结构分析的有限元法-第七章
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
有限元-结构静力学分析
03
结果优化
如果结果不满足设计要求，需要对有 限元模型进行优化设计，如改变梁的 截面尺寸、增加支撑等。
THANKS
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结构静力学的求解方法
解析法
解析法是通过数学方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法。它通常 适用于具有简单几何形状和载荷条件的结构，如梁、板、壳等。
数值法
数值法是一种通过数值计算方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法 。它通常适用于具有复杂几何形状和载荷条件的结构，如飞机、汽车等。
结构静力学的基本假设和简化
问题描述和基本方程
问题描述
弹性地基梁是支撑在弹性地基上的梁，受到垂直荷载的作用。该问题可描述为求 解地基反力和梁的挠度。
基本方程
该问题的基本方程包括梁的平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程描述了梁 在受力后的变形和应力分布情况。
利用有限元法进行每个单元之间通过节点相连。每个节点具有三个自由度：沿 x、y、z方向的移动。
系统方程的建 立
将所有单元的平衡方程 和变形协调方程组合起 来，得到整个结构的系 统方程。
求解系统方程
利用数值方法（如高斯 消元法）求解系统方程 ，得到每个节点的位移 和应力。
结果分析和讨论
01
结果输出
输出每个节点的位移、应力、应变和 弯矩等结果。
02
结果评估
根据输出结果，对框架结构的强度、 刚度和稳定性进行评估，判断是否满 足设计要求。
连续性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是连续的， 即结构的内部没有空隙和缺陷。
各向同性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是各向同性 的，即结构的各个方向具有相同的材料性质。
均匀性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是均匀的， 即结构的各个部分具有相同的材料性质。
《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案
3、简述结点力和结点载荷的差别。 结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力。 结点载荷：作用于结点上的外载荷。
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
结构的工程计算有限元法
结构的工程计算有限元法一、什么是有限元法?有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解工程结构在外力作用下的应力、应变、位移等参数，为工程设计和优化提供重要的依据。
由于结构受外力作用而导致应力、应变分布的复杂性，因此直接采用理论方法求解通常比较困难，而有限元法则能够通过离散化方法将结构分割成若干个小单元进行分析，采用计算机模拟的方式对每个小单元进行求解，最终得到整个结构的应力、应变、位移等参数。
二、有限元法的基本原理是什么?有限元法的基本原理是将一个大型的复杂结构分割成许多个影响较小的单元，然后对每个单元进行分析，逐步求解整个结构的力学特性。
分割单元的数目和形状取决于待分析的结构类型及需要达到的精度要求。
一般来讲，分割的单元形状越小、数目越多，则计算结果越精确，但计算量也随之增加。
三、有限元法的步骤有哪些?有限元法采用以下步骤进行结构分析：1.建模：将工程结构通过计算机软件建立起几何模型，由不可数的结构体素转换为可数的三角化网格节点，建立起分析模型。
2.划分单元：将结构模型分割成若干个小单元，存储节点、单元信息以及单元间关系等数据，形成一个有限元模型。
3.建立节点位移方程：根据结构载荷和边界条件，建立节点位移方程组。
4.求解节点位移：根据位移方程组求解节点位移值。
5.求解应力应变：根据节点位移结果，采用应变位移关系计算节点应变，再结合材料本构关系计算节点应力。
6.检验结构：通过分析结果的误差检验分析结果的可靠性，调整模型参数以改善分析结果。
四、有限元法的优点是什么?1. 有限元法能够处理复杂三维结构，适用性强。
由于被分割成许多个小单元，因此可以处理各种复杂的几何形状和内部复杂性的结构。
2. 有限元法求解精度高，能够得出较准确的结果。
因为单元形状够细致，可以分析结构内孔洞或任意形态的轮廓。
3. 有限元法的结果能够反映结构应力、应变、变形变化的规律，并能够定量评估结构的承载能力、安全性、疲劳寿命以及预测结构大变形等情形的发生或变化。
第七章结构振动的有限元分析
第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。
它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。
传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。
近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。
第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。
有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。
在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。
第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。
有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。
第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。
在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。
第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。
与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。
在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。
第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。
首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。
其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。
此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。
第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。
在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。
复杂结构有限元分析
▪ 边界条件与载荷施加
1.边界条件和载荷的正确施加是保证有限元分析结果可靠性的关键因素之一。这涉 及到对结构的约束条件和所受外力的准确模拟。 2.对于复杂结构，可能需要考虑多种边界条件和动态载荷，如接触力、温度场、流 固耦合等，这些都增加了分析的复杂性。 3.随着计算力学的发展，出现了一些高级的技术和方法，如子结构法、边界元法等 ，这些方法在处理复杂边界条件和载荷问题时表现出优越的性能。
复杂结构有限元分析
复杂结构建模技术
复杂结构建模技术
几何建模与简化
1.复杂结构的几何建模通常涉及CAD软件，这些软件能够精确 地捕捉和创建复杂的形状和细节。随着计算能力的提升，现在 可以处理更加精细和复杂的几何体。 2.为了减少计算量，提高分析效率，几何简化技术被广泛应用 。这包括使用诸如移除小特征、合并相邻面、平滑表面等方法 来降低模型的复杂性，同时保持其整体性能。 3.当前的趋势是开发更智能的几何简化算法，这些算法可以在 不损失太多设计意图的情况下，自动识别和优化模型中的冗余 或非关键部分。
▪ 有限元方法的基本原理
1.离散化：有限元方法的核心思想是将连续的求解区域离散化 为一系列互不重叠的小单元，这些小单元在数学上称为“有限 元”。通过这种离散化，可以将复杂的连续问题转化为简单的 离散问题。 2.变分原理：有限元方法通常基于变分原理，如最小势能原理 或最小余能原理，来建立问题的弱形式。这使得有限元方法能 够处理各种边界条件和初始条件，具有很高的灵活性。 3.加权残差法：加权残差法是另一种常用的有限元方法，它通 过在求解区域内引入一个权函数，使得残差（即实际值与理论 值之差）与该权函数的乘积在整个区域内积分等于零，从而得 到满足特定条件的近似解。
复杂结构有限元分析
材料属性与模型参数
1.边界条件和载荷的正确施加是保证有限元分析结果可靠性的关键因素之一。这涉 及到对结构的约束条件和所受外力的准确模拟。 2.对于复杂结构，可能需要考虑多种边界条件和动态载荷，如接触力、温度场、流 固耦合等，这些都增加了分析的复杂性。 3.随着计算力学的发展，出现了一些高级的技术和方法，如子结构法、边界元法等 ，这些方法在处理复杂边界条件和载荷问题时表现出优越的性能。
复杂结构有限元分析
复杂结构建模技术
复杂结构建模技术
几何建模与简化
1.复杂结构的几何建模通常涉及CAD软件，这些软件能够精确 地捕捉和创建复杂的形状和细节。随着计算能力的提升，现在 可以处理更加精细和复杂的几何体。 2.为了减少计算量，提高分析效率，几何简化技术被广泛应用 。这包括使用诸如移除小特征、合并相邻面、平滑表面等方法 来降低模型的复杂性，同时保持其整体性能。 3.当前的趋势是开发更智能的几何简化算法，这些算法可以在 不损失太多设计意图的情况下，自动识别和优化模型中的冗余 或非关键部分。
▪ 有限元方法的基本原理
1.离散化：有限元方法的核心思想是将连续的求解区域离散化 为一系列互不重叠的小单元，这些小单元在数学上称为“有限 元”。通过这种离散化，可以将复杂的连续问题转化为简单的 离散问题。 2.变分原理：有限元方法通常基于变分原理，如最小势能原理 或最小余能原理，来建立问题的弱形式。这使得有限元方法能 够处理各种边界条件和初始条件，具有很高的灵活性。 3.加权残差法：加权残差法是另一种常用的有限元方法，它通 过在求解区域内引入一个权函数，使得残差（即实际值与理论 值之差）与该权函数的乘积在整个区域内积分等于零，从而得 到满足特定条件的近似解。
复杂结构有限元分析
材料属性与模型参数
有限元分析及应用第7、9讲
三、ANSYS有限元分析基础
建立实体模型
ANSYS中的坐标系
在ANSYS的前处理中（建模、加载），都将涉及到坐标系的问题。 ANSYS软件中系统预定了三个坐标系。它们位于模型的总体的坐标原 点。三种类型为: CS,0: 总体笛卡尔坐标系 CS,1: 总体柱坐标系 CS,2: 总体球坐标系 数据库中节点坐标总是以总体笛卡尔坐标系，无论节点是在什么坐 标系中创建的。
热分析 电磁场分析 流体动力学分析 声场分析 压电分析 各种场的耦合分析（如热结构、热电、流体结构等）
三、ANSYS有限元分析基础
4、ANSYS分析的一般流程
（1）建立有限元模型
建立和修改工作文件名或标题
（3）结果后处理
通用后处理 时间历程后处理
定义单元类型
定义材料属性数据 建立几何模型 划分网格
三、ANSYS有限元分析基础
5、示例分析——分析过程现场操作
（a）有限元模型
（b）应力云图
1、模型使用映射网格，在画网格之前需要将L2和L3合并（concatente）； 2、element type选择Quad 8node 82，即8节点等参单元； 2、圆弧等分为20份，其余边等分为10份；
三、ANSYS有限元分析基础
三、ANSYS有限元分析基础
1、ANSYS软件的安装
2、ANSYS工作界面
3、ANSYS的主要功能
4、ANSYS分析的一般流程
5、示例分析
三、ANSYS有限元分析基础
1、ANSYS软件的安装
（1）、ANSYS软件的硬件要求 操作系统：Windows XP 64； windows XP 32 ；
Windows 2000以上
图1-1 离散的铁路控制塔
第七讲有限元分析建模及若干问题
M
M
L
9-6 模型简化
2、力学问题的简化 、 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况， 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况，对其相应 的力学问题进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间 的力学问题进行简化， 的目的。 的目的。 1）对称结构受对称载荷作用 ）
p y
x 对称面
对称面上只有沿对称方向的位 移没有垂直对称面方向的位移
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 • c、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后，既 、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后， ）：其特点是结构与基础相连后 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。
9-4 有限元建模的基本内容
• 有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互 有限元建模在一定程度上是一种艺术， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是： 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性； 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 • 建模的基本内容： 建模的基本内容： • 1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线 、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、 流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。 取决于工程专业知识和力学素养。 性、流体、流固耦合 ） 取决于工程专业知识和力学素养 • 2、单元类型的选择（高阶元 低阶元？杆/梁元？平面 板壳？ ….. ） 低阶元？ 梁元 平面/板壳 梁元？ 板壳？ 、单元类型的选择（高阶元/低阶元 -----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 • 3、模型简化（对称性 反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支 反对称性简化、 、模型简化（对称性/反对称性简化 小特征简化、抽象提取、 坐等简化） 坐等简化） • 4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） 、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） • 5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） 、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） • 6、求解控制信息的引入 、
有限元分析基础
有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。
边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。
场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。
下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。
等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。
)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。
第7章 动态子结构方法
2
2
(1.8)
式中，[mα], [mβ], [kα], [k β]分别是与自由度{u α} 和{u β}
相对应的α与β子结构的质量阵和刚度阵。对各子结构做动力
特性分析，选出恰当的子结构的保留模态来构成α 和β子结构
13
的李兹基{Φ}α和 {Φ}β，并以此作为子结构模态坐标变换：
(1.9) {u} []{p};{u} []{ p}
,[K
]
[
K
]
0
0
[
K
]
[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每 个子结构的界面自由度 uI , uI 不是相互独立的，由界面 连续条件 uI uI 可得
16
[J ]{ p} [J ]{ p}
即 [C]{p} {0}
(1.12) (1.13)
式中
[C]=[J-J]
[C]=[J -J ]
R({X })
0
,利
({A})
({A})
用二次型对矢量求偏导的法则，得：
2({A}T [M ]*{A})[K ]*{A} 2({A}T [K ]*{A})[M ]*{A} 0
即：
[K
]*{A}
{A}T [K {A}T [M
]*{A} ]*{ A} [ M
]*{
A}
由（1.3）式，则上式变为：
[K ]*{A} [M ]*{A}
其中，{pα}和 {pβ}分别是两个子结构的模态坐标。通常 子结构保留模态个数少于它的自由度数，即{pα}的分量数小 于{uα}的分量数。式（1.9）常被称为第一次坐标变换。将 （1.9）式代入（1.7）式和（1.8）式，则：
14
T
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1பைடு நூலகம்
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矩形单元的形函数
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
第七章 板壳单元
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构 件，在工程中应用广泛。由于它的这种几何特点，前面所 述的三维单元并不十分适合用来分析它们的力学特性。因 为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于系统矩阵病态而大大降低。所以必须采用很细密的网 格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的 自由度疯狂地增长，花费大量的计算和前后处理时间。因 此开发适合于板壳结构的专用单元是十分必要的。事实上， 60~70年代大量的关于有限元的研究其中很大一部分是在 板壳方面的工作。
ii (3
2
3 2
4)
bi (3 2 2i 1)
ai (3 2 2i 1)
(7.26)
单元刚度矩阵K
单元刚度矩阵可以写成分块形式，其子矩阵的公式是
Kij z2BTi DB jdxdydz
h3 12
1 1
1 1
BTi
DB
j
abd
x w y b w b 1 (3 5 2 6 8 2 2 9 3 1 0 2 1 1 3 3 1 22 )
y w x a w a 1 ( 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 2 1 1 2 1 2 3 )
薄板理论(Kirchhoff板理论)
y
z
中面
x
基本假设
（1）原先垂直于中面的直线，变形后仍然垂直于弯曲 的中面（直法线假设） （2）在横向荷载的作用下，中面既不伸长也不缩短
薄板理论的位移假设
ww(x, y)
u z w x
v z w y
z, w u
w,x
z
w
x, u
(b)
薄板理论的应变分量
13. Bj=-1/a/b*[diff(N2,x,2)*b/a; diff(N2,e,2)*a/b; diff(diff(N2,x,1),e,1)*2];
14. D=E/(1-mu^2)*[1 mu 0
15.
mu 1 0
16.
0 0 (1-mu)/2] ;
17. f=transpose(Bi)*D*Bj ;
9. Nyi=a*xi*(1+x0)*(1+e0)*(1-x^2)/8;
10. N1=[Ni Nxi Nyi];
11. N2=subs(subs(N1,xi,xj),ei,ej);
12. Bi=-1/a/b*[diff(N1,x,2)*b/a; diff(N1,e,2)*a/b; diff(diff(N1,x,1),e,1)*2];
1
2
w (Niwi Nyiyi) i1
y1 ai 21(Ni,wi Nyi,yi)
单元应变矩阵B
将式(7.17)代入几何方程(7.4)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为
ε Bδe zB1 B2 B3 B4 δe
(7.22)
式中
Bi
1. syms x e xi ei
2. syms xj ej
3. syms b a
4. syms E mu h
5. x0=xi*x;
6. e0=ei*e;
7. Ni=(1+x0)*(1+e0)*(2+x0+e0-x^2-e^2)/8;
8. Nxi=-b*ei*(1+x0)*(1+e0)*(1-e^2)/8;
ww(x, y) u zw,x v zw,y
z
w z
0
x z u ,z w ,x w ,x w ,x 0
y z v ,z w ,y w ,y w ,y 0
x
u x
zw,xx
y
v y
zw,yy
xyv,xu,y2zw ,xy
Ni (1i)1(i)2 (ii22)8 Nxibi (1i)1(i)1(2)8 Nyiai (1i)1(i)1(2)8
矩形单元的完备性
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
刚体位移
常应变
矩形的板单元是完备的
矩形单元的协调性 Ni, i(1i)(2ii2 2) 8(1i)(1i)(i 2) 8 Ni, i (1i)(2ii2 2) 8(1i)(1i)(i 2) 8
Nxi, bii(1i)(12) 8
薄板理论的应力分量
xxyy 1E21 0
1 0
0 0
xy D xy
(1)2 xy xy
x y
zD
w,xx w, yy
将矩形单元的 4 个结点坐标 (i ,i ) 和结点位移 (wi ,xi ,yi ) 分别代入上式，就可以得到 关于这 12 个参数的联立方程组。从中解出1 至12 ，经整理后，我们得到
4
4
w (N iw iN xi xiN yi yi) N iδi
i 1
i 1
如果平板单元受分布横向面载荷 p 的作用，那么等效结点力是
f
e pi
f zi M xi
M
yi
1 1
1 1
pN Ti
abd
d
如果 p 在单元表面上线性分布，则可以表示成
(i 1,2,3,4)
4
p Ni pi i 1
式中 pi (i 1, 2,3, 4) 是四个结点上的载荷值， Ni 是四结点矩形平面单元的形函数，即
x w y b w b 1 (3 5 2 6 8 2 2 9 3 1 0 2 1 1 3 3 1 22 )
y w x a w a 1 ( 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 2 1 1 2 1 2 3 )
位移插值
Nxi, bi2 (1i)(12) 8bi(1i)(1i) 4
Nyi, ai2(1i)(12) 8ai(1i)(1i) 4
4
w (Niwi Nxixi Nyiyi)
Nyi, aii (1i)(12) 8
y
x
x
δi
wxii
wi w , yi
y
i
w , xi
fi
M
f
zi xi
M
yi
矩形单元的位移模式
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
18. kij=int(int(f,x,-1,1),e,-1,1)*a*b*h^3/12;
19. kij=subs(kij,xi^2,1);
20. kij=subs(kij,xj^2,1);
21. kij=subs(kij,ei^2,1);
22. kij=subs(kij,ej^2,1);
等效结点力
xy
2
w
,
xy
薄板理论的内力矩分量
h2
h2
h2
M x x zdz ， M y y zdz ， M xy xy zdz
h 2
h 2
h 2
M M MxxyyD10
1 0
0 0
(1)
22w ww,,,xyxxyy
d
(i, j 1,2,3,4)
(7.27)
把应变矩阵式(7.23)和式(7.3)中的弹性矩阵 D 代入上式，并完成积分运算得到矩
形薄板单元显式的单元刚度子矩阵
a11 a12 a13
K ij
a21
a22
a23
a31 a32 a33
(7.28)
单元刚度矩阵K的推导程序
D
Eh3
12(1
2)
薄板理论的控制方程 4xw 4 2x24wy2 4yw 4 D q
D Eh3
12(1 2 )
矩形单元
y
xi (Mxi)
z
ij
yi (Myi)
w (fzi)
o
x
图 7-4 平板划分成矩形单元
w,x ( x ) y
z
w, y ( y )
i1
xw ,yb 1i 4 1(N i,w iN xi,xiN yi,yi)
4
3
y w ,x 1 ai 4 1(N i,w i N x i, x i N y i, y i)
形函数
1
2
Ni (1i)1(i)2 (ii22)8 Nxibi (1i)1(i)1(2)8 Nyiai (1i)1(i)1(2)8