第二章 离散型随机变量

§1 离散型随机变量及其分布列学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列．知识点一 离散型随机变量 思考1 以上两个现象有何特点？ ①掷一枚均匀的骰子，出现的点数； ②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数． 答案 各现象的结果都可以用数表示．思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． 梳理 (1)随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示． (2)离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．知识点二 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.梳理(1)离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把上式列成表为上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．(2)离散型随机变量的性质①p i>0；②p1＋p2＋ (1)1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)2．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)3．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)4．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)5．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)类型一离散型随机变量的概念例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果解(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．引申探究若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．解设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则X>4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．跟踪训练1①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 B解析由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．类型二离散型随机变量分布列的性质例2 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练2 (1)袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为________．(2)若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c ＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率答案 (1)(2)13解析 (1)显然，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，所以P (X ＝1)＝1－311＝811，所以X 的分布列是(2)由随机变量分布列的性质可知：⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0<9c 2－c <1，0<3－8c <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－9c ＋2＝0，1－3718<c <0或19<c <1＋3718，14<c <38，解得c ＝13.类型三 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例3 设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由条件中的分布列得：(1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练3 已知随机变量X 的分布列为求随机变量Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X 的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X ，得Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(X ＝4k ＋3，k ∈N )，0(X ＝2k ，k ∈N ＋)，1(X ＝4k ＋1，k ∈N ).P (Y ＝－1)＝P (X ＝3)＋P (X ＝7)＋P (X ＝11)＋...＝123＋127＋1211＋ (215)P (Y ＝0)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＋P (X ＝6)＋…＝122＋124＋126＋…＝13，P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝5)＋P (X ＝9)＋…＝12＋125＋129＋…＝815.所以随机变量Y 的分布列为命题角度2 利用排列组合求分布例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义． (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．给出下列随机变量：①某机场候机室中一天的旅客数量为X ； ②某人投篮10次投中的次数X ；③某水文站观测到一天中长江的水位为X ； ④某立交桥一天内经过的车辆数为X . 其中是离散型随机变量的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B解析 ③中，某水文站观测到一天中长江的水位X 的取值不可列出，所以③不是离散型随机变量．2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误．4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 23解析 设试验成功的概率为p ， 则p ＋p 2＝1，∴p ＝23，∴P (ξ＝1)＝23.5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝1C16C16＝1 36；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．一、选择题1．下列变量中，不是离散型随机变量的是()A．某教学资源网1小时内被点击的次数B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( ) A ．0≤X ≤5，x ∈N B ．－5≤X ≤0，x ∈Z C ．－1≤X ≤6，x ∈N D ．－5≤X ≤5，x ∈Z考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 D解析 两次掷出点数均可取1～6所有整数， 所以X ∈[－5,5]，x ∈Z .3．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.4．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 所以P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1]考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．已知离散型随机变量X 的分布列为则m 的值为________． 答案139解析 m ＝P (X ＝10)＝1－[P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝9)]＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋239＝1－23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝⎝⎛⎭⎫139＝139. 10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527. 11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获利分别为6 万元、2 万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 依题意得，X 的所有可能取值为6,2,1，－2.X ＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件， 所以P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.所以X 的分布列为四、探究与拓展14．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为________． 考点 题点 答案解析 设黄球的个数为n ，则绿球个数为2n ，红球个数为4n ，球的总数为7n .X ＝1,0，－1. 所以P (X ＝1)＝4n 7n ＝47，P (X ＝0)＝n 7n ＝17，P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27.15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条．当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)若2条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有8C 23对相交棱，∴P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，∴随机变量ξ的分布列为。