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广义坐标和约束体系

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分析动力学-约束理论

分析动力学-约束理论

Page 2
运动的多维空间描述
1.1 位形空间
对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为 描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):
u(t ) x(t ) y(t ) z(t )
对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质 点系统的位置和形状（位形）：
c(t ) u1 (t ) u2 (t )
C轨迹的一般性质：
1. C轨迹是连续的； 2. C轨迹可以有重点； 3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况； a. 静止点处； b. 在有打击作用的时刻；
2018年8月20日
Page 4
约束
1.2 约束
约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制
在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。 绝大多数的运动都是约束运动。 约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件
y g ( z) x C( z)
则有：
g ( z) C( z) dy g ( z)dx ( x )dz z z
加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。 速度约束不一定对位移有限制。
2018年8月20日 Page 16
非完整约束 1.5 非完整约束
不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。 大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为 质点速度的一次代数方程：
o
2 A
r
2 A
C
O
A
x
x y r , yB 0
xB x A
2
y l
2 A
2
vA 0 x r 0
是否有其它形式？
x
2018年8月20日

约束的概念与分类

约束的概念与分类

1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z xy z t (,,; , , ;)=02)稳定与不稳定约束稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=03)几何与运动约束几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0运动约束又称微分约束：f x y z xy z t (,,; , , ;)=04)可解与不可解约束可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=05)完整系与不完整系完整系：几何、不可解约束系2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。

独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。

不独立变量与广义坐标的关系可表为：x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s ii s ===⎧⎨⎪⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。

3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。

4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。

分析动力学之约束理论

分析动力学之约束理论

分析动力学之约束理论引言在物理学与工程学中，动力学是解释物体如何随时间变化的理论。

而约束理论则是研究系统内物体之间的限制关系。

本文将讨论动力学中的约束理论，包括什么是约束、约束的类型、以及约束对于动力学系统的影响。

我们将深入探讨这些概念，以帮助读者更好地理解动力学中的约束理论。

什么是约束约束是动力学中的一个重要概念，它表示系统内物体之间的相互关系，即物体在运动过程中需要满足的条件。

这些条件可以是几何约束、运动约束或力学约束。

几何约束是指系统内物体之间的空间关系。

例如，考虑一个由绳子连接的摆钟系统，在这种情况下，约束条件是摆钟必须保持在特定的平面内，并且绳子的长度保持不变。

运动约束是指系统内物体之间的运动关系。

例如，考虑一个双摆系统，其中一个摆的运动受到另一个摆的约束，两个摆必须以特定的方式协调运动。

力学约束是指系统内物体之间的力学关系。

例如，考虑一个刚体系统，其中物体之间存在刚性约束，即物体之间的相对位置和相对角度保持不变。

约束的类型约束可以分为两类：完整约束和非完整约束。

完整约束是指系统中约束的自由度等于约束的数量。

换句话说，完整约束可以完全限制系统的运动。

例如，考虑一个由两个铰链连接的刚体，铰链的数量等于刚体的自由度，因此这是一个完整约束。

非完整约束是指系统中约束的自由度小于约束的数量。

非完整约束不能完全限制系统的运动。

例如，考虑一个由两个滚子连接的刚体，滚子只能限制刚体在一个平面内的运动，但不能限制刚体的旋转自由度，因此这是一个非完整约束。

约束对于动力学系统的影响约束对于动力学系统具有重要的影响。

约束可以限制物体的位置、速度和加速度。

它们可以改变物体的运动轨迹、减少系统的自由度，以及影响物体之间的相互作用。

在动力学分析中，约束可以通过引入广义坐标来描述。

广义坐标是系统中描述物体位置和运动状态的数学变量。

通过使用广义坐标，可以将约束条件转化为运动方程，以进一步分析系统的运动行为。

另一个重要的影响是约束反力。

3-8刚体体系的虚位移原理

3-8刚体体系的虚位移原理

虚位移 — 非定常约束情况
f x1 ,, x3 N , t 0
微分
f r1 ,, rN , t 0
实位移或可能位移 d f x1 ,, x3 N , t 0
f f f dx1 dx3 N dt 0 （非齐次） x1 x3 N t
由虚功原理得
YB
P rG YB rB P rH 0 5 YB P 4 P
H
D
P
A
P
E
G
B
rG
F
rB

rH
rC
b
虚位移原理
例 惰钳机构由六根长杆和两根 短杆组成，长杆长2a，短杆 长 a，各杆之间用铰链相连 。它在顶部受力 P 的作用， 问下部力 Q 的大小为多少才 能使系统处于平衡状态。图 中 为已知角。
x
A



rB 2 rD l2
y
rD rB

D
B
例4
广义坐标表示的虚位移
O

再取
0, 0

rC
rA

x
C
A

rB rD 2 rC l1
y
rD
rB
D
B
例5刚体平面运动的虚位移
rA= { rA1 ， rB1} rB = { rA2 ， rB2} （1）虚位移投影定理 刚体上两点的虚位移在 它们连线上的投影相等


n w fi ri fixxi fiyyi fizz
n i 1 i 1
元功：力在微小位移上的功。
某一约束的约束力在在质点系的任何虚位移上所做 的功之和等于零，则该约束称为理想约束。

四川大学物理学院理论力学第五章课件 4

四川大学物理学院理论力学第五章课件 4

x
x
l
lM
M
y
y
y
xA A xA = sint
x
l
M
x2 + y2 = l2
张纪平 制作
x2 + y2 ≤ l2
(x − sint)2 + y2 = l2
1
2、约束的分类
x 刚性杆
x
l
l
M
M
y
y
x2 + y2 = l2
x2 + y2 ≤ l2
xA A xA = sint
x
y
M
(x −sint)2 + y2 = l2
O
解： 解析法 2个自由度
α
取α、β 为广义坐标
系统所受约束符合虚功原理的适用条件
系统的主动力有 P1, P2 和 F
根据虚功原理,
P1iδ rC + P2 iδ rD + F iδ rB = 0
建立坐标系
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
张纪平 制作
A
β
F
O
B
α
y
C
l1 β
P1 A l2
F
x
D P2 B
18
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
yB = l1 cosα + l2 cos β
xC
=
1 2
l1 sin α
O
α
y
C
l1 β
xD
=
l1 sin α
+
1 2
l2
sin
β

1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标

1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
前面所举的例子均为定常约束。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。

约束的概念与分类

约束的概念与分类

1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z xy z t (,,; , , ;)=02)稳定与不稳定约束稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=03)几何与运动约束几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0运动约束又称微分约束：f x y z xy z t (,,; , , ;)=04)可解与不可解约束可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=05)完整系与不完整系完整系：几何、不可解约束系2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。

独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。

不独立变量与广义坐标的关系可表为：x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s ii s ===⎧⎨⎪⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。

3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。

4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。

理论力学-分析力学

理论力学-分析力学
√
约束、自由度和广义坐标(4/9)
约束的种类 几何约束，微分约束 几何约束(完整约束)：限制质点的几何位置 例：Oxy 平面的曲柄连杆的约束
约束方程的一般形式
只存在完整约束的力学系称为完整系
√
约束、自由度和广义坐标(5/9)
微分约束(不完整约束，运动约束)：约束方程中含 有时间的一次微分变量(如速度)，并且不可解为坐 标之间的关系 例：大环和小盘
不稳定约束情况：摆长随时间变化的单摆
实位移
虚位移
实位移不是虚位移中的一种 虚位移通过约束曲面的切面上
√
虚功原理(3/13)
例：非自由质点组的虚位移
求点 A,B,C 的虚位移
推广：n 个质点组，有 k 个约束
自由度：s = 3n - k 个参量 广义坐标：q1, q2, …, qs 独立变分：dq1, dq2, …, dqs
√
拉格朗日方程(1/8)
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理 ：体系在任何瞬间的主动力、约束力和逆 效力的和等于零
动力学方程→静力学方程
称为逆效力
逆效力 惯性力
惯性力：在非惯性系，与非惯性系的加速度有关
逆效力：在惯性系，与质点的加速度有关
达朗贝尔-拉格朗日方程
√
拉格朗日方程(2/8)
例：离心调速器由套筒(A, B和C，mA = mB = m)、两拉杆(长l)及两弹簧(系数k) 组成长；已知弹簧无拉伸时，拉杆倾斜
约束力与虚位移垂直：光滑曲面 约束力的虚功之和为零：光滑铰链，绳，杆 虚位移为零：固定点，纯滚动的接触点
非理想约束：分解为理想约束和主动力 粗糙斜面 = 光滑斜面(理想约束) + 摩擦力(主动力)
√
虚功原理(5/13)

第五章分析力学

第五章分析力学
代人(3)式得
2P cos
Q cos
Q cos
sin sin
0
是独立的
P Q ctgtg 1
2
四、广义力
1、广义力
主动力的虚功
W
Fi
ri
而其中ri
i
一般不是独立的。
下面将用广义坐标来描述主动力的虚功，来表示
虚功原理。
则：
ri
ri (q1,
q2
qs ,t)
(i 1,2,n)
第五章 分析力学
理论力学牛 分顿 析力矢学量力学
一、分析力学的产生和发展
1. 产生背景 十八、九世纪工业革命，手工业生产发展为机器生产，
在工程技术上，从大机器(连杆机构、轮系联动机构等)中 提出了许多迫切要求解决的实际问题，很多是属于质点系
(或刚体系)的约束运动问题。机构越复杂 设质点数为 n ， 约束越多设受k个约束，方程数目越多方程数为3n k，用牛顿
Q 0
α=1、2、……s
上式即为受理想完整约束的力学体系在广义坐标中 的平衡方程
3、广义力的物理意义
Q
n i 1
Fi
ri q
n i 1
Fix
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
是力学体系诸主动力在广义坐标轴qα上的投影之和。
举例：质点作直线运动
y
取x、y为一般坐标，r为广义坐标。
Fc Qj rC yC j
Q
由，W
n
Fi
ri
0，得
y
i1
Pi (xBi yB j ) Qj yC j
x
A
W Fi ri Px B QyC 0

约束、自由度与广义坐标

约束、自由度与广义坐标

n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;

周衍柏著理论力学——第五章分析力学 pdf讲义

周衍柏著理论力学——第五章分析力学 pdf讲义
xi = xi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎫ ⎪ yi = yi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎬ zi = zi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎪ ⎭ (i = 1, 2, L , n, s < 3n ) (i = 1, 2, L , n, s < 3n) (5.1.8) (5 . 1 . 9 )
3
不可解约束：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面 约束，即存在约束方程
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
约束又可分为几何约束和运动约束。 几何约束又叫做完整约束，它只限制质点在空间的位置，因 而表现为质点坐标的函数，如
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
dr P
δr
7
8
9
三、虚功原理 以下讨论只限于不可解约束的情况，设体系在 k 个几何约束 下处于平衡状态。由于体系处于平衡状态，所以体系中每一 个质点都处于平衡状态。 因此任一质点 Pi ，受到主动力的合力 Fi 与约束反力的合力 Ri 满足： (i = 1,2, L , n ) (5.2.3) Fi + Ri = 0 让每一质点在平衡位置发生一虚位移 δr ，则有 Fi ⋅ δr + Ri ⋅ δr = 0 (i = 1,2, L , n ) 上式对各质点求和得：
1
第一节 约束与广义坐标
一、约束的概念和分类 1、力学体系：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一 个质点的运动都和其它质点的位置及运动有关，简称体系。 若有 n 个质点，则描述所有质点位置的坐标有 3n 个。 2、约束：限制质点自由运动的条件叫做的约束。 约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如：

理论物理导论-第一章1)

理论物理导论-第一章1)
（i=1，2，…,N）
式中， & x&i , &y&i代, &z表&i 第i个质点的加速度在三个方
向上的分量，
则X i 代,Yi表, Z作i 用于该质点的力
的三个分量，对于每一个质点都有类似的方程，
所以含有N个质点的该力学系统应有3N个这
样的方程来描述运动。
15
定义用直角坐标表示的质点系的动能T为：
（1-5） 18
由于动能 T只是速度 x1,...的, z函N 数，而 又限U
于只是坐标 x1,...的zN函数，因此在引入后，式 （1-4）可以写成：
d L L 0 dt xi xi
d L（i=1L，20，…,N）
dt yi yi
d L L 0
dt zi zi
此即用直角坐标表示的拉氏方程。
（1-6）
19
拉格朗日运动方程
可以证明，用广义坐标表示的一般形式的拉氏
方程与（1-6）式形式一样，只是x把, y, z 换成
q1, q2，,..如. 下式所示：
d L L
dt
g
qj
q j
0（( j1-71,）2,..., s)
（1-7）式即是描述具有s个自由度的系统的拉 氏方程。
20
（1-7）式适用于完整理想约束，且主动力 为保守力的系统。其中L为拉格朗日函数，等于 力学系的动能与势能之差，是表征力学系特征的 一个重要标量函数。
m3 x&32
1 2
m1q&12
1 2
m2
(q&1
q&2 )2
1 2
m3
(q&1
q&2 )2

分析力学

分析力学

第六章 分析力学引言：到现在为止，我们所讨论的力学问题都是采用牛顿的方法来处理的，因此就称它为牛顿力学。

力学问题除了用牛顿力学的方法处理之外，也可以应用拉格朗日和哈密顿的方法来处理，应用拉格朗日和哈顿方法处理的力学问题通常就称它为分析力学。

分析力学这个名称实际上正是沿用了拉格朗日原著的名称。

拉格朗日《分析力学》这本著作是在1788年写成的。

全书根据一个虚位移原理，用严格的数学分析方法来处理所有的力学问。

全书自始至终没有用到过一张图，拉格朗日本人曾经以此而感到非常满意和十分骄傲。

但是，我们要注意，并不要以为“没有一张图”就能反映出它的最大优点，作为我们做作业的仿效依据，那是不行的。

实际上在现代科学技术中，图是一种必不可少的工具，不要认为科学家所用的方法就占绝对的优势，而一成不变，因为有些内容、结果，往往要受到当时历史条件、科学技术等其他因素所限制。

所以，我们今后在做分析力学部分的题目时，该画的图还是要画的，不要认为大科学家拉格朗日都不画图，那么我也以不作图而引以自豪，这种自豪是…..。

至于，到底什么叫分析力学，没有一本书上，对它有确切的定义。

根据我的理解主要是从研究的手段来区分。

由于，牛顿力学：在求解力学问题时，用的是几何方法和分析方法相结合的手段。

而分析力学：①主要是应用了广义坐标，用广义坐标作为描写机械运动的独立变量。

它的很大优点之一,是在于它从方程组中巧妙地消去了约束，减少了方程组中未知量的个数，从而简化了大量的数学运算，于是也就提高了解题的效率。

这一点在我们今后学了分析力学之后就会体会到。

有些力学题目用牛顿力学的方法去解很难，很费劲，一旦用分析力学的方法去求解，就会显得很容易。

甚至牛顿力学所无法求解的一些复杂的力学问题，然而应用分析力学的方法，常常可以通过比较简单的途径得到解决。

分析力学的优点不仅在于使许多力学问题的求解相当容易，而且在应用和理论方面也起着桥梁作用。

②用处：它们的用处所涉及的方面有：工业上的自动控制、工程技术、理论上的天体力学、量子力学、统计力学以及电动力学等等各个方面。

广 义 坐 标

广 义 坐 标
rn ,t) 0
广义坐标
例如：把小球A用长度为 l 的刚性杆连பைடு நூலகம்起来，用平面 铰链悬挂在O点。小球 A所 满足的约束方程为
x2 y2 l2 0
x
O
l A A0
y
广义坐标
运动约束－ 约束方程中含有质点的速度，则被称为运动约束， 或速度约束。通常的约束方程为：
f1
(r1,
r2
,
f
2
(r1,
到了18世纪后期，由于工业的迅速发展，需要研究和解决机器 的各种运动问题。而这些运动恰恰是质点组或者刚体组的约束运动。 由于时代的需要，力学的发展，产生了新的理论和新的方法。
广义坐标
1788年，拉格朗日出版了一本非常有名的著作-叫《分析力学》。 他采用了抽象的数学分析方法，用拉格朗日方程作为力学的基本方程， 发展了牛顿力学。它特别适用于研究约束系统的力学问题。
广义坐标
但是，当我们处理复杂的质点组问题时，实际上存在很大的困难。 因为研究一个自由质点的运动，一般需要求解3个二阶微分方程。n 个自由质点的运动，则需要求解3n个二阶微分方程。当质点组受到k 个约束的时候，方程的数目就变成了3n+k，这就使得问题更为复杂， 求解更加困难。
（2） 分析力学的特点和优势
广义坐标
例如：用刚性杆连接的小球 ，是双面约束。单摆是单面约束。
O
x
O
x
l
A A0 y
x2 y2 l2(双面约束)
l A
A0 y x2 y2 + z2 l2(单面约束)
广义坐标
（4） 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 几何约束和可以积分的运动约束，被称为完整约束。
f1(r1, r2 ,

[物理]分析力学

[物理]分析力学

实例
ω
C
vC
x
φ
xC P
轮 C 在水平轨道上作纯滚动的条件表达为 dϕ ⎧ dxC ⎧vC − ω r = 0 −r =0 ⎪ ⎨ 或 dt ⎨ dt y r = ⎩ C ⎪
⎩ yC = r
青岛科技大学数理学院
瞬心
4
稳定约束 --- 约束方程中不显含时间 t 的约束 . 如
f ( x, y , z ) = 0
青岛科技大学数理学院
14
IV. 虚位移在约束面上有任意方向的无 穷多个，在稳定几何约束下，质点 系无限小的实位移是虚位移之一 .
（对于非 稳定约束 dr 不是 δ r 中的一个）
dr
⋅
δr
P
说明
δϕ 等符号表示 . ¾ 虚位移常用 δ r、δ x 、δ s 、
¾ 关于符号 δ
δ --- 等时变分算子符号（变分符号）； δ --- 表示无限小的变更； δ 的运算规则与微分算子“ d ”的运算规则相同 .
O
ϕ1 l1
A
y
l2
x
ϕ2
B
若质点系由 n 个质点、 k 个完整约束组成，则其自由度 为 s = 3n − k .
青岛科技大学数理学院
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若质点系由 n 个质点、 k 个完整约束组成，则其自由度 为 s = 3n − k . ¾ 选广义坐标 q1 , q2 ,……, qs ，则各质点的坐标
⎧ xi = xi (q1 , q2 ,……, qs ) ⎪ ⎨ yi = yi (q1 , q2 ,……, qs ) ⎪ z = z (q , q ,……, q ) i 1 2 s ⎩ i
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¾ 质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之 间的关系： 设质点系由 n 个质点，k 个完整约束组成，则自由度为
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广义坐标和约束体系
在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。

广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。

本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。

一、广义坐标的概念和应用
在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。

然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。

为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。

广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。

与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。

通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。

广义坐标的应用十分广泛。

在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。

在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。

例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。

二、约束体系在多体系统动力学中的作用
在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。

这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如
速度约束、加速度约束等）。

约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。

约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。

它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。

通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。

在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。

约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。

通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。

这对于设计和优化振动系统非常重要。

三、结论
广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。

通过引入广义坐标，我们可以简化问题的求解，用更简洁的方式描述系统的状态。

约束体系则可以用来限制系统的自由度，帮助我们分析系统的动力学特性。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的广义坐标和约束体系的描述方式，以便更好地理解系统的运动规律和特性。