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主题函数的零点与应用问题教学内容1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点；2. 掌握常见类型函数的应用。
（以提问的形式回顾）问题：已知二次函数62--=xxy①求0=y时x的值.②作出函数的简图，并观察方程062=--xx的根与函数图象与x轴交点之间的关系.学生通过观察分析易得方程062=--xx的根就是62--=xxy的图像与x轴的交点横坐标.【引入零点的定义，可以让学生自己去总结，教师进行补充.】1.零点的定义：一般地，如果函数)(xfy=在实数a处的值等于零，即0)(=af，则a叫做这个函数的零点；2.函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点就是求相应的方程0)(=xf的根，一般可以借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点.思考：如何判断函数)(xfy=在区间],[ba上是否存在零点.【可借助于学生熟悉的二次函数图象和二次方程帮学生总结出函数零点存在的条件.】问题：完成下表，回答问题：方程0322=--xx0122=+-xx0322=+-xxxy－23函数322--=x x y 122+-=x x y322+-=x x y图像方程的根 11-=x ，32=x121==x x无实根 函数零点3. 函数)(x f y =在区间],[b a 上存在零点的条件：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点. 借助上面零点存在的条件，进一步引出二分法4. 二分法：把函数)(x f y =零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值.这种方法叫做二分法. 练习：判断下列说法是否正确：①任何函数都有零点;②1032--=x x y 的零点是（-2,0）和)0,5(; ③1032--=x x y 的零点是-2和5. 解 ①错； ②错； ③对.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ）A .()0,1；B ．()0,2；C ．()0,1，()0,2；D ．1，2． 解：由()2320f x x x =-+=得，1x =和2，所以选D ．注意零点的定义，它是方程的根，而不是点坐标试一试：若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） x y －1 3 0 xy 1xy设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[]20,200是减函数，由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x 的表达式为()v x =()60,020,1200,20200.3x x x ≤<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()f x =()60,020,1200,20200.3x x x x x ≤<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=； 当20200x ≤≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值100003． 综上，当100x =时，()f x 在区间[]0,200上取得最大值1000033333≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
word 格式-可编辑-感谢下载支持必修一 函数的应用 较难1．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A.(,)01 B.(,)1+∞ C.(,)-10 D.(,)-∞-12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的,R x y ∈，等式()()()f x f y f x y ⋅=+成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =则2009a 的值为( )A ．4016B ．4017C ．4018D ．40193．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是（ ）A.),0(+∞B. )0,1[-C. ),1[+∞-D. ),2[+∞-6．若函数()f x 满足x ∈[0，1]时，()f x x =，若在区间(-1，1]上， 方程()20f x mx m --=有两个实数解，则实数m 的取值范围是A ．0．CD7．设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=( ).(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)68．已知函数f(x)＝21,021,0x x x x x +≤⎧⎨-+>⎩若关于x 的方程f 2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,3)9．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”CD （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”10．则方程()f x ax =恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A11．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方word 格式-可编辑-感谢下载支持程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是（ ）ABCD ．(1,0)- 12．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x ∈(－1，3]时，f(x)则函数g(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、1013．已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝()21,0f 1,0xx x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，若方程f(x)＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________． 14．若关于x 的方程有实根，则实数m 的取值范围为________．15，对于任意的[]12,,x x ππ∈-，有如下条件： ①2212x x >； ②12x x >；其中能使()()12f x f x >恒成立的条件序号是 .16．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设()()()211f x x x =-*-，且关于x的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是___________.17．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.18．(1)已知α、β是方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围；(2)若方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围．19．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围20 （1）当2m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x ∈R ，不等式 (2)0xf >恒成立，求m 的取值范围；（3）讨论()f x 零点的个数．word 格式-可编辑-感谢下载支持参考答案1．B 【解析】试题分析：因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，..如图可得1k >.考点：1.含绝对值的函数的图象.2.函数与方程问题.3.数形结合的数学思想. 2．B 【解析】试题分析：令0x y ==得()()()000f f f ⋅=所以()()()2000,00ff f -=∴=或()01f =若()00f =则对任意x R ∈都有()()()()000f x f x f x f =+=⋅=与题设相矛盾，故()01f ==1a又令y x =-,则()()()()01f x f xf x x f ⋅-=-==,任取12,xx R ∈,且12x x <,，所以()()12f x f x >函数()f x 在R 上是单调减函数.得，()()12n n f a f a +=+12n n a a +⇒=+所以数列{}n a 是一个首项为1公差为2的等差数列,20091200824017a =+⨯= 故选B.考点：1、抽象函数；2、定义法判断函数的单调性；3、等差数列. 3．C 【解析】试题分析：由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=， 2420()20x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．word 格式-可编辑-感谢下载支持考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数. 4．A 【解析】试题分析：函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，说明方程2'()320f x x ax b =++=的两根为12,x x ，所以方程()()()2320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，所以1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，所以此时只有3解；若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，所以1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，所以此时只有3解；综上可知，选A.考点：函数的极值与方程的解. 5．C 【解析】试题分析：222(1)1y x x a x a =--+=-+++，其顶点为(1,1)A a -+，点(0,1)C a +在函数图象上，而点(0,)B a 不在函数图象上.结合图形可知，当1a ≥-，函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点.xy–1–2–31234–1–2–3–4–512a Oxy–1–2–31234–1–2–3–4–512BOAC考点：函数及其零点. 6．A【解析】()()2g x f x mx m =--有两个零点，即曲线(),2y f x y mx m ==+有两个交点.令(1,0)x ∈-，则1(0,1)x +∈，所以11(1)1,()1()11f x x f x f x x +==+=-++.在同一坐标系中，画出(),2y f x y mx m ==+的图象（如图所示）：直线2y mx m =+过定点(2,0)-，所以，m 满足1(1)0,1(2)m --<≤--即10,3m <≤选A .考点：分段函数，函数的图象，函数的零点. 7．A 【解析】试题分析： 题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数根，word 格式-可编辑-感谢下载支持∴即要求对应于()x f 等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解， ∴故先根据题意作出()x f 的简图：由图可知，只有当()4=x f 时，它有三个根．故关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有一个实数根4．()0124-4422=++⋅∴m m ，2=∴m ,或6=m ，6=m 时，方程22()(21)()0f x m f x m -++=()()()4036132=⇔=+-⇔x f x f x f 或()9=x f ,有5个不同的实数根，所以2=m ．考点：函数与方程的综合运用 8．A【解析】设t ＝f(x)，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f(x)＝0或f(x)＝a ．如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f 2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a 的解必有三个，此时0<a<1．所以a 的取值范围是(0,1)．9．D 【解析】试题分析：根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间],[b a 即可，对函数2)(x x f =（0≥x ），“和谐区间”],[b a =[0,2]，函数xe xf =)(是增函数，若存在“和谐区间” ],[b a ，则22ab e a e b⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此方程2xe x =至少有两个不等实根，考虑函数()2x h x e x =-，由'()2x h x e =-0=，得ln 2x =，可得()h x 在ln 2x =时取得最小值，而(ln 2)22ln 20h =->，即()h x 的最小值为正，()20xh x e x =-=无实根，题设要求的,a b 不存在，因此函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”， 函数14)(2+=x xx f (0≥x ）的“和谐区间”为[0,1]，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D ，事实上，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”],[b a 为1212[log (,log ()]2424a a -+，故D 中的命题是错误的．考点：新定义的理解，函数的单调性，方程的解． 10．B 【解析】试题分析：∵方程()f x ax =恰有两个不同实数根，∴()y f x =与y ax =有2个交点，∵aword 格式-可编辑-感谢下载支持表示直线y ax =的斜率，∴'1y x =，设切点为00(,)x y ，01k x =，所以切线方程为0001()y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e =，所以直线1l 的斜率为1e，直线2l 与114y x =+平行，所以直线2l 的斜率为14，所以实数a 的取值范围是11[,)4e .考点：1.分段函数图象；2.利用导数求曲线的切线方程；3.图象的交点问题.11．B【解析】由已知，函数）（x f 在区间[1,3]-的图象如图所示，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）表示过定点(1,1)-的直线，为使关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，即直线1y kx k =++与函数）（x f 的图象有4个不同的交点. 结合图象可知，当直线1y kx k =++介于过点(1,1)-，(2,0)的直线1233y x =-+1y =之间时，符合条件，故选B .考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程. 12．D【解析】试题分析：由f(x)是定义在R上的偶函数，知x＝0是它的一条对称轴又由f(4－x)＝f(x)，知x＝2是它的一条对称轴于是函数的周期为(2－0)×2＝4画出f(x)的草图如图，其中y＝|lgx|在(1，＋∞)递增且经过(10，1)点word 格式-可编辑-感谢下载支持10 x0 1 y1函数g(x)的零点，即为y ＝f(x)与y ＝|lgx|的交点结合图象可知，它们共有10个交点，选D.考点：函数的奇偶性、周期性，分段函数，函数的零点.13．(－∞，1)【解析】x≤0时，f(x)＝2－x －1,0<x≤1时，－1<x －1≤0，f(x)＝f(x －1)＝2－(x －1)－1.故x>0时，f(x)是周期函数，如图所示．若方程f(x)＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f(x)的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a<1，即a 的取值范围是(－∞，1)．14．)0,3[-【解析】 试题分析：设15+-=x y ，将原来的问题转化为二次函数在区间]1,0(内有零点的问题解决，利用函数的零点存在性定理即得不等关系，从而解决问题．考点：函数与方程的综合运用．15．①④.【解析】试题分析：首先原函数可化为c (s )2o x f x x -=，在[,0]π-，||2x y =单调递减，cos y x =单调递增，则c (s )2o x f x x -=在[,0]π-上为减函数，同理可判断c (s )2o x f x x -=在[,0]π-上为增函数，且可c (s )2o x f x x -=为偶函数，因此，对于①，即为word 格式-可编辑-感谢下载支持 221212||||||||x x x x >⇒>0≥1212(||)(||)()()f x f x f x f x ⇒>⇒>成立，对于④，由于1212||0||||0x x x x >≥⇒>≥1212(||)(||)()()f x f x f x f x ⇒>⇒>恒成立，而对于②与③，不能肯定1x 与2x 是落在定义域的正还是负区间内，所以不能保证使()()12f x f x >恒成立，综上所述选择①④.考点：偶函数满足：()()(||)f x f x f x =-=，函数的单调性定义，化归思想.16【解析】试题分析：由定义运算“*”可知，画出该函数的图像如图所示231x x +=，又因为()f x m =要有三个不同的解，所所所以123x x x 的取值范围是 考点：1.函数的零点；2.新定义新运算；3.基本不等式.17．14【解析】试题分析：由①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②，及(3)3()f x f x =可得函数函数()()1F x f x =-的零点个数等价于()1f x =的根的个数.即由11,2x x -=∴=；当31,2x x -==，这两函数由一个公共点. ；所以123x x x ++=14.考点：1.分段函数的应用.2.递推的思想.3.函数的等价变换.18．（1）m<－3（2）a<3【解析】(1)设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m.∵α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β，∴f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3. (2)设f(x)＝x 2＋ax ＋2,f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a 2－8.由题意，a<319．（Ⅰ）()(0)1g x g b ≥=-；()22ln(2)g x a a a b ≥--；()2g x e a b ≥--.（Ⅱ）a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2x xg x e ax b g x e a '=--=-，再对分a 情况确定()g x 的单调word 格式-可编辑-感谢下载支持区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围. 试题解答：（Ⅰ）()2,()2x xg x e ax b g x e a '=--=- ①当0a ≤时，()20xg x e a '=->，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a '=->得2,ln(2)xe a x a >>. ，则ln(2)0a >；若，则ln(2)1a >. 时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x g b ≥=-.当，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减. 则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->. 由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->. 解得21e a -<<. 当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈， 从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <. 又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->， 故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x . 由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.word 格式-可编辑-感谢下载支持 所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=， 故()f x 在1(,x 2)x 内有零点. 综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.20．(1)详见解析详见解析. 【解析】 试题分析：(1)首先去掉绝对值，用定义证明；(2) (2)0x f > 恒成立，转换为22(2)x x m >- 恒成立，求()222x x y -=的最大值； (3)将()0=x f 转化为||(0)m x x x x =-+≠，即求my =,,进行讨论.试题解析：解析：（1）当2m =，且0x <时，. 证明：设120x x <<，则又120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 故当2m =时，在(,0)-∞上单调递减的． （2）由(2)0x f >得 变形为2(2)20x xm -+>，即22(2)x x m >-即1x =-时（3）由()0f x =可得||0(0)x x x m x -+=≠，变为||(0)m x x x x =-+≠ 令22,0()||,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩ 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：时，()f x 有1个零点． 或0m =或时，()f x 有2个零点；时，()f x 有3个零点． 考点：1.定义法证明函数单调性;2.不等式恒成立;3.函数图像.。
第18讲 函数的零点与方程的解模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.知识点 1 函数的零点1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．【要点辨析】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点函数()=y f x有零点．x ⇔⇔知识点 2 函数零点存在定理1、函数零点存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．知识点 3 函数零点常用方法技巧1、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数．（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。
即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。
②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。
x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。
④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。
⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。
6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案一次函数和二次函数 撰稿： 审稿：【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )． (3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标．求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第四部分函数的零点零点：使f(x)=0的x 的值函数f(x)的零点方程f(x)=0的根函数图像与x 轴交点的横坐标 一．求零点1．函数1()4x f x e -=-的零点为__________2．函数3()2log (1)f x x =-+的零点为__________1A 2A 1是（）A 2A 3A 4________． 5．()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩，若()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是． 6．二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]1,5-上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围．四．二分法1．若函数的()2223--+=x x x x f 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确度0．1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5五．函数的应用1．两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，4节（1（2（32015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第四部分函数的零点与函数的综合应用零点：使f(x)=0的x 的值函数f(x)的零点方程f(x)=0的根函数图像与x 轴交点的横坐标 一．求零点1．函数1()4x f x e -=-的零点为___ln 41+_______2．函数3()2log (1)f x x =-+的零点为____8______1A 2A 1是（B A 2A 3A 4． 5．()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩，若()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是(0,1)． 6．二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]1,5-上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围．解：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故22,0a a b =+=，又由f(0)=1得c=1，解得a=1，b=?1，c=1，所以2()1f x x x =-+． 9][,)2+∞．0m =，{0}[1,4)．??2-x 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：是车头每次拖挂车厢节数x 的一次函数．若车头拖挂4节车厢，则每日能往返16次；若车头每次拖挂7节车厢，则每日能往返10次．（1）求此一次函数；（2）求这列火车每天运营的车厢总节数S 关于x 的函数；（3）若每节车厢能载旅客110人，求每次车头拖挂多少节车厢可使每天运送的旅客人数最多，并求出每天最多运送旅客人数．解：（1）设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意y=kx+b ，可得下列方程组：1642,24107k b k b k b =+⎧⇒=-=⎨=+⎩，所以224y x =-+，令224012y x x =-+>⇒<，另外0,x x Z >∈ 所以224y x =-+(012,)x x Z <<∈（2）由题意知，2(224)224S xy x x x x ==-+=-+，(012,)x x Z <<∈（3）每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S 节车厢，则222242(6)72S x x x =-+=--+，所以当x=6时，max 72S =，此时y=12，。
学科教师辅导教案―函数的应用教学目的1 了解函数的零点与方程的根的联系2 了解用二分法求方程近似解的过程（计算量较大）3 了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的意义及简单应用 重点难点1 函数零点及方程根的联系及实际应用2 用二分法求方程近似解3 函数模型的简单应用教学内容1、（1）函数零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．例如：一次函数y ＝2x ＋1的函数图象与x 轴的交点为1(,0)2-，有一个零点是12-． 二次函数y ＝x 2－x －2函数图象与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，有两个零点是－1与2．（2）变号零点：如果函数图象在通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点． 不变号零点：如果函数图象在通过零点时不穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点． 例：y ＝2x ＋1的零点就是变号零点； y ＝(x ＋1)2的零点就是不变号零点 2函数的零点和方程的根的联系：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．方程f (x )＝0有实数根 函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点 函数y ＝f (x )有零点．如：二次函数y ＝x 2－x －2有零点即一元二次方程x 2－x －2=0有解 3、零点存在性定理：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点．注意：函数图象在区间内一定要是连续不断的；如果f (x )是区间上的单调函数，且满足f (a )·f (b )<0，那么f (x )在区间上至多存在一个零点，有可能没有零点； 如果函数f (x )在区间有零点，不一定有f (a )·f (b )<0；如果连续函数f (x )在区间没有零点，则一定有f (a )·f (b )>0．4、函数零点存在性问题的判定方法：（1）定理：①确定函数图象在给定区间[a ，b ]上是连续不断的②计算f (a )·f (b )的值并判断其符号 ③若f (a )·f (b )<0，则在区间[a ，b ]上有实数解 ④有些问题还需结合函数图象来作出判断（2）解方程：求函数y ＝f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根（3）图像法：画出函数图象，根据图象判断函数零点的个数[例1]求下列函数的零点：（1）f (x )＝x 2－3x －4； (2) f (x )＝log 2x .[巩固]求下列函数的零点：知识模块1函数的零点与方程的根精典例题透析(1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋6x ＋9.[例2](1)函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A. (1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)(2)函数()2lg(1)2xf x x =++-的零点的个数是_______.[巩固]方程log 3x +x 3=0在区间[31，1]内有无实根？为什么？1、二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．△=b 2-4ac0∆>0∆=0∆<方程20ax bx c ++=(a >0)的解两个不相等的实根两个相等的实根无实根 函数2y ax bx c =++( a >0)的图象函数2y ax bx c =++( a >0)的零点个数两个零点 一个二重零点 无零点2、二次函数零点的性质(1)二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号． (2)相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号． 3、二次函数的零点的应用(1)利用二次函数的零点作出函数的图象．(2)根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，并结合函数图象研究函数的性质．4、二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)零点的分布与区间端点的关系零点的分布12k x x <≤12x x k ≤<12x k x <<函数图象x=-b 2aa>0f (k )>0x 2x 1k yxOx=-b 2aa>0f (k )>0x 2x 1kyxOa>0f (k )<0x 2x 1kyxO知识模块2 二次函数的零点继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，使| b n— a n|<ε,计算终止，用四舍五入的方法取端点值的近似值a n(或b n)作为函数y=f(x)的近似零点．[例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()[巩固] 下列函数中，能用二分法求零点的为()[例2] 设f(x)＝2x＋x－2，用二分法求方程2x＋x－2＝0在(0,1)内近似解的过程中得f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)＜0，则方程的根落在区间()A．(0,0.5)B．(0.5,1) C．不能确定D．都不正确[巩固] 用二分法研究函数3()31f x x x=+-的零点时，第一次经计算，(0)0,(0.5)0f f<>，可得其中一个零点0x∈____________，第二次应计算____________，这时可判断x∈____________.[例3] 求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确度为0.1)．[巩固] 求方程x2－2x－1＝0的一个近似解(精确到0.1)．精典例题透析1、指数函数x y a =，对数函数log a y x =，幂函数a y x =增长性的比较（1）在区间（0，+∞）上，尽管函数(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和)0(>=a x y a 都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快．会超过并远远大于)0(>=a x y a 的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有.log x a a a x x <<（2）在区间（0，+∞）上，尽管函数)10(<<=a a y x，)10(log <<=a x y a 和)0(<=a x y a都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，)10(<<=a a y x的递减速度越来越快．会超过并远远大于)0(<=a x y a的递减速度，而)10(log <<=a x y a 的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有x a log <x a <ax ．2、常见的函数模型（1）一次函数模型：()f x kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）； （2）反比例函数模型：()kf x b x=+（k 、b 为常数，0k ≠）； （3）二次函数模型：2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）；（4）指数函数模型：()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，0a ≠，0b >，1b ≠）； （5）对数函数模型：()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，0a >，1a ≠）； （6）幂函数模型：()n f x ax b =+（a 、b 、n 为常数，0a ≠，1n ≠）；（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 3、数学建模 （1）数学模型数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．例如：已知一支钢笔3元，现需购x 支，其需要钱数为y ，则y 与x 的函数关系是：y ＝3x (x ∈N *). （2）数学模型方法数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．例如：一个正方形边长为x ，其面积为y ，则y 与x 的函数关系是：y ＝x 2(x ＞0). 注意：1、函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定 2、在求其具体解析式时用到的最重要的方法是：待定系数法．（3）数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．可用框图表示为：知识模块4 函数模型修改数学结果数学模型提出问题实际情景4、建立函数模型常用方法：（1）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法；（2）列表分析法：即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法；（3）图象分析法：即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法．5、高中与建立函数模型有关的应用题，常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键在哪？解答这类问题的关键是确切建立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以解决，而正确建立函数解析式，则要合理选取变量，必要时引入其他相关辅助变量，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系．精典例题透析考点1：一次函数模型例1 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．考点2：二次函数模型例1 渔场中鱼群的最大养殖量为m (m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围．考点3：分段函数模型例1 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，33、函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点构成的集合是________．4、若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________．5、设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________．6、函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围．7、判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．1、判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数．2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值：x 1 2 3 4 5 6 f (x )1210－24－5－10函数f (x )在区间[1，6]上的零点至少有________个． 3、函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6，7)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，10)4、在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则实数a 的值为________．能力提升训练2。
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
第一部分函数的应用知识点整理第三章函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．第二部分练习题含答案解析第三章函数的应用一、选择题(每小题5分，共60分)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是()A．0B．1C．2D．4解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案：C2．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．0解析：令1＋1x＝0，得x＝－1，即为函数零点．答案：B3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．答案：C4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断D．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 答案：C5．函数f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是( )A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1，32)D ．(32，2)解析：f (12)＝e －2<0， f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(12，1)内． 答案：B6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无穷多个解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 12x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3000) ＝－0.1x 2＋36x －3000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D8．已知α是函数f (x )的一个零点，且x 1<α<x 2，则( ) A ．f (x 1)f (x 2)>0 B ．f (x 1)f (x 2)<0 C ．f (x 1)f (x 2)≥0D ．以上答案都不对解析：定理的逆定理不成立，故f (x 1)f (x 2)的值不确定．答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为()答案：A11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则()A．k＝0 B．k>1C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根所在区间为()A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f (x )＝2x －x 2，由表格观察出x ＝1.8时，2x >x 2，即f (1.8)>0； 在x ＝2.2时，2x <x 2，即f (2.2)<0.综上知f (1.8)·f (2.2)<0，所以方程2x ＝x 2的一个根位于区间(1.8,2.2)内． 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)． 答案：(2,3)14．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由韦达定理得－12＋13＝b a ，且－12×13＝1a .解得a ＝－6，b ＝1. 答案：－6 115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ， 则y ＝x (l －2x )，且l －2x >0，即0<x <l2. 答案：y ＝x (l －2x )(0<x <l2)16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1% 即(23)n ≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg2，∴n≥7.39，∴n＝8.答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－b2a＝2.设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x21＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－ba)2－2ca＝10，∴16－6a＝10，∴a＝1.代入－b2a＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)．∵f(1)＝－2，f(2)＝3，∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0.取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为800x m，于是鱼池与路的占地面积为y＝(x＋2)(800x＋4)＝808＋4x＋1600x＝808＋4(x＋400x)＝808＋4[(x－20x)2＋40]．当x＝20x，即x＝20时，y取最小值为968 m2.答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝103x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＝x 3＋10360－x ， 由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：(1)试确定成本函数y ＝f (x )；(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝12x 2＋6x ＋50(x ≥0)．(2)p ＝p (x )＝－12x 2＋14x －50(x ≥0)． (3)令p (x )＝0，即－12x 2＋14x －50＝0， 解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝32，b ＝52， ∴f (x )＝32x ＋52.检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1； f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f (x )＝32x ＋52能基本反映产量变化． (3)f (7)＝32×7＋52＝13，由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．全册书综合练习题及解析一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}解析：∵A ∩B ＝{1,2}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 答案：D2．如图1所示，U 表示全集，用A ，B 表示阴影部分正确的是( )图1A ．A ∪B B ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩BD ．(∁U A )∩(∁U B )解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A )∩(∁U B )． 答案：D3．若f (x )＝1－2x ，g (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：g (1－2x )＝1－x 2x 2，令12＝1－2x ，则x ＝14，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C. 答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,11解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－m －2＝1，所以m ＝11.答案：D5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7)B ．(5,7)C ．(－4，－3)∪(5,7)D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎨⎧x 2－2x －15>0，x ＋13>0，x 2－2x －15<x ＋13.解得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C 6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最大值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0， ∴12x ＋1在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：图2在平面坐标系中，画出函数y 1＝(13)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)3解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)23，故A 错； 函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)13，故B 错，同理D 错． 答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ解析：H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝10，∴H 1＝103.答案：C10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析：当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D.答案：C11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(－1,1)C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)解析：f (1－m )<－f (－m )，∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1， 解得0<m <12，即m ∈(0，12)． 答案：A12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716log 34的值是________．解析：log 2716log 34＝23log 34log 34＝23.答案：2314．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <34.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪0≤k <3415．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B＝Ø，则实数k 的取值范围是________．解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 证明：设x 1<x 2<0，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，又∵k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )＝kx (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．解：当Q ≠Ø，且P ∩Q ＝Ø时，⎩⎨⎧ 2k －1<2，2k －1≥k ＋1，或⎩⎨⎧k ＋1>5，2k －1≥k ＋1.解得k >4；当Q ＝Ø时，即2k －1<k ＋1，即k <2时，P ∩Q ＝Ø.综上可知，当P ∩Q ＝Ø时，k <2或k >4.19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．解：因为函数f (x )为一次函数，所以f (x )在[－1,1]上是单调函数，f (x )在[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}．分别取x ＝0和x ＝2，得⎩⎨⎧4f (1)－2f (－1)＝18，4f (－1)－2f (1)＝24，解得f (1)＝10，f (－1)＝11，所以函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11.又因为f (1)<f (－1)，所以f (x )在R 上是减函数，所以f (2007)>f (2008)．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增．故⎩⎨⎧ f (2)＝2f (3)＝5，即⎩⎨⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝29a －6a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝0 ②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减．故⎩⎨⎧f (2)＝5f (3)＝2，即⎩⎨⎧4a －4a ＋2＋b ＝59a －6a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， 由题意知2＋m 2≤2或2＋m2≥4，∴m ≤2或m ≥6. 21．(12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，所以0<x <3，所以f (x )＝103x (3－x )(0<x <3)．(2)y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋94＋274＝－3(x －32)2＋274.当x ＝32∈(0,3)时，u 取得最大值274，所以u ∈(0，274]，y ∈(1,10274]．(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 是增函数，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上f (x )是递增的；当32<x <3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数，所以f (x )是减函数．22．(12分)已知函数f (x )＝lg(4－k ·2x )(其中k 为实数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．解：(1)由题意可知：4－k·2x>0，即解不等式：k·2x<4，①当k≤0时，不等式的解为R，②当k>0时，不等式的解为x<log24k，所以当k≤0时，f(x)的定义域为R；当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log24 k)．(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2x>0恒成立．得k<42x，设u＝42x，又x∈(－∞，2]，u＝42x的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．。
