高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列知识导航北师大版选修2-3

离散型随机变量及其分布列（一）教学目标(一)教学知识点1．随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样就可以用变量来刻画随机试验的结果以及随机事件，以便更好的借助于数学工具对随机现象进行研究2．在第二册（下B）对“概率”初步学习的基础上，了解随机变量、离散型随机变量的意义，掌握离散型随机变量在概率中的应用。

(二)能力训练要求1．掌握随机变量的真实含义，灵活运用随机变量的意义分析随机现象的规律.2．会运用函数观念研究随机现象的问题，具有一定的函数思想.3．能对日常生活和生产实践中的随机现象进行总结和概括,训练学生的概括能力教学重点1.在掌握概率中随机现象的基础上,引入随机变量这个概念2.深刻理解随机变量的三个特征教学难点自然随机现象中的随机试验的结果是千姿百态的,这些结果如何去刻画他们,于是有了随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量等概念的建立.教学过程1.情境引入情境1：在射击运动中，运动员每次射击的成绩具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成绩是一个什么事件？（随机事件）如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。

情境2：高尔顿是英国生物学家和统计学家，他设计了一个著名的游戏——高尔顿板游戏。

如图，在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前后挡有玻璃，然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？这个问题近似地服从正态分布，它是很多自然现象和生产、生活实际问题中经常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。

以上两个问题就是我们本章要学习的两个重要的随机变量概率分布模型，本章的课题是——随机变量及其分布。

引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。

离散型随机变量及其分布列【教学目标】1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量．2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识．3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识数学的科学价值和应用价值．【教学重点】随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量． 【教学难点】对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 【自主检测】1,写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X 是一个随机变量．2，袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记01X ⎧=⎨⎩两球全红两球非全红．求X 的分布列．【知识点拨】问题1：芦溪中学第六届教师篮球赛高一年级对高二年级这场比赛中高一队对高二队造成犯规，由高二年纪邵新贵老师3次罚球（投中一个记1分，未投中记0分）的得分结果？随机变量定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示。

问题2：芦溪中学预定在5月23日举行升旗仪式，如果那天下雨则取消升旗仪式，如果不下雨则照常进行升旗仪式，问能否用随机变量表示结果？问题3：芦溪中学为纪念建党90周年举行了征文比赛，由高二（16）班林汉卿同学及其他班级同学共100名参加比赛，比赛设置一等奖10，二等奖20名，三等奖70名，随机变量X 表示林汉卿同学获得X 等奖，分别说明下列集合所代表的随机事件}{2)1(=X {}1)2(>X }{31)3(<≤X离散型随机变量定义：如果随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 .问题4：甲、乙同学做游戏，甲猜乙的出生月份，甲只能猜一次，甲猜的月份为 X ，则 X 可能取的值有1，2，3，…12.如果甲猜对把 X 取各值的概率列表如下：这个表指出了随机变量 可能取的所有值，以及取这些值的概率，此表给出了随机变量X 在随机试验中取各个值的概率的分布情况，把这个表称为随机变量 X 的概率分布 .离散型随机变量X 的分布列定义：设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1 ，x 2 ，· · · ，x i · · · ，X 取每一个值 xi ( i = 1，2， · · · ，) 的概率 P (X = x i ) = p i ，或表称为随机变量 的概率分布，简称为的分布列 . 离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i > 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， · · · ；(2) p 1 + p 2 +…p i +… = 1 .【经典体验】例1：一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X；写出随机变量X可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果例2：从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．例3：王二用两元买了一注双色球彩票，随机变量X 表示王二中奖的结果，求X的分布列双色球玩法说明: 每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1--33中选择；蓝色球号码从1--16中选择。

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

“教材分析与导入设计”第二章概率2。

1 离散型随机变量及其分布列本节教材分析教科书通过投掷骰子的试验给出了离散型随机变量的描述性的定义，并给出了离散型的分布列的概念.随机变量的分布列完全描述了随机现象的规律，了解随机现象就是要了解分布列.最后课本举例说明了如何通过求离散型随机变量的分布列来了解随机现象，以及如何利用分布列来计算随机事件的概率.三维目标(1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2)会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．教学重点,难点：（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学建议：分两课时完成本节内容。

第一节课主要解决取值有限的离散型随机变量,首先，让学生了解离散型随机变量的定义，进而理解随机变量;第二节课主要完成理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．上课时，第一节课运用探究法授课，第二节课运用讲练结合的形式授课，两节课采用不同的教法效果会更好点。

新课导入设计导入一：（启发提问式）在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数X是0，1，…,10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4,5，6中的某一个数;新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点?导入二：(复习引入)：1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生,则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ。

随机试验为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的,并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。

§1 离散型随机变量及其分布列1．随机变量(1)我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示．实际上，随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射．(2)随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． 预习交流1随机变量与函数的关系是怎样的？提示：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作P (X ＝a i )＝p i (i ＝1，2，…)，①或列成表显然p i ＞0，p 1＋p 2＋ (1)预习交流2盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔．从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ可能的取值是什么？当ξ＝2时表示怎样的试验结果？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．1．随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：利用随机变量的定义去分析相应的实例．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．(3)掷一颗骰子可能出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．下列变量中属于离散型随机变量的有__________．①在2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取一张，被取出的编号数为X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ；③从2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X ； ④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径之差X ；⑤投掷一颗骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X .答案：①②③解析：①②③中变量X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中的X 的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量．⑤中的X 的取值是确定的，是6，不是随机变量．判断一个变量是否为随机变量，主要是看变量的值的出现是否是随机的，结果是随机的变量为随机变量，如果随机变量能按一定的顺序列举出来，则这种随机变量则是离散型随机变量．2.离散型随机变量的分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．思路分析：要求赢得的钱数X 的概率分布列，需先写出X 的可能取值，然后求出X 中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量x ＝－2，此时 P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522； 当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量x ＝－1，此时P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211； 当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量x ＝1，此时P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411； 当取到2黄时，结果无输赢，随机变量x ＝0，此时P (X ＝0)＝C 22C 212＝166； 当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量x ＝2，此时P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433； 当取到2黑时，结果赢4元，随机变量x ＝4，此时P (X ＝4)＝C 24C 212＝111，设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35的值． 解：由题意得x(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝1215＝45.解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )．A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率 答案：C解析：对于A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B ，D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )．A ．5B ．9C ．10D ．25答案：B解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示试验结果是( )．A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标答案：C解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹． 4．掷一枚骰子，出现点数X 是一随机变量，则P (X ＞4)的值为__________．答案：13解析：P (x ＞4)＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝16＋16＝13. 5．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．。

§1离散型随机变量及其分布列[对应学生用书P20]离散型随机变量(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数．(2)在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数．问题1：上述现象有何特点？提示：各现象的结果都可以用数表示．问题2：现象(3)中红球的个数x取什么值？提示：x＝0,1,2,3,4.问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．1．随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X，Y来表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列1．抛掷一枚均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数．问题1：X的可能取值是什么？提示：X＝1,2,3,4,5,6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.问题3：试用表格表示X 和P 的对应关系． 提示：X 1 2 3 4 5 6 P161616161616问题4：试求概率和． 提示：其和等于1.1．离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)，(1)或把上式列成表X ＝a i a 1 a 2 … P (X ＝a i )p 1p 2…上表或(1)式称为离散型随机变量X 的分布列． 2．离散型随机变量的性质 (1)p i ＞0；(2)p 1＋p 2＋p 3＋ (1)1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．[对应学生用书P21]随机变量的概念[例1] 写出以下各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．[精解详析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.假设以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，那么X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．1．以下变量中属于离散型随机变量的有________．①在2 014X已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一X，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2 014X已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3X，被取出的卡片的号数和X；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一X围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．答案：①②③2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，那么X＝3表示的试验结果是________．解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4〞表示的试验结果．解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.那么－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．那么X＞4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．离散型随机变量分布列的性质[例2]X＝i 1234 5P(X＝i)110310a110110(1)求a；(2)求P(X≥4)，P(2≤X＜5)．[思路点拨] (1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解．(2)借助互斥事件概率求法求解．[精解详析] (1)由110＋310＋a ＋110＋110＝1，得a ＝25.(2)P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝110＋110＝15，P (2≤X ＜5)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋25＋110 ＝45. [一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的． (2)p 1＋p 2＋…＝1，且p i ＞0，i ＝1,2，….4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，那么a 的值为( )A ．1 B.913C.1113D.2713解析：由分布列的性质，知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝a ·13＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1327a ＝1.∴a ＝2713.答案：D5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求：(1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 解：∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4，(1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝110＋210＝310. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.离散型随机变量的分布列[例3] (10分)袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X 表示取出3个球中的最大，求X 的分布列．[思路点拨] 先确定X 的所有可能取值，然后分别求出X 取各值时的概率即可． [精解详析] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大为3，其他2个球的为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 36＝120；(2分)X ＝4，即取出的3个球中最大为4，其他2个球只能在为1,2,3的3个球中取．所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；(4分)X ＝5，即取出的3个球中最大为5，其他2个球只能在为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；(6分)X ＝6，即取出的3个球中最大为6，其他2个球只能在为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.(8分)所以，随机变量X 的分布列为X ＝x i 3 4 5 6 P (X ＝x i )12032031012(10分)[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．6．在射击的试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 射中，0，未射中，如果射中的概率为0.8，求随机变量X 的分布列．解：由P (X ＝1)＝0.8，得P (X ＝0)＝0.2.所以X 的分布列为：X ＝x i 1 0 P (X ＝x i )0.8 0.27．(某某高考改编)一个盒子里装有7X 卡片，其中有红色卡片4X ，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3X ， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4X 卡片(假设取到任何一X 卡片的可能性相同)．(1)求取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4X 卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片〞为事件A ，那么P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P13543527478．(某某高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y10结算时间(分钟/人) 11.522.53这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解： (1)由得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3 P32031014151101．随机变量X 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X 的线性组合Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．[对应课时跟踪训练九]1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各假设干个，一次倒出三个小球，以下变量是离散型随机变量的是( )A ．小球滚出的最大距离B ．倒出小球所需的时间C ．倒出的三个小球的质量之和D ．倒出的三个小球的颜色种数解析：A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．答案：D2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球之和为随机变量X ，那么X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C3．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，假设P (X <4)＝0.3，那么n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10. 答案：C4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，P (Y <6)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.答案：A5．随机变量Y 的分布列如下：Y ＝y i 1 2 3 4 5 6 P (Y ＝y i )0.1x0.350.10.150.2那么(1)x ＝________；(2)P (Y ＞3)＝________； (3)P (1＜Y ≤4)＝________.解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55 6．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck k ＋1，k ＝1,2,3，其中C 为常数，那么P (X ≥2)＝________.解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．假设离散型随机变量X 的分布列为：word11 / 11，求常数a 及相应的分布列．解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)． 所以随机变量X 的分布列为：8．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )〞为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设X ＝m 2，求X 的分布列．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13， P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为。