高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的 x ，按照某种 f ，在集合B 中都有 y 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(，其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 ，值域是集合B 的子集．2函数的三要素： 、 、 ． 求函数定义域的原则：(1)若()f x 为整式，则其定义域是 ；(2)若()f x 为分式，则其定义域是 ；(3)若()f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是 ；(4)若()0f x x =，则其定义域是 ；(5)若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是 ；(6)若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是 ；(7)若f (x )=sinx,g (x )=cosx ，则其定义域是 ；(8)若x x f tan )(=，则其定义域是 ；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意 ，当 时，有 .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意 ，当 时，有 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: ,都有 ； 使得 ，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；偶函数的图象关于 对称；奇函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；奇函数的图象关于 对称；若奇函数)(x f y =的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.11幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 12幂函数()f x x α=的性质：①所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ； ①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是 ； ①如果0α<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是 ，①幂函数图象不出现于第四象限．。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。

（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。

【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。

【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。

解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。

由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。

人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。

主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。

下面我们逐一展开回忆下。

一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。

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第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。

1. 函数的概念：函数是一个特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。

函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。

3. 函数的图像：函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。

在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线或者直线。

4. 函数的性质：函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。

奇函数满足 f(-x) = -f(x)；偶函数满足 f(-x) = f(x)；普通函数不满足奇偶性质。

5. 函数的性质：函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。

单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2；增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。

6. 反函数：函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来，即输入变为输出，输出变为输入。

反函数的定义域和值域与原函数相反。

7. 复合函数：复合函数是两个或多个函数的组合。

复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。

8. 基本初等函数：基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数具有特定的性质和图像特征。

9. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。

函数的运算结果仍然是一个函数，具有相应的性质和图像特征。

以上是第三章关于函数的知识点总结。

在学习函数时，需要理解函数的概念和性质，掌握常见的函数类型和图像特征，以及函数的运算和组合等操作。

同时，还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

数学必修一第三章知识点总结数学必修一第三章主要讲述了三角函数的概念、性质和基本函数关系。

以下是第三章的主要知识点总结：1. 弧度与角度：角度是以度为单位的角度量，弧度是以弧长与半径之比为单位的角度量。

弧度制中一周对应的弧长是2π弧度。

2. 弧度与角度之间的转换：弧度制下的角度数可以通过将角度数乘以(π/180)转换为弧度数，而角度制下的弧度数可以通过将弧度数乘以(180/π)转换为角度数。

3. 三角函数的概念：在单位圆上，以圆心O为原点，单位圆与角θ所对应的终边交于点P(x,y)，则点P的坐标(x,y)就是角θ的三角函数值。

其中，正弦函数(sinθ)为纵坐标y，余弦函数(cosθ)为横坐标x，正切函数(tanθ)为纵坐标y除以横坐标x。

4. 三角函数的性质：正弦函数、余弦函数和正切函数是周期函数，周期都为360°或2π，即sin(θ+360°) = sinθ，cos(θ+360°) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。

正弦函数和余弦函数的取值范围为[-1, 1]，正切函数的取值范围为(-∞, +∞)。

5. 三角函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。

根据诱导公式，可以将θ限制在0°至90°之间，来计算其他角度的三角函数值。

6. 三角函数的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1，1+tan²θ = sec²θ，1+cot²θ = csc²θ。

这些基本关系可以应用于简化、证明三角函数的各种性质和公式。

7. 三角函数的基本图像：在坐标系中绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图像时，需要注意函数的周期、对称性和渐近线等特点。

高一函数第三章知识点归纳函数是数学中的重要概念，在高一数学中，函数的学习是一个重要的环节。

在高一函数第三章中，我们学习了一些与函数相关的知识点，下面我将对这些知识点进行归纳总结。

一、函数的性质1. 定义域和值域：对于一个函数，其定义域是指可以使函数有意义的变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所取得的全部函数值的集合。

2. 单调性：函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种类型。

如果对于定义域内的任意两个不同的实数，函数值满足随着自变量增大（减小）而增大（减小），则函数是单调递增（递减）的。

3. 奇偶性：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，函数为偶函数；当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，函数为奇函数。

4. 周期性：如果存在一个正数T，对于定义域内任意一点x，有$f(x+T)=f(x)$，则函数具有周期性。

5. 最值与最值点：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为最大值和最小值，在最值点处取得最大值和最小值的点称为最值点。

二、函数的图像与性质1. 基本型函数的图像：包括常函数、一次函数、二次函数和绝对值函数等基本型函数，我们需要了解这些函数的图像和性质。

2. 函数的平移和伸缩：通过对基本型函数进行平移和伸缩变换，可以得到其他种类的函数。

平移和伸缩的参数可以使函数的图像发生左右平移、上下平移、水平压缩、垂直拉伸等变化。

3. 函数的对称性：函数的对称性分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种情况。

通过函数的表达式可以确定函数是否具有对称性。

4. 零点和零点的个数：函数的零点是函数值为0的自变量的取值，函数可能存在一个或多个零点，我们可以通过方程的求解来确定函数的零点个数。

三、函数的运算1. 函数的加法和减法：两个函数的加法和减法的定义是将两个函数对应的函数值相加（或相减），而这两个函数在同一定义域上有意义。

2. 函数的乘法和除法：两个函数的乘法和除法的定义是将两个函数对应的函数值相乘（或相除），需要注意的是，当除法运算时，被除数函数的值不能为零。

高中数学第三章函数的概念与性质知识点总结全面整理单选题1、若函数f (x )=2x+m x+1在区间上的最大值为52，则实数m =（ ） A ．3B ．52C ．2D ．52或3答案：B分析：函数f (x )化为f (x )=2+m−2x+1，讨论m =2，m >2和m <2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．函数f (x )=2x+m x+1，即f (x )=2+m−2x+1，x ∈[0,1]，当m =2时，f (x )=2不成立；当m −2>0，即m >2时，f (x )在递减，可得f (0)为最大值， 即f (0)=0+m 1=52，解得m =52成立；当m −2<0，即m <2时，f (x )在递增，可得f (1)为最大值， 即f (1)=2+m 2=52，解得m =3不成立；综上可得m =52．故选：B ．2、下列函数中，在区间(1,+∞)上为增函数的是（ ）A ．y =−3x +1B ．y =2xC ．y =x 2−4x +5D ．y =|x −1|+2答案：D分析：根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.对于A ，y =−3x +1为R 上的减函数，A 错误；对于B ，y =2x 在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，B 错误； 对于C ，y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，C 错误；[]0,1[]0,1[]0,1对于D ，y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1，则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数，D 正确. 故选：D.3、已知f (2x +1)=4x 2+3，则f (x )=（ ）．A ．x 2−2x +4B ．x 2+2xC ．x 2−2x −1D ．x 2+2x +3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4，所以f (x )=x 2−2x +4．故选：A4、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D5、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B6、已知函数f (x )={−√x 3(x ≥a )x 2(x <a)，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−1,0)B ．(−1,0]C ．[−1,0)D ．[−1,0]答案：D分析：求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.函数y =−√x 3在[a,+∞)上单调递减，其函数值集合为(−∞,−√a 3]，当a >0时，y =x 2的取值集合为[0,+∞)，f (x )的值域(−∞,−√a 3]∪[0,+∞)≠R ，不符合题意，当a ≤0时，函数y =x 2在(−∞,a)上单调递减，其函数值集合为(a 2,+∞)，因函数f(x)的值域为R ，则有−√a 3≥a 2，解得−1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[−1,0].故选：D7、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可.设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x −12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B ，故选：A8、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可求出答案.解：∵函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，x ∈R ，∴设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，则g （0）＝0，即ln √a =0，则√a =1，则a ＝1．故选：B ．多选题9、已知函数f (x )=x |x |，若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式f (x +t )≥3f (x )恒成立，则整数t 的取值可以是（ ）A ．−1B ．1C ．3D ．5答案：CD分析：首先判断f (x )在R 上为增函数，将不等式转化为x +t ≥√3x ，即t ≥(√3−1)x 对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.f (x )=x |x |，当x ≥0时，f (x )=x 2，在[0,+∞)递增，当x≤0时，f(x)=−x2，在(−∞,0]上递增，且f(0)=0，f(x)为连续函数，所以f(x)在R上为增函数，且3f(x)=f(√3x)，由对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，即f(x+t)≥f(√3x)，即x+t≥√3x，所以t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，由y=(√3−1)x在[t，t+1]上递增，可得y=(√3−1)x的最大值为(√3−1)(t+1)，即t≥(√3−1)(t+1)，解得t≥√3+1.故选：CD小提示：关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.10、已知函数f(x),g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则（）A．f(x)⋅|g(x)|是奇函数B．|f(x)|⋅g(x)是奇函数C．f(x)⋅g(x)是偶函数D．|f(x)⋅g(x)|是偶函数答案：AD分析：由奇偶性的定义逐一证明即可.对于A，F(x)=f(x)⋅|g(x)|，F(−x)=f(−x)⋅|g(−x)|=−f(x)|g(x)|=−F(x)，即f(x)⋅|g(x)|是奇函数，故A正确；对于B，F(x)=|f(x)|⋅g(x)，F(−x)=|f(−x)|g(−x)=|f(x)|g(x)=F(x)，即|f(x)|⋅g(x)是偶函数，故B 错误；对于C，F(x)=f(x)⋅g(x)，F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，即f(x)⋅g(x)是奇函数，故C 错误；对于D，F(x)=|f(x)⋅g(x)|，F(−x)=|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)⋅g(x)|=|f(x)⋅g(x)|=F(x)，即|f(x)⋅g(x)|是偶函数，故D正确；故选：AD小提示：关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.11、关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是（）A．f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]B．f(x)的值域为(−1,1)C．f(x)在定义域上是增函数D．f(x)的图象关于原点对称答案：ABD解析：由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f(x)的定义域，可判断A；化简f(x)，讨论0<x≤1，−1≤x<0，分别求得f(x)的范围，求并集可得f(x)的值域，可判断B；由f(−1)=f(1)=0，可判断C；由奇偶性的定义可判断f(x)为奇函数，可判断D；对于A，由{x2−x4≥0|x−1|−1≠0，解得−1≤x≤1且x≠0，可得函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的定义域为[−1,0)∪(0,1]，故A正确；对于B，由A可得f(x)=√x2−x4−x ，即f(x)=|x|√1−x2−x，当0<x≤1可得f(x)=−√1−x2∈(−1,0]，当−1≤x<0可得f(x)=√1−x2∈[0,1)，可得函数的值域为(−1,1)，故B正确；对于C，由f(−1)=f(1)=0，则f(x)在定义域上是增函数，故C 错误；对于D，由f(x)=|x|√1−x2−x的定义域为[−1,0)∪(0,1]，关于原点对称，f(−x)=|x|√1−x2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故D正确；故选：ABD小提示：本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.12、已知函数f(x)=2x+12x−1，g(x)=2x，则下列结论正确的是（）A．f(x)g(x)为奇函数B．f(x)g(x)为偶函数C．f(x)+g(x)为奇函数D．f(x)+g(x)为非奇非偶函数答案：BC解析：先判断函数f(x),g(x)的奇偶性,再利用函数奇偶性的性质判断选项正误.f(x)=2x+12x−1,其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),f(−x)=2−x+12−x−1=(2−x+1)⋅2x(2−x−1)⋅2x=1+2x1−2x=−f(x),故函数f(x)为奇函数,又g(x)=2x为奇函数,根据函数奇偶性的性质可知:f(x)g(x)为偶函数,f(x)+g(x)为奇函数,故选:BC.小提示：本题考查函数奇偶性的判断及其性质应用,难度不大.13、我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x2C．y=x−2D．f(x)=|x|答案：BD解析：根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.A选项，f(x)=x3定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，但f(−x)=−x3≠f(x)，即f(x)=x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A排除；B选项，f(x)=x2定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数，图象关于y轴对称，即B正确；C选项，y=x−2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在(0,+∞)上显然单调递减，C排除；D选项，f(x)=|x|的定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，所以f(x)=|x|是偶函数，图象关于y轴对称，即D正确.故选：BD.填空题14、已知函数f(x)=x2−2ax+3在区间[2,8]是单调递增函数，则实数a的取值范围是______．答案：a≤2分析：求出二次函数的对称轴，即可得f(x)的单增区间，即可求解.函数f(x)=x2−2ax+3的对称轴是x=a，开口向上，若函数f(x)=x2−2ax+3在区间[2,8]是单调递增函数，则a≤2，所以答案是：a≤2．15、已知函数f(x)的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法：①f(f(1))=3；②f(2)>f(0)；③f(x)=2|x−1|−x+1,x∈[0,4]；，2].④∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为[13其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)答案：①③解析：根据图象，可求得f(1)的值，即可判断①的正误；根据图中数据及f(x)在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论1≤x≤4和0≤x<1两种情况，求得f(x)解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式f(x)≤a解集，即求f(x)=a的根，根据f(x)解析式，即可判断④的正误，即可得答案.对于①：由图象可得：f(1)=0，所以f(f(1))=f(0)=3，故①正确；对于②：f(0)=f(4)=3，且f(x)在[1,4]上为单调递增函数，所以f(2)<f(4)=3，所以f(2)<f(0)，故②错误；对于③：当1≤x≤4时，f(x)=2|x−1|−x+1=2(x−1)−x+1=x−1，f(1)=0,f(4)=3，满足图象；当0≤x <1时，f(x)=2|x −1|−x +1=2(1−x)−x +1=3−3x ，f(0)=3，斜率k =−3，满足图象，故③正确；对于④：由题意得f (x )≤a 的解集为[13，2]，即f (x )=a 的根为13,2，根据f (x )解析式可得f(13)=2，当1≤x ≤4时，令x −1=2，解得x =3，所以解集为[13,3]，故④错误. 所以答案是：①③16、已知a >0，b >0，且a +b =1，则1a+2b−3ab 的最大值是______． 答案：32分析：利用a >0，b >0，且a +b =1，求出a 的范围，将1a+2b−3ab 消元得13a 2−4a+2，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得1a+2b−3ab 的最大值.解：因为a >0，b >0，且a +b =1，所以a ∈(0,1),b ∈(0,1)，1a +2b −3ab =11+b −3ab=11+(1−a )(1−3a ) =13a 2−4a+2，当a =23时，3a 2−4a +2取最小值23，所以13a 2−4a+2取最大值32，故1a+2b−3ab 的最大值是32. 所以答案是：32.解答题17、已知函数f (x )=√x +3+1x+2.(1)求f (x )的定义域和f (−3)的值；(2)当a >0时，求f (a )，f (a −1)的值.答案：(1)定义域为[−3,−2)∪(−2,+∞)，f (−3)=−1；(2)f (a )=√a +3+1a+2，f (a −1)=√a +2+1a+1.分析：（1）由根式、分式的性质求函数定义域，将自变量代入求f (−3)即可.（2）根据a 的范围，结合（1）的定义域判断所求函数值是否有意义，再将自变量代入求值即可.（1）由{x +3≥0x +2≠0，则定义域为[−3,−2)∪(−2,+∞)， 且f (−3)=√−3+3+1−3+2=−1.（2）由a >0，结合（1）知：f (a )，f (a −1)有意义.所以f (a )=√a +3+1a+2，f (a −1)=√a −1+3+1a−1+2=√a +2+1a+1. 18、已知幂函数f (x )=x −m2+4m (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在区间(0,+∞)上是严格增函数．(1)求m 的值； (2)求满足不等式f (2a −1)<f (a +1)的实数a 的取值范围．答案：(1)m =2(2)0<a <2分析：（1）先利用幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数得到−m 2+4m >0，再验证其图象关于y 轴对称进行求值；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.（1）解：因为幂函数f (x )=x −m 2+4m 在区间(0,+∞)上是严格增函数，所以−m 2+4m >0，解得0<m <4，又因为m ∈Z ，所以m =1或m =2或m =3，当m =1或m =3时，f (x )=x 3为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当m =2时，f (x )=x 4为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；综上所述，m =2.（2）解：由（1）得f (x )=x 4为偶函数，且在区间(0,+∞)上是严格增函数，则由f (2a −1)<f (a +1)得|2a −1|<|a +1|，即(2a −1)2<(a +1)2，即a 2−2a <0，解得0<a <2，所以满足f (2a −1)<f (a +1)的实数a 的取值范围为0<a <2.。

高中数学必修一第三章知识点总结第三章：函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y=f(x) (x∈D)，使得f(x)=0成立的实数x被称为函数y=f(x) (x∈D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，即函数y=f(x)的图像与x轴相交的横坐标。

即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。

3、函数零点的求法：1）代数法：求解方程f(x)=0的实数根；2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

4、基本初等函数的零点：①正比例函数y=kx (k≠0)只有一个零点；②反比例函数y=k/x (k≠0)没有零点；③一次函数y=kx+b (k≠0)只有一个零点；④二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)。

1）△>0，方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。

2）△=0，方程ax²+bx+c=0有两个相等实根，二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

3）△<0，方程ax²+bx+c=0无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点。

⑤指数函数y=a^x (a>0，且a≠1)没有零点。

⑥对数函数y=logₐx (a>0，且a≠1)仅有一个零点1.⑦幂函数y=x^n，当n>0时，仅有一个零点，当n≤0时，没有零点。

5、非基本初等函数的零点：对于较为复杂的函数f(x)，可以先将其转化为αx²+y₁y₂，再将其拆分成两个我们常见的函数y₁,y₂（基本初等函数），这两个函数图像的交点个数就是函数f(x)的零点个数。

6、判断区间是否含有零点：只需满足f(a)f(b)<0.7、确定零点在某区间的个数的唯一条件是：①函数f(x)在区间上连续，且f(a)f(b)<0；②函数f(x)在区间(a,b)上单调。

高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳
高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。

数学网为大家推荐了高一数学必修一第三章函数的应用知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

函数的应用这一章包括两个内容，分别是函数与方程、函数模型及其应用。

函数与方程这一节知识汇总。

知识点一：方程的根与函数的零点。

知识点二：函数与方程的思想。

知识点三：用二分法求解方程的近似解。

函数模型及其应用这一节知识汇总。

知识点一：几类不同增长的.函数模型(对数函数模型、幂函数模型和指数函数模型)。

知识点二：用已知函数模型解决问题(一次函数、二次函数和基本初等函数)。

知识点三：建立实际问题的函数模型。

在本章中我们要理解函数与方程的思想，函数与方程怎么联系和转化，这是函数与方程思想的本质，函数反映变量之间的动态变化规律，实际生产生活中，这种变化随处可见，如何利用函数来揭示，这就是函数模型所要应用的。

【高一数学必修一第三章函数的应用知识点归纳】。

高一第三章函数知识点总结函数是数学中的基础概念之一，也是高中数学中的核心内容之一。

在高一学习过程中，我们接触到了许多与函数相关的知识点，掌握了函数的定义、性质以及一些常用的函数类型。

接下来，我将对高一第三章的函数知识点进行总结。

一、函数的定义和性质函数是一种对应关系，通过给定的自变量得到相应的函数值。

在数学中，可以用数学公式来表示函数。

通常，我们用f(x)来表示函数，其中f是函数名，x是自变量。

函数的定义域是指自变量的取值范围，函数的值域是指函数在定义域内的所有可能取到的值。

函数值域的求解通常需要根据函数的性质和定义域进行分析。

在函数的图象上，自变量通常表示横轴，函数值通常表示纵轴。

一个函数的图象是由所有的函数值点构成的。

二、常用的函数类型1. 一次函数一次函数是最简单的函数之一。

它的形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数的图象是一条直线，斜率决定了函数的倾斜程度。

2. 二次函数二次函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图象为抛物线，开口方向和开口程度由系数a的正负值决定。

3. 三角函数三角函数是周期函数的一种，常见的有正弦函数和余弦函数。

它们的图象是波浪形状的曲线，具有周期性。

4. 指数函数与对数函数指数函数的形式为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。

它的图象是增长或衰减的曲线。

对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数值。

它的图象是一条递增或递减的曲线。

三、函数的性质和应用函数的性质有很多，这里只介绍一些常见的。

1. 函数的奇偶性如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数。

2. 函数的单调性函数的单调性可以分为递增和递减。

第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x<－5}；(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}．[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x≤5}，则∁U A用区间表示为__________________．[解析]∁U A＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，－x 2－x ＋6≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x 2＋x －6≤0，即⎩⎨⎧x ≠－1，(x ＋3)(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2且x ≠－1，即函数定义域为{x |－3≤x ≤2且x ≠－1}．[变式] (1)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝(3－x )(x －1)”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝3－xx －1”，则其定义域是什么？[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x )(x －1)≥0，解得1≤x ≤3，即定义域为{x |1≤x ≤3}．(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤3，即定义域为{x |1<x ≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3.1.1.2函数概念的应用要点整理1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．3．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝(3－x)2，y＝x－3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝(3－x)2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝(3－x)2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1.[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域． [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. ②g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． ③(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3， 显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设x －1＝t ， 则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．题型三求抽象函数的定义域【典例3】 已知函数f (x )的定义域为[1,3]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [思路导引] 定义域是x 的取值范围，f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1是相对应的．[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3]，即x ∈[1,3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，所以2x ＋1∈[1,3]，所以x ∈[0,1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0,1]．[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x ＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f (x )的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f (1－x )的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解] (1)因为x ∈[1,3]，所以2x ＋1∈[3,7]，即函数f (x )的定义域是[3,7]． (2)因为函数f (1－x )的定义域为[1,3]， 所以x ∈[1,3]，所以1－x ∈[－2,0]， 所以函数f (x )的定义域为[－2,0]． 由2x ＋1∈[－2,0]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，所以f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．[解]①列表法③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)． 解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2， 所以f (x )＝x 2(x ≥1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，解得f (x )＝2x －1x(x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x(x ≠0)．[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x2－1”，则f (x )的解析式是什么？(2)若将本例(3)中条件“2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ”变为“f (x )－2f (－x )＝9x ＋2”，则f (x )的解析式是什么？[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .因为1x ≠0，所以1x＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．(2)由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2， 则⎩⎨⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x )．如典例3(2)．(3)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．如典例3(3)．3.1.2.2分段函数要点整理1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4； 若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2； 若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]． (2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解． 当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解． 当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝k x的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)， 将点A (2,20)，D (0,10)代入， 得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝k x经过B (12,20)， ∴20＝k 12，解得k ＝240，∴BC 段的解析式为y ＝240x(12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1， 当12≤x ≤24时，解240x＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．3.2.1.1函数的单调性要点整理1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f (x )＝ ⎩⎨⎧1，x 是偶数0，x 是奇数，它的定义域是N ，但不具有单调性．题型一函数单调性的判断与证明【典例1】 证明函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引] 设出∀x 1<x 2<－2，判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系． [证明] ∀x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.∵x 1<x 2<－2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，结合图象写出f (x )的单调区间．[解] (1)函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∀x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.作出函数的图象，如图所示． 根据图象，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的增区间是[1－a ，＋∞)． 又∵已知f (x )在[4，＋∞)上是增函数， ∴1－a ≤4，即a ≥－3.∴所求实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f (x )在R 上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，得a <23，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的递增区间为[1－a ，＋∞)． ∴1－a ＝4，得a ＝－3. (2)由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解． [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x 2－1x2＝(x1－x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(2)＝－7.(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎨⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[变式] 本例(2)条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]． 又f (x )max ＝⎩⎨⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.①当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. ②当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．题型四实际应用中的最值【典例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数，再利用函数的单调性求最值． [解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理 函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．题型一函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断． [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；。

高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳总结(精华版)单选题1、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C．(−∞,2]D．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.，由于f(x)在(−2,1)上是减函数，函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2≥1⇒m≥2.所以m2故选:A2、函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，且a为实数，则有（）A．f(a)<f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2+1)<f(a)D．f(a2−a)<f(a)答案：C分析：利用a=0可排除ABD；根据函数单调性和a2+1>a恒成立可知C正确.当a=0时，ABD中不等式左右两侧均为f(0)，不等式不成立，ABD错误；∵a2+1−a>0对于a∈R恒成立，即a2+1>a恒成立，又f(x)为R上的减函数，∴f(a2+1)<f(a)，C正确.故选：C.3、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）对称A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12,0)对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f(x)的周期为2，根据图象平移可得f(x)的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f(x+2)=f(x+4)可得2是函数f(x)的周期，因为f(x+1)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)=−f(2−x)，f(x)=−f(−x)，所以f(x)是奇函数，故选：C.4、已知f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则实数a的取值范围是（）A．(0，4)B．(1，+∞)C．(12，52)D．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围. ∵f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则{2a−3>a−2−2<a−2<2−2<2a−3<2，解得1<a<52故选：D..5、已知幂函数的图象经过点P(4,12)，则该幂函数的大致图象是（）A．B．C．D．答案：A分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可. 设幂函数为y=xα，因为该幂函数得图象经过点P(4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x −12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B ，故选：A6、已知函数f (x )={√x −2,x >2|x −3|+2,x ≤2，则f(f (9))=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8答案：C分析：根据定义域选择合适的表达式代入求值f(f (9))=f(√9−2)=f(1)=|1−3|+2=4故选：C7、已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ）A ．f (x )=(x −1)2,x ≥0B ．f (x )=(x −1)2,x ≥1C ．f (x )=(x +1)2,x ≥0D ．f (x )=(x +1)2,x ≥1答案：B分析：利用凑配法求得f (x )解析式.f (x 2+1)=x 4=(x 2+1)2−2(x 2+1)+1，且x 2+1≥1，所以f (x )=x 2−2x +1=(x −1)2,x ≥1.故选：B8、已知函数f (x )=(m 2−2m −2)⋅x m−2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A ．－1B ．－1或3C ．3D ．2答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.由题意知：m 2−2m −2=1，即(m +1)(m −3)=0，解得m =−1或m =3，∴当m =−1时，m −2=−3，则f (x )=x −3在(0,+∞)上单调递减，不合题意;当m=3时，m−2=1，则f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，符合题意,∴m=3,故选：C多选题9、已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，下列说法正确的是（）A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x+2)为偶函数D．函数f(x−3)为偶函数答案：BC分析：根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.依题意f(x)是偶函数，且f(x)+f(2−x)=0，f(x)=−f(2−x)=−f(x−2)，所以A错误.f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−2−2)]=f(x−4)，所以B正确.f(x+2)=f(x−2+4)=f(x−2)=f(−(x−2))=f(−x+2)，所以函数f(x+2)为偶函数，C正确.若f(x−3)是偶函数，则f(x−3)=f(−x−3)=f(x+3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x−3)不是偶函数.D错误.故选：BC10、（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A．y=85x+6B．y=−x2−2x+5C．y=√x−1D．y=1x−1答案：AC分析：分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.A函数的定义域和值域都是R，符合题意；B.定义域为R，因为y=−x2−2x+5=−(x+1)2+6≤6，所以函数值域为(−∞,6]，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,+∞)，值域为[0,+∞)，定义域是值域的真子集；D.定义域为{x|x ≠0}，值域为{x|x ≠−1}，两个集合只有交集；故选：AC11、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．12、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC13、关于直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（）A．不论m为何值时都有交点B．当m>2时，有两个交点C．当m=2时，有一个交点D．当m<2时，没有交点答案：BCD分析：化简函数y=|x|+|2x+4|表达式即为y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作出直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，通过数形结合直接判断即可.由题意得，y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作此函数图像如下图折线所示；y=m即平行于x轴的直线，作图像如下图直线所示.对于A，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故A错误；对于B，由图可知，当m>2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象有两个交点，故B正确；对于C，由图可知，当m=2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，有一个交点，故C正确；对于D，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故D正确.故选:BCD填空题14、函数f(x)=√x−4|x|−5的定义域是______.答案：[4,5)∪(5,+∞)解析：利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．要使函数f(x)=√x−4|x|−5有意义，则{x−4≥0|x|−5≠0，解得x≥4且，x≠±5，故函数的定义域为[4,5)∪(5,+∞)，所以答案是：[4,5)∪(5,+∞)．15、设函数f（x）=(x+1)2+ax 1 32x2+2，a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝__．答案：1分析：令g（x）＝f（x）−12=2x+ax132x2+2，易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M−12）+（m−12）＝0，即可求出M+m的值.解：f（x）=(x+1)2+ax 1 32x2+2=x2+2x+1+ax132x2+2=12+2x+ax132x2+2，令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2， 则g （﹣x ）=−2x−ax 132x 2+2=−g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以g （x ）的最大最小值分别为M −12，m −12，由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，所以M +m ＝1．所以答案是：1．16、已知f (x )={ax +4,x ≤1log 2x,x ≥2,若函数f (x )的值域为[1,+∞)，则a 的最小值为______． 答案：−3分析：根据函数的解析式，结合f (2)=1和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.由题意，函数f (x )={ax +4,x ≤1log 2x,x ≥2，可得f (2)=1， 要使得函数f (x )的值域为[1,+∞)，则满足{a ≤0a +4≥1，解得−3≤a ≤0， 所以实数a 的最小值为−3．所以答案是：−3．解答题17、已知函数f (x )=x |x −a |(1)讨论函数f(x)的奇偶性（只需写出正确结论）；(2)当a =2时，写出函数f(x)的单调递增区间：(3)当a ≥2时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.答案：(1)答案见解析(2)单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞)(3)f max (x)={a 24,2≤a ≤42a −4,a >4分析：（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）按x 的范围去绝对值，进而求单调递增区间即可；（3）由a≥2且x∈[0,2]可得f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，讨论对称轴的位置求最大值即可. （1）当a=0时，f(x)=x|x|，f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，故f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)=x|x−a|为非奇非偶函数.（2）当a=2时，f(x)=x|x−2|，所以f(x)={x(x−2)=x2−2x,x≥2x(2−x)=−x2+2x,x<2，所以当x≥2时，x2−2x的单调递增区间为[2,+∞)；当x<2时，−x2+2x的单调递增区间为(−∞,1]，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞).（3）因为a≥2且x∈[0,2]，所以f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，对称轴为x=a2，当0<a2≤2，即2≤a≤4时，f max(x)=f(a2)=a24；当a2>2，即a>4时，f(x)在[0,2]上单调递增，f max(x)=f(2)=2a−4，综上f max(x)={a24,2≤a≤42a−4,a>4.18、已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．（1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）求f[f(−1)]的值．答案：（1）定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）-1.分析：（1）由图像直接得到定义域和值域；（2）先求出解析式，再直接代入求f[f(−1)]的值.解：（1）由图象可知，函数f(x)的定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）当x ∈[−2，0]时，设f(x)=kx +b(k ≠0)，将(−2,0)，(0,2)代入可得{−2k +b =0b =2， 解得k =1，b =2，即f(x)=x +2，当x ∈(0，3]时，设f(x)=a(x −2)2−2，将点(3,−1)代入可得−1=a(3−2)2−2，解得a =1， ∴f(x)=(x −2)2−2=x 2−4x +2，∴f(x)={x +2,−2⩽x ⩽0x 2−4x +2,0<x ⩽3， ∴f(−1)=−1+2=1，∴f[f(−1)]=f （1）=12−4+2=−1．。

高一函数第三章知识点总结函数是数学中一个重要而广泛应用的概念，它在高中数学学习中也占据着重要的地位。

在高一的数学学习过程中，我们学习了函数的基本概念、性质以及相关的图像和应用。

以下是对高一函数第三章知识点的总结。

1. 函数的定义及基本性质函数是一个将一个或多个数域中的元素映射到另一个数域中的元素的规则。

在函数中，我们通常用字母表示自变量，用另一个字母表示因变量。

函数的表示方式可以是显式的、隐式的或者是通过表格给出。

一个函数可以表示为 f(x)，其中 f 表示函数名称，x 表示自变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。

2. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的图形表示。

通过观察函数的图像，我们可以获得函数的性质和特点。

例如，函数的增减性和极值点可以通过图像来确定。

在高一的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的图像和性质。

一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距；二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点和对称轴；幂函数的图像可能是一条直线或者是曲线，具有一些特殊的变化规律；指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有一个特定的底数。

3. 函数的运算在函数的运算中，我们主要学习了函数的四则运算、复合函数和反函数。

函数的四则运算指的是函数之间的加减乘除运算。

两个函数的和、差、积和商仍然是函数，其定义域和值域也需要根据运算的规则相应调整。

复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，形成一个新的函数。

复合函数的定义域和值域需要根据两个函数的定义域和值域进行限制。

函数的反函数是指根据原函数的定义域和值域，通过交换自变量和因变量，得到一个新的函数。

反函数具有原函数的逆运算性质。

4. 函数方程与应用函数方程是给定函数特定性质的方程。

在高一的学习中，我们主要学习了一次函数方程和二次函数方程。

一次函数方程是指形如 y = kx + b 的方程，其中 k 和 b 是常数。

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。

（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。