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桥梁结构分析的有限元法(62页)

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桥梁的有限元分析

桥梁的有限元分析

基于有限元模式下的桥梁结构分析前言有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的计算方法。

有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法（Galerki n）或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

关键词结构划分分割单元分析一有限元运用原理将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。

从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

二有限元运用步骤步骤1:剖分：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合•元素（单元）的形状原则上是任意的.二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等•每个单元的顶点称为节点（或结点）步骤2:单元分析：进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数步骤3:求解近似变分方程用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。

有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。

每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。

根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。

有限元分析在桥梁结构中的应用精品文档

有限元分析在桥梁结构中的应用精品文档
美国国家宇航局（NASA）的资助
NASTRAN：MSC. Nastran软件获得美国联邦航空管理局 （FAA）认证，成为领取飞行器适航证指定的唯一验证软 件。
2019/10/18
10
Adina: 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领 先的地位，尤其针对结构非线性、流/固耦合等复杂问题的 求解具有强大优势。近20年的商业化，被广泛应用于各个 工业领域的工程仿真计算，包括土木建筑、交通运输、石 油化工、机械制造、航空航天、汽车、国防军工、船舶、 以及科学研究等各个领域。 ADINA的最早版本出现于1975，在K. J. Bathe博士的带领下， 由其研究小组共同开发。 86年Bathe博士在美国马萨诸塞州成立ADINA R&D公司。
1

k
(1 21
)k
(1 22
)k
(1 23
)k
(1 24
)
k
(1 25
)k
(1 26
)

2
k
(1)


k
(1 31
)k
(1 32
)k
(1 33
)k
(1 34
)
k
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)k
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)


k
(1 41
)k
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)k
(1 43
)k
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)
k
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)k
(1 46
)

2019/10/18
6
3、有限元的应用领域
医学中的生物力学
有限元法在牙体修复研究领域
航天航空领域 机械制造和设计 环境 能源 气象 土建（道桥隧、工民建、水利）

第6讲 曲线梁桥空间有限元分析方法—梁格法

第6讲 曲线梁桥空间有限元分析方法—梁格法
表631主梁截面几何特性计算结果面积几何中心yc竖向抗弯惯性矩iz横向抗弯惯矩iy扭转常数id70009140255401070纵向梁格构件截面几何特性计算表632纵向梁格构件截面几何特性计算结果构件编号面积am竖向抗弯惯性矩izm横向抗弯惯矩iym扭转常数id0181201126000793900029641181306270019200030613750080810267000351湖南大学土木工程学院桥梁工程系湖南大学土木工程学院桥梁工程系26横向梁格构件截面几何特性计算横向梁格构件的截面几何参数见表633需要说明的是横向梁格构件取沿纵向单位长度梁体即纵向构件的中心间距为表633横向梁格构件截面几何特性计算结果构件编号面积a0500003854004170008781250005260005730079843曲线连续箱梁桥梁格有限元模型建立根据曲线连续箱梁桥结构梁格法的划分原则与方法建立相应的有限元模型
id 2 h t1t 2 t1 t 2
2
（2-4）
式中： t 1 、 t 2 分别为顶板、底板的厚度，主要纵向构件的有效剪切面积等于腹板面积。
10
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
1/ 4 ， 箱形桥横向梁格构件的间距至少应接近于纵向弯曲的反弯点之间的间距的 采用太稀的横向构件 将使结果不精确。当有横隔板时，横隔板位置处一般也应设置横向构件。悬臂板部分横向构件的截面特性 按所代表的悬臂宽度进行计算；箱室部分横向构件（如无横隔板）的抗弯惯矩应按绕顶、底板的共同重心 处的水平中心轴进行计算，每单位宽度抗弯惯性矩的计算公式：
)
18
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
3.3 横向梁格构件刚度确定
１）横向梁格构件的弯曲刚度
EIx=E· （横向梁格所代表的截面对X中性轴惯性矩），如果横梁内包

桥梁结构的有限元分析

桥梁结构的有限元分析

2019年7月术桥梁结构的有限元分析张艳(齐鲁交通发展集团有限公司建设管理分公司，山东济南250000)［摘要］对桥梁结构进行有限元分析的步骤进行了总结，结合工程实例，运用Midas/civil有限元分析软件对其进行有限元模型的建立,计算模型参数的选取，计算荷载的选取,施工段的划分和建模，为后续设计和施工奠定了坚实的理论基础。

［关键词］桥梁结构；有限元；建模文章编号：2095-4085(2019)07-0087-021桥梁结构有限元分析的步骤1.1数据准备及离散化其主要步骤是进行结构体系离散化和计算相关参数，实际操作步骤如下。

(1)在进行结构体系离散化过程需要注意的是,将常规的计量模型分解为有限个单元体，再对相应的节点进行布设，将各个单元体之间的参数进行连接,构成一个可以将各个单元体连接在一起的集合。

(2)确定相关参数，对各类数据进行整理，通过相关软件对荷载，力学等数据进行计算，确保计算数据的正确性。

1.2单元分析用单元体的结点位移来表示各个单元体的位移,应力，应变，再进行计算分析，以便能够快速的确定结点位移分布的函数关系，一般我们将这种函数关系命名为位移模式或插值模式，根据单元的自由度和解的收敛性要求，选择多项式的项数和阶次。

并且这种单元结点位移表示结点力的函数关系式为：｛川e二［K］e⑻％1.3荷载分析处理对于非结点荷载和结点荷载的分析处理要求计算相关数据，并推出结构所受荷载的等效结点荷载列阵。

1.4建立整体结构矩阵平衡方程该部分的内容是将各个单元的刚度矩阵组集成整个结构的刚度矩阵及将各个单元的等效结点力列阵组集成总的荷载列阵。

1.5引入支座约束条件得到未知结点位移的唯一解必须要输入约束条件，由于不能确定未知结点位移的解，所以整体结构矩阵平衡方程中并没有支座约束条件的参数。

1.6求解结构矩阵平衡方程，计算单元应力通过求解引入支座约束条件的整体结构矩阵平衡方程，得到未知结点位移。

然后对各个单元进行分析，计算出单元应力。

第二章--桥梁结构有限元法及可视化软件的开发1

第二章--桥梁结构有限元法及可视化软件的开发1

第二章–桥梁结构有限元法及可视化软件的开发在桥梁建设中，结构的安全性和稳定性至关重要。

有限元分析是一种常用的方法，可以在建设桥梁之前模拟结构，确保其能够承受负载和抵御自然灾害的影响。

近年来，有限元分析的计算机程序已经逐渐普及，为桥梁设计建设提供了更多的支持。

本章主要讨论有限元分析和可视化软件开发。

在这个过程中，我们将介绍有限元方法的原理和应用。

此外，我们还将讨论如何构建可视化软件以更好地利用有限元分析模型。

有限元方法有限元法（FEM）是一种以数值分析为基础的工程方法，它用于模拟和分析结构物的特定已知条件下的行为。

在建筑领域中，有限元法可以用于确定建筑物的荷载和应力行为，并预测可能的结构问题。

有限元法可以在电子计算机上运行，因此可以更高效地执行，以便进行必要的计算。

有限元方法的原理有限元法的主要思想是将结构物分成许多非常小的部分（称为有限元），然后对每个部分进行数学建模。

这些部分是以三角形或四边形等多边形的形式定义的，每个部分都通过数学函数来描述。

用于建立每个元素的适当数学函数被称为形状函数。

在有限元模型的计算过程中，结构物被看作是由有限元素组成的系统。

对于每个有限元素，可以在该元素中定义一个节点来表示该元素的端点。

在此过程中，可以对节点应用各种荷载或约束条件。

有限元法的主要应用之一是为桥梁建设创建模型。

在桥梁模型中，各种因素（如重量、温度、荷载等）被定义为荷载，并将它们应用于系统中的各个节点。

通过运行模拟，可以预测结构物的应力行为、变形等方面。

有限元模型的应用有限元法的应用主要分为两类：静态和动态。

在静态有限元分析中，考虑结构静态变形和结构的响应，这些分析可以进行结构设计优化和结构的安全性分析。

在动态有限元分析中，考虑结构在特定时间因素下如何受力变形以及如何应对自然灾害等情况。

有限元分析的准确性取决于多方面的因素，如模型的准确性、荷载的准确性、边界条件的准确性等。

在实际应用中，有限元分析应仔细检查这些因素的质量，以确保得到准确的结果。

桥梁结构分析的有限元原理及其程序简介

桥梁结构分析的有限元原理及其程序简介

故
e FEe = K E Rδ e
其中 R 为坐标变换矩阵。 若 e 号单元内还作用有跨间荷载以及给定的温 度分布，它们在局部坐标系下的单元等效结点荷载 分别记为 Pqe 和 PTe ，则
e e FE = ΚE Rδe − Pqe − Pte
以上即杆系结构有限元法的基本计算过程。
1.2 有限元软件简介
1.2有限元软件简介
与通用有限元的区别
ANSYS MIDAS/CIVIL
前处理 单元、材料、边界、荷载
前处理 单元、材料、边界、荷载、施工过程、 预应力、收缩徐变等 求解 静力、动力、稳定等 后处理 显示、列表、时程等 设计验算 基于规范的荷载组合、 设计验算
求解 静力、动力、稳定等
后处理 显示、列表、时程等
1. 桥梁结构分析的内容
• （1）桥梁一般是分阶段逐步施工完成的，结构最终受力 状态往往与施工过程有着很大的关系，因而结构分析必须 按实际的施工过程和结构形成的过程逐阶段进行分析，并 且能够自动累加各阶段的内力和位移等。 （2）计算成桥后在二期恒载，支座不均匀沉降、混凝土 长期收缩、徐变效应、温度变化等作用下的内力和位移。 （3）计算各种活载引起的内力和位移，包括影响线或影 响面的计算以及对它们进行纵向、横向的加载等。 （4）计算各种偶然荷载(加地震)等引起的内力和位移。 （5）按规范对上述各种荷载引起的内力和位移进行组 合，得出最不利的组合情况。 （6）按规范进行强度、刚度、抗裂性、稳定性以及动力 性能验算。
2.2 桥梁结构分析的施工过程及体系转换 • 比如，同为三跨连续梁，在合拢的先后顺 序上，先合拢边跨还是中跨对结构成桥内 力是有影响的； • 有时为了获得良好的成桥线形或内力，可 以在施工中采取一些辅助措施。

有限元-梁系结构的有限元法


4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K

有限元法PPT课件

和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。

桥梁软件应用有限元简介资料

第二章 结构分析的有限元法
2.1 有限元法发展简况
1943 Courant
利用定义在三角形区 域上的分片连续函数
和最小位能原理
应用数学家、物 理学家、工程师
有限元法的研究
1960 Tumer、Clough
现代有限元法
第一次成功尝试
飞机结构 分析
第一次用三角形单元
提出了有限单 元法的名称
各种非线性问题 多物理场耦合问题
写成矩阵形式
ui
vi
ue
u
v
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 m
简写为 ue N e
vm
返回P28
其中，ue 表示单元内任意点处位移的单元位移函数列阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
Nm
为形函数矩阵
2.4 算例
形函数的性质
1 在节点上形函数的值是
……（5）
形函数对坐标变量求偏导
N
m
1 2A
am
bm x
cm y
Ni x
1 2A
bi，
Ni
y
1 2A
ci，
N j x
1 2A
b
，
j
N j y
1 2A
c
，
j
Nm x
1 2A bm ……（8）
Nm y
1 2A cm
式（8）代入式（7）中，得到
e
x
y
xy
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm

有限元分析在桥梁结构中的应用PPT课件


Ui
i
Ui
x
19
2( 1,2 ,3 )
2
x
3( 4 ,5 ,6 ) x
x
x
1
3
k
(1)
1( 0 ,0 ,0 )
4( 0 ,0 ,7 )
y
1
k
(2)
2021/7/24
2
3
4
5
6
1
2 3
0 0 0
(1) (1) (1 ) (1) (1 ) (1)
k 11
k 12 k 13 k 14 k 15 k 16
的结构分析，吹响了有限元的号角，有限元这一名称在 1960 年正式提出。
有限元方法的理论和程序主要来自高校和实验室，早期有限元的主要贡献来自
于Berkeley大学。Ed Wilson发布了第一个程序，第一代的程序没有名字，第
二代线性程序就是著名的 SAP (s truc tural analysis program ) ，非线性程序就
是NONSAP。
2021/7/24
第5页/共99页
5
3、有限元的应用领域
• 医学中的生物力学
有限元法在牙体修复研究领域
• 航天航空领域
• 机械制造和设计
• 环境
• 能源
• 气象
• 土建（道桥隧、工民建、水利）
… …
2021/7/24
第6页/共99页
6
4、有限元的学术领域
• 结构（静力、动力学、运动力学、冲击动力学）
ANSYS 收购 Fluent后成为名副其实的全球最大的 CAE 软件公司，在三大洲拥有40多个全资机构，17个
研发中心，近1,400 名员工。
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桥梁结构理论
桥梁结长构安及大计学算 贺拴海 培训讲义
第1篇 桥梁结构整体分析
桥梁结构分析的有限元法 梁板式结构分析的有限条法 能量原理及组合结构分析的变形协调法 变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法 桥梁结构的材料几何非线性分析
Qx
N
桥梁结构分析的有限元法j M x
桥梁结构有限元法的分析过程
桁架桥结构分析
要求。一般来说，
假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式
多项式的项数应 等于单元的自由
定单元和结点 的数目等问题。
或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以
度数，它的阶次 应包含常数项和
导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系 线性项等。这里
所谓单元的自由
式：
度是指单元结点
{ f } [N ]{ }e
6EI y
0
- l 2 (1 z )
0
(2 z )EI y 0
l(1 z )
0
6EI y
(4 z )EI y
0
l 2 (1 z )
0
l(1 z )


0
6EI z l 2 (1 y )
0
0
0
(2 y )EI z 0
l(1 y )
结点力列阵 { }e [ui , wi ,u j , wj ]T 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k ]0e

EA 1
l
0
0
0
结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k]e

EA c2
cs
l cs s2
c cos, s sin
l (x j xi )2 (z j zi )2
集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移 相等。整个结构的平衡方程
[K]{ } {F}
（5）求解未知结点位移 考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点， 选择合适的计算方法，可解出未知位移。 （6）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计
算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。
梁 式 桥 结 构 分 析
梁式桥及其单元
12E
I
y
/
l3
0

[K ]e0


6EI
y
/
l
2

12 E
I
y
/
l
3

0
6EIy / l 2
GJ / l 0 0 -GJ / l 0
单元刚度矩阵
4EIy / l 6EIy / l2
0 2EIy / l
12EI / l 2 0
12

l
2
(1


z
)

6
[K ]e

EI l
l(1 z )
12

l
2
(1


z
)
6

l(1


z
)
4 z 1z
6
l(1 z )
2 z 1z
12
l 2 (1 z )
6
l(1 z )
对称









4 z 1z


0
0
0
0 4EI z / l 2
考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵
EI


l

0
12EI z l 3 (1 y )
对称




0
0

12EI y l 3 (1 z )


0
0
GJ 0


l


0
0


6EI y
- l 2 (1 z )
ay by cy
z / GAyl 2 ,z 12EIy / GAzl 2
az
bz

cz
gz (zk zi )
g y (yk yi )
杆轴截方面向沿的剪切y 0影、响系0 数轴方向的有g效x 抗(剪xk 面 积xi ) /
0
4EI z / l
0
0
0
- 6EI z / l 2
- 6EI z / l 2
0
0
0
2EI y / l
0
0
2EI y / l
AE/l
0
12EI z / l 3
0
0
0
0
0
0
0
- 6EI z / l 2

对称
















12 EI y / l 3

0
GJ/l

0
- 6EI z / l 2 0 4EI y / l
关键。通常选择 多项式作为位移
对象是桁架桥
模式。其原因是
时，可以取每 根杆件作为一
结构有限元法的分析过程六个步骤：
因为多项式的数 学运算（微分和
个单元，因为 桁架桥本来就
（1）结构的离散化
积分）比较方便， 并且由于所有光
是由杆件组成 的。但如果分
将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体 滑函数的局部， 都可以用多项式
6EIy / l2
对称








GJ / l

0
4EIy / l
[t] 0
[T ]

0 [t]
ห้องสมุดไป่ตู้
[1] 0 0


[t] 0 [c] s
0 s c
单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转
位移，单元结点位移向量可写为
[ ]e [wi ,i , wj , j ]T
空 间 梁 单 元
结点力列阵
{F}e [Fxi, Fyi, Fzi , Mxi, M yi, Mzi , Fxj, Fyj, Fzj , Mxj, M yj, Mzj ]T
单元刚度矩阵
AE / l

0
12EI z / l 3
0 0
12EI y / l 3

0 0
0
GJ/l
0 0
单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换
[K ]e [T ]T [K ]0e [T ]
单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容
（4）建立整个结构的平衡方程 两个方面：
一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵； 二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。 常用方法---直接刚度法

z z 12EIy / GAzl 2 剪切影响系数
Az
杆截面沿 轴方向的有效抗剪面积
G
材料抗剪模量
铰接悬臂梁
铰 接 悬 臂 梁 单 元
单元刚度矩阵
分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一 端刚接的梁单元，单元结点位移列阵
{ }e [wi ,i , wj ]T
结点力列阵 {F}e [Fzi , M yi , Fzj ]T

0 0 0
[t] 0
[T ]

0 [t]
l
(x j
xi )2
(yj
yi )2
(z j

zi
)
2
a
x

(x j

xi ) / l
桁架桥及 其单元
ay (y j yi ) / l
az (z j zi ) / l
经运算，在结构 坐标系单元刚度 矩阵为
0
(4 z )EI y l(1 y )


0
[k ]0e


-
l
2
6EI z (1
y
)
0
0
(4 y )EI z 0
l(1 y )

EA
EA


l
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0
0
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0
l

0
-
12EI z l 3 (1
y
)
0
0
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桁架桥结构分析
桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁
架杆即为一个单元。取结构坐标系（ x0 , y0 , z0），单元坐标系
（ x, y, z ）
{}e [ui ,vi , wi ,u j ,vj , wj ]T
{F}e [Fxi , Fyi , Fzi , Fxj , Fyj , Fzj ]T
传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善， 索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化.
本章--简述有限元法的基本思路 汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵 介绍一种通用三维单元构造方法 虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用
贺:选择适当的
位移函数是有限
单元法分析中的
贺:例如分析
桥梁结构有限元法的分析过程
-
l
2
6EI z (1
y
)
0
0
0
(4 y )EI z


l(1 y )

[t] 0 0 [t] [T ] 0 0 0 0