函数应用、零点、二分法知识点和练习

《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。

简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x₀) ＝ 0，那么 x₀就是函数f(x) 的零点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x ＝ 1。

所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。

函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在解决方程的根、函数的性质等问题中具有重要的作用。

二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们经常需要找到函数的零点，但有些函数的零点很难直接通过解方程得到。

这时候，二分法就成为了一种非常有效的方法。

二分法的基本思想是通过不断缩小零点所在的区间，逐步逼近零点的精确值。

它利用了函数的连续性和介值定理，即如果函数在一个区间的两端点取值异号，那么在这个区间内必然存在至少一个零点。

相比于其他复杂的数值方法，二分法简单易懂，计算量相对较小，并且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。

三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜0），那么根据零点存在定理，在区间（a, b) 内至少存在一个零点。

我们取区间的中点 c ＝（a ＋ b) ／ 2，计算 f(c) 的值。

如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点。

如果 f(c) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内，我们就把区间 a,b 缩小为 a, c。

如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内，我们就把区间 a,b 缩小为 c, b。

这样不断重复上述步骤，每次都将区间缩小一半，直到区间的长度足够小，或者达到我们所要求的精度，此时区间的中点就可以作为零点的近似值。

四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b，使得 f(a) × f(b) ＜ 0。

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

函数的应用（零点、二分法）
一、单选题(共6道，每道16分)
1.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
2.若函数在区间上恰有一个零点，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
3.函数的零点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
4.函数的零点个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
5.已知函数，若函数在上有两个零点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
6.用二分法求方程的近似解（精确度0.01），先令，则根据下表数据，方程的近似解可能是( )
A.2.512
B.2.522
C.2.532
D.2.542
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二分法求函数零点的近似值。

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

精品文档5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；(4)判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

第20讲 §3.1.1 方程的根与函数的零点¤知识要点：1. 对于函数()y f x =，能使()0f x =的实数x 叫作函数()y f x =的零点，函数的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标.2. 函数零点存在结论：若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b <，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.¤例题精讲：【例1】函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【例4】（1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .第20练 §3.1.1 方程的根与函数的零点※基础达标1．函数2243y x x =--的零点个数（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a <3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ ）.A. [-10，-0.1]B. [0.1,1]C. [1,10]D. (,0]-∞ 5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数偶数个D. 零点个数为k ，k N ∈6．函数2()56f x x x =-+的零点是 .7．函数3()231f x x x =-+零点的个数为 .※能力提高8．已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.2¤知识要点： 给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：A ．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； B. 求区间(,)a b 的中点1x ；C. 计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；D. 判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤B~D ．※基础达标1．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是（ ）.A. [0，1]B. [1，2]C. [2，3]D. [3，4]2．设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（ ）.A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定3．如图所示，每个函数图象都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是（ ）4．（07年山东卷.文11）设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）. A. (01)， B. (12)， C. (23)， D. (34)，5．已知函数()f x 的一个零点0(2,3)x ∈，在用二分法求精确度为0.01的0x 的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最多（ ）.A. 5次B. 6次C. 7次D. 8次6．用“二分法”求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，取区间中点为0 2.5x =，那么下一个有根的区间是 .7．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 .¤学习目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.¤知识要点：1．比较：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的增长差异.2．平均增长率的问题：可以用公式(1)x y N p =+表示. 人口问题的应用模型，还可探究英国经济学家马尔萨斯提出的自然状态下的人口增长模型0rt y y e =.¤例题精讲：【例1】光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈ 解：（1） (110%)().x y a x N *=-∈ （2）111,(110%),0.9,333x x y a a a ≤∴-≤∴≤ 0.91l g 3l o g 10.4,32l g 31x -≥=≈- ∴ 11x =. 【例2】1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？解：设x 年后人口总数超过14亿. 由题意得 12(10.0125)14x ⨯+=，即 71.01256x =. 两边取常用对数，得lg1.0125lg7lg6x =-. ∴ lg 7lg 612.4lg1.0125x -=≈. 所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.【例3】某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？解： 100万元，按单利计算，年利率10%，5年后的本利和为 100(1105)150⨯+%⨯=（万元）.100万元，按复利计算，年利率9%，5年后的本利和为 5100(19153.86⨯+%)≈（万元）.由此可见，按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元.点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利”的实际意义.【例4】某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示()S f t =的函数关系的为（ C ）.C. B. A. S S t t o o oS t 解：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S vt =，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离0S ；上岛考察时，0S S =；返回时，'0S S vt =-，图象为一条线段. 所以选C.点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离S 与时间t 的简明关系.4※基础达标1．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）.A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x2．如图,能使不等式22log 2x xx <<成立的自变量x 的取值范围是（ ）.A. 0x >B. 2x >C. 2x <D. 02x <<3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（ ）.A. 14400亩B. 172800亩C. 17280亩D. 20736亩4．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可增长为原来的y 倍，则函数()y f x =的大致图象为（ ）5．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元6．老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 .7．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 .※能力提高8．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.9． 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？※探究创新10．袁隆平－中国杂交水稻之父.他带领的杂交水稻研究小组经过30多年的不懈研究，于1973年使水稻亩产达到623千克，亩产比一般常规水稻增产20％左右，2000年亩产达到700千克，2004年亩产又达到800千克. （1）根据这样的研究速度，你能猜想中国于2010年杂交水稻的亩产为多少千克？为什么？（2）根据你的推算，2010年我国杂交水稻的亩产比1973年常规水稻的亩产增长率为多少？¤学习目标：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验二次函数函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.¤知识要点：1. 模型优选：解答数学建模等应用问题时，往往并不确定所给出的数学模型，需要我们根据所得的数据，分析出其数字特征，选用适合的函数模型来解决实际问题.2. 二次函数：应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大（小）值的问题. 解答时需遵循的基本步骤是：（1）反复阅读理解，认真审清题意；（2）依据数量关系，建立数学模型；（3）利用数学方法，求解数学问题；（4）检验所得结果，译成实际答案. 关键之处是第2步正确得到二次函数的模型，然后才能在第3步中利用二次函数的性质解决问题.¤例题精讲：【例1】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p 万元和q 万元，它们与投入的资金x 万元的关系有经验公式：p =110x ，q 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元.设利润为y 万元，[]0,9x ∈.∴y=1(9)10x -1(9)10x -+=21(2)13)10-+， ∴ 即x =4时，y max =1.3. 所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.【例2】某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x 元，请将获得总利润y 元表示为x 的函数，并确定合理售价，求出最大利润.解：设比100元的售价高x 元，总利润为y 元；则22(100)(10005)8010005500200005(50)32500y x x x x x =+--⨯=-++=--+.显然，当50x =即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.【例3】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2t y -=. 所以34(01)1()()(1)2t t t y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩. （2）∵ 340.251()0.25,()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即， 解得1165t t ⎧⎪≥⎨≤⎪⎩ ，∴ 1516t ≤≤. ∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时. 点评：生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景.我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.【例4】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为（024t ≤≤）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?解：设t 小时后蓄水池中的水量为y吨，则40060y t =+-x ，则26x t =，即240010120y x x =+-210(6)40,[0,12]x x =-+∈.∴ 当6x =，即6t=时，min 40y =，所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.6※基础达标1．某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－12．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）. A. 30.5100 克 B. (1－0.5%)3克 C. 0.925克 D. 克3．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）.A. 1204－1B. 1202－1C. 1214－1D. 1212－14．某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价（ ）.A. 15％B. 12％C. 10％D. 8％5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）.6．计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低13，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为 元.7．某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.※能力提高8．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0<x <1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利为y . （1）写出y 与x 的关系式； （2）为使日利润最大，问x 应取何值？9．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？※探究创新10．（2007年上海卷.文理18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：1. 分段函数模型：结合分类讨论的数学思想方法，根据实际情况，正确得到分段函数模型，并合理选用某段解析式和数学方法来解决实际问题.2. 常见的指数型函数模型如下：（1）放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.（2）1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）提出自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.（教材P 115例4）（3）英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton ，1643-1727年）曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型：010()kt e θθθθ-=+-，其中t 表示经过的时间，1θ表示物体的初始温度，0θ表示环境稳定，k 为正的常数. （教材P 123 实习作业）¤例题精讲：【例1】1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‟，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）. 1970年世界人口为36亿，年增长率为2.1‟，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？解：由1650年世界人口数据，把05y =，0.003r =代入马尔萨斯人口模型，得0.0035t y e =.解不等式0.003510t y e =≥，得ln 22310.003t ≥≈ 所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过231年后，即1881年世界人口达到10亿.由1970年世界人口数据，把036y =，0.0021r =代入马尔萨斯人口模型，得0.002136t y e =.解不等式0.00213672t y e =≥，得ln 23300.0021t ≥≈. 所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征800元，税率见下表：（（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A .800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元解：（1）依税率表，有：第一段：x ·5%，0＜x ≤500；第二段：（x －500）×10%+500×5%，500＜x ≤2000；第三段：（x －2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x ≤5000，即f （x ）=0.050.1(500)250.15(2000)175x x x ⎧⎪⨯-+⎨-+⎪⎩ (0500)(5002000)(20005000)x x x <≤<≤<≤. （2）这个人10月份应纳税所得额x =3000－800=2200，f （2200）=0.15×（2200－2000）+175=205.所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A 、B 、D ，故选C.点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.8※基础达标1．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资 （ ）.A. 2.4元B. 2.8元C. 3.2元D. 4元2．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s 与所用时间t 的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（ ）.A. 甲是(1), 乙是(2)B. 甲是(1), 乙是(4)C. 甲是(3), 乙是(2)D. 甲是(3), 乙是(4)3．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =. 假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a ，则m 的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 104．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）.A. 5.83元B. 5.25元C. 5.56元D. 5.04元5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数式是（ ）.A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60,(0 2.5)15050,( 3.5)t t t t ≤≤-> D. x =60,(0 2.5)150,(2.5 3.5)15050( 3.5),(3.5 6.5)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨--<≤⎪⎩ 6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则()y f x =的函数解析式为 .※能力提高8．某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位流浪者的尸体，早上六点测量其体温13℃，到早上七点时，其体温下降到11℃. 若假设室外温度约维持在10℃，且人体正常体温为37℃，运用牛顿冷却模型可以判定流浪汉已死亡多久？9．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为21()52R x x x =-（万元）（0≤x ≤5），其中x 是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润L (x )表示为年产量x 的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得的利润最大?※探究创新10．通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以使用公式：20.1 2.643,(010)()59,(1016)3107,(1630)x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=<≤⎨-+<≤⎪⎩. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？ （2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ （3）如果每隔5分钟测量一下学生的接受能力，在计算平均值(5)(10)....(30)6f f f M +++=，它能高于45吗？¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：1. 图表分析：从给出的统计数据表中发现数学规律，寻找存在的数学模型，并用之解决实际问题.2. 函数图象：把实际中存在的规律用图象直观形象的表示出来，通过图象来求解函数模型.¤例题精讲：解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个.由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<. 易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值. 所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.【例2】某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天内全部售完. 该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.（1）分别写出国内市场的日销售量()f t 、国外市场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，求日销售利润()Q t 的解析式.解：（1）当030t ≤≤时，设()f t kt =，由6030k =解得k =2，则()2f t t =.当3040t <≤时，设()f t at b =+， 由{6030040a b a b =+=+解得{6240a b =-=，则()6240f t t =-+.所以，国内市场的日销售量{2(030)()6240(3040)t t f t t t ≤≤=-+<≤. 设()(40)g t at t =-，由6020(2040)a =-解得320a =-. 所以，国外市场的日销售量23()620g t t t =-+（040t ≤≤）. （2）设每件产品A 的销售利润为()q t ，由图易得{3(020)()60(2040)t t q t t ≤≤=<≤，从而这家公司的日销售利润()Q t 的解析式为3222924(020)20()()[()()]9480(2030)914400(3040)t tt Q t q t f t g t t tt t t ⎧-+≤≤⎪⎪=+=-+<≤⎨⎪-+<≤⎪⎩. 点评：销售量由图象分段给出，设立各段图象的解析式，由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段，正确得到日销售利润的分段函数式.10※基础达标1．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是（ ）.2．某工厂八年来某种产品年产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法：① 前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③三年后，这种产品停止生产了；④第三年后，年产量保持不变. 其中说法正确的是（ ）.A. ②④B. ①④C. ②③D. ①③3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为（ ）.A. 13 立方米B. 14 立方米C. 18 立方米D. 26立方米4．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子. 则盒子的容积V 与x 的函数关系式是（ ）.A. (202)(122),(0,12)V x x x x =--∈ B. (20)(12),(0,12)V x x x x =--∈C. (202)(122),(0,6)V x x x x =--∈D. (202)(122),(0,10)V x x x x =--∈5．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如右图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）.6．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月1日存入人民币1万元，存期1年，年利率为2.25%，则到期可净得本金和利息总计 元.7．一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.※能力提高8．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 下表列出的是该产品前6个月市场收购价格. 试问7月份该产品的市场收购价格定为多少时较为合理？9．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的200天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条线段表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系()Q g t =；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？※探究创新 10．（题目见P 63）¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：模型优选：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.¤例题精讲：【例1】有一批影碟机（VCD ），原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设某单位需要购买x 台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y ，∵去甲商场购买共花费(80020)x x -，由题意，有80020440x -≥，∴118x ≤≤.∴{(80020)600,118440600,18x x x x y x x x --≤≤=->， 即y ={220020,118160,18x x x x x -≤≤->（*x N ∈）. 当110x <<时，0y >； 当10x =时，0y =；当10x >时，0y <.所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．【例2】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用2()f x px qx r =++的模型时，142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩， 解得0.050.350.7p q r =-⎧⎪=⎨=⎪⎩， ∴()4 1.3f =.当选用()x g x a b c =⋅+的模型时，2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩ ，解得0.80.51.4a b c =-⎧⎪=⎨=⎪⎩， ∴()4 1.35g =.根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好.点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.测2010年我国的国内生产总值.解：由表中数据作出散点图，如右图所示. 根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入y ax b =+，得 {18598.41990894042000a b a b =+=+，解得{7080.56-14071716a b ==. 所以，近似的函数模型为7080.5614071716y x =-. 当x =2010时，y =160209.6，即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.。

第八章函数应用8.1二分法与求方程近似解 (1)8.1.1函数的零点 (1)8.1.2用二分法求方程的近似解 (10)8.2函数与数学模型 (17)8.2.1几个函数模型的比较 (17)8.2.2函数的实际应用 (23)章末复习 (33)8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点学习任务核心素养1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养.解方程的历史方程解法时间图·东方方程解法时间图·西方知识点1函数的零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．1.函数的零点是点吗？[提示]不是，函数的零点是实数．知识点2方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．2.函数的零点是函数与x轴的交点吗？[提示]不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．1.函数f(x)＝2x－4的零点是________．2[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．]知识点3零点存在定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间函数值有正有负或零．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案](1)×(2)×(3)×类型1求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1.(2)令f (x )＝2x －8＝0，∴x ＝3， 故f (x )的零点为x ＝3.(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4. 故f (x )的零点为x ＝4.(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2.当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2. ∴f (x )的零点为1a，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数的零点为2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.怎样求函数的零点？[提示] 求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．(1)求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0，即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13. 类型2 函数零点的证明【例2】 证明函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(1,2)上存在零点． [证明] 因为f (1)＝ln 2－2<0， f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在区间(1,2)上的图象是不间断的， 所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(1,2)上存在零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．[跟进训练]2．证明f (x )＝x 3＋3x －1在区间(0,1)上有零点． [证明] 因为f (0)＝03＋3×0－1＝－1<0， f (1)＝13＋3－1＝3>0，且函数f (x )在区间(0,1)上的图象是不间断的，所以函数f (x )＝x 3＋3x －1在(0,1)上有零点．类型3 判断零点所在的区间【例3】 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 62)A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)f(x)＝e x＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(1)A(2)C[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．法二：e x＋x－2＝0，即e x＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝e x 和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝e x和y ＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上零点存在定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断[跟进训练]3．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x －1012 3e x0.371 2.727.4020.12x＋32345 6①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③[设f(x)＝e x－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程e x－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]类型4函数零点(方程不等实根)个数的判断【例4】(1)函数f(x)＝e x－3的零点个数为________．(2)函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数是________．(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．(1)1(2)2[(1)令f(x)＝0，∴e x－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数为2.](3)[解]法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－25 4×(－1)＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根． 法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0. Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13.①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根； ②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．把本例(1)函数改为“y ＝2x |log a x |－1(0<a <1)”再判断其零点个数． [解] 由2x|log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]4．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，(k ＋1)π2，k ∈N *，则k 构成的集合为____________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π， 因为x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，(k ＋1)π2，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]课堂达标练习1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是( )BCD [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．函数f (x )＝2x －3的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵f (1)＝2－3＝－1<0， f (2)＝22－3＝1>0，∴f (1)·f (2)<0，即函数f (x )的零点所在的区间为(1,2)．]3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.应选C.]4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： x 1 2 3 4 567f (x )136.13615.552－3.9210.88－52.488 －232.064 11.2384 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．] 5．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，实数a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 [由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解， 即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？[提示] (1)函数是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点． 2．f (a )·f (b )<0是连续函数在区间(a ，b )上存在零点的什么条件？f (a )·f (b )>0时在区间上一定没有零点吗？[提示]充分不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．8.1.2用二分法求方程的近似解学习任务核心素养1．通过实例理解二分法的概念．(难点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理数学建模、数学抽象的数学核心素养.通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0.1)．知识点1二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()A B C D[答案]A知识点2用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点：x1＝a＋b 2.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．()[提示]四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x －1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×类型1“二分法”的概念【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是()A B C DD[根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D.]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[跟进训练]1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解D[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A 错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，∴B 错误；C 只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C 错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D 正确．]类型2 用“二分法”求方程的近似解【例2】 用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． [解] 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 (0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0(0.687 5,0.75)|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1解．1．(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？ [解] 在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x ＝0.718 75，因为f (0.718 75)<0，f (0.75)>0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25<0.05，所以x ＝0.72可作为方程的一个近似解．2．(变条件)若本例中的方程“2x 3＋3x －3＝0”换为“x 2－2x ＝1”其结论又如何呢？[解] 设f (x )＝x 2－2x －1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟进训练]3．求32的近似值．(精确到0.1)[解]32是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是32精确到0.1的近似值．课堂达标练习1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是() A．ε越大，近似解的精确度越高B．ε越大，近似解的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]D[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D.]3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．x3[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)(2,3)[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]5．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．6[第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为322＝16，第3次取中点把焊点数减半为162＝8，第4次取中点把焊点数减半为82＝4，第5次取中点把焊点数减半为42＝2，第6次取中点把焊点数减半为22＝1，所以至多需要检测的次数是6.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？[提示](1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断．(2)在区间(a，b)端点的函数值f(a)·f(b)<0.2．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？[提示]零点存在定理．8.2函数与数学模型8.2.1几个函数模型的比较学习任务核心素养1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养.我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．知识点三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式．②当x足够大时，总有a x>kx>log a x(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)对任意的x>0，kx>log a x.()(3)对任意的x>0，a x>log a x.()(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√类型1几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是() A．y＝2 019x B．y＝2 019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[跟进训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901y2232 1 02437 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y32102030405060y42 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]类型2指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 020)与g (2 020)的大小．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)，从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32；当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 020)＞g (2 020)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．[跟进训练]2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．类型3 函数模型的选择【例3】 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？[解] 作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y ＝log5x进行奖励才符合学校的要求．几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[跟进训练]3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7 [解由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．课堂达标练习1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝2x D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．] 3．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2A[根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.]4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x ＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．[答案]y＝－14x＋50(0<x<200)回顾本节知识，自我完成以下问题．1．比较函数增长情况有哪些方法？[提示](1)解析法．直接看解析式是一次函数、指数型函数还是对数函数．(2)表格法．通过分析表格中的数据得出函数增长速度差异．(3)图象法．在同一坐标系中画出函数的图象，观察图象并借助计算器．2．三类不同增长的函数有哪些特点？[提示]当自变量很大时，(1)y＝kx＋b直线上升；(2)y＝a x(a>1)指数爆炸；(3)y＝log a x(a>1)对数增长．8.2.2函数的实际应用学习任务核心素养1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．(重点)通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养.函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f (x )＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －520来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？ 知识点 函数的实际应用 1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(4)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a ＞0，a ≠1)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． (7)分段函数模型；(8)对勾函数模型：f (x )＝x ＋ ax (a 为正常数)． “对勾”函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的性质①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ；当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 2．解决实际问题的一般流程实际问题―→建立数学模型―→求解数学模型―→解决实际问题 其中建立数学模型是关键．3．用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)在一次函数模型中，系数k 的取值会影响函数的性质．( ) (2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调性．( ) (3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．时间/天 1 2 3 4 利润/千元23.988.0115.99) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x C ．y ＝x 2D ．y ＝2xB [逐个检验可得答案为B.]类型1 利用已知函数模型解实际问题【例1】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：f (x )＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？。

高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。

2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。

若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。

例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。

分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。

二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。

对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。

函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.零点存在性定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型二、确定函数零点的个数1．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个类型三 通过零点定理判定零点区间2设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.029f (1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )．A ．x 2＋x －3＝0B ．x1＋1＝0C ．21x ＋ln x ＝0 D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点 D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是类型四、用二分法解决实际问题3．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？过关题一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是()A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点。

函数与方程[知识梳理]1．函数的零点,（1）零点的定义：对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的,实数x叫做函数y＝f（x）的零点．函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.（2）零点的几个等价关系：方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c 也就是方程f（x）＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一: 函数零点所在区间判断1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)解析：选A ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.[解题技法]确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二:判断函数零点个数[例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[解析] 法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．[答案] B[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.考点三:函数零点的应用考向(一) 根据函数零点个数求参数[例2] (2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1][解析] 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.[答案] D考向(二) 根据函数零点的范围求参数范围[例3] 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．[解析] 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12考向(三) 求函数多个零点(方程根)的和[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 3[规律探求]看个性考向(一)是根据函数零点的个数求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解.考向(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 考向(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y ＝m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等). 找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. (2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.[跟踪训练]1．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 解析：选D 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 2．若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．解析：因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.[课时过关检测] __A 级——夯基保分练1．(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1，2)．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.4．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x >0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x <0时，函数f (x )也有1个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.6．(多选)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0， 即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1； 当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)10．(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．答案：－1 (0，1)11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1， 故实数a 的取值范围为(－1，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1＜1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. B 级——提能综合练13．(2019·宣城二模)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选A 根据题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )＋2 019，若g (x )＝0，则x ＝a 或x ＝b ，即函数g (x )的图象与x 轴的交点为(a ，0)和(b ，0)．f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )＝0即g (x )＝－2 019，若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则g (x )的图象与直线y ＝－2 019的交点坐标为(c ，－2 019)和(d ，－2 019)，由图象知a >c >d >b ，故选A.14．(2019·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1x的图象的公共点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：115．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b . (1)求证：a >0且－3<b a <－34； (2)求证：函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴c ＝－32a －b .∵3a >2c ＝－3a －2b ， ∴3a >－b .∵2c >2b ，∴－3a >4b .若a >0，则－3<b a <－34； 若a ＝0，则0>－b ，0>b ，不成立；若a <0，则b a <－3，b a >－34，不成立． (2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2>0. 当c >0时，f (0)>0，f (1)<0，∴f (x )在(0，1)内至少有一个零点．当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)<0，f (2)＝4a ＋2b ＝a >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点．当c <0时，f (0)<0，f (1)<0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c >0， ∴f (x )在(0，2)内有一个零点．综上，f (x )在(0，2)内至少有一个零点．C 级——拔高创新练16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x )＋f (2－x )＝0；②f (x －2)＝f (－x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝⎛⎭⎫π2x ，x ∈（0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )的图象关于点(1，0)对称；由②f (x －2)＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．如图，作出f (x )在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f (x )在[－3，3]上的图象，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.。

第09讲:函数的零点和函数的应用期末高频考点突破高频考点梳理1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 题型一：函数零点存在定理1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数3ln y x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,12．（2021·河南·安阳市第三十九中学高一期末）关于函数2()311x f x x =+-的零点，下列判断正确的是（ ）A ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间12（,）内B ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间12（,）内C ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间2,3（）内D ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间2,3（）内3．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（ ）A ．0x a <B ．0a x b <<C ．0b x c <<D ．0x b <题型二：函数的零点个数分布问题（参数）4．（2021·河南·安阳一中高一期末）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.55．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数()22,02,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ） A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）题型三：用二分法求函数f (x )零点近似值7．（2022·江西新余·高一期末）若函数()31f x x x =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：那么方程310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ） A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.258．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数()329f x x x =+-的部分函数值数据如下：()16f =-，()23f =，()1.5 2.625f =-，()1.750.6406f =-，则方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为（ ） A ．()0.6406,0-B ．()1.75,2C ．()1.5,1.75D ．()1,1.59．（2021·安徽宿州·高一期末）已知函数3()2xf x x=-在区间(1,2)上有一个零点0x ，如果用二分法求0x 的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1,2)至少等分的次数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8题型四：函数与方程的综合问题10．（2021·天津·高一期末）已知函数4(),01af x x a x=+<≤ (1)用定义法证明函数()f x 在[2,)+∞单调递增；(2)设()()22x xg x f a ⎡⎤=-⎣⎦，求()g x 在[1,0]-上的最大值(3)设2+1,<2()=5(),22x x x f x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，若方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，求实数a 的取值范围．11．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数()214()log 21x f x +=+.(1)求函数()n x(2)若关于x 的方程2()14f x x m =+-在[2,3]-上有两个实数根，求实数m 的取值范围.12．（2022·江西抚州·高一期末）已知函数()ln 11ax f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中a R ∈且0a ≠）的图象关于原点对称. (1)求a 的值；(2)①判断()xy f e =在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；①关于x 的方程()ln 0xf e x k -+=在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，求实数k 的取值范围.题型五：函数模型的应用13．（2022·湖北武汉·高一期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 14．（2022·贵州六盘水·高一期末）2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x 米，但由于受场地的限制，x 不能超过2米.(1)求沼气池总造价y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域； (2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.15．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.参考答案：1．B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 202f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3. 故选：B 2．B【分析】根据零点存在性定理，特殊值检验解决即可. 【详解】由题知，2()311x f x x =+-，当2()3110x f x x =+-=时，2311x x =-+，令2123,11x y y x ==-+，如图有图知()f x 有两个零点； 因为(1)311170f =+-=-<， (2)941120f =+-=>， (3)27911250f =+-=>，1(1)11103f -=+-<，1(2)41109f -=+-<，1(3)911027f -=+-<，1(4)1611081f -=+->，说明()f x 有两个零点位于12（,）和3,4--（）， 故选：B 3．B【分析】根据函数的单调性可得()()()f a f b f c >>，再分()0f a <和()0f a >两种情况讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论.【详解】解：①()f x 是定义在R 上的减函数，a b c <<，①()()()f a f b f c >>， ①()()()0f a f b f c ⋅⋅<，①()()()0,0,0,f a f b f c <<<或()0f a >，()0f b >，()0f c <， 当()0f a <时，0x a <，0x b <；当()0f a >，()0f b >，()0f c <时，0b x c <<； ①0a x b <<是不可能的. 故选：B ． 4．A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f = ，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g = 求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤< 故选：A 5．D【分析】根据题意，作出函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩与12y x m =+的图像，然后通过数形结合求出答案.【详解】函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩的图像如下图所示：若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解， 则函数()f x 的图像与直线12y x m =+有三个交点，若直线12y x m =+经过原点时，m ＝0，若直线12y x m =+与函数()12f x x m =+的图像相切，令22123022x x x m x x m -+=⇒++-=，令9940416m m ∆=-=⇒=.故90,16m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D ． 6．D【分析】利用数形结合可得12m <≤，结合条件可得121=x x ，312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <≤．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<， 由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--， 所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+≥的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x ≤<，423x <≤，且344x x +=， 所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+∈， 则1234[3,4)x x x x ∈． 故选：D. 7．B【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.【详解】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可. 故选：B 8．B【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x 所在的区间. 【详解】由题意，知()()()()()()120, 1.520, 1.7520f f f f f f ⋅<⋅<⋅<，所以函数的零点在区间()1.75,2内，即方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为()1.75,2. 故选：B. 9．C【解析】根据二分法的定义可得10.012n<，解得6n >即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的12，则等分n 次后的区间长度变为原来的12n， 则由题可得10.012n <，即621002n >>，6n ∴>， 则至少等分的次数为7.故选：C.10．(1)证明见解析 (2)31a + (3)518a <≤【分析】（1）先设12,[2,)x x ∀∈+∞，12x x <，再根据作差法只需证明()()12f x f x <即可； （2）根据换元法求21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值即可；（3）根据函数在(,2)-∞和[2,)+∞上的单调性，即可求得实数a 的取值范围.（1）12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <， ()()()12121212124444a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1212121212441x x x x a a x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ①122x x ≤<，①21120,4x x x x >->①01a <≤，①044a <≤，①124x x a >，①1240x x a -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，①()f x 在[2,)+∞上单调递增， （2）设()24()222242x x x xx a g x a a a ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令2x t =，①1[1,0],,12x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦①()h t 的对称轴为10,22a t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， ①()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①max max ()()(1)31g x h t h a ===+． （3））2+1,<2()=45+,22x x x a x x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，①()x ϕ在(,2)-∞上单调递减，①5(),4x ϕ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，由（1）可知()x ϕ在[2,)+∞上单调递增，①1()2,2x a ϕ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，等价于函数()y x ϕ=与2y a =有两个不同的交点①1222a a >-，①(x ϕ在[2,)+∞上与2y a =必有一个交点，故只需①524a >，即58a >，又①01a <≤，①518a <≤． 11．(1)2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据被开方数非负列出一个关于对数函数的不等式，然后解不等式即可求出其定义域；（2）构造一个新函数()2141()log 212x x g x ++=+-，转化成求新函数在[2,3]-上的值域，最后解不等式即可.(1)依题意，()n x =()214log 2120x ++-≥，则212116x ++≥，则21215x +≥，则221log 15x +≥，故2115log 22x ≥，即函数()n x 的定义域为2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； (2)依题意，2()14f x x m =+-，故()2141log 2122x x m +++-=-； 令()()212114444111()log 21log 21log 2log 222x x x x x x g x +++++⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭； 令2x t =，因为[2,3]x ∈-，故1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1112()22x x t h t t ++=+=，因为12t t +≥12t t =，即t =而19129,(8)4416h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故49log 2log 4m -≤，即412log 914m <-≤-，即411log 328m -≤<-， 即实数m 的取值范围为411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 12．(1)2a =(2)①()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增；①2033k <≤ 【分析】（1）由图象关于原点对称知：()()0f x f x -+=，结合函数解析式可得()211a -=，即可求参数.（2）由已知得()1ln 1x f x x -=+，①()x y f e =为211x t e =-+，()ln g t t =的构成的复合函数，由它们在()0,∞+上均单调递增，即知()x y f e =的单调性；①由①整理方程得()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈有23k u u =++，结合基本不等式求其最值，进而确定k 的取值范围.(1)由题意知()()0f x f x -+=，整理得()()1111ln 011a x a x x x -+--⎡⎤⨯=⎢⎥-+⎣⎦， 即()222111a x x --=-，对于定义域内任意x 都成立，则有()211a -=，解得2a =或0a =，又0a ≠，所以2a =，当2a =时，()1ln 1x f x x -=+，定义域为(1)(1)-∞-+∞，，，关于原点对称，符合题意， 故2a =.(2)由（1）可知，2a =，故()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ①()22ln 1ln 111x xx x e y f e e e ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由211x t e =-+，()ln g t t =在()0,∞+上均单调递增， 得()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增.①由①知1ln ln 01x x e x k e --+=+，可得1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+， 即()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解. 令1x u e =-，(]0,3u ∈，所以()()()112231x x x e e u u k u e u u +++===++-， 因为23k u u =++在(上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以min 33k =+=， 且3u =时，2203333k =++=，从而2033k <≤. 13．(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩； (2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.【详解】（1）当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-； 当100x ≥时，45004500100(1205400)20002034009090L x x x x x =-+--=--+--， 所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩. （2）当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+，当90x =时，L 取得最大值950， 当100x ≥时，22520(90)16001600100090L x x =--++≤-+=-， 当且仅当2259090x x -=-，即105x =时取等号，而1000950>， 所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.14．(1)()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭ (2)当长2x =米，宽632=米时总造价最低，最低造价为7580元【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得y 关于x 的解析式，并写出定义域.（2）利用函数的单调性求得设计方案并求得最低造价.【详解】（1）沼气池的宽为1863x x=， 依题意612180231502000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯++⨯⨯+ ⎪⎝⎭ ()6661809002000308090002x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+=+⨯+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭， 对于函数()()602f x x x x=+<≤， 任取()()121212126602,x x f x f x x x x x <<≤-=+--()()1212126x x x x x x --=， 其中1212120,0,60x x x x x x -<>-<，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在(]0,2上递减，所以当长2x =米，宽632=米时，()f x 最小，也即总造价最小， 最小值为63080900275802⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭元. 15．(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ， 当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.。

函数的零点与二分法1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。