文章编号 :1671 - 8127 ( 2005) 02 - 0042 - 04完整约束与非完整约束的动力学比较王保玉 ,李祖海( 商丘师范学院 物理与信息工程系 ,河南 商丘 ,476000)摘 要 :本文通过完整约束与非完整约束动力学方程的比较 ,说明在一阶非完整约束下 ,系统的虚位移必须满足 Четав条件. 最后指出文献[ 2 ] 给出的 d - δ运算交换性是错误的.关键词 :完整约束 ;非完整约束 ; Ha mil t o n 原理 ; 约束力 ; Четав条件 中图分类号 : O 313 文献标识码 : A1概念导入自从 1894 年 He r t z 提出非完整力学系统的概念 [ 1 ] 至今 , 对非完整系统分析力学的研究已经有一百多年的历史 . 如果与整系统分析力学的研究相比 , 由于非完整系统分析力学的研究历史较短 , 而且问题复杂 , 所以 , 到目前为止仍有一些理论问和实际应用问题尚待解决 . 例如 , 关于 Четаев条件问题 , 关于 d - δ运算交换性问题 , 关于 Ha m i l t o n 原理如何在非完整系统应用的问题 , 关于完整系统的积分理论如何在非完整系统中推广的问题 , ⋯⋯. 长期的研究表明 , 在以上诸多问题中 , 起决性作用的 , 也是在研究过程中争论最大的问题是 Четаев条件问题和 d - δ运算交换性的问题 [ 2 ] [3 ] . 历史上 , 以 нo d e r 为代表 观点认为 d - δ运算的交换性普遍成立 ; 而以 A p p el l öЧетаев为代表的观点认为 , 在非完整约束下 d - δ运算仅对独立变量 可以交换 . 本文首先将完整约束与非完整约束进行比较 , 然后将两种约束分别在应用 Четаев条件和不应用 Четаев条件下导出各自相应的动力学方程 , 通过对方程的讨论指出 , 在一阶非完整约束下 , 只有应用 Четаев条件推导出的动力学方程 , 才 系统运动的真实轨道方程 . 最后通过对一阶非完整约束下系统的虚位移和虚速度的分析 , 讨论 d - δ运算的交换性 , 并指出 献 [ 2 ] 的错误 .2完整约束与非完整约束的力学性质21 1完整约束与非完整约束的比较设一质点系由 N 个质点组成 , 取曲线坐标 q 1 , q 2 , ⋯⋯, q 3 N 作为描述系统位形的空间变量 . 系统中第 i 个质点的位矢可为r i = r i ( q 1 , q 2 , ⋯, q 3 N , t )( i = 1 , 2 , ⋯, N )( 2 . 1) 如果系统同时受 m 个完整约束F a ( q 1 , q 2 , ⋯, q 3 N , t ) = 0 ( a = 1 , 2 , ⋯, m ) ( 2 . 2) 和 g 个一阶非完整约束 = 0 ( s = 1 , 2 , ⋯, 3 N ;β = 1 , 2 , ⋯, g ) f β ( q s , q s , t) ( 2 . 3)将 ( 2 . 2) 式对时间 t 求一阶导数得3 N= ∑9F q + = 0 a9F a F a ( 2 . 4)s 9q s 9t s = 1从 ( 2 . 4) 式可以看出 , 完整约束 ( 2 . 2) 式 , 不仅限制了系统的位形 , 而且还限制了系统中各质点的运动速度 . 由于 ( 2 . 3)不能通过直接积分转化成完整约束 , 所以 , 它对系统的位形没有限制 , 而只限制系统中各质点的运动 . 这就充分说明了低阶束同时包含相应的高阶约束 , 而高阶约束确不能包含相应的低阶约束 [ 4 ] . 如果仅考虑约束对系统中各质点运动的限制 , ( 2 和 ( 2 . 4) 式应该具有完全相同的性质 .如果考虑到 Четаев条件 , ( 2 . 3) 式和 ( 2 . 4) 式所满足的条件分别为3 N∑9f βδq δf β = = 0 (β = 1 , 2 , ⋯, g )( 2 . 5) s 9qss = 1 3 N∑9 Fα q δF α = δ s= 0 (α = 1 , 2 , ⋯, m )( 2 . 6)9q s s = 1收稿日期 :2004 - 08 - 16作者简介 :王保玉 ( 1964 - ) ,男 ,河南永城人 ,商丘师范学院物理系讲师 ,主要从事理论力学研究.如果不应用 Четаев条件 , 约束方程 ( 2 . 3) 和 ( 2 . 4) 式的等时变分分别为 3 N∑( 9fβδq s+ 9f δq ) βδf β = s = 0( 2 . 7) 9q s9q ss = 1 3 N∑(9 F α q + 9 F aδF α = δ s δq s ) = 0 ( 2 . 8)9q s 9q s s = 1在方程 ( 2 . 7) 和 ( 2 . 8) 式中 , 既含有虚位移δq s , 又含有虚速度δq s , 说明它们对系统中各质点既有位置限制 , 又有速度限制 ,这显然不符合上述分析的物理事实 , 所以 , 它们不是系统在某一时刻的虚运动所满足的条件 . 按照 Gree n w o o d 的思想 , 一阶非完整约束所产生的运动学效果 , 是限制在位形空间内任意给定点处系统中各质点许可运动的方向 , 并不限制系统中各质点在 空间中的位形 . 在 ( 2 . 3) 和 ( 2 . 4) 式限制下 , 可以把 Gree n w oo d 的思想表示为一阶非完整约束仅对系统的虚速度产生限制 , 即 系统的虚运动所满足的条件是 3 N∑9f βδq = 0 δf β = (β = 1 , 2 , ⋯, g )( 2 . 9) s 9qs s = 1 3 N∑9 Fα q = 0 (α = 1 , 2 , ⋯, g )δF α = δ s ( 2 . 10)9qs s = 1 由 ( 2 . 4) 可以看出 , 9 F α = 9F α; 于完整约束 , 系统的可能位形微变空间与可能速度微变空间 [6 ] 是完全一致的 . 因此可以9q s9qs认为 , ( 2 . 5) 和 ( 2 . 6) 式是 ( 2 . 9) 和 ( 2 . 10) 式的等价表示21 2 完整约束与一阶非完整约束的力学性质为了讨论问题方便 , 假设系统是理想 、保守系统 , 用曲线坐标表示的 L a g ra n g e 函数为 L ( q s , q s , t) . ( 2 . 2) 和 ( 2 . 3) 式均满足 边界条件q s = q s 0 ( t = t 0 ) ; q s = q s 1 ( t = t 1 ) ( 2 . 11)考虑到分析力学基本思想方 法 的 特 点 是 从 系 统 的 所 有 可 能 运 动 的 轨 道 中 挑 选 出 真 实 的 运 动 轨 道 , 而 在 真 实 轨 道 上 ,Ha m i l t o n 原理的泛函应取极值 , 即t 1t 13 Nδ∫L ( qs , q & , t) dt = ∫∑( 9L δq s +9Lδ s ) dt = 0 ( 2 . 12)s 9qq9q s s t 0s = 1 t 0将 ( 2 . 5) 式 、( 2 . 6) 式分别乘以待定的 L a g ra n g e 乘子μβ、λa ,求和后纳入 ( 2 . 12) 式 , 这相当于用约束力代替约束方程 , 根据 约束解除原理 , 各曲线坐标 q s ( s = 1 , 2 , ⋯, 3 N ) 是彼此独立的 , 即 dδq s =δq s ; 经分部积分 , 并考虑到边界条件δq s 0 =δq s 1 = 0 ,d t有t 13 Nmg( 9L∑λa9 F a + ∑μβ 9f ∫s ∑=1 β)δq dt = 0 + ( 2 . 13)s 9q s 9q s 9q sa = 1β= 1t 0考虑到δq s 彼此独立 , 由 ( 2 . 13) 式可以得到mg∑λα 9 F α + ∑μβ 9 f βd 9L9L ( s = 1 , 2 , ⋯, 3 N ) ( 2 . 14)- =d t 9q s 9q s9q s 9q sa = 1β= 1 ( 2 . 14) 式就是系统在完整约束 ( 2 . 2) 式和一阶非完整约束 ( 2 . 3) 式限制下 , 用曲线坐标表示的系统的真实轨道所满足的动力学方程 , 式中m∑λα 9 F α R 1s = ( s = 1 , 2 , ⋯, 3 N )( 2 . 15)9q s α= 1是完整约束作用在系统上的约束力在 上的分量 . 将该力与系统的虚位移δq 作标积 , 并考虑到 ( 2 . 6) 式 , 有m 3 N∑λα ∑9 F αδR 1 ·δq = = 0 ( )2 . 16 q s 9q s α= 1s = 1 ( 2 . 16) 式表明 , 作用在系统上的完整约束力对系统所做的虚功恒等于零 , 这正是完整理想约束定义 , 而 gδfβ ∑μβδqq ( s = 1 , 2 , ⋯, 3 N ) ( 2 . 17)R 2s =sβ= 1 是与一阶非完整约束相对应的约束力在 上的分量 , 将该力与系统的虚位移δq 作标积 , 并考虑到 ( 2 . 5) 式 , 有g3 NR 2 ·δq = ∑μβ∑9f δq = 0β( 2 . 18)s9q sβ= 1s = 1( 2 . 18) 式可以作为一阶非完整约束下理想约束定义 . ( 2 . 16) 和 ( 2 . 18) 式说明 , 不论是完整约束还是非完整约束 , 由满足 约束方程的虚位移条件 ( 2 . 5) 和 ( 2 . 6) 式乘以 L a g ra n ge 待定乘子所得到的约束力都是理想约束力 . 如果约束是非理想的 , 在方程 ( 2 . 14) 式的推导过程中 , 必须考虑非理想约束力作用项 [ 5 ] . 事实上 , 约束是否为理想约束 , 是由约束的物理性质决定的 ,如果不运用Четаев条件, 利用( 2.7) 和(2.8) 式代替( 2.5) 和( 2.6) 式, 采用与推导(2.14) 式相同的方法可以得到m gd 9L 9L ∑λα9Fα- λα9Fα d (μβ9f β) - μβ9f β∑- - ++= 0 ( 2.19)9q s 9q s9q s9q s d t9q s9q sd tα=1β=1文献[ 2 ] 把上式称为测地轨道方程, 其中m Fα d9FαR1s = ∑λα9 -(λa( 2.20) 9q s9q s )d tα= 1为系统沿测地轨道运动时受到的完整约束力在q s 上的分量, 由( 2.4) 式和(2.8) 式知9Fα 9F a 9Fδq sδq sδq s( 2.21) = -= -9q s9q s9q s将R2 与系统在测地轨道附近的虚位移δq 作标积m 3 N m 3 N∑∑λα9F9Fα9 Fαα d dR1 ·δq =(λαδq = -∑∑λ)δ-)(q = 0 (2.22 )s a s9q s9q s9qd t d t sα= 1 s=1 α= 1 s=1而gR2s = ∑μβ9 f β d9 fβ- (μβ)( 2.23)9q s9q s d tβ= 1为系统沿测地轨道运动时受到的一阶非完整约束力在q s 上的分量, 将R2 与系统在测地轨道附近的虚位移δq 作标积g 3 N∑∑μβ9f9 fββ d(μβR2 ·δq =)δq(2.24 )-s9q s9q sd tβ=1s =1由( 2.7) 式知9f βδq9f βδs= - q s( 2.25) 9q s9q s将( 2.25) 式代入( 2.24) 式经整理得g 3 N∑d (μβ∑9f βR2 ·δq = -9q s)(2.26 )9q sd tβ=1s =1从( 2.26) 式可以看出, 在不应用Четаев条件的情况下, 如果Четаев条件不成立, 则作用在系统上的一阶非完整约束力系统所做的虚功之和并不等于零.也就是说, 如果系统的运动不满足Четаев条件, 则一阶非完整约束不可能成为理想约束所周知, 系统所受到的约束力是否为理想约束力, 是由约束的物理性质决定的, 与系统的运动路径无关, 上述结论显然不符物理事实.根据分析力学的思想方法, 系统的真实运动必然包含在众多的虚运动之中, 这就要求系统的虚运动与系统的真运动必须满足相同的约束限制条件, 所以( 2.7) 式和(2.8) 式并不是系统的虚运动所满足的条件.事实上, 当系统仅受完整束时, ( 2.19) 式不能退化到第一类L a g r a n ge 方程.由此可以得出如下结论:在运动约束下( 不论它们是否可积) , 凡是不满Четаев条件的运动, 都不是系统的真实运动.3 关于d - δ运算的交换性由于约束方程( 2.2) 和(2.3) 式都是彼此独立的, 在( 2.2) 式中总可以找出m 个曲线坐标q n+ a ( n = 3 N -m) , 使J a cobi 行列式m ; a =1 , 2,D ( F1 , F2 , ⋯, F m ) ≠0 ( 3.1)D ( q n+1 , q n+2 , ⋯, q3 N)成立, 则后面m 个曲线坐标可用前n 个曲线坐标表示, 即q n+α= ψα( q1 , q2 , ⋯, q n , t)(α= 1 , 2, ⋯, m)( 3.2)式中q k ( k = 1 , 2, ⋯, n) 通常称为广义坐标, 在考虑到( 3.2) 式后, ( 2.3) 式可改写成fβ( q k, q k , t) = 0 ( k = 1 , 2, ⋯, n;β= 1 , 2, ⋯, g)同理, 在( 3.3) 式中, 总可以找到g 个广义速度q g +β, 使( 3.3)qε+β= φβ( q k , qζ, t)(δ= 1 , 2, ⋯,ε;ε= n - g ;β= 1 , 2, ⋯, g)( 3.4)成立.将(3.2) 式两端同时对时间t 求一阶导数nψα 9ψα∑9q n+α= ψα=q k +( 3.5) k =19q k9t将( 3.4) 式和( 3.5) 式分别应用Четаев条件ε∑9φβqζδqε+β=δ(β= 1 , 2, ⋯, g)( 3.6) 9qζζ=1nψα∑9 q kδq n+α=δ(α= 1 , 2, ⋯, m)(3.7 ) k =19q k由( 3.5) 式可以看出,9ψα=9ψα; 代入( 3.7) 式得9q k 9q knδq n +α = ∑9 δq k ψa (α = 1 , 2 ⋯, m )( 3 . 8)9q kk = 1上式正是完整约束 ( 3 . 2) 式对虚位移的限制条件 , 于是可以认为 , ( 3 . 6) 式是系统在一阶非完整约束下与完整约束相对应的对虚位移的限制条件 . 如果不应用 Четаев条件 , 将 ( 3 . 4) 、( 3 . 5) 式作等时变分ε nφβ9φβδq ε+β = ∑9 δq k +∑ δqζ( 3 . 9) 9q ζk = 1 9qk ζ= 1n δq n+α = ∑( 9q k+ qk ψα 9ψαδ δ ( )3 . 10 9q k 9q kk = 1文献 [ 2 ] 指出 , ( 3 . 6) 、( 3 . 7) 式是在真实轨道附近取值 , ( 3 . 9) 、( 3 . 10) 式是在测地轨道附近取值 , 而dδε+β ≠δq ε+β( 3 . 11)d t 并不是由非完整约束造成的 , 而是由于δq ε+β 与δq ε+β 的取值域不同 . 本文认为 , 事实并非如此 , 按照文献 [ 2 ] 的观点 , ( 3 . 7)式与 ( 3 . 10) 式的取值域也是不同的 , 但是δq n+α = d δq n α ( 3 . 12)d t确实能够严格成立 . 出现 ( 3 . 11) 式与 ( 3 . 12) 式的结果并不是偶然的 , 而是由于完整约束与非完整约束最本质的区别 %非 完整约束 ( 3 . 4) 式不能通过直接积分化为完整约束造成的 .参考文献 :[ 1 ] H . H ER TZ. D ie p ri n zipien der Mecha ni k i n neue m Zusa mmen ha nge da r ge st ell t G e s Wer ke . Bd . 3 ,L eipzi g ,1894 ～ 1895 .[ 2 ] 梁立孚 ,石志飞. 非完整系统分析动力学中的几个基本问题 [ A ] . 梁立孚 , 石志飞. 中国非完整力学三十年 [ C ] . 开封 : 河南大学出版社 ,1994 . 67 ～ 79 .[ 3 ] 梅凤翔. 非完整系统分析力学基础[ M ] . 北京 :北京工业学院出版社. 1985[ 4 ] 郭保中 ,李祖海. 从 Chet a ev 定义看 d - δ运算的交换性[J ] . 力学与实践 ,2000 , ( 2) : 63 ～ 65 .[ 责任编辑 冯喜忠 ]T H E Co mp a ri s o n of D y n a m i c a l Eq u a t i o n A b out Hol o n o mi cCons t r a i n t a n d N o n h o l o nom i c Cons t r a i n tWAN G Bao Οyu ,L I Zu Οhai( De p a r t ment o f p h y s i cs an d i n f or m at i o n en g i nee r i n g . S h a n g q i u T e ac h e r s Col l e ge , s h a n g q i u 476000 , Chi na )Abs t r act : On 1 - eder no n holo no m ic co n st rai n t ,t hi s p ap er explai ns t hat t he vi rt ual di splace ment of syst e m mu st sati sf y t he Четаевco ndi 2tio n . Fi nall y it poi nt s t hat t he recip rocal rel at io nship of d - δop erat io n i n ref e rence [ 2 ] i s wro ng .Ke y w or ds : holo no mic co n s t rai nt ; n o n h olo no mic co nst rai nt ; Ha m il tio n ‘s p ri n cipl e ;co n st rai nt f o rce ; Chet aev co nditio n。
