分析动力学-约束理论

C轨迹的一般性质：
1. C轨迹是连续的； 2. C轨迹可以有重点； 3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况； a. 静止点处； b. 在有打击作用的时刻；
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约束
1.2 约束
约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制
在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。 绝大多数的运动都是约束运动。 约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件
平面问题？
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广义坐标
考虑系统由一个质点构成
约束方程为：x-y=0
取一组新的坐标：
q1 x y q2 x q3 z
两组坐标之间的变换关系：
1 1 0 q1 x q2 1 0 0 y z q3 0 0 1
xl gl (q1 , q2 ,
, q3 N , t ) (l 1, 2,
3N )
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广义坐标
注意到完整约束关系:
qk fk ( x1 , x2 ,
则有：
, x3N , t ) 0 (k 1, 2, , qr 1 , t ) (k 1, 2,
x
y
2 A
x
l (t )
y
2 A 2 A

l
A
2 A 2
A
2
x y l 0
x y l (t ) 0
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约束方程的几何解释
对于定常约束：
f (u1 (t ), u2 (t ),
, uN (t )) 0
一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。 系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。
o
2 A
r
2 A
C
O
A
x
x y r , yB 0
xB x A
2
y l
2 A
2
vA 0 x r 0
是否有其它形式？
x
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定常约束和非定常约束
如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定常约束 (scleronomic constraint)； 否则称为非定常约束(rheonomic constraint) 。
uN (t )
引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空 间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形 空间。
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位形空间的特点
系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c
C空间的一个点c对应于系统的一个位形
当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中 画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。
分析动力学之 约束理论
清华大学航天航空学院
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本节内容
分析力学的基础概念：虚位移
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限 小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。 内容1：约束、广义坐标 内容2：约束的几何意义 内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。
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无穷小的位移改变应满足：
xdx ydy zdz 0
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约束与有限位移和无穷小位移（例）
设在无穷小位移上的约束为： dy g ( z )dx 0 其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束 解：没有加在有限位移上的约束。 若令加在有限位移上的约束为：
两组坐标均可以描述质点的位形
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广义坐标
注意到完整约束关系: 则有：
x y 0 0 q1 q2 x q3 z
即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标
在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予 考虑。
x

l
刚性杆
Fra Baidu bibliotek2 2 xA yA l2 0
y
A
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完整约束(homonomic constraint) 1.3 完整约束
具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：
f (u1 (t ), u2 (t ),
, uN (t ), t ) 0
y
A
y
l
B
2
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运动的多维空间描述
1.1 位形空间
对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为 描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):
u(t ) x(t ) y(t ) z(t )
对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质 点系统的位置和形状（位形）：
c(t ) u1 (t ) u2 (t )
对于非定常约束？
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广义坐标
1.4 广义坐标
能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。 选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定
xi xi (q1 , q2 ,
, ql , t ) (i 1, 2,
3N )
广义坐标数为： l 3 N r N – 质点总数 r – 完整约束的总数；
N
在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所 有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。 虚位移在约束曲面的切平面内。
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约束对无穷小位移的影响（例）
在光滑球面上运动的质点，球面方程为： x2
y2 z2 R2
约束方程：
x2 y2 z2 R2
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广义坐标
设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束
fk ( x1 , x2 ,
, x3 N , t ) 0 (k 1, 2,
r)
引入一组新的变量q：
ql fl ( x1 , x2 ,
, x3 N , t ) (l 1, 2,
3N )
令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变 换式为无关组。 则可以得到从x到q的变换：
r)
xk gk (0,0,
3N )
即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示 当采用广义坐标时，完整约束自动满足。
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约束对无穷小位移的影响（局部特性）
假设约束曲面是光滑的，有：
f (u1 (t ), u2 (t ),
, uN (t ), t ) 0
f f u dus t dt 0 s 1 s