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二阶矩阵求逆的口诀及其应用矩阵求逆有很多应用, 是高等代数中的重要内容, 通常有两个方法: 伴随矩阵法与初等变换法.例1. 求A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--540320003的逆矩阵.解一(伴随矩阵法) 先求A 的行列式:|A |=540320003--=35432--=3(-10+12)=6≠0.再求A 的代数余子式:A 11=5432--=2,A 503012---==0,A 402013==0,A 540021--==0,A 500322-==-15,A 400323-==-12,A 320031-==0,A 300332--==9,A 200333==6.于是可求得A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-120000612091500026112325313323133222122321111A A A A A A A A A A . 解二(初等变换法) 将()AE 初等变换为()1-EA ,即可求得A 的逆:()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120000100010001120000010010001100010005403200011000100015403200033531131331AE∴A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1200002325311.显然,这两种方法都很繁.而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后,我们可以发现并归纳出如下口诀:二阶矩阵求逆,主对角线对调,副对角线变号,行列式除记牢.即: 若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-a c b d AAd c b a A 1,1则. 例如:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12243521543223251. 应用这口诀于对角分块矩阵上去,可以简化某些高阶矩阵求逆.∵ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111110000n n A A A A .(参见北京大学《高等代数》P180-182),∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------121112110000540320003A AA A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120000232531. 例2. 求⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100030000540032的逆矩阵. 解: ∵ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----103101311103,12543231311122325111A A , ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10000000120000001100030000540032131232512111211A A A A . 例3.求X =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111121002的逆矩阵.解: ∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A , 由 ().,1112,11,2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==B C O A X B C A得 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==----6131613121313221323131311132313131121111,,CA B B A ∴ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-32316111121100X . 类似例3,也不难求出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=6131817500230012Y 的逆矩阵,求解留给读者.刊登于2000.10.“无锡教育”。
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
目录摘要 (1)引言 (2)一、概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5)第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要:对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆,经常遇到的是22⨯分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33⨯分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。
分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结.接着，本文研究了较为简单的22⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明,总结了研究方法，还深入探讨了22⨯分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式.以22⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。
此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。
关键字:分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China ）Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent ， we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank 。
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。
二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。
四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。
2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。
3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。
4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。
5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。
6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。
五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。
通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。
同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。
（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。
2.解答教师出的线性方程组题目。
3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。
六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。
学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。
广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。
本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。
定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。
性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。
2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。
3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。
4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。
应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。
如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。
控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。
如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。
信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。
矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。
总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。
结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。
Ａ‒１二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B‒1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
A‒1若都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１，Ａ２，…，ＡｍＡ１Ａ２也可逆，且＝…Ａｍ（Ａ１Ａ２…Ａｍ）‒１（Ａｍ）‒１.…（Ａ２）‒１（Ａ１）‒１2、若A可逆，则也可逆，且=A；A‒1（A‒1）‒13、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且=（λA）‒11λ；A‒14、若A可逆，则也可逆，且=；A T（A T）‒1（A‒1）T5、=；（A'）‒1(A‒1)'6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C 都是A 的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等Ｉｎ价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。
Ａ‒１例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。
(２２３１‒１０‒１２１)解：∵｜Ａ｜≠０∴存在Ａ‒１设＝，由定义知，∴Ａ‒１(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)Ａ‒１Ａ＝Ｅ(２２３１‒１０‒１２１)(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)＝(100010001) 由矩阵乘法得(２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１‒ｘ２１ｘ１２‒ｘ２２ｘ１２‒ｘ２３‒ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１‒ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２‒ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３)＝(100010001)由矩阵相乘可解得；；{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝‒１{ｘ１２＝‒４ｘ２２＝‒５ｘ３２＝６{ｘ１３＝‒３ｘ２３＝‒３ｘ３３＝４故A‒1=(1‒4‒31‒5‒3‒164)㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ａｉｊｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ‒１＝１｜Ａ｜Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。
注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意Ａ∗＝元素的位置及符号。
特别对于２阶方阵Ａ＝（Ａｊｉ）ｎ×ｍ，其伴随矩阵，即伴(ａ１１ａ１２ａ２１ａ２２)Ａ∗＝(ａ２２‒ａ１２‒ａ２１ａ１１)随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
②对于分块矩阵(ＡＢＣＤ)不能按上述规律求伴随矩阵。
例２、已知Ａ＝(１０１２１０‒３２‒５)，求Ａ‒１。
解：∵｜Ａ｜＝２≠０∴Ａ可逆，由已知得Ａ１１＝‒５，Ａ１２＝１０，Ａ１３＝７ Ａ２１＝２，Ａ２２＝‒２，Ａ２３＝‒２ Ａ３１＝‒１，Ａ３２＝２，Ａ３３＝１Ａ‒１＝１｜Ａ｜Ａ∗＝１２(‒５２‒１１０‒２２７‒２１)＝(‒５２１‒１２５‒１１７２‒１１２)㈢、行（列）初等变化法设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块Ａ变为，则子块将变为，即初等变ＩｎＩｎＡ‒１换［Ｅ，］。
Ａ‒１注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。
②也可以利用(ＡＥ)初等列变换(ＥＡ‒１)求得Ａ的逆矩阵。
③当矩阵Ａ可逆时，可以利用(Ａ，Ｂ)求得初等行变换(Ｅ，Ａ‒１Ｂ)，(ＡＣ)初等列变换(ＥＣＡ‒１)Ａ‒１Ｂ和Ｃ仅Ａ‒１，这一方法的优点是不需要求出Ａ的逆矩阵和进行矩阵乘法通过初等变换，即求出了Ａ‒１Ｂ和ＣＡ‒１。
例３、用初等行变换求矩阵Ａ＝的逆矩阵。
(２３１０１３１２５)解：＝(Ａ，Ｅ)(２３１０１３１２５ １０００１０００１)→(１２５０１３２３１ ００１０１０１００)→→(１２５０１３００‒６ ００１０１０１１‒２)→(１２５０１３０‒１‒９ ００１０１０１０‒２)→(１２５０１３００１ ００１０１０‒１６‒１６１３)(１０００１０００１ –１６‒１３６４３１２３２‒１‒１６‒１６１３)㈣、用分块矩阵求逆矩阵设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：(ＡＣＯＢ)‒１＝(Ａ‒１‒Ａ‒１ＣＢ‒１ＯＢ‒１)(ＡＯＤＢ)‒１＝(Ａ‒１Ｏ‒Ｂ‒１ＤＡ‒１Ｂ‒１)(ＡＯＯＢ)‒１＝(Ａ‒１ＯＯＢ‒１)(ＯＡＢＯ)‒１＝(ＯＢ‒１Ａ‒１Ｏ)例４、已知Ａ＝，求。
(００００５２２１１‒２１１００００)Ａ‒１解：将Ａ分块如下：Ａ＝＝其中(００００⋮⋮５２２１⋯⋯⋯⋯⋯１‒２１１⋮⋮００００)(ＯＡ１Ａ２Ｏ)Ａ１＝(５２２１)可求得Ａ２＝(１‒２１１)Ａ１‒１＝１｜Ａ１｜Ａ１∗＝(１‒２‒２５)，Ａ２‒１＝１｜Ａ２｜Ａ２∗＝１３(１２‒１１)＝Ａ‒１＝(ＯＡ２‒１Ａ１‒１Ｏ)(００００⋮⋮１３２３‒１３１３⋯⋯⋯⋯⋯１‒２‒２５⋮⋮００００)㈤解方程组求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由两端对应Ａ‒１Ａ＝Ｅ元素相等，依次可得 只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。
例５、求Ａ＝的逆矩阵。
(１０１２００００２１１２３０１４)解：设，先求出Ａ‒１＝(１０ｘ２１１2００００ｘ３１ｘ３２ｘ４１ｘ４２１３０ｘ４３１４)Ａ‒１中主对角线下的次对角线上的元素最后求，设Ｅ为ｘ２１，ｘ３２，ｘ４３，ｘ４１４阶单位矩阵，比较(１０ｘ２１１２００００ｘ３１ｘ３２ｘ４１ｘ４２１３０ｘ４３１４)(１０１２００００２１１２３０１４)的两端对应元素，得到＝Ｅ０；ｘ４１＋０ｘ４２＋３ｘ４３＋１４＝０；解得ｘ４３＝‒１１２１ｘ３１＋１ｘ３２＋２３＋１０＝０；解得ｘ４３＝‒１２；０ｘ４１＋２ｘ４２＋１ｘ４３＋２４＝０；解得ｘ４２＝‒５４；１；ｘ４１＋１ｘ４２＋２ｘ４３＋１４＝０；解得ｘ４３＝‒１８于是，所求的逆矩阵为：Ａ‒１＝(１０‒１２１２００００‒１２‒１６１８‒５４１３０‒１１２１４)㈥、用克莱姆法则求解若线性方程组的系数行列式Ｄ＝{ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋⋯ａ１ｎｘｎ＝ｂ１ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋⋯ａ２ｎｘｎ＝ｂ２………………ａｎ１ｘ１＋ａｎ２ｘ２＋⋯ａｎｎｘｎ＝ｂｎ，则此方程组有唯一的一组解｜ａｉｊ｜ｎ≠０ｘ１＝Ｄ１Ｄ，ｘ２＝，这里是将Ｄ中的第ｉ列Ｄ２Ｄ，……ｘｎ＝ＤｎＤＤｉａ１ｉ，……，换成得到的行列式。
ａｎｉｂ１，……ｂｎ㈦、恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。
㈧、用Hamilton-Caley 定理求逆矩阵Hamilton-Caley 定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵ｆ(λ)=| λＥ－Ａ|＝为Ａ的特征λｎ＋ａ１λｎ‒１＋……ａｎλ＋ａｎ多项式，则：ｆ(A)=| λE-A|=+=0A n +a 1A n ‒1+……a n A a n E 于是－１ａｎ（Ａｎ‒１＋ａ１Ａｎ‒２＋……＋ａｎ‒１Ｅ）因此Ａ‒１＝１ａｎ（Ａｎ‒１＋ａ１Ａｎ‒２＋……＋ａｎ‒１Ｅ）㈨、三角矩阵的一种求逆法如果ｎ阶矩阵Ｔ＝可逆，那么他的(t 11t 120t 22⋯⋯⋯⋯t 1n ‒1t 1n t 2n ‒1t 2n⋯⋯00⋯⋯⋯0⋯⋯0t nn)逆矩阵是T=其中(t ‒111t ‒111a 120t ‒122…………t ‒111a 1n ‒1t ‒111a 1n t ‒122a 2n ‒1t ‒122a 2n (00)………0……0t ‒1nn){a ii +1=‒t ‒1i +1i +1×t ii +1,(i =1,2,……，n ‒1)a ij +1=‒t ‒1ij t ij ‒∑ｉ＜ｋ＜ｊａkj t ik t ‒1kk ,(i =1,2,……，n ‒2;j =3,4,……，n)㈩、拼接新矩阵在可逆矩阵A 的右方补上一个单位矩阵E ，在A 的下方补加上一个负单位矩阵-E ，再在A 的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E 化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵。
A ‒1四、矩阵的逆的应用(1)逆矩阵在解线性方程组中的应用设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝[ａij ]n×nX= B=若A 可逆→X=[x 1 x 2 …… x n ]T [b 1 b 2 ……b n ]T A ‒1B 注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩阵A 可逆，否则此法失效。
而Gauss 消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。
且Gauss 消元法特别适合于计算机计算。
(2)逆矩阵在求矩阵的秩中的应用设A 是m ×n 矩阵，P 和Q 分别是m 阶和n 阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n阶矩阵A的秩为n→|A|≠0→A可逆。
(3)逆矩阵在信息科学中的应①算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，既Y=AX，再将Y发送，信息端接受到Y后，则利用密钥矩阵。
A‒1Y=A‒1AＸ＝Ｘ②加密通信模型基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。
③密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。
１，加密密钥的生成初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。
因此通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。
它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数Ｋ必须取整数。
这样得到的矩阵将满足｜Ａ｜＝±１，而Ａ‒１也将具有整数元素。
通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换如下：ⅰ．交换两行或两列；ⅱ．数乘某一行或某一列；ⅲ．将某一行（或某一列）的Ｋ倍加到另一行（或另一列）上；实质上只有ⅱ和ⅲ两种是独立的，ⅰ可以通过ⅱ和ⅲ来表示。
