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主题函数的零点与应用问题教学内容1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点；2. 掌握常见类型函数的应用。
（以提问的形式回顾）问题：已知二次函数62--=xxy①求0=y时x的值.②作出函数的简图，并观察方程062=--xx的根与函数图象与x轴交点之间的关系.学生通过观察分析易得方程062=--xx的根就是62--=xxy的图像与x轴的交点横坐标.【引入零点的定义，可以让学生自己去总结，教师进行补充.】1.零点的定义：一般地，如果函数)(xfy=在实数a处的值等于零，即0)(=af，则a叫做这个函数的零点；2.函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点就是求相应的方程0)(=xf的根，一般可以借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点.思考：如何判断函数)(xfy=在区间],[ba上是否存在零点.【可借助于学生熟悉的二次函数图象和二次方程帮学生总结出函数零点存在的条件.】问题：完成下表，回答问题：方程0322=--xx0122=+-xx0322=+-xxxy－23函数322--=x x y 122+-=x x y322+-=x x y图像方程的根 11-=x ，32=x121==x x无实根 函数零点3. 函数)(x f y =在区间],[b a 上存在零点的条件：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点. 借助上面零点存在的条件，进一步引出二分法4. 二分法：把函数)(x f y =零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值.这种方法叫做二分法. 练习：判断下列说法是否正确：①任何函数都有零点;②1032--=x x y 的零点是（-2,0）和)0,5(; ③1032--=x x y 的零点是-2和5. 解 ①错； ②错； ③对.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ）A .()0,1；B ．()0,2；C ．()0,1，()0,2；D ．1，2． 解：由()2320f x x x =-+=得，1x =和2，所以选D ．注意零点的定义，它是方程的根，而不是点坐标试一试：若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） x y －1 3 0 xy 1xy设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[]20,200是减函数，由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x 的表达式为()v x =()60,020,1200,20200.3x x x ≤<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()f x =()60,020,1200,20200.3x x x x x ≤<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=； 当20200x ≤≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值100003． 综上，当100x =时，()f x 在区间[]0,200上取得最大值1000033333≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
word 格式-可编辑-感谢下载支持必修一 函数的应用 较难1．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A.(,)01 B.(,)1+∞ C.(,)-10 D.(,)-∞-12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的,R x y ∈，等式()()()f x f y f x y ⋅=+成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =则2009a 的值为( )A ．4016B ．4017C ．4018D ．40193．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是（ ）A.),0(+∞B. )0,1[-C. ),1[+∞-D. ),2[+∞-6．若函数()f x 满足x ∈[0，1]时，()f x x =，若在区间(-1，1]上， 方程()20f x mx m --=有两个实数解，则实数m 的取值范围是A ．0．CD7．设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=( ).(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)68．已知函数f(x)＝21,021,0x x x x x +≤⎧⎨-+>⎩若关于x 的方程f 2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,3)9．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”CD （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”10．则方程()f x ax =恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A11．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方word 格式-可编辑-感谢下载支持程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是（ ）ABCD ．(1,0)- 12．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x ∈(－1，3]时，f(x)则函数g(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、1013．已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝()21,0f 1,0xx x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，若方程f(x)＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________． 14．若关于x 的方程有实根，则实数m 的取值范围为________．15，对于任意的[]12,,x x ππ∈-，有如下条件： ①2212x x >； ②12x x >；其中能使()()12f x f x >恒成立的条件序号是 .16．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设()()()211f x x x =-*-，且关于x的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是___________.17．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.18．(1)已知α、β是方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围；(2)若方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围．19．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围20 （1）当2m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x ∈R ，不等式 (2)0xf >恒成立，求m 的取值范围；（3）讨论()f x 零点的个数．word 格式-可编辑-感谢下载支持参考答案1．B 【解析】试题分析：因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，..如图可得1k >.考点：1.含绝对值的函数的图象.2.函数与方程问题.3.数形结合的数学思想. 2．B 【解析】试题分析：令0x y ==得()()()000f f f ⋅=所以()()()2000,00ff f -=∴=或()01f =若()00f =则对任意x R ∈都有()()()()000f x f x f x f =+=⋅=与题设相矛盾，故()01f ==1a又令y x =-,则()()()()01f x f xf x x f ⋅-=-==,任取12,xx R ∈,且12x x <,，所以()()12f x f x >函数()f x 在R 上是单调减函数.得，()()12n n f a f a +=+12n n a a +⇒=+所以数列{}n a 是一个首项为1公差为2的等差数列,20091200824017a =+⨯= 故选B.考点：1、抽象函数；2、定义法判断函数的单调性；3、等差数列. 3．C 【解析】试题分析：由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=， 2420()20x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．word 格式-可编辑-感谢下载支持考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数. 4．A 【解析】试题分析：函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，说明方程2'()320f x x ax b =++=的两根为12,x x ，所以方程()()()2320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，所以1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，所以此时只有3解；若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，所以1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，所以此时只有3解；综上可知，选A.考点：函数的极值与方程的解. 5．C 【解析】试题分析：222(1)1y x x a x a =--+=-+++，其顶点为(1,1)A a -+，点(0,1)C a +在函数图象上，而点(0,)B a 不在函数图象上.结合图形可知，当1a ≥-，函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点.xy–1–2–31234–1–2–3–4–512a Oxy–1–2–31234–1–2–3–4–512BOAC考点：函数及其零点. 6．A【解析】()()2g x f x mx m =--有两个零点，即曲线(),2y f x y mx m ==+有两个交点.令(1,0)x ∈-，则1(0,1)x +∈，所以11(1)1,()1()11f x x f x f x x +==+=-++.在同一坐标系中，画出(),2y f x y mx m ==+的图象（如图所示）：直线2y mx m =+过定点(2,0)-，所以，m 满足1(1)0,1(2)m --<≤--即10,3m <≤选A .考点：分段函数，函数的图象，函数的零点. 7．A 【解析】试题分析： 题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数根，word 格式-可编辑-感谢下载支持∴即要求对应于()x f 等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解， ∴故先根据题意作出()x f 的简图：由图可知，只有当()4=x f 时，它有三个根．故关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有一个实数根4．()0124-4422=++⋅∴m m ，2=∴m ,或6=m ，6=m 时，方程22()(21)()0f x m f x m -++=()()()4036132=⇔=+-⇔x f x f x f 或()9=x f ,有5个不同的实数根，所以2=m ．考点：函数与方程的综合运用 8．A【解析】设t ＝f(x)，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f(x)＝0或f(x)＝a ．如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f 2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a 的解必有三个，此时0<a<1．所以a 的取值范围是(0,1)．9．D 【解析】试题分析：根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间],[b a 即可，对函数2)(x x f =（0≥x ），“和谐区间”],[b a =[0,2]，函数xe xf =)(是增函数，若存在“和谐区间” ],[b a ，则22ab e a e b⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此方程2xe x =至少有两个不等实根，考虑函数()2x h x e x =-，由'()2x h x e =-0=，得ln 2x =，可得()h x 在ln 2x =时取得最小值，而(ln 2)22ln 20h =->，即()h x 的最小值为正，()20xh x e x =-=无实根，题设要求的,a b 不存在，因此函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”， 函数14)(2+=x xx f (0≥x ）的“和谐区间”为[0,1]，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D ，事实上，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”],[b a 为1212[log (,log ()]2424a a -+，故D 中的命题是错误的．考点：新定义的理解，函数的单调性，方程的解． 10．B 【解析】试题分析：∵方程()f x ax =恰有两个不同实数根，∴()y f x =与y ax =有2个交点，∵aword 格式-可编辑-感谢下载支持表示直线y ax =的斜率，∴'1y x =，设切点为00(,)x y ，01k x =，所以切线方程为0001()y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e =，所以直线1l 的斜率为1e，直线2l 与114y x =+平行，所以直线2l 的斜率为14，所以实数a 的取值范围是11[,)4e .考点：1.分段函数图象；2.利用导数求曲线的切线方程；3.图象的交点问题.11．B【解析】由已知，函数）（x f 在区间[1,3]-的图象如图所示，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）表示过定点(1,1)-的直线，为使关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，即直线1y kx k =++与函数）（x f 的图象有4个不同的交点. 结合图象可知，当直线1y kx k =++介于过点(1,1)-，(2,0)的直线1233y x =-+1y =之间时，符合条件，故选B .考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程. 12．D【解析】试题分析：由f(x)是定义在R上的偶函数，知x＝0是它的一条对称轴又由f(4－x)＝f(x)，知x＝2是它的一条对称轴于是函数的周期为(2－0)×2＝4画出f(x)的草图如图，其中y＝|lgx|在(1，＋∞)递增且经过(10，1)点word 格式-可编辑-感谢下载支持10 x0 1 y1函数g(x)的零点，即为y ＝f(x)与y ＝|lgx|的交点结合图象可知，它们共有10个交点，选D.考点：函数的奇偶性、周期性，分段函数，函数的零点.13．(－∞，1)【解析】x≤0时，f(x)＝2－x －1,0<x≤1时，－1<x －1≤0，f(x)＝f(x －1)＝2－(x －1)－1.故x>0时，f(x)是周期函数，如图所示．若方程f(x)＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f(x)的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a<1，即a 的取值范围是(－∞，1)．14．)0,3[-【解析】 试题分析：设15+-=x y ，将原来的问题转化为二次函数在区间]1,0(内有零点的问题解决，利用函数的零点存在性定理即得不等关系，从而解决问题．考点：函数与方程的综合运用．15．①④.【解析】试题分析：首先原函数可化为c (s )2o x f x x -=，在[,0]π-，||2x y =单调递减，cos y x =单调递增，则c (s )2o x f x x -=在[,0]π-上为减函数，同理可判断c (s )2o x f x x -=在[,0]π-上为增函数，且可c (s )2o x f x x -=为偶函数，因此，对于①，即为word 格式-可编辑-感谢下载支持 221212||||||||x x x x >⇒>0≥1212(||)(||)()()f x f x f x f x ⇒>⇒>成立，对于④，由于1212||0||||0x x x x >≥⇒>≥1212(||)(||)()()f x f x f x f x ⇒>⇒>恒成立，而对于②与③，不能肯定1x 与2x 是落在定义域的正还是负区间内，所以不能保证使()()12f x f x >恒成立，综上所述选择①④.考点：偶函数满足：()()(||)f x f x f x =-=，函数的单调性定义，化归思想.16【解析】试题分析：由定义运算“*”可知，画出该函数的图像如图所示231x x +=，又因为()f x m =要有三个不同的解，所所所以123x x x 的取值范围是 考点：1.函数的零点；2.新定义新运算；3.基本不等式.17．14【解析】试题分析：由①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②，及(3)3()f x f x =可得函数函数()()1F x f x =-的零点个数等价于()1f x =的根的个数.即由11,2x x -=∴=；当31,2x x -==，这两函数由一个公共点. ；所以123x x x ++=14.考点：1.分段函数的应用.2.递推的思想.3.函数的等价变换.18．（1）m<－3（2）a<3【解析】(1)设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m.∵α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β，∴f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3. (2)设f(x)＝x 2＋ax ＋2,f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a 2－8.由题意，a<319．（Ⅰ）()(0)1g x g b ≥=-；()22ln(2)g x a a a b ≥--；()2g x e a b ≥--.（Ⅱ）a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2x xg x e ax b g x e a '=--=-，再对分a 情况确定()g x 的单调word 格式-可编辑-感谢下载支持区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围. 试题解答：（Ⅰ）()2,()2x xg x e ax b g x e a '=--=- ①当0a ≤时，()20xg x e a '=->，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a '=->得2,ln(2)xe a x a >>. ，则ln(2)0a >；若，则ln(2)1a >. 时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x g b ≥=-.当，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减. 则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->. 由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->. 解得21e a -<<. 当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈， 从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <. 又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->， 故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x . 由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.word 格式-可编辑-感谢下载支持 所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=， 故()f x 在1(,x 2)x 内有零点. 综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.20．(1)详见解析详见解析. 【解析】 试题分析：(1)首先去掉绝对值，用定义证明；(2) (2)0x f > 恒成立，转换为22(2)x x m >- 恒成立，求()222x x y -=的最大值； (3)将()0=x f 转化为||(0)m x x x x =-+≠，即求my =,,进行讨论.试题解析：解析：（1）当2m =，且0x <时，. 证明：设120x x <<，则又120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 故当2m =时，在(,0)-∞上单调递减的． （2）由(2)0x f >得 变形为2(2)20x xm -+>，即22(2)x x m >-即1x =-时（3）由()0f x =可得||0(0)x x x m x -+=≠，变为||(0)m x x x x =-+≠ 令22,0()||,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩ 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：时，()f x 有1个零点． 或0m =或时，()f x 有2个零点；时，()f x 有3个零点． 考点：1.定义法证明函数单调性;2.不等式恒成立;3.函数图像.。
第18讲 函数的零点与方程的解模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.知识点 1 函数的零点1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．【要点辨析】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点函数()=y f x有零点．x ⇔⇔知识点 2 函数零点存在定理1、函数零点存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．知识点 3 函数零点常用方法技巧1、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数．（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。
即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。
②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。
x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。
④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。
⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。
6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
