 m2 500
由质点动能定理得
1 1 1 2 2 W mv4 mv2 0.5 1625 425 300 J 2 2 2
4．一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d， 现用手将小球托住使弹簧不伸长，然后放手。不计一切摩擦， 则弹簧的最大伸长量为 (A) 2d； (B) 2d； (C) d ； (D) 条件不足无法判定。 解：由胡克定律，平衡时有
外 外
非保内
E E0 0 E E0
非保内
2. 质量m=1kg的质点，从原点处由静止开始沿Ox轴运动，所 受力为 F 3 2 x（SI），那么物体在运动到3 m时的速度为 __________ 6m s 1 。
解： W Fdx

3 2xdx 3x x
解：作图：
v0
30

大学物理第2章-质点动力学基本定律

②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b

高一物理章节内容课件 第二章质点动力学


地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2

N
CxVx2

m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2

m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N

0
mg

C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df

r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm

m
R2

质点动力学二

（4）根据功能原理建立方程，求解方程。
例 如图所示，轻弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为m 旳物体，物体放在水平桌面上。弹簧旳劲度系数为k，物体与桌 面间旳摩擦系数为μ。若以不变旳力F将物体自平衡位置向右拉， 求物体到达最远时系统旳势能。
解：将物体m和弹簧k选为系统。 物体受重力mg，桌面支承力FN， 弹簧弹性力f，桌面摩擦力fr，以及水 平拉力F；弹簧受物体旳拉力f’和墙 施于弹簧旳力FN’。
f21 2 ' r2
m2
2
r1 , r2
v20 v2
F2
对 m1 、m2 应用质点动能定理，
W1外 W1内 E k 1 E k 10
W 2 外 W 2内 E k 2 E k 20
因为 m1 、m2 为一种系统，将上两式相加：
n
n
n
n
Wi外 Wi内 E ki E ki 0
单位：瓦特，W 千瓦，KW 1KW=103W
例 如图3-3所示，已知一单摆摆球质量为m，摆长为l。用一水平力 F无限缓慢地把摆球从平衡位置拉到使摆线与竖直方向成θ0角旳位 置。求力F对摆球所作旳功。
解 因为过程是无限缓慢旳，所以摆线与竖直方向成任意角度 θ时，摆球所受拉力F、重力mg和绳子张力FN三力平衡。沿水平 方向和竖直方向旳牛顿第二定律分量式为
当
W ex
W in nc
0
时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功旳情况下， 质点系旳机械能保持不变 .
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) E Ek Ep 常量
Ek Ep
阐明 守恒定律旳意义 不研究过程细节而能对系统旳状态下结论，这
是各个守恒定律旳特点和优点 . 守恒定律是对一种系统而言旳
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§2-1 牛顿运动定律
牛顿运动定律分析
牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外 力迫使它改变运动状态为止。
牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度 a 的大小与合
外力的大小成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第三定律 当物体 A 以力 F 作用在物体 B 上时，物体 B 同时以力 F 作用在物体 A 上，F 与 F 在一条直线上，大小相等，方 向相反。
质点系中的重要结论之一
质点系
系统内任一质点受力之和写成
外力之和
Fi f i
内力之和
12
★动 量 用质点的质量和速度的乘积来定义该质点的动量。
p m
dp 牛顿第二定律可表示为：F dt
从动量是否变化来判 断是否受外力作用。
dp d(mv) Fdt dp d (mv) F dt dt t Fdt p p0 mv mv0
t0
★冲 量 力对时间的积分（矢量）
t I Fdt
t0
13
★ 质点动量定理 合外力的冲量等于质点动量的增量。
1
牛顿第一定律 （惯性定律）
惯性：任何物体都有保持静止或匀速直线运动的特性。 惯性是物体本身具有的属性，与物体是否受力，是否运 动无关，也与物体的运动速度无关。
第二定律指出：物体的质量是惯性大小的量度。
相同的力作用下，质量大的物体产生的加速度小，即物 体运动状态的变化较小。表示质量越大，运动状态越难 改变，即其惯性越大；质量小的物体，惯性越小。
已知运动求力 已知力求运动 解题步骤：
桥梁是加速度 a
确定对象
分析运动
进行受力分析，画受力图
列方程 解方程
7
例2-1 升降机以加速度a1上升，其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑。 求：物体对地的加速度 a ？ y 斜面所受正压力的大小？ 解： 由于升降机对地有加速度，为一非惯性 系，故选地面为参考系，设坐标如图。
由式③得： a2 ( g a1 ) sin
代入式① ②得：
ax a2 a1 sin g sin a a cos 1 y
物体对地的加速度： a g sin i a1 cos j
大 小： a
g 2 sin 2 a12 cos 2 a y a1 cot 为 a 与 x 正向夹角 方 向： tan ax g
FN
a a2 a1
a2
a1
G

x
在 x , y 方向上有：
a x a2 a1 sin a a cos 1 y
① ② ③ ④8
mg sin m ( a sin ) a 1 2 牛顿定律方程： FN mg cos ma1 cos
g 的大小因所在地点的纬度和离地的高度而异，
4
m1m2 F G 2 r
引力质量
相等？
W mg
惯性质量
等 效 原 理
到目前为止， 认为两者相等
★ 弹性力 物体在外力作用下产生形变，形变物体内部产生企图 恢复原来形状的力。
f kx
绳子被拉伸时绳中产生的弹性力 张力
两物体相互挤压发生形变，接触面之间的弹性力
且相对电梯的加速度为 ar
m1 g FT m1a1 m2 g FT m2 a2
a1 ar a
FT 0
Байду номын сангаас
a2 ar a
m1 m2 a r m m ( g a ) 1 2 FT 2m1m2 ( g a ) m1 m2
2
F ma
第二、三定律描述的是瞬时关系
如：某时刻物体受力 F 作用，该瞬间物体就有相应的加速
度，力的大小和方向发生变化，加速度也立即有相应的变 化，一旦外力消失，加速度立即为零。 第三定律指出物体间的作用力必定是相互的，同时存在两
个力，相互作用的两个物体相互关联，它们都是受力者，
也都是施力者。 由于这一定律是在讨论物体平动时总结出来的，所以只适
a2
FT
y
a1
P1
y
P2 0
11
§2-2 动量定理和动量守恒定律
★ 质点组 内力和外力 在一个质点组构成的力学系统中，我们把系统外的物体对 系统内各质点的作用力称为外力，把系统内各质点间的相
互作用力称为内力。
内力特点：成对出现;大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零

i
fi 0
由式④得：
FN m( g a1 ) cos
9
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮 与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均 不计.且 求重物释放后，物体的加速度 m1. m2 和绳的张力.
解: 以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
m1
m2
FT 0
m1 g FT m1a m2 g FT m2 a
正压力
5
★ 摩擦力
两个彼此接触的物体有相对运动或有相对运动趋势时， 相互阻碍相对运动的力称为摩擦力。
有相对滑动趋势，但没有相对运动
静摩擦力 其大小因所受外力大小而不同，是变量 存在最大静摩擦力∝正压力 物体间有相对滑动 滑动摩擦力∝正压力，µ 称为滑动摩擦因数
6
滑动摩擦力
牛顿运动定律应用
两类问题：
m1 m2 a g m1 m2
2m1m2 FT g m1 m2
a2
FT
y
a1
P1
y
P2 0
10
(2)若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速 度a 相对地面向上运动时，求两物体相对电梯 的加速度和绳的张力. 解:以地面为参考系
ar
ar
m1 m2
a
设两物体相对地面的加速度分别为 a 、 ,a 1 2
用于处理质点的运动。
3
力学中常见的几种力
★ 万有引力 任何两质点间都存在相互吸引力，称为万有引力。
m1m2 大小： F G 2 r
★重 力
万有引力常量 G 6.67 1011 N m2 kg 2
地球表面附近的物体都要受地球引力的作用。
W mg
通常取9.8 m/s2
GmE g 2 9.80m s - 2 R