第三章----单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动3—1 阻尼的作用与分类前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。

但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。

阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。

1.干摩擦阻尼：两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。

2.粘性阻尼：物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。

有润滑油的滑动面之间产生的阻尼就是这种阻尼。

粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。

物体以较大速度在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2xb F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。

3.结构阻尼、材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。

其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。

由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。

在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。

有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。

3－2具有粘性阻尼的自由振动单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。

以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。

则物体运动微分方程为kx x c x m －＝－式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

将上式写成标准形式，为0 kx x c x m (a)令p 2=m k , m c n 2, 则上式可简化为 022 p x n x (3-1)这就是有阻尼自由振动微分方程。

它的解可取st e x ，其中s 是待定常数。

代入（3-1）式得 0)2(22 st e p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，必须0222 p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为222,1p n n s （b ）于是微分方程（3-1）的通解为)(2222212121t p n t p n nt t s t s e c e c e e c e c x （3-2）式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。

振动系统的性质决定于根式22p n 是实数、零、还是虚数。

对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。

若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。

引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2// （3-3）当n>p 或 >1,根式22p n 是实数，称为过阻尼状态，当n<p 或 <1，根式22p n 是虚数，称为弱阻尼状态，当n ＝p ，即 ＝1，称为临界阻尼状态。

现分别讨论三种状态下的运动特性。

1.过阻尼状态此时 >1，即22p n <n ，（b ）式中s 1及s 2均为负值，则t s e 1及t s e 2是两根下降的指数曲线，故（3-2）式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。

图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。

2.临界阻尼状态此时 ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（3-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（3-1）的通解为x ＝（c 1＋c 2t ）e－pt （c ） 式中等号右边第一项c 1e－pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式： !/!3/!2//12322/22n t p t p t p p t c e c te c n n t pt pt 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。

因此（c ）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态此时p>n,或 <1。

利用欧拉公式t n p i t n p e e t n p t p n 2222sin cos 2222可将（3-2）式改写为 )sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t n p i t n p int或 )sin(22 t n p Aex nt （3-4-1） 令22n p p d ，则)sin( t p Ae x d nt （3-4-2）式中A 与 为待定常数，决定于初始条件。

设t ＝0时，x ＝x 0，0x x ，则可求得000120020,)(x nx x p x tg p nx x A d d （3-5） 将A 与 代入（3-4-1）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线nt Ae 之内随时间不断衰减的衰减振动。

如图3-3所示。

这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为2221 P n P P d222222221111221122 T P n P T f P n P f d d 式中P 、f 、T 是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。

由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n 都比P 小得多，属于小阻尼的情况。

例 =n/p=0.05时，f d =0.9990f ，T d =1.00125T ；而在 =0.20时，f d =0.98f ，T d =1.02T ，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。

另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t 1时，A 1=Ae -nt 1；t=t 1+T d 时，A 2=A )(1d T t n e ；t=t 1+2T d 时，A 3=A )2(1d T t n e ，…..。

而相邻两振幅之比是个常数。

即nTd j j e A A 1/ （3-6）式中η称为减幅系数或振幅衰减率，n 称为衰减系数，n 越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。

当 ＝0.05时，η＝1.37，A 2=A 1/1.37=0.73A 1，每一个周期内振幅减少27％，振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3％。

可见，衰减是非常显著的。

在工程上，通常取（3-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即d j j nT A A Ln )/(1 （3-7）式中δ称为对数减幅或对数衰减率。

将22/2n p T d 代入，得2221/2/2 n p n （3-8-1） 当 <<1时，δ≈2π （3-8-2） 因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数e nTd ，即e e A A A A A A A A nTd j j 1433221/......///故有)/)......(/)(/(/1322111j j j A A A A A A A A j e因此对数减幅δ也可表达为)1(11 j A A Ln j （3-9） 此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。

因为111121 j j d j j d d j j A A Ln T m c A A Ln T n nT A A Ln故 12 j j d A A Ln T m c （3-10） 所以只要实测得出衰减振动的周期T d 及相邻两次振幅A j 和A j+1，即可计算出系统的阻尼系数C 。

[例3-1] 在图3-1所示的振系中，弹簧刚度K=250N/cm ，阻尼系数C=6N ·s/cm ，物体重98N 。

设物体从静平衡位置下拉1cm ，然后突然释放，求此后的运动。

解：先求阻尼比 判断阻尼状态，分析运动性质，因为 16.0980982502622 mk c mp c ，属弱阻尼振动，故运动方程为：)sin( t p Ae x d nt 及)]sin()cos([ t p n t p p Ae xd d d nt 式中：40)6.01(980/98250)1(1222m k p p d 1/s 202020)(d p nx x x A 000nx x p x tg d 由初始条件：t ＝0时， x 0＝1cm 、00 x 及n ＝6.0 p ×30980/98250 1/s 代入以上两式，得 A=1.25cm ，34 tg ，即01530 所以 x ＝1.25e -30t sin(40t+0.928)[例3-2] 设阻尼系数为C=1N ·s/cm ，其余数据同上例，试求对数减幅δ，并估计使振幅减小到初始值的1%所需的次数及时间。

解：628.02,1.0509829801 振动次数 84.7628.0605.41001111 Ln A A Ln j j 所需时间 01.150822122p j p jjT t d s [例3-3] 有阻尼弹簧质量系统中，物块重98N ，弹簧刚度k=7N/cm ，阻尼系数C 未知，如果测得幅值为每循环衰减率为10%，求阻尼系数C 。

解： /1()/(1Ln A A Ln j j 0.9)=0.105， m=98/980=0.1。

由（3-8）式得0167.0)105.0(4/105.04/2222 N ·s/cm所以 C=0279.071.00167.0222 mk mpN ·s/cm 。

3—3在简谐激扰力作用下的强迫振动单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图3-4所示。

设系统中除了有弹性恢复力及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐扰力F （t ）=F 0sin ωt ，其中ω为激扰频率。

由牛顿运动定律，直接写出系统的运动微分方程为：t F kx x c x m sin 0 （3-11）令 P 2=k/m, 2n=c/m ，q=F 0/m 。

则（3-11）式可改写为下列形式t q x p x n x sin 22（3-12） 方程的通解由两部分组成。

即)()()(21t x t x t x其中x 1(t)为齐次方程的通解，x 2(t)为方程（3-12）的特解，在弱阻尼情况下，通解为（3-4）式，即)sin()(221 t n p Ae t x nt （a ）因为方程(3-12)的非齐次项为正弦函数，故其特解为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。