人教版 选修2-3 第二章 离散型随机变量及其分布列 同步教案

2.1 离散型随机变量及其分布列（第2课时）一、教学目标【核心素养】通过离散型随机变量及其分布列的学习,认识多种分布列，拓宽数学理解思维，学会对现实问题的探究,培养学生分析数据的能力，掌握数学建模的基本功. 【学习目标】1.掌握两点分布、超几何分布的概念及概率特征.2.学会两点分布、超几何分布的相关运算.【学习重点】两点分布、超几何分布的概率特征.【学习难点】1.区别两点分布、超几何分布的适用范围.2.如何将实际问题划归为对应常用的离散型随机变量概率分布列.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1-两点分布的概念及分布列性质.任务2-两点分布、超几何分布的概念及分布列性质.2.预习自测1、从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以身高看作随机变量X, X 的取值范围在[1.5，1.9].请对此次测量给出合理的分布列.详解：设[1.5-1.7]为1，（1.7-1.9]为0,则其分布列为：2、食堂排队的人数是随机变量X. 请对此次试验给出合理的分布列. 详解：大于十人为1,十人以内为0,是一个两点分布.3、在100瓶饮料中任意抽取5瓶标有600ml 的饮料是一个离散型随机变量，它的所有可能取值是0，1，2......5，请对此次试验给出合理的分布列. 详解：有600ml 的饮料大于3个设为1，小于等于3个设为0. 分布列：4.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．求X 的分布列；详解：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42C P X C ===；21543920(4)42C C P X C ===； 12543915(5)42C C P X C ===；34392(6)42C P X C ===． 故，所求X 的分布列为（二）课堂设计问题探究一 两点分布的概念、分布列及其特征★ ●活动一 透过掷骰子看分布列 例、投掷一枚硬币，正面成功的概率为21，反面成功的概率为21.写出其概率分布列.详解：选取正反面作为随机变量.根据制作分布列步骤给出分布列表. 典型的分布列（1）概念：两点分布又称0-1分布，是一种有两种可能结果的分布，是二项分布的特殊情况.（2）两点分布的概率函数1,0,1x p x P p x -=⎧⎨==⎩ 其中x =1表示事件成功发生，x =0表示事件失败. （3）分布列随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称P (X =1)=p 为成功概率．（4）两点分布的特征： 试验结果只有两种可能.②10,(1,2)i p i ≥≥= ③1)1()0(==+=X P X P . 知识点剖析：两点分布列的试验结果是对立事件.时常可以通过其关系间接求取一些事件的概率问题，以此来简化运算量.（例如:一个暗箱中有5个红球，4个白球.现从中随机抽取2个球.问抽取两个球颜色不同的概率.）解题思路点拨：抽取的两球颜色相同为事件A ，抽取的两球颜色互不相同为事件B .此问题是事件A 的对立面. ●活动二 两点分布的实际应用例1.某太空科研院进行了大豆基因突变试验，将100粒大豆种子放入太空船一个月，之后对其进行基因检测发现，每粒大豆基因突变的几率为0.1.写出其两点分布列.例2.请以一枚六面标有1，2，3，4，5，6个点的骰子为试验，给出其合理的两点分布.提示：根据面上点数的奇偶性为突破点.问题探究二 超几何分布的概念、分布列及其特征★▲ ●活动三 分布列模型能否在生产生活中起到重要指导作用？例、在生产车间为确保产品质量，通常会遇到产品批次抽样检查，对批次产品质量进行评估.其间不乏会涉及到检查出次品的情况.针对发现次品之后，是否会否定批次产品质量，成为考验质检人员的重要环节.对此，我们作出如下假设试验： 假设某生产批次有1000件产品，其中5件次品.在一次抽样检测中，抽取100件产品进行检测.要求最多抽取到一件次品为该批次产品合格.请对此次抽样检查进行评价并给出合理建议.详解：该要求包含了两个重要信息.其一是抽取产品中可能有一件或没有次品；其二是否合格实际上是从事件发生的概率大小作为指标来衡量的.所以综合分析得出，此问题需求取关键性的概率大小.于是把“抽取到一件次品”记为A 事件，“抽取中无次品”记为B 事件.;33.0)(10010009999515≈⋅=C C C A P ;1055.6)(4100100010099505-⨯≈⋅=C C C B P此次抽样合格率为：1(()())0.669345P A P B -+≈由此可知该批产品合格度不高，而且检测合格产品的标准低，对此可以给出修改标准的意见.点拨:考察了互斥事件的概率问题；组合思想在概率中的应用.针对此类问题我们可对其进行数学建模，具体思想如下： 1.概念及其分布列表示一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则该事件（X =x )发生的概率为.,,2,1,0,)(m k C C C k X P nNkn MN k M ⋅⋅⋅=⋅==--其中{}n M m ,min =，且N n ≤，N M ≤,+∈N N .则称满足上述分布列的概率分布为超几何分布.补充：若随机变量X 服从超几何分布，则记作X ~H (n,M,N ).简写为H (k,n,M,N ).分析：由超几何分布的概率公式不难看出，在分析X 件次品的可能情况中，我们采用了分步乘法计数原理和组合的应用方法.然后严格根据概率的定义得出所求取的结果. 注意点：①试验对象研究的是抽取的次品数量，且是不放回的连续抽取目标数量. ②同学们在采用计数原理的时候，一定得提前弄清楚什么是分类加法计数原理和分步乘法计数原理.他们的区别与联系以及具体的操作方法.③掌握组合计算公式)!(!!n m n m C n m -=，区别于排列计算公式)!(!n m m A nm -=. ④其中{}n M m ,min =表示若抽取的检验品数量n >M ,则有m ≤M ；若抽取的检验品数量n <M ，则有m ≤n. 2.分布列的特征①随机变量的取值可能有多种.X 既可能大于原产品的次品数量又可能小于原产品的次品数量；②()0;m n mM N MnNC C P X m C --⋅==≥③1()1mX P X i =∑==课堂总结 【知识梳理】1.两点分布的概率函数表示2.超几何分布的概念、概率函及分布列两大性质.3.制作分布列的步骤：①仔细审题，确定分布列类型及随机变量；②计算随机变量对应的概率；③制作分布列表格.【重难点突破】1.超几何分布随机变量的确定.2.超几何分布概率的算法（结合排列组合思想解题；互斥事件的概率加法原则).解决此类问题的关键是根据题设条件找到X 的可能取值，再利用概率的有关知识求出相应的概率，最后根据分布列的定义写出分布列并利用性质检验分布列的正确性. 四、随堂检测1、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数.（1）求ξ得分布列；（2）求所选三人中女生人数1≤ξ的概率. 【知识点:超几何分布，计数原理；数学思想：组合、分类讨论或正反面】 解：1）.2,1,0=ξ其分布列如下2）545351)1()0()1(=+==+==≤ξξξP P P . 2、某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，求有两人会说日语的概率.【知识点:超几何分布，计数原理；数学思想：分类讨论,组合】 解：X 表示4人中会说日语的人数,X =0,1,2,3,4其分布列如下：73)2(4102624===C C C X P . 3、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.【知识点:超几何分布，计数原理；数学思想：分类讨论,组合】 解：X 表示抽奖人所得钱数，则X =2,6,10.其分布列如下：4、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用ξ表示其中的次品数，试求：（1）抽取的4只中恰好有k 只次品的概率； （2）抽取的4只产品中次品超过1只的概率.【知识点:超几何分布，计数原理；数学思想：组合,正反面】 解：（1）)40()(418041728≤≤==-K C C C K P KK ξ(2))(1)1(1)1(418031721841804172C CC C C P P +-=≤-=>ξξ五、课后作业 智能提升★基础型 自主突破1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .【知识点:超几何分布】 解：D2.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 A. 0．216 B.0．36 C.0．432 D.0．648 【知识点: 超几何分布】 解：D3.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243B ．1027C ．516D ．10243【知识点: 超几何分布】 解：A4.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110【知识点: 超几何分布；数学思想：分类讨论】 解:C5.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001【知识点:超几何分布】 解:B6.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A.454B.361 C.154 D.158【知识点:超几何分布】 解：D★★能力型 师生共研7.甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：甲乙两市至少一市下雨的概率为【知识点:事件概率 ；数学思想：分类讨论】 解：%268.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.【知识点: 超几何分布、独立事件概率、对立事件概率；数学思想：分类讨论、正反面】 解： ①③9.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 . 【知识点: 独立事件概率】 解：4()m n m - ,610.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【知识点:事件概率 ；数学思想：分类讨论】解：设第一次抽到次品为事件A,第二次都抽到次品为事件B. （1）第一次抽到次品的概率()51.204p A == （2）191)()()(==B P A P AB P （3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为()114.19419p B A =÷= ★★★探究型 多维突破11.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？【知识点: 超几何分布；数学思想：分类讨论】解：（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A B 、两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p ，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q .（1）求p 和q 的值；（2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率. 【知识点:超几何分布 ；数学思想：分类讨论】 解： （1）1111443p +++=，∴16p =又41q =，∴14q =（2）最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇（如图在C D E 、、三处相遇） 设在C D E 、、三处相遇的概率分别为C D E p p p 、、，则11111()()66443616C p =⨯⨯⨯=⨯111112()2()6444616D p =⨯⨯⨯=⨯ 11111()()44441616E p =⨯⨯⨯=⨯ ∴111137()3218382304C D E p p p ++=++=即所求的概率为372304.六、自助餐1.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为（ ） A ．1 B.913 C.1113 D.2713【知识点:等比数列、分布列性质】 解：D2.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是（ ） A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 【知识点:独立事件概率;数学思想:分类讨论】 解：C3．某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，射中目标则停止射击，射击次数的取值是（）A．1,2,3，…，nB．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，nD．0,1,2，…，n，…【知识点:离散型随机变量】解：B4．设离散型随机变量X的分布列为则下列各式成立的是（）A．P(X＝1.5)＝0B．P(X>－1)＝1C．P(X<3)＝1D．P(X<0)＝0【知识点:分布列性质，事件概率；数学思想：分类讨论】解：A5.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为（ ） A ．1 B ．1±22 C ．1＋22 D ．1－22【知识点:分布列性质】 解：D6.若随机变量X 的分布列如下表，则x 等于（ ）A.118B.19C.209D.920【知识点:分布列性质】 解：A7、袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ε的概率分布；(3)计分介于20分到40分之间的概率.【知识点：超几何分布，互斥事件概率；数学思想：组合】解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则311152223102 ()3C C C CP AC⋅⋅⋅==解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为1215283101()3C C CP BC⋅⋅==，所以12()1()133P A P B=-=-=.（II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.211222223101(2);30C C C CPCξ⋅+⋅===211242423102(3);15C C C CPCξ⋅+⋅===211262623103(4);10C C C CPCξ⋅+⋅===211282823108(5);15C C C CPCξ⋅+⋅===所以随机变量ε的概率分布为（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则2313()("3""4")("3")("4")151030P C P P Pεεεε=====+==+=或8、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求： 随机变量ξ的分布列；【知识点：超几何分布，互斥事件概率；数学思想：组合】解：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.由等可能性事件的概率公式得145555233255554555223280(0). (1).32433243228040(2). (3)3243324321011(4) (5)32433243C P P C C P P C P P ξξξξξξ⋅=====⋅⋅======⋅======从而，ξ的分布列为9、厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列并求该商家拒收这批产品的概率. 【知识点：超几何分布，对立事件概率；数学思想：组合】解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795.10.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分布. （1）每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去；【知识点:事件概率、分布列 ；数学思想:分类讨论】 解：(1)设ξ表示取得正品时所需次数，.4,3,2,1=ξ107)1(==ξP ; 30797103)2(=⨯==ξP ; 12078792103)3(=⨯⨯==ξP ;12018192103)4(=⨯⨯==ξP.其分布列（2）...10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=ξ由于每次抽取到正品的概率都是107，每次抽取到次品的概率都是103.其分布列为11.在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率.【知识点:计数原理、事件概率；数学思想：排列、组合】解：从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有24C种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为2444114CPA⋅==12.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均不影响.21 / 21（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列.【知识点: 独立事件概率、分布列；数学思想：分类讨论】解：设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立， 则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=. (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==⋅+⋅2111114.3233399=⨯+⨯=+= 1121121224(3)()()()9P P A B B P A B B P A A B ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=。

《离散型随机变量的分布列》教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率，那么如何通过随机变量来刻画这些规律？教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法，并从中概括出离散型随机变量分布列的概念。

【知识与能力目标】会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

【过程与方法目标】认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

【情感态度价值观目标】认识概率分布对于刻画随机现象的重要。

【教学重点】离散型随机变量的分布列的概念。

【教学难点】求简单的离散型随机变量的分布列。

与教材内容相关的资料（一）复习引入： 1. 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母X 、Y 、ξ、η等表示。

2. 离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

（二）课堂设计注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。

注3：若 是随机变量，则 （其中a 、b 是常数）也是随机变量 ． 3、古典概型:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。

引例ξba +=ξη()mP A n=抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个值的概率是多少？解： 的取值有1、2、3、4、5、6则⑴列出了随机变量的所有取值． ⑵求出了的每一个取值的概率． 二、离散型随机变量的分布列1、设随机变量的所有可能的取值为 的每一个取值 的概率为，则称表格为随机变量 的概率分布，简称 的分布列． 注：1、分布列的构成⑴ 列出了随机变量 的所有取值． ⑵ ⑵求出了 的每一个取值的概率． 2、分布列的性质 ⑴⑵有时为了表达简单，也用等式表示 的分布列 2.概率分布还经常用图象来表示.ξ==)1(ξP ⋅⋅⋅=≥,2,1,0i p i 121=⋅⋅⋅++p p 6161616161==)4(ξP ==)2(ξP ==)3(ξP ==)5(ξP ==)6(ξP 61ξP126543616161616161123,,,,,,i nx x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ξ(1,2,,)i n =⋅⋅⋅i i p x P ==)(ξξξξP1x ix 2x ... (1)p 2p ip ······ξξξξξ(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===ξξ1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。

第二章随机变量及其分布本章概览课标要求1．离散型随机变量及其分布列(1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．2．二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．3．离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．4．正态分布通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．内容概述教学建议1．在教学过程中要交代引入随机变量的原因(章引言中)；2．通过与函数的比较加深对随机变量的理解；3．在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在于概念的理解及应用，不宜引入过于复杂的计算，以免喧宾夺主；4．注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及两个事件间独立性的概念．超几何分布：从a个红球和b个黑球中，不放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”不相互独立(i≠j)；二项分布：从a个红球和b个黑球中，有放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”相互独立(i≠j)．5．注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值(方差)是随机变量，具有随机性，而随机变量的均值(方差)是实数，没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差)．6．在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”的含义为：随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越接近于钟形曲线的离散化．课时安排全章共安排了4个小节，教学约需9课时，具体内容和课时分配如下(仅供参考)：2．1离散型随机变量及其分布列约2课时2．2二项分布及其应用约3课时2．3离散型随机变量的均值与方差约2课时2．4正态分布约1课时习题课约1课时2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量整体设计教材分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和分布列的一些知识．学习这些知识后，学生将能解决类似引言中的一些实际问题．随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上(一种对应关系)是一致的．随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(即先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量)，并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用．课时分配1课时教学目标知识与技能1．理解随机变量的意义；2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子；3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学过程引入新课统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？为了解决类似问题，从今天开始学习本章内容——随机变量及其分布列．设计意图：设置悬念，营造一种神秘气氛，容易吸引学生注意力，调动学生学习兴趣，揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性，点出了本章内容．活动设计：复习回顾概率有关知识．概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量．随机试验是指满足下列三个条件的试验：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．(本部分可由教师提示、学生完成)提出问题：同学们能举出一些随机试验的例子吗？并说明该随机试验的所有可能结果．学情预测：学生容易举出抛硬币、掷骰子等试验，然后教师可根据例子实施引导、启发．活动结果：(以下为可能出现的例子)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示；某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0,1，…，10这11个数表示；从装有4个黑球，3个红球的篮子中任意拿出2个球，可能出现哪些情况？提出问题：这些随机试验，有哪些共同点？活动结果：随机试验中可能出现的每种结果都可以用一个数来表示．(由学生完成)探究新知提出问题：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？学情预测：此时有的学生会产生疑虑，不敢作答，教师根据学情引导．活动结果：抛一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．(也可用另外两个数如1、2分别表示正面向上和反面向上，通过准确、恰当的抽象，可使问题简单化，这正是数学的魅力所在)教师指出：在前面掷骰子和抛硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．(给出定义)定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不可能确定取何值．提出问题：随机变量和高一学习的什么概念有类似的地方吗？(函数或映射)活动结果：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．(学生为主，教师完善)教师：例如，从含有4个黑球3个红球的篮子中，任意抽取两个球，可能含有的红球数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其取值范围是{0,1,2}．提出问题：利用随机变量可以表达一些事件．例如{X＝0}表示“抽出两个黑球”，{X＝2}表示“抽出2个红球”等．你能说出{X<1}在这里表示什么事件吗？“抽出1个以上黑球”又如何用X表示呢？(学生基本能顺利完成)教师指出：红球数X是一个随机变量，其取值是0、1、2，可以一一列举(给出定义)．定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．提出问题：离散型随机变量的例子很多．例如某人一分钟内眨眼次数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2…；同学们还能举出哪些例子？学情分析：有的学生在举例时会错举出一个连续型随机变量来，借机发问，例如：提出问题：灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？活动结果：灯泡的使用寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．定义3：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．提出问题：同学们还能举出哪些例子？活动结果：如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值(或者其他)．教师指出：在研究随机现象时，有时可根据需要恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1 000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命<1 000小时；1，寿命≥1 000小时. 与电灯泡的寿命X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．提出问题：同学们还能举出哪些离散型或连续型随机变量的例子？你能否总结出二者的区别与联系？活动结果：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出(由学生完成)．理解新知教师进一步指出：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ＝0，表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．(2)若ξ是随机变量，η＝aξ＋b ，a ，b 是常数，则η也是随机变量．(可通过拓展练习来说明)运用新知例1一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．解：(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或3,4,5.例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？解：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．【变练演编】写出某用户的电话在单位时间内收到的呼叫次数η的可能值．解：η可取0,1，…，n ，….η＝i ，表示被呼叫i 次，其中i ＝0,1,2，….变式：一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X ，写出随机变量X 的可能值．解：X 可取1,2,3， (24)【达标检测】1．有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ξ；②某地半年内下雨的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④某人一生中的身高为ξ；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示运动员在射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③⑤B ．①②④C ．①D ．①②⑤2．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P(ξ<4)＝0.3，则( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定3．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为( )A.1112B.3136C.536D.112答案：1.D 2.C 3.B课堂小结1．离散型随机变量、连续型随机变量的概念；2．随机变量ξ是关于试验结果的映射，即每一个试验结果对应着一个实数；3．随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b(其中a 、b 是常数)也是随机变量．补充练习【基础练习】1．写出下列各随机变量可能的取值：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X.解：X ＝1,2,3， (10)(2)某一自动装置无故障运转的时间ξ.解：ξ取(0，＋∞)内的一切值．【拓展练习】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．设计说明本节主要采用教师提出问题引导，学生思考归纳的形式，让学生经历概念的形成过程，避免了以往由老师叙述概念条文，然后讲解例题的教学模式，以实际问题为向导，引导学生分析问题、归纳问题的共性，提炼出随机变量的概念．备课资料备选例题：1．把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值．解：2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；解：ξ可取1,2， (10)(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；解：X可取0,1,2,3,4.(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.解：X可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.Y可取2,4,6,8,10,12.(设计者：王宏东李王梅)。

2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体、实物投影仪 。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为22121)(x e x F -=π，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率： 68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

本章整合知识网络专题探究专题一 典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征的基础，对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度，求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：(1)确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律；(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【例1】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽3次，每次取1球． 求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列． 思路点拨：(1)为二项分布；(2)为超几何分布．解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. 因此，X 的分布列为(2)P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715；P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此，Y 的分布列为专题二 独立事件与二项分布是高考的一个重点，独立事件是相互之间无影响的事件，P (AB )＝P (A )P (B )是事件A ，B 独立的充要条件．二项分布实质是独立事件的一类具体情况．n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1，2，…，n . 【例2】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率．思路点拨：本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．解：(1)如果三个题目均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 如果三个题目均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 如果三个题目一对两错，包括两种情况：①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)． 如果三个题目两对一错，也包括两种情形；①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40. P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192；P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以，ξ的分布列为ξ的期望为E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负数的概率为 P (ξ≥0)＝1－P (ξ＜0)＝1－0.016＝0.984. 专题三 离散型随机变量的期望与方差期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X 的期望与方差的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能的全部取值； (2)求X 取每个值的概率或求出函数P (X ＝k )； (3)写出X 的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E (X )；(5)由方差的定义，求D (X )，若X ～B (n ，p )，则可直接利用公式求，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例3】某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．思路点拨：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，分别求出P (A )，P (B )，P (C )，则代表队答对此题即只要有一个答对即可，可借助其对立事件来解．根据题意问题，(2)符合二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，直接利用二项分布均值公式求均值． 解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23，又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196. (2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (ξ)＝10×9196＝45548.而η＝20ξ－10×(10－ξ)＝30ξ－100， ∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184.专题四 正态分布的实际应用对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．【例4】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的同学有17人．试计算该班同学中成绩在90分以上的同学有多少人？思路点拨：依题意，由80～85分同学的人数和所占百分比求出该班同学总数，再求90分以上同学的人数．解：∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x 名同学，则x ×34.13%＝17.解得x ＝50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.72%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%. 即有50×2.28%≈1(人)． 即成绩在90分以上的仅有1人．。

一般高中程准教科—数学修 2-3[人教版 B]2.1.2 失散型随机变量的散布列教课目：1、理解失散型随机量的散布列的意，会求某些的失散型随机量的散布列；2、掌握失散型随机量的散布列的两个基天性，并会用它来解决一些的．教课要点：1、理解失散型随机量的散布列的意，会求某些的失散型随机量的散布列；2、掌握失散型随机量的散布列的两个基天性，并会用它来解决一些的．教课程一、复引入：1.随机量：假如随机的果能够用一个量来表示，那么的量叫做随机量随机量常用希腊字母ξ、η等表示2.失散型随机量: 随机量只好取有限个数或可列无多个数称失散随机量，在高中段我只研究随机量取有限个数的情况 .二、解新：1.散布列 : 失散型随机量ξ可能获得x1，x2，⋯，x3，⋯，ξ 取每一个xi（i =1，2，⋯）的概率P(x i )p i，称表ξx1x2⋯x i⋯P12⋯i⋯P P P随机量ξ的概率散布，称ξ 的散布列2. 散布列的两个性：任何随机事件生的概率都足: 0 P( A) 1 ，而且不行能事件的概率 0，必定事件的概率1．由此你能够得出失散型随机量的散布列都拥有下边两个性：⑴P i≥0， i ＝1，2，⋯；⑵ P1+P2+⋯=1．于失散型随机量在某一范内取的概率等于它取个范内各个的概率的和即P(x k ) P(x k ) P(x k 1 )3.二点散布：假如随机量X 的散布列：X10P p q三、例子例 1．一盒中放有大小同样的色、色、黄色三种小球，已知球个数是球个数的两倍，黄球个数是球个数的一半．从盒中随机拿出一个球，若拿出球得 1 分，拿出黄球得 0 分，拿出球得－ 1 分，写出从盒中拿出一球所得分数ξ的散布列．剖析：欲写出ξ的散布列，要先求出ξ的全部取值，以及ξ取每一值时的概率．解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为 2n ，红球个数为 4n ，盒中的总数为7n ．∴4n 4 0)n 1， P(2n 2 P( 1)， P(7n71)．7n 77n7所以从该盒中随机拿出一球所得分数ξ 的散布列为ξ1－ 1P41 27 7 7说 明 ： 在 写 出 ξ 的散布列后，要实时检查全部的概率之和能否为1．例 2． 某一射手射击所得的环数ξ 的散布列以下：ξ4 5 6 7 8 9 10P 0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．剖析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ ξ ＝ 7 ”、“ ξ ＝ 8”、“ ξ ＝ 9 ”、“ξ ＝10 ”的和，依据互斥事件的概率加法公式，能够求得此射手“射击一次命中环数≥ 7”的概率．解：依据射手射击所得的环数ξ 的散布列，有P ξP ξP ξ=8) ＝0.28 ， P ξ=10) ＝ 0.22.( =7) ＝ 0.09 ， ( (=9) ＝ 0.29 ， ( 所求的概率为 P ( ξ≥ 7) ＝ 0.09+0.28+0.29+0.22 ＝ 0.88 ．例 3．某厂生产电子元件， 其产品的次品率为5%．现从一批产品中随意地连续拿出2 件，写出此中次品数 ξ 的概率散布．解：依题意，随机变量 ξ ～ B (2 ，5%)．所以，(ξ =0)=(95%) 2=0.9025 ， (ξ=1)=1(5%)(95%)=0.095 ，P C 2P C 2 P22=0.0025 ．(2 )= C 2 (5%)所以，次品数 ξ 的概率散布是ξ0 1 2 P0.90250.0950.0025讲堂小节： 本节课学习了失散型随机变量的散布列 讲堂练习： 第 51 页练习课后作业： 第 54 页习题 A 2。

第二章随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量一、教学目标：知识与技能：理解离散型随机变量的分布列的概念；理解超几何分布的概率模型及其应用过程与方法：发展学生的抽象、概括能力，培养学生分析和运用数学知识解决实际问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，掌握分布列的两个基本性质难点：确定离散型随机变量的确定及范围。

三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新（课前与学生一起制作投篮小视频，最后剪辑两位同学的投篮过程）问题1.假设投篮结果只分中与不中，有没有存在随机变量？是不是离散型随机变量？如果是，可以怎么表示？（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母表示。

（2）离散型随机变量：对于所有取值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量。

设计意图：“有没有存在随机变量？”这一问可以复习随机变量；“是不是离散型随机变量？”这一问可以复习离散型随机变量；“可以怎么表示？”这一问复习如何用实数表示离散型随机变量。

这样设置使得复习旧知时，不再显得突兀，顺其自然地帮助学生复习旧知。

同时也培养学生动手能力，让学生懂得着挖掘自己身边的数学问题。

（二）探究新知1、设置数学实验，创设情境(师生互动探究)设计游戏规则：甲将两个红色球、一个蓝色球和一个绿色球放入袋子中，乙每次从中随意取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱。

课题：§ 2.1.1离散型随机变量导学案【三维目标】知识与技能：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量过程与方法：通过实例，理解随机变量与离散性随机变量的含义情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究随机现象的意义，体会数学的应用价值【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【学习难点】对随机变量含义的理解.【学法指导】认真阅读本章的篇头语与本节课的教材，按要求完成导学案【知识链接】1、什么是随机事件？什么是基本事件？在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

试验的每一个可能的结果称为基本事件。

2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。

如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，它被称为一个随机试验，简称试验。

例如1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，，，命中10环等结果，即可能出现的结果可以用数字__________________________________ 表示；2、某次产品检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由数字表示在上面例子中，随机试验有下列特点：①试验的所有可能结果可以用一个数来表示；②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.【学习过程】A问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1 , 2 , 3, 4, 5, 6来表示•那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？B问题2:试归纳随机变量的概念？随机变量常用什么表示?C问题3:随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的值域是什么?B问题4: 一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数X是一个随机变量，写出随机变量的值域B 问题5:利用随机变量可以表达一些事件•例如{X=0 }表示“抽出0件次品”表示“抽出4件次品”等•你能说出{ X< 3 }在这里表示什么事件吗？ “抽出 品”又如何用 X 表示呢？B 问题6:试归纳离散型随机变量的概念?B 问题7:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗？为什么?C 问题8:在研究电灯泡的使用寿命是否超过1000小时时，定义如下的随机变量:Y= °，寿命<1000小时；随机变量Y 是一个离散型随机变量吗？为什么？ ]1,寿命丄1000小时.拓展：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值， 可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量，如某林场树木最高达 30米，则林场树木的高度 ■是一个随机变量，它可以取(0, 30]内的一切值.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 -------------------------------------- 列出一注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 •如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，'=1，表示反面向上，(2)若•是随机变量，b,a,b 是常数，则也是随机变量一例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果•(1) 一袋中装有 5只同样大小的白球，编号为 1 , 2, 3, 4, 5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数E ;(2) 某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数n -C 例2、抛掷两枚骰子各一次， 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 试问：“三＞ 4 ”表示的试验结果是什么？,{X =4} 3件以上次B1、下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。

2． 1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。

2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。

说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。

②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。

说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。

例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。

剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。

三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。

四、作业布置：教材P193页闯关训练。