结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-5

FR K c K
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。 试求点的竖向位移△。 解：实际位移状态可改用图(b) 表示 虚设力系如图(c) 虚功方程为 解得
M

A B A
M PM EI F NP F N EA kF QP F Q GA
ds
qR
4
2 EI qR EA kqR GA
2
(
2 3 2 3
cos cos 1 3
1 3 1 3
3
cos ) cos )
3
3
M
qR
4
3 EI 2 qR体系的位移
位移产生的主要原因 （1）荷载作用 （2）温度变化和材料胀缩 （3）支座沉降和制造误差
刚体体系位移，无应变 变形体体系位移，有应变
虚力原理—虚设力系求位移 图 (a) 中的静定梁，支 座A向上移动已知距离 c1， 拟求B点的竖向位移△。 虚设力系如图(b)
FR 1 b a
2 2
N
ds
(
2
90


N

B
Q
A B
ds

(1 cos )
Q
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12

N
M

1 600
Q
M

1 375
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l )

16
§5-2 结构位移计算的一般公式 一、变形体系位移计算的一般公式 单位荷载法是变形体系虚功原理的应用之一，现利用变形体系虚 功原理的虚力原理，来推导变形体系位移计算的一般公式
求图示实际位移状态下k点沿k-k方向的位移D
k
t1℃ t2℃ F
D
k k’
Ck1
FP 1 FRk 2
k
k
FRk1
ds

A
B pu qw ds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
13
§5-1 变形体的虚功原理
B
Mq FQw FNu

A
B pu qwds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
说明：公式中第一项为所有杆端力所做虚功总和包括两项：
2
w
dx du edx
γ0
dx
dw2 d g0dx
d

1’
g
q
0
q dq
2’’
dw1 q dx
u
2’ dw2 g 0dx
du
dq dx dx
几何可能的位移状态

qdx
l q
P
MA FNA
A
FQA
A
wA
qA
uA
p dx pdx
12
dx
MB
qdx
FNB M
M+dM
B
FQB
9
五、变形杆件的虚功原理 虚功原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形
体由于其它原因产生的与力系状态无关的满足变形连续和位移

相对竖向位移
c)
11
FP
d)

D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB

D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位

FP
B
C
c
cu
cv
B
C
M
FP 1
M
FN
A
FR 2
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
18
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
内虚功
Wi ( M FQ 0 FN )ds
K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK


l

( 1 2 )
25
三、广义位移的计算
ΔAH
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M 1 , FQ1 , FN 1
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A
C
桁架受荷载作用
2
A
刚架受荷载作用
A
C
cv
cu
C'
t1 c t 2
B
A
C
t2 t1
C' c
cv
B

温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。