当前位置：文档之家 › 【金版学案】2015届高考数学总复习 第十章 第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差课时精练 理

【金版学案】2015届高考数学总复习 第十章 第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差课时精练 理

  • 格式：doc
  • 大小：177.50 KB
  • 文档页数：4

第九节 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．两颗都是2点
B ．一颗是3点，一颗是1点
C ．两颗都是4点
D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
解析：对A ，B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．故选D.
答案：D
2．(2013·九江模考)E (ξ)＝6.3，则a 值为( )
A.5 B ．
解析：由概率分布列性质知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4.
所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝7，故选C. 答案：C
3．(2013·山西质检)从1,2,3,4,5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E (ξ)＝( )
A ．3
B ．4.5
C ．5
D ．6
解析：由题意知，ξ只能取3,4,5.则
P (ξ＝3)＝110，P (ξ＝4)＝310，P (ξ＝5)＝610.故E (ξ)＝110×3＋310×4＋6
10
×5＝4.5.
故选B.
答案：B
4．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )
A ．60.82元
B ．68.02元
C ．58.82元
D ．60.28元
解析：E (ξ)＝100×235365＋(－10)×130
365
≈60.82.故选A.
答案：A
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c [a ，b ，c ∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )
A.148
B.124
C.112
D.16
解析：
E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6
，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立．故选D.
答案：D
6．装有某种产品的盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至抽到正品为止，已知抽取次数ξ为随机变量，则抽取次数ξ的数学期望E (ξ)＝________.
解析：
则E (ξ)＝1×710＋2×30＋3×120＋4×120＝8
.
答案：11
8
(次)
7. (2013·上海卷)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…x 19，则方差D (ξ)＝________.
解析：因为x 1，x 2，x 3，…x 19是公差为d 的等差数列，所以E (ξ)＝x 10，
于是D (ξ)＝d 2
19
（92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92
）＝30|d |. 答案：30|d |
8．设随机变量ξ的分布列P (ξ＝k
5
)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则a 的值为________．
解析：
所以a ＋2a ＋3a ＋4a 解得a ＝1
15.
答案：1
15
9．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x 的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解析：(1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018. (2)由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2.
P (ξ＝0)＝C 2
9C 212＝6
11，
P (ξ＝1)＝C 19C 1
3C 212＝9
22，
P (ξ＝2)＝C 2
3C 212＝1
22
.
所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝1
2
(人)．
10．(2013·汕头二模)高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知
每盘比赛双方胜出的概率均为1
2
.
(1)根据比赛规则，高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ (2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少？
(3)设高三(1)班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．
解析：(1)由题意知参加单打的队员有A 23种方法，参加双打的队员有C 1
2种方法．
所以根据分步计数原理得到高三(1)班出场阵容共有A 23·C 1
2＝12(种)．
(2)高三(1)班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．
所以连胜两盘的概率为12×12＋12×12×12＝3
8
.
(3)ξ的取值可能为0,1,2.
P (ξ＝0)＝12×12＝1
4
.
P (ξ＝1)＝12×12×12＋12×12×12＝1
4
.
P (ξ＝2)＝12×12＋12×12×12＋12×12×12＝1
2
.
所以ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×14＋1×14＋2×2＝4
(盘)．
11．2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示：
(1 )交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
(3 )在上述抽出的驾驶人员中任取 2名，求抽取的 2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．
解析：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．
(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：5＋20＋25＋20＋30＝100人，
四川籍的有：15＋10＋5＋5＋5＝40人，设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x
40
，
解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名.
(3)ξ的所有可能取值为0,1,2.
P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝1
21
.
所以ξ的分布列为
均值E (ξ)＝1×1021＋2×121＝7
(人)．。

合集下载

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列

(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．
【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
练习：
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ＝________.
【解析】设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个．∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P ＝P(ξ＝1)＝ .【答案】
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝ ＝ .【答案】
分布列及其性质的应用
设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P .
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
离散型随机变量的分布列 课件

离散型随机变量的分布列 课件


m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*， 称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则
称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
求离散型随机变量的分布列 [典例] 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 ξ 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 ξ 的分布列． [解] 随机变量 ξ 的可能取值为 3,4,5． 当 ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他 两只球的编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝CC5322＝110；
知 a13＋312＋…＋31n＝1． 则 a·1311－－1331n＝1． ∴a＝23×n－31n．
离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求 出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
两点分布
[典例] 袋中有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X
当 ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只， 故有 P(ξ＝4)＝CC2335＝130； 当 ξ＝5 时，即取出的三只球中最大号码为 5，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3,4 的 4 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝5)＝CC2435＝160＝35． 因此，ξ 的分布列为
＝01，，[解两两] 球球由全非题红全意，红知，，X求服随从机两变点量分X布的，分P布(X列＝．0)＝CC21261＝131，所 以 P(X＝1)＝1－131＝181．
离散型随机变量的分布列 课件

离散型随机变量的分布列 课件


ξ＝－1 有以下 6 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，
4)，(3，4)，故 P(ξ＝－1)＝166＝38；
ξ＝1 有以下 2 种情况：(3，2)，(4，3)，故 P(ξ＝1)＝126＝18，
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ －1 0 1
P
3 8
11 28
探究点 2 离散型随机变量的分布列的性质 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，
5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)； (3)求 P(110＜X＜170)．
【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5 可知，
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得 a＝115. (2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1，2，3，4，5)， 所以 P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45.
探究点 3 两点分布与超几何分布 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红
球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球 有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球． (1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率． (2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列．
随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝k（k＋c 1），
k＝1，2，3，4，c 为常数，则 P 23＜X＜52 的值为(
)
A.4
B.5
5
6
C.2
D.3
3
4
解析：选 B.由题意1×c 2＋2×c 3＋3×c 4＋4×c 5＝1， 即45c＝1，c＝54， 所以 P23＜X＜52 ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝54×1×1 2＋2×1 3 ＝56.故选 B.
2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第10章第9节离散型随机变量的分布列、均值与方差

2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第10章第9节离散型随机变量的分布列、均值与方差

第十章第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差深化理解整合考点典例精析离散型随机变量分布列、期望、方差性质的运用【例1】⑴设随机变量F的分布列为P（d=Q=锹；］），k=1,2,3,4,其中c为常数，则等于（）2 A35 D6(2)设d是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E(勺，D(C).思路点拨：⑴根据分布列的性质，先求出Q的值；⑵应先按分布列的性质，求出g的值后，再计算出E© , ・(1)解析：由离散型随机变量分布列的性质可知■ c—+——I- ——I- 匕=1,1X2十2X3 3X4 4X5.]_]斗_丄_丄+丄一丄+{—1=1,••cl 2+2 3十3 4十4 5 4・・・甘v肩=P(g= 1)+p忆=2)=不込+药=.故选D.答案:D式，鬻專篇题时’应防止机械地套用期望和方差的计算公E© = (—l)X*+0X(l—2q)+lXg2 = g2_]变式探究1 •设离散型随机变量X的分布列为求：⑴2X+1的分布列;(2)IX-1I的分布列;(3)P(lv2X+lv9)・角军析:由分布歹U白勺'性质矢口 : 0.2+ 0.1+0.1+ 0.3 + m=l z所以加二0.3. 首先列表为：从而由上表得两个分布列为：(1)2X+ 1的分布列：(2)IX・II的分布列:(3)P(lv2X+ lv9)二P(2X十1 二3) + P(2X+ 1 =5) + P(2X+ 1 二7)二0.1 + 0.1 +0.3 = 0.5.求离散型随机变量的分布列【例2】一袋中装有5只球，编号为123,4,5,在袋中同时取3只，以$ 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量d的分布列.思路点拨：因为在编号为123,4,5的球中，同时取3只,所以小号码可能是1或2或3 ,即河以取1,2,3.解析：随机变量弼可能取值为1,2,3.当汁1时，即取出的三只球中最小号码为1 ,则其他两只球只能在编号为2,3A5的四只球中任取两只,故有P忆二1)=C： 6 3cl 10 5，当d=2时,即取出的三只球中最小号码为2 ,则其他两只球只能在编号为3,4,5的三只球中任取两只，故有P忆二2)二cf_AC 厂10；当汁3时，即取出的三只球中最小号码为3 ,则其他两只球只能在编号为4,5的两只球中任取两只,故有P(R3)因此,殉令布列为_黑―T5・点评：求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行：(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.变式探究2. (2013•浙江卷)设袋子中装有°个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当d = 3, b = 2, c=l时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量£为取出此2球所得分数之和，求d的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量"为取出此球所得分数.若E(q)= ,求d : b ： c・角军析:(1)由题意得孑=2,3,4,5,6,2X3X2 1尸忆=3)=飞矿=亍2X3X1+2X25P@=4)= 6X6=1892X2X111X1 1 陀一6) —6X6 二~36,故呛=2)= 3X3 6X6 149所以血分布列为(2)由题意知巾的分布列为. 3C5匚匚 |、|厂a.所以E （"）=科芹+科用+冇匚二亍（5）恥）屮-范+b+c2 C 5[2a — b —4c=0, 化间得[卄初―llc=O,解得Q = 3C ，b = 2c,故。