结构分析的有限元法-第七章

结构的工程计算有限元法一、什么是有限元法?有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解工程结构在外力作用下的应力、应变、位移等参数，为工程设计和优化提供重要的依据。

由于结构受外力作用而导致应力、应变分布的复杂性，因此直接采用理论方法求解通常比较困难，而有限元法则能够通过离散化方法将结构分割成若干个小单元进行分析，采用计算机模拟的方式对每个小单元进行求解，最终得到整个结构的应力、应变、位移等参数。

二、有限元法的基本原理是什么?有限元法的基本原理是将一个大型的复杂结构分割成许多个影响较小的单元，然后对每个单元进行分析，逐步求解整个结构的力学特性。

分割单元的数目和形状取决于待分析的结构类型及需要达到的精度要求。

一般来讲，分割的单元形状越小、数目越多，则计算结果越精确，但计算量也随之增加。

三、有限元法的步骤有哪些?有限元法采用以下步骤进行结构分析：1.建模：将工程结构通过计算机软件建立起几何模型，由不可数的结构体素转换为可数的三角化网格节点，建立起分析模型。

2.划分单元：将结构模型分割成若干个小单元，存储节点、单元信息以及单元间关系等数据，形成一个有限元模型。

3.建立节点位移方程：根据结构载荷和边界条件，建立节点位移方程组。

4.求解节点位移：根据位移方程组求解节点位移值。

5.求解应力应变：根据节点位移结果，采用应变位移关系计算节点应变，再结合材料本构关系计算节点应力。

6.检验结构：通过分析结果的误差检验分析结果的可靠性，调整模型参数以改善分析结果。

四、有限元法的优点是什么?1. 有限元法能够处理复杂三维结构，适用性强。

由于被分割成许多个小单元，因此可以处理各种复杂的几何形状和内部复杂性的结构。

2. 有限元法求解精度高，能够得出较准确的结果。

因为单元形状够细致，可以分析结构内孔洞或任意形态的轮廓。

3. 有限元法的结果能够反映结构应力、应变、变形变化的规律，并能够定量评估结构的承载能力、安全性、疲劳寿命以及预测结构大变形等情形的发生或变化。

第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。

它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。

传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。

近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。

第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。

有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。

在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。

第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。

有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。

第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。

在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。

第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。

与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。

在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。

第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。

首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。

其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。

此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。

第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。

例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。

在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。

有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。

边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。

边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。

场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。

根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。

1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。

下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。

等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。

试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。

)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。

有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。

它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。

有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。

模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。

2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。

有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。

整个问题区域被划分为许多单元。

3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。

有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。

4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。

常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。

5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。

这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。

6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。

常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。

7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。

这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。

有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。

它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。

在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。

在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。

有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。

它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。

同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。

红字为答疑时老师给的解答第一章思考题1-1“用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制”，这种说法对吗？答：不对，有连续性要求。

1-2“加权余量法仅适用为传热学问题建立基本的有限元方程，而基于最小势能原理的虚功原理仅适合为弹性力学问题建立基本的有限元方程”，这种说法对吗？答：不对。

虚位移原理不仅可以应用于弹性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题，虚功原理可以用来推导各种力学问题的有限元基本方法中的基本方程。

最小势能原理仅适用于弹性力学问题。

加权残值法尤其适用于具有连续场的非力学问题，如声、电、磁学的有限元方程的建立。

1-3现代工程分析中的数值分析方法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。

这些方法本质上是将求解区域进行网格离散化，然后求解方程获得数值结果。

是否可以将求解区域离散成结点群，但是没有网格进行求解？答：可以，无网格方法是近年发展起来的一种新的数值计算方法。

与基于网格的方法不同，无网格方法只需要节点的信息，不需要节点的信息而不需要节点之间相互联系的信息。

典型无网格方法有配点法、Galerkin方法、Petrov-Galerkin方法等。

（无网格方法数值求解的基本思想：在每个节点上构建待求物理量近似值的插值函数，并用加权残量法和该近似函数对微分方程进行离散，形成与待求物理量相关的各节点近似值的离散方程，并求解之。

）第二章思考题2-1ANSYS软件有哪些模块？在GUI方式下的六个窗口有何功能特点？主要包括前处理模块，分析计算模块和后处理模块①前处理模块提供了一个强大的试题建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元②分析计算模块包括结构分析、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力③后处理可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算记过以图表、曲线形式显示或输出。