第二章 离散型随机变量(3)

2．3.2 离散型随机变量的方差1．问题导航(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ (3)如何计算简单离散型随机变量的方差？ 2．例题导读(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P 68练习1题． (2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P 68练习3题．1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑n i ＝1(x i －E (X ))2p i . ②标准差为________D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝________a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝________p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝________np (1－p )．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D ．1答案：C3．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2 答案：D4．已知随机变量X ________.答案：3.561．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差；[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[互动探究] 在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.1．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了1．(1)已知随机变量ξ若E (ξ)＝23，则D (ξ)的值为________．解析：由分布列的性质，得 12＋13＋p ＝1，解得p ＝16. ∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59. 答案：59(2)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差． [解] (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60(s)，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．2．(1)(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13(2)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.均值、方差的综合应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y 的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．试求D (X )和D (2X －1)．[解] E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D (2X －1)＝4D (X )＝4×1.56＝6.24.[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即D (aZ ＋b )＝aD (Z )＋b . (2)解决此类问题方法，应利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )，将求E (aX ＋b )，D (aX ＋b )的问题转化为求E (X )，D (X )的问题，从而可以避免求aX ＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．4．已知随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320解析：选B.由X ～B (100，0.2)知n ＝100，p ＝0.2， 由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16， 因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256.1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.随机变量ξ∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 答案：乙4．若随机变量X 的分布列为：(1)求m 的值；(2)求E (X )和D (X )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得0.1＋0.2＋0.4＋m ＋0.1＝1，解得m ＝0.2.(2)E (X )＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0，D (X )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析：选C.由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 2．设X ～B (n ，p )，若D (X )＝4，E (X )＝12，则n 和p 分别为( ) A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解析：选A.∵X ～B (n ，p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np （1－p ）＝4，解得p ＝23，n ＝18.3．已知X 的分布列如下表所示，则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的有( )A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C.E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故只有①③正确． 4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. ∴D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.5．(2015·滨州高二期末检测)若随机变量X 的分布列为：P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：选A.依题意有a ＝1－13＝23，所以E (X )＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (X )＝13(m－2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (X )有最小值为0.6．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n (p ＋1－p 2)2＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25,D （ξ）max ＝25＝5.答案：1258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－53)2×13＋(3－53)2×16＝59.答案：599．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．解：ξ的可能值为0，1，2，P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (ξ)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)， 得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.[B.能力提升]1．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布列大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解：∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， ∵E (X )＝E (Y )，D (X )＜D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．2．如表，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X 的分布列及其均值、方差．解：可能为0个，1个，2个，4个．P (X ＝0)＝9A 44＝924，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝824， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624，P (X ＝4)＝1A 44＝124. 故X 的分布列为：∴E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1， D (X )＝924×(0－1)2＋824×(1－1)2＋624×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1. 3．某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．(1)任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；(2)任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差． 解：设事件A ：选报法语课；事件B ：选报日语课．由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.75，P (B )＝0.6.(1)法一：任选1名同学，该同学一门课程都没选报的概率是P 1＝P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝0.25×0.4＝0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名同学，该同学只选报一门课程的概率是P 3＝P (AB )＋P (AB )＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45，该人选报两门课程的概率是P 4＝P (AB )＝0.75×0.6＝0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)＝(或ξ的期望是E(ξ)＝3×0.9＝2.7)，ξ的方差是D(ξ)＝3×0.9×(1－0.9)＝0.27.。

第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点（一）基本要求1．理解随机变量的概念。

2．掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。

3．理解分布列与概率密度的概念及其性质。

4．理解分布函数的概念及性质。

5．会应用概率分布计算有关事件的概率。

6．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。

7．会求简单随机变量函数的分布。

（二）重点1．离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。

2．连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。

3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。

4．随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。

（三）难点1．离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。

2．连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。

3．随机变量函数的分布的计算。

二、重点内容简介§1 随机变量的概念及分类定义定义在样本空间Ω上的一个实值函数X=X(ω)，使随机试验的每一个结果ω都可用一个实数X(ω)来表示，且实数X满足1）X是由ω唯一确定；2）对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的，则称X为一随机变量，一般用大写字母X,Y,Z等表示。

引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件的研究转化为对随机变量的研究。

随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。

非离散型又可分为连续型和混合型。

由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下我们仅讨论这两个类型的随机变量。

§2 随机变量的分布函数及其性质定义 设X 为一随机变量，x 是任意实数,称函数 F(x)=P(X ≤x) (-∞<x<+∞) 为随机变量X 的分布函数。

分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件{ω|∞＜X(ω)≤∞}的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数具有以下的基本性质： 1） 0≤F(x )≤1;2） F(x )是非减函数； 3） F(x )是右连续的； 4）lim ()0,lim ()1;x x F x F x →−∞→+∞==设随机变量X 的分布函数为F(x )，则可用F(x )来表示下列概率：(1) ()();(2) ()(0);(3) ()1()1();(4) ()1()1(0);(5) ()()()()(0);(6) (||)()()()(0)();P X a F a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a P X a F a F a P X a P a X a P X a P X a F a F a ≤=<=−>=−≤=−≥=−<=−−==≤−<=−−<=−<<=<−≤−=−−−§ 3 离散型随机变量1 定义定义 如果随机变量X (ω)所有可能取值是有限个或可列多个，则称X (ω)为离散型随机变量（discrete random variable ）简写作d .r .v .。

§2.1.1 离散型随机变量【学习要求】1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．【学法指导】引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.【知识要点】1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.【问题探究】探究点一随机变量的概念问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2随机变量和函数有类似的地方吗？例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．（1）某人射击一次命中的环数；（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；（4）某个人的属相．探究点二离散型随机变量的判定问题1什么是离散型随机变量？问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．（1）白炽灯的寿命ξ；（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．探究点三离散型随机变量的应用例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.（3）离开天安门的距离η.（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.【当堂检测】1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．【课堂小结】1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.【课后作业】一、基础过关1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．254．某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是()A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．二、能力提升7．如果X是一个离散型随机变量且η＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么η() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．一定是连续型随机变量D．一定是离散型随机变量8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是__________________9．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．三、探究与拓展13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果§2.1.2离散型随机变量的分布列(一)【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i (i＝1,2，…，n)的概率此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ .【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1）求常数a 的值； （2）求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； （3）求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率．跟踪训练1 （1试说明该同学的计算结果是否正确．（2）设ξ①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．（2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ；（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.【当堂检测】1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )ABCD2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为 ( ) A ．1B ．913C ．2713D ．11133．将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________.4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．【课堂小结】1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【课后作业】一、基础过关1．若随机变量X( )A ．1B ．12C ．13D ．162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A ．1718B ．2738C ．1719D ．27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( )A ．1112B ．3136C ．536D ．1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，13B ．⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A ．1220B ．2755C ．27220D ．212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ（1）求η1＝12ξ的分布列；（2）求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．§2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)【学习要求】1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2．理解两点分布和超几何分布．【学法指导】两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布，如某队员在比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k 的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替．【知识要点】1则称离散型随机变量X 服从2．一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中*为 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从【问题探究】探究点一 两点分布问题1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？问题2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？例1 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列．小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．跟踪训练1 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于 ( ) A ．0B ．12C ．13D ．23探究点二 超几何分布问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？例2 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列．跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数． （1）求X 的分布列；（2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 探究点三 实际应用例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键． 跟踪训练3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【当堂检测】1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 ( ) A ．C 35C 350B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 25＋C 25C 145C 3502．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．13B ．12C ．16D ．563．在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，针尖向上0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的分布列为___________4．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________【课堂小结】1．两点分布两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．2．超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义．【课后作业】一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A ．150B ．125C ．1825D ．14 9502．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34C 248C 552B ．C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D ．C 34C 248＋C 44C 148C 5523．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 22C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2) 4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A ．15B ．16C ．115D ．135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品 6．若离散型随机变量X 的分布列为：则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A ．310B ．710C ．2140D ．7408．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率．§2.2.1条件概率【学习要求】1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)，也可以利用缩小样本空间的观点计算.【知识要点】1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．2．条件概率的性质（1）P(B|A)∈．（2）如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.【问题探究】探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？问题3怎样计算条件概率？问题4若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．小结利用P(B|A)＝n ABn A解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．【当堂检测】1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A．18B．14C．25D．122．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________ 3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_______4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)【课堂小结】1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.【课后作业】一、基础过关1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A ．23B ．38C ．13D ．582．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A ．59 B ．110C ．35D ．253．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A ．8225B ．12C ．38D ．344．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )A ．110B ．210C ．810D ．9105．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 ( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.726．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是 ( )A ．15B ．12C ．34D ．3107．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1738C ．419D ．217二、能力提升8．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________．9．以集合A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．10．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”．（1）求P (A )，P (B )，P (AB )；（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？11．把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．三、探究与拓展12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．§2.2.2 事件的相互独立性【学习要求】1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解.【知识要点】1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立．【问题探究】探究点一 相互独立事件的概念问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？问题2 在问题1中求P (A )、P (B )及P (AB )，观察它们有何关系？总结相互独立事件的定义． 问题3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？问题4 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，如何证明？例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥（2）掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 ( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥。

2．1.2 离散型随机变量的分布列1．问题导航(1)离散型随机变量的分布列的定义是什么？两点分布和超几何分布的定义是什么？ (2)离散型随机变量分布列的性质有什么作用？两点分布与超几何分布的联系和区别是什么？2．例题导读(1)例1是求两点分布列，请试做教材P 49练习1题．(2)例2、例3是求超几何分布，请试做教材P 49练习3、4题．1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n ，以表格的形式表示如下：这个表格称为离散型随机变量X 的________概率分布列，简称为X 的________分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①________p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1.2．两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N .如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是()A.B.C.D.答案：C3A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51答案：C4．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y ＝－2)＝________．答案：0.8离散型随机变量分布列的三点说明(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．(3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示．离散型随机变量的分布列 [学生用书P 32]从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．[解] 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白球}，{1白球1黄球}，{1白球1黑球}，{2黄球}，{1黑球1黄球}，{2黑球}． 当取到2白球时，随机变量X ＝－2；当取到1白球1黄球时，随机变量X ＝－1； 当取到1白球1黑球时，随机变量X ＝1； 当取到2黄球时，随机变量X ＝0；当取到1黑球1黄球时，随机变量X ＝2； 当取到2黑球时，随机变量X ＝4.所以随机变量X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4.P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.所以X 的分布列如下：[解：P (X ＞0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝1933.∴赢钱的概率为1933.求分布列的一般步骤为：(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，3，…，n )；(2)P (X ＝x i )的确定；(3)列出X 的分布列或概率分布表；(4)检验X 的分布列或概率分布表(用随机变量的分布列的两条性质验算)．1求随机变量η＝12ξ的分布列．解：由η＝12ξ，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η的值分别为－1，－12，0，12，1，32.所以η的分布列为：离散型随机变量的分布列的性质 [学生用书P 32]设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．[解] (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，∴P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量的分布列的两个性质主要解决以下两类问题：①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．②求对立事件的概率或判断某概率是否成立．2．已知离散型随机变量则q 的值为________． 解析：∵14＋1－q ＋q 2＝1，∴q 2－q ＋14＝0.∴q ＝12.答案：12两点分布与超几何分布在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1．两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点：(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．3．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为________．解析：用随机变量X 表示“每次罚球所得分值”，根据题意，X 可能的取值为0，1，且取这两个值的概率分别为0.3，0.7，因此所求的分布列为答案：(2)某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝135＋1235＝1335.(本题满分12分)(2014·高考天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.6分 (2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3).9分 所以，随机变量X12分[规范与警示] (1)解答本例的3个关键步骤：①首先确定随机变量X 的取值，是正确作答的关键．②要明确X 取不同值的意义，才能正确求X 所对应值的概率．③解答本题时易文字叙述严重缺失，如第(1)问只写出P (A )＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960. (2)解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率．1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．设随机变量XA.P (X ＝1.5)＝0 B ．P (X ＞－1)＝1 C ．P (X ＜3)＝0.5 D ．P (X ＜0)＝0解析：选A.由分布列知X ＝1.5不能取到，故P (X ＝1.5)＝0，正确；而P (X ＞－1)＝0.9，P (X ＜3)＝0.6，P (X ＜0)＝0.1.故A 正确．3．随机变量η则x ＝________，P (η≤3)＝________． 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．一个口袋里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球，以X 表示取出的球的最小编号，求随机变量X 的概率分布．解：X 所有可能的取值为1，2，3.当X ＝1时，其余两球可在余下的4个球中任意选取．∴P (X ＝1)＝C 24C 35＝35.当X ＝2时，其余两球在编号为3，4，5的球中任意选取， ∴P (X ＝1)＝C 23C 35＝310.当X ＝3时，取出的球只能是编号为3，4，5的球． ∴P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴随机变量X 的概率分布为：[A.基础达标]1．(2015·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15解析：选A.2<ξ≤4时，ξ＝3，4， ∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.27220B.27110C.111D.211解析：选A.由题意取出的3个球必为2个旧球，1个新球．故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选A.根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1，1)，X ＝3对应(1，2)，(2，1)，X ＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.4．某一随机变量X则mn 的最大值为( A ．0.8 B ．0.2 C ．0.08 D ．0.6解析：选C.由分布列的性质知m ∈(0，1)，2n ∈(0，1)，且0.1＋m ＋2n ＋0.1＝1， 即m ＋2n ＝0.8.mn ＝(0.8－2n )×n ＝0.8n －2n 2＝－2(n －0.2)2＋0.08， ∴当n ＝0.2时，mn 有最大值为0.08.5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：选D.P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有一件一等品)＝C 13·C 12C 25＝610， P (至少有一件一等品)＝1－110＝910， P (至多有一件一等品)＝1－C 23C 25＝710.6．则ξ为奇数的概率为________．解析：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815.答案：8157则(1)x ＝(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.558．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数，则P (ξ≤2)＝________．解析：由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，且ξ服从超几何分布，即P (ξ＝k )＝C 3－k 2C k 4C 36，k ＝1，2，3，故P (ξ≤2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45. 答案：459试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， ∴m ＝0.3.列表为：(1)2X ＋1(2)|X －1|10.，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．解：分别用x 1，x 2，x 3表示“小于5”的情况，“等于5”的情况，“大于5”的情况． 设ξ是随机变量，其可能取值分别为x 1、x 2、x 3，则P (ξ＝x 1)＝510＝12，P (ξ＝x 2)＝110，P (ξ＝x 3)＝410＝25.故ξ的分布列为1．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0＜ξ≤2)B ．P (ξ≤1)C ．P (ξ＝2)D ．P (ξ＝1)解析：选B.由已知得ξ的可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122C 14C 226，P (ξ＝2)＝C 24C 226，故P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.2．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1]解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝c k （k ＋1），k ＝1，2，3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)＝________．解析：由概率和为1，得1＝c (11×2＋12×3＋13×4)＝34c ，∴c ＝43，∴P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝29，∴P (0.5<ξ<2.5)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝89.答案：894．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P (13≤ξ≤53)＝________．解析：设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个．∴分布列为P (13≤ξ≤53)＝P (ξ＝1)＝47. 答案：475．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 解：(1)ξ可能取的值为0，1，2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. 所以，ξ的分布列为(2)由(1)知“所选3P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.6．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求X 的分布列．解：(1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C ，则Ω＝{(b ，c )|b ，c ＝1，2，…，6}，A ＝{(b ，c )|b 2－4c ＜0，b ，c ＝1，2，…，6}，B ＝{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1，2，…，6}，C ＝{(b ，c )|b 2－4c ＞0，b ，c ＝1，2，…，6}，∴Ω中的基本事件总数为36，A 中的基本事件总数为17，B 中的基本事件总数为2，C 中的基本事件总数为17.又∵B ，C 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (C )＝236＋1736＝1936.(2)由题意，X 可能的取值为0，1，2，则 P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为。

导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。