2019版高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4

选修4-5不等式选讲题组1不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.题组2不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.A组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若)-)<k存在实数解,求实数k的取值范围.4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.B组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2;+[f(x)]2的最小值.(2)当x≠-1时,求y=)答案1.A当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.2.-6或4当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=--,,--,-,-,-,f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=--,-,-,-,-,,f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].4.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0①.当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤-}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f 1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, -,-, -,,y=f(x)的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.6.(Ⅰ)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x|<x<2}.(Ⅱ)由题设可得f(x)=--,-,-,-,-,所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(-,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是(,).8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, ,-, ,当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2 a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.A组基础题1.(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴,---或,---或,---,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2, ∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得,-或,或,--,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy..3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,当a>0时,-≤x≤,所以--,,解得a=2;当a<0时,≤x≤-,所以-,-无解.所以a=2.(2)因为)-)=-≥--) =,所以要使)-)<k存在实数解,只需k>,所以实数k的取值范围是(,+∞).4.(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=,, -,, -,当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f(x)≤3.所以m的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,由(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}; 当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.B组提升题5.(1)当m=5时,f(x)=-), -), -),由f(x)>2得不等式的解集为{x|-<x<}.(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f(x)=-),--),-)在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;②当-2<x<1时,f(x)=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x≥1时,f(x)=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.综上所述,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)},则A⊆B,因为f(x)=|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,g(x)=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f(x)=|x+1|+|x-a|=--,-,,-, -,又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.(2)++=) )==≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).8.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2. (2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,∴y=)+[f (x )]2=)+)+[f (x )]2≥3· )· )· )= ,当且仅当 )=)=[f (x )]2时取等号,即x=-1± 时取等号. ∴y= )+[f (x )]2的最小值为.。

选修4-5　不等式选讲题组1　不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A .(-∞,4)B .(-∞,1)C .(1,4)D .(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a 2+a+2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值12范围是 .4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f (x )的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(Ⅱ)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f (x )=|x+|+|x-a|(a>0).1a(Ⅰ)证明:f (x )≥2;(Ⅱ)若f (3)<5,求a 的取值范围.题组2　不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x-|+|x+|,M为不等式f (x )<2的解集.1212(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(Ⅰ)若ab>cd ,则+>+;a b c d (Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac ≤;13(Ⅱ)++≥1.a 2b b 2c c 2aA 组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f (x )=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f (x )+3≥0的解集;(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,求a 的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m ,n ).(1)求m ,n 的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y ≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f (x )=|ax-1|,不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}.(1)求a 的值;(2)若<k 存在实数解,求实数k 的取值范围.f (x )+f (-x )34.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f (x )=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x ∈R,使得f (x )≤m 成立,求m 的取值范围;(2)求不等式x 2-8x+15+f (x )≤0的解集.B 组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f (x )=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f (x )>2的解集;(2)若二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f (x )=|x-m|+|x+2|(m ∈R),g (x )=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f (x )≤5的解集;(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f (x )=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},求a 的值;(2)已知a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=m ,求证:++≥.1a +b 1b +c 1c +a 92m 8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f (x )=(x+1)2.14(1)证明: f (x )+|f (x )-2|≥2;(2)当x ≠-1时,求y=+[f (x )]2的最小值.14f (x )答案1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A .2.-6或4　当a=-1时,f (x )=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f (x )=f (x ){-3x -1+2a ,x ≤a ,x -1-2a ,a <x ≤-1,3x +1-2a ,x >-1,min =f (a )=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f (x )=f (x )min =f (a )=-{-3x -1+2a ,x ≤-1,-x +1+2a ,-1<x ≤a ,3x +1-2a ,x >a ,a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]　|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数121212125212y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a 2+a+2≤,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤,即实数a 的取值范围52125212是[-1,].124.(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0　①.当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤.-1+172所以f (x )≥g (x )的解集为{x|-1≤x ≤}.-1+172(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且 f (1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f (x )的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知,当f (x )=1时,可得x=1或x=3;当f (x )=-1时,可得x=或x=5.13故f (x )>1的解集为{x|1<x<3};f (x )<-1的解集为{x|x<或x>5}.13所以|f (x )|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.136.(Ⅰ)当a=1时, f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;23当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为{x|<x<2}.23(Ⅱ)由题设可得f (x )=所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三{x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .个顶点分别为A (,0),B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.2a -1323由题设得(a+1)2>6,故a>2.23所以a 的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f (x )=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a )|=+a ≥2.所以f (x )≥2.1a 1a 1a(Ⅱ)f (3)=|3+|+|3-a|.1a 当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5得3<a<.1a 5+212当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,由f (3)<5得<a ≤3.1a 1+52综上,a 的取值范围是().1+525+2128.(Ⅰ)由题意可得f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x ≤-;1212当-<x<时,f (x )<2恒成立;1212当x ≥时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.1212所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,a b ab c d cd 由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(+)2>(+)2.a b c d 因此+>+.a b c d (Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.a b c d ②若+>+,则(+)2>(+)2,即a b c d a b c d a+b+2>c+d+2.ab cd 因为a+b=c+d ,所以ab>cd.于是(a-b )2=(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd=(c-d )2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.(Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca )≤1,即ab+bc+ca ≤.13(Ⅱ)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,a 2b b 2c c 2a 故+++(a+b+c )≥2(a+b+c ),即++≥a+b+c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a 所以++≥1.a 2b b 2c c 2a A 组基础题1.(1)当a=2时,由f (x )≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴或或{x <12,2-x +2x -1≥-3{12≤x <2,2-x -2x +1≥-3{x ≥2,x -2-2x +1≥-3,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.1212综上,当a=2时,不等式f (x )+3≥0的解集为{x|-4≤x ≤2}.(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2. 故-2x-2≤x-a ≤2x+2,即-3x-2≤-a ≤x+2,∴-x-2≤a ≤3x+2对x ∈[1,3]恒成立.∴a ∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得或或{x ≥3,x +x -3<x +6{0<x <3,3<x +6{x ≤0,-x +3-x <x +6,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y )=10++≥10+2=16,1x 1y y x 9xy y x×9xy 当且仅当=,即x=,y=时取等号,y x 9xy 11214所以+≥16,即x+y ≥16xy.1x 1y .3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4,当a>0时,-≤x ≤,所以解得a=2;2a 4a {-2a =-1,4a=2,当a<0时,≤x ≤-,所以无解.所以a=2.4a 2a {-2a =2,4a=-1(2)因为=≥=,所以要使 <k 存在实数解,只需k>,f (x )+f (-x )3|2x -1|+|2x +1|3|2x -1-(2x +1)|323f (x )+f (-x )323所以实数k的取值范围是(,+∞).234.(1)f (x )=|x-5|-|x-2|={3,x ≤2,7-2x ,2<x <5,-3,x ≥5.当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f (x )≥x 2-8x+15,由(1)可知,当x ≤2时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};3当x ≥5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x ≤6}.3B 组提升题5.(1)当m=5时,f (x )={5+2x (x <-1),3(-1≤x ≤1),5-2x (x >1),由f (x )>2得不等式的解集为{x|-<x<}.3232(2)因为二次函数y=x 2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f (x )=在x=-1处取得最大值m-2,{m +2x (x <-1),m -2(-1≤x ≤1),m -2x (x >1)所以要使二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m ≥4,所以实数m 的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,①当x ≤-2时,f (x )=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x ≥-3,所以-3≤x ≤-2;②当-2<x<1时,f (x )=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x ≥1时,f (x )=2x+1,由2x+1≤5,解得x ≤2,所以1≤x ≤2.综上所述,不等式f (x )≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,设A={y|y=f (x )},B={y|y=g (x )},则A ⊆B ,因为f (x )=|x-m|+|x+2|≥|(x-m )-(x+2)|=|m+2|,g (x )=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m ≥1或m ≤-5,因此,实数m 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f (x )=|x+1|+|x-a|={-2x +a -1,x <-1,a +1,-1≤x <a ,2x -a +1,x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},解得a=2.(2)++1a +b 1b +c 1c +a=(1a +b +1b +c +1c +a )(a +b +b +c +c +a )2m=1+b +ca +b +c +aa +b +1+a +bb +c +c +ab +c +1+a +bc +a +b +cc +a2m=3+b +c a +b +a +b b +c +c +a b +c +b +c c +a +a +b c +a +c +aa +b2m≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).92m m38.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,14∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2.(2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,14∴y=+[f (x )]2=++[f (x )]2≥3·=,当且仅当==[f (x )]2时取等14f (x )18f (x )18f (x )318f (x )·18f (x )·[f (x )]23418f (x )18f (x )号,即x=-1±时取等号.2∴y=+[f (x )]2的最小值为.14f (x )34。

2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R)．(2)|a －b|≤|a －c|＋|c －b|(a ，b ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ，|ax ＋b|≥c ，|x －c|＋|x －b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．知识点总结1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．知识点拓展柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则+≤3.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<;当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1, ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-2|≤M的解集为{x|-2≤x≤.6.(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,-或,或,-,解得x≤1或x≥4.故当a=-3时,不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)由题意可得f(x)≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 + -( + )= ) ) ) = )( -≥0,所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以= ) ) ( )= )( )( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0, 即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ = ,当且仅当a+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当b+1=2时,取等号, · ≤ = ,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得 ( )≤=6,所以 + + ≤3 ,当且仅当a=b=c=1时,取等号.。

选修4- 5不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x —1|<3.解：原不等式可化为1<x—1<3或—3<x—1<—1,解得不等式的解集为(一2，0) U (2 , 4).2. 解不等式|x + 1| + |x —2| V 4.解：当x<—1时，不等式化为一x — 1 + 2—x<4,3 解得—2<x< —1 ；当一K x < 2时，不等式化为x + 1 + 2 —x<4, 得—K x < 2;当x>2时，不等式化为x + 1 + x—2<4,5 解得2<X<7原不等式的解集为i— 2，| .23. 解不等式|x —2x + 4|>2x.解：原不等式等价于x2—2x + 4<—2x①，|或x —2x + 4>2x ②.解①得解集为?,解②得解集为｛x|x € R且x工2｝.•原不等式的解集为｛x|x € R且x丰2｝.4. 解不等式x2—|x| —2<0.解：(解法1)当x > 0 时，x —x —2<0, 解得—1<x<2,「. 0 < x<2 ;|当x<0 时，x + x —2<0,解得—2<x<1 ,—2<x<0.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.(解法2)原不等式可化为凶1—|x| —2<0,解得—1<|x|<2.■/ |x| > 0,「. 0 w |x|<2 , •—2<x<2.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.5. 已知满足不等式|2x + a| + |x —3| w 4的x的最大值为3，求实数a的值.解：因为x的最大值为3,所以x w 3，即不等式为|2x + a| + 3—x w 4，所以|2x + a| w x+ 1,p>- 1，x + 1 A 0, | —a —1所以’所以｛x^——,—x —1 w 2x+ a w x+ 1, 3x w 1 —a, 因为x的最大值为3,所以1—a= 3,即a=—2.|6. 已知函数f(x) = |x + 1| + |x —2| —|a —2a|.若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.解：f(x)的最小值为3 —|a2—2a| ,由题设，得|a —2a|<3，解得 a € ( —1, 3).7. 已知函数f(x) = |x| —|x —3|.(1) 解关于x的不等式f(x) > 1；(2) 若存在x o€ R,使得关于x的不等式m w f(x 0)成立，求实数m的取值范围.… x w 0, …0V x v 3, _ 解：(1)原不等式等价于不等式组①：* 或②：/ 或③：—x +( x —3)A1 |x +( x—3)A1x —x + 3> 1. 不等式组①无解；解不等式组②得 2 < x V 3;解不等式组③得等式的解集为[2 ,+^ ).(2)由题意知m< f (x) max,因为f(x) = |x| —|x —3| < |x —x + 3| = 3, 所以me 3,即m€ ( 3].8. 已知函数f(x) = |1 —x| —|2 + x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t —1| > f(x)恒成立，求实数t的取值范围.解：⑴ f(x) = |1 —x| —|2 + x| e |1 —x+ 2+ x| = 3, 当且仅当x e—2时等号成立，••• f(x) max= 3.(2)由|2t —1| > f(x)恒成立得|2t —1| > f(x) max,即|2t —1| > 3, 2t —1> 3 或2t —K —3,解得t > 2或t <—1,•实数t的取值范围是(一3 —1] U [2 ,+^ ).9. 已知关于x的不等式|ax —1| + |ax —a| > 1(a>0).(1) 当a = 1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.1解：(1)当a = 1 时，得2|x —1| > 1,即|x —1| > ,x> 3,所以原不所以f(x) max= 3,解得x>扌或x e 1,•不等式的解集为：一3, 1U -|,+3 .(2) •.jax —1| + |ax —a|》|a —1| ,•原不等式解集为R等价于|a —1| > 1.• a > 2 或a e 0.•/ a>0 , • a > 2.•实数a的取值范围是[2 , +3 ).10.设函数f(x) = |2x + 1| —|x —2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；2 11⑵？ x€ R, f(x) >t —-^t，求实数t的取值范围.1—x —3,x<—2，解：⑴f(x) 13x —1 , —x<2,x+ 3, x>2,1当x< —q时，一x —3>2, x< —5,「. x<—5；1当—寸 x<2 时，3x —1>2, x>1,「. 1<x<2 ；当x>2 时，x+ 3>2, x> —1,二x >2.综上所述，不等式f(x) >2的解集为{x|x>1或x< —5}.5 11⑵ f(x) min= —2，若？ x € R, f(x) > t 2—~t恒成立，5 2 11t 1则只需f(x) min= —2》t —2，解得2e t e 5.即t的取值范围是-|2, 5 111.设函数 f(x) = |2x — 1| - |x + 1|. ⑴求不等式f(x) < 0的解集D;⑵ 若存在实数x € {x|0 w x w 2}，使得.3x +2 — x>a 成立，求实数a 的取值范围.解：(1)当 x w — 1 时，由 f(x) =— x + 2w 0 得 x >2,所以 x € ?;1 1当一1<x w 2时，由 f(x) = — 3x w 0 得 x 》0,所以 0w x w ; 1 1当 x>2时，由 f(x) = x — 2 w 0 得 x w 2，所以 2<x w 2. 综上，不等式 f(x) w 0的解集D = {x|0 w x w 2}.(2) 3x + 2— x =3 x + 2 — x ，由柯西不等式得(，3 ,x + • 2 — x) 2w (3 + 1)[x + (23—x)] = 8,••• 3x + 2— x w 2〔2,当且仅当x =空时取“ =”， /• a 的取值范围是(一®2 .2). 第2课时 不等式证明的基本方法2 2 2 21. 已知 x > 1, y > 1,求证：x y + xy + 1 w x y + x + y.证明：左边一右边= (y — y 2)x 2+ (y 2— 1)x — y + 1 = (1 — y)[yx 2— (1 + y)x + 1] = (1 —y)(xy — 1)(x — 1),•/x > 1, y > 1 ,• 1 — y w 0, xy — 1 >0, x — 1 >0. 从而左边—右边w 0,• x y + xy + 1 w x y + x + y.2. (2017 •苏州期末)已知 a , b ,x ,y 都是正数，且 a + b = 1,求证:(ax + by)(bx + ay) >xy. 证明：因为a , b , x , y 都是正数，所以(ax + by)(bx + ay) = ab(x 2+ y 2) + xy(a 2+ b 2)2 2 2> ab • 2xy + xy(a + b ) = (a + b) xy. 又 a + b = 1,所以(ax + by)(bx + ay) >xy. 当且仅当x = y 时等号成立.3. 已知 x , y , z € R ,且 x + 2y + 3z + 8= 0.求证：(x — 1) + (y + 2) + (z — 3) > 14. 证明：因为[(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3) 2](1 2+ 22+ 32)2> [(x — 1) + 2(y + 2) + 3(z — 3)]2 2=(x + 2y + 3z — 6) = 14 ,X — 1 y -k 2 z 一 3当且仅当 〒=七厂=丁，即x = z = 0, y =— 4时，取等号，所以(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3)2> 14.4. 已知函数 f(x) = |2x — 1| + |x + 1|，函数 g(x) = f(x) + |x + 1| 的值域为 M. (1)求不等式f(x) w 3的解集；23若 t € M 求证：t + 1 > + 3t.一 3x ,3x , x > 2,2 —x w3 (2) 证明：g(x) = f(x) + |x + 1| = |2x — 1| + |2x + 2| > |2x — 1 — 2x — 2| = 3, 当且仅当(2x — 1)(2x + 2) w 0 时，取等号，••• M= [3 ,+s ).2 3 t3 — 3t2 + t — 3 (t — 3)( t2 + 1)原不等式等价于t 2— 3t + 1 —x w — 1. (1)依题意，得f(x)1—1< x < —,x w — 1,或—3x w31一 1< X V 2， x > 1,或 2 解得一1 w x w 1.即不等式f(x) w 3的解集为{x| — 1 w x w 1}.3x w 3,•/ t € M •- t — 3> 0, t 2+ 1 > 0.(t — 3)(t2 +1}> 0. • Z 1> 3 + 3t.5. （2017 •苏、锡、常、镇二模）已知a , b , c 为正实数，求证: b2 证明：T a , b , c 为正实数，• a + —>2b , a b2 c2 a2将上面三个式子相加得 a + b + c + +p+ —》2a +2b + 2c , a b cb2 c2 a2+ T + 7》a + * c .1 1 1a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a ? + a 3= 1,求证： — > 9.a1 a2 a31 1 1 因为 a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a2 + a3 = 1，所以 二+帀十-^ = (a 1 + a 2 + ai a2 a31 2 3，+7.已知正数x , y , z 满足x + 2y + 3z = 1，求- + -+-的最小值.x y z1 4 9解：一+-+二=二+代+丁 (x + 2y + 3z) /2y 4x> 14 + 2 • —+ 2\j x 2y1 “ 、 x = y = z = 6时等号成立,1 1 1且a + 2b + 4c = 3.求乔+ R +而的最小值，并指出取得最小值时a , b , c 的值. 解：••• a + 2b + 4c = 3,「 ••• a , b , c 为正数，•••由柯西不等式得［（a + 2)2.当且仅当(a + 1)2= 2(b + 1)2= 4(c + 1)2时，等式成立.1 1 1 11 + 62 • + + 》 a +1 b + 1 c +1 10'• 2(c + 1) + 2 2(c + 1) + 4(c + 1) = 10 ,b2 c2 a2+ — + — > a + b + c. a b c a2 c + > 2a , cc2b + > 2c ,b 6.设 证明: 1 1 1 i 3 = 9（当且仅当a 1 = a 2= a 3时等号成立），所以1 1 1 ■+ -a1 a2 诂 A 3(a 1a 2a 3)3'3F 1 1 +匚+二》9.a2 a3a 3) al a2 a3 xyz 込 2y 3z 厂 -2y 3z 4x 12z 9x 18y=1 + 4 + 9+ +—+ +—+ + 于x x 2y 2y 3z 3z当且仅当 12 3• -+ -+-的最小值为36.x y z 8.已知 x > 0, y > 0, z > 0 且 xyz = 1,证明：T x > 0, y >0, z > 0, • x + y + z > 3xyz.3333同理 x + y + 1 > 3xy , y + z + 1 > 3yz , 求证: 3 3 3x + y + z > xy + yz + zx.将以上各式相加，得 3x 3y + 3z + 3>3xyz + 3xy + 3yz + 3zx. 333T xyz = 1 ,• x + y + z > xy + yz + zx.9.已知a ，b ，c 均为正数, (a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) = 10.12z 2y3z 9x x 3z + 2 18y3z = 36, 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1)] • 11 I厂+而+市 A(1+ 2+8- 5j215(2—17 23- 10F2…c = -, b= —7, a= 7 1 ~10.已知a+ b + c= 1, a, b, c>0.求证：1(1) abc w 27 ；(2) a 2+ b2+ c2> ^abc.证明：(1) a+ b + c>3 • Qabc,而a+ b+ c = 1? abc w£7,当且仅当a= b = c=g时取等号.2 2 2 1 2 13 1(2)由柯西不等式得a + b + c >^(a + b+ c) = 3，由(1)知•. abc w3,••• a 2+ b2+ c2> %bc，当且仅当a = b= c =''时取等号.11.已知函数f(x) = . 3x+ 6, g(x) = ■_ 14-x.若存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，求实数a的取值范围.解：存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，等价于f(x) + g(x)的最大值大于a.■/ f(x) + g(x) = 3x + 6 + ,14- x=i.；3 X :x + 2+ 1 X 14—x,由柯西不等式得， c 3 X，: X+ 2+ 1X 14 —x) 2w (3 + 1) •( x+ 2+ 14—x) = 64,• f(x) + g(x) = 3x + 6 + . 14 —x w 8,当且仅当x = 10 时取等号.故实数a的取值范围是(8).。

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4-5的全部内容。

选修4.5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1｜>3.解:不等式｜2x －1｜＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x 〈－1或x>2.故不等式的解集为{x| x 〈－1或x 〉2｝.2. 已知｜x －a ｜〈b （a ，b ∈R ）的解集为｛x|2<x 〈4}，求a －b 的值。

解:由|x －a ｜〈b ，得a －b<x 〈a ＋b.又|x －a ｜〈b （a,b ∈R ）的解集为{x ｜2<x<4｝,所以a －b ＝2。

3。

求不等式|2x ＋1|－｜5－x ｜＞0的解集。

解：原不等式化为｜2x ＋1|>|5－x ｜，两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2，即3x 2＋14x －24>0,解得原不等式的解集为(－∞，－6）∪（错误!，＋∞）。

4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 满足不等式｜x －4｜＋｜x －3｜<a ，求实数a 的取值范围。

解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4｜＋｜x －3｜≥｜（x －4）－（x －3）｜＝1,所以函数y ＝｜x －4|＋｜x －3|的最小值为1。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

选修­不等式选讲第课时绝对值不等式. 解不等式<－<.解：原不等式可化为<－<或－<－<－，解得不等式的解集为(－，)∪(，)．. 解不等式＋＋－＜.解：当<－时，不等式化为－－＋－<，解得－<<－；当－≤≤时，不等式化为＋＋－<，得－≤≤；当>时，不等式化为＋＋－<，解得<<.∴原不等式的解集为.. 解不等式－＋>.解：原不等式等价于－＋<－①，或－＋> ②.解①得解集为∅，解②得解集为{∈且≠}．∴原不等式的解集为{∈且≠}．. 解不等式－－<.解：(解法)当≥时，－－<，解得－<<，∴≤<；当<时，＋－<，解得－<<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．(解法)原不等式可化为－－<，解得－<<.∵≥，∴≤<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．. 已知满足不等式＋＋－≤的的最大值为，求实数的值．解：因为的最大值为，所以≤，即不等式为＋＋－≤，所以＋≤＋，所以所以因为的最大值为，所以－＝，即＝－.. 已知函数()＝＋＋－－－.若函数()的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．解：()的最小值为－－，由题设，得－<，解得∈(－，)．. 已知函数()＝－－.() 解关于的不等式()≥；() 若存在∈，使得关于的不等式≤()成立，求实数的取值范围．解：() 原不等式等价于不等式组①：或②：或③：不等式组①无解；解不等式组②得≤＜；解不等式组③得≥，所以原不等式的解集为[，＋∞)．() 由题意知≤ ()，因为()＝－－≤－＋＝，所以()＝，所以≤，即∈(－∞，]．. 已知函数()＝－－＋.() 求()的最大值；() －≥()恒成立，求实数的取值范围．解：() ()＝－－＋≤－＋＋＝，当且仅当≤－时等号成立，∴ ()＝.() 由－≥()恒成立得－≥()，即－≥，－≥或－≤－，解得≥ 或≤－，∴实数的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．. 已知关于的不等式－＋－≥(>)．() 当＝时，求此不等式的解集；() 若此不等式的解集为，求实数的取值范围．解：() 当＝时，得－≥, 即－≥，解得≥或≤，∴不等式的解集为∪.() ∵ －＋－≥－，∴原不等式解集为等价于－≥.∴≥或≤.∵ >，∴≥.∴实数的取值范围是[，＋∞)．. 设函数()＝＋－－.() 求不等式()>的解集；() ∀∈，()≥－，求实数的取值范围．解：() ()＝当<－时，－－>，<－，∴ <－；当－≤<时，－>，>，∴ <<；当≥时，＋>，>－，∴≥.综上所述，不等式()＞的解集为{>或<－}．() ()＝－，若∀∈，()≥－恒成立，则只需()＝－≥－，解得≤≤.即的取值范围是.. 设函数()＝－－＋.() 求不等式()≤的解集；() 若存在实数∈{≤≤}，使得＋>成立，求实数的取值范围．解：() 当≤－时，由()＝－＋≤得≥，所以∈∅；当－<≤时，由()＝－≤得≥，所以≤≤；当>时，由()＝－≤得≤，所以<≤.综上，不等式()≤的解集＝{≤≤}．() ＋＝＋，由柯西不等式得(＋)≤(＋)[＋(－)]＝，∴＋≤，当且仅当＝时取“＝”，∴的取值范围是(－∞，)．第课时不等式证明的基本方法. 已知≥，≥，求证：＋＋≤＋＋.证明：左边－右边＝(－)＋(－)－＋＝(－)[－(＋)＋]＝(－)(－)(－)，∵≥，≥，∴－≤，－≥，－≥.从而左边－右边≤，∴＋＋≤＋＋.. (·苏州期末)已知，，，都是正数，且＋＝，求证：(＋)(＋)≥.证明：因为，，，都是正数，所以(＋)(＋)＝(＋)＋(＋)≥·＋(＋)＝(＋).又＋＝，所以(＋)(＋)≥.当且仅当＝时等号成立．. 已知，，∈，且＋＋＋＝.求证：(－)＋(＋)＋(－)≥.证明：因为[(－)＋(＋)＋(－)](＋＋)≥[(－)＋(＋)＋(－)]＝(＋＋－)＝，当且仅当＝＝，即＝＝，＝－时，取等号，所以(－)＋(＋)＋(－)≥.. 已知函数()＝－＋＋，函数()＝()＋＋的值域为.。

选修­不等式选讲第课时绝对值不等式. 解不等式<－<.解：原不等式可化为<－<或－<－<－，解得不等式的解集为(－，)∪(，)．. 解不等式＋＋－＜.解：当<－时，不等式化为－－＋－<，解得－<<－；当－≤≤时，不等式化为＋＋－<，得－≤≤；当>时，不等式化为＋＋－<，解得<<.∴原不等式的解集为.. 解不等式－＋>.解：原不等式等价于－＋<－①，或－＋> ②.解①得解集为∅，解②得解集为{∈且≠}．∴原不等式的解集为{∈且≠}．. 解不等式－－<.解：(解法)当≥时，－－<，解得－<<，∴≤<；当<时，＋－<，解得－<<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．(解法)原不等式可化为－－<，解得－<<.∵≥，∴≤<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．. 已知满足不等式＋＋－≤的的最大值为，求实数的值．解：因为的最大值为，所以≤，即不等式为＋＋－≤，所以＋≤＋，所以所以因为的最大值为，所以－＝，即＝－.. 已知函数()＝＋＋－－－.若函数()的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．解：()的最小值为－－，由题设，得－<，解得∈(－，)．. 已知函数()＝－－.() 解关于的不等式()≥；() 若存在∈，使得关于的不等式≤()成立，求实数的取值范围．解：() 原不等式等价于不等式组①：或②：或③：不等式组①无解；解不等式组②得≤＜；解不等式组③得≥，所以原不等式的解集为[，＋∞)．() 由题意知≤ ()，因为()＝－－≤－＋＝，所以()＝，所以≤，即∈(－∞，]．. 已知函数()＝－－＋.() 求()的最大值；() －≥()恒成立，求实数的取值范围．解：() ()＝－－＋≤－＋＋＝，当且仅当≤－时等号成立，∴ ()＝.() 由－≥()恒成立得－≥()，即－≥，－≥或－≤－，解得≥ 或≤－，∴实数的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．. 已知关于的不等式－＋－≥(>)．() 当＝时，求此不等式的解集；() 若此不等式的解集为，求实数的取值范围．解：() 当＝时，得－≥, 即－≥，解得≥或≤，∴不等式的解集为∪.() ∵ －＋－≥－，∴原不等式解集为等价于－≥.∴≥或≤.∵ >，∴≥.∴实数的取值范围是[，＋∞)．. 设函数()＝＋－－.() 求不等式()>的解集；() ∀∈，()≥－，求实数的取值范围．解：() ()＝当<－时，－－>，<－，∴ <－；当－≤<时，－>，>，∴ <<；当≥时，＋>，>－，∴≥.综上所述，不等式()＞的解集为{>或<－}．() ()＝－，若∀∈，()≥－恒成立，则只需()＝－≥－，解得≤≤.即的取值范围是.. 设函数()＝－－＋.() 求不等式()≤的解集；() 若存在实数∈{≤≤}，使得＋>成立，求实数的取值范围．解：() 当≤－时，由()＝－＋≤得≥，所以∈∅；当－<≤时，由()＝－≤得≥，所以≤≤；当>时，由()＝－≤得≤，所以<≤.综上，不等式()≤的解集＝{≤≤}．() ＋＝＋，由柯西不等式得(＋)≤(＋)[＋(－)]＝，∴＋≤，当且仅当＝时取“＝”，∴的取值范围是(－∞，)．第课时不等式证明的基本方法. 已知≥，≥，求证：＋＋≤＋＋.证明：左边－右边＝(－)＋(－)－＋＝(－)[－(＋)＋]＝(－)(－)(－)，∵≥，≥，∴－≤，－≥，－≥.从而左边－右边≤，∴＋＋≤＋＋.. (·苏州期末)已知，，，都是正数，且＋＝，求证：(＋)(＋)≥.证明：因为，，，都是正数，所以(＋)(＋)＝(＋)＋(＋)≥·＋(＋)＝(＋).又＋＝，所以(＋)(＋)≥.当且仅当＝时等号成立．. 已知，，∈，且＋＋＋＝.求证：(－)＋(＋)＋(－)≥.证明：因为[(－)＋(＋)＋(－)](＋＋)≥[(－)＋(＋)＋(－)]＝(＋＋－)＝，当且仅当＝＝，即＝＝，＝－时，取等号，所以(－)＋(＋)＋(－)≥.. 已知函数()＝－＋＋，函数()＝()＋＋的值域为.。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5. 11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法 1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t .∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a.∵ f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，由柯西不等式得，(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64，∴ f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取等号．故实数a的取值范围是(－∞，8)．。

选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(理科专用)1. 解不等式：|2x －1|＜3.解：|2x －1|＜3－3＜2x －1＜3－1＜x ＜2.2. 若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围．解：∵ ||x＋1|－|x －2||≤|(x＋1)－(x －2)|＝3，∴ －3≤|x＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a>|x ＋1|－|x －2|有实数解，知a 2－4a>－3，解得a>3或a<1.3. 不等式|2－x|＋|x ＋1|≤a 对于任意x∈[0，5]恒成立的实数a 的集合是多少？ 解：当x∈[0，2]时，|2－x|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3，当x∈[2，5]时，|2－x|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≤9，综上可得|2－x|＋|x ＋1|≤9，∴ a ≥9.4. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|<2.解：① 当x≥4时，2x ＋1－(x －4)<2，∴ x ∈；② 当－12≤x<4时，2x ＋1＋x －4<2，∴ －12≤x<53；③ 当x<－12时，－2x －1＋x －4<2.∴ －7<x<－12.综上，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－7，53. 5. (2014·南通一模)已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －(x －a)|＝|2a －1|. 又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.6. 若对任意x∈R ，||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：||2－x ＋||3＋x ≥5，要||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.7. 设a∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)．(1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54；(2) 求使函数f(x)最大值为178时a 的值．(1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|＝|a|·|x2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝|1－x 2|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2) 解：当a ＝0时，f(x)＝x(－1≤x≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1，∴ f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)有最大值178⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，∴ a ＝－2.8. 已知函数f(x)＝|x －a|－2|x －1|(a∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的最大值； (2) 解关于x 的不等式f(x)≥0.解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝|x －3|－2|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≥3，－3x ＋5，1<x<3，x ＋1，x ≤1，所以，当x ＝1时，函数f(x)取得最大值2. (2) 由f(x)≥0得|x －a|≥2|x－1|，两边平方得(x －a)2≥4(x －1)2，即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2≤0， 得[x －(2－a)][3x －(2＋a)]≤0，所以，①当a>1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ，2＋a 3； ② 当a ＝1时，不等式的解集为{x|x ＝1}；③ 当a<1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 3，2－a .9. 设函数f(x)＝|x －2a|，a ∈R .(1) 若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3}，求a 的值； (2) 若存在x 0∈R ，使f(x 0)＋x 0<3，求a 的取值范围．解：(1) 由题意可得|x －2a|<1可化为2a －1<x<2a ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝1，2a ＋1＝3，解得a ＝1.(2) 令g(x)＝f(x)＋x ＝|x －2a|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x<2a ，所以函数g(x)＝f(x)＋x 的最小值为2a ，根据题意可得2a<3，即a<32，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. 10. 已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1) 当a ＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2) 若存在x∈R ，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．解：(1) |x ＋1|≥2|x|x 2＋2x ＋1≥4x 2－13≤x ≤1，∴ 解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1. (2) ∵ 存在x∈R ，使|x ＋1|≥2|x|＋a ， ∴ 存在x∈R ，使|x ＋1|－2|x|≥a.令φ(x)＝|x ＋1|－2|x|，即有a≤φ(x)max ，φ(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1≤x<0，x －1，x<－1.当x≥0时，y ≤1；当－1≤x<0时，－2≤y<1；当x<－1时，y<－2.综上可得φ(x)≤1，∴ a ≤1. 即a 的取值范围是(－∞，1]．11. 已知函数f(x)＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m)． (1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1) 由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋1＋x －2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ＋1－x ＋2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1－x ＋2＞5解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2) 不等式f(x)≥1即|x ＋1|＋|x －2|＞m ＋2.∵ x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，要使不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴ m ＋2≤3，∴ m 的取值范围是(－∞，1]．第2课时 不等式证明的基本方法(理科专用)1. 求不等式|x ＋1|＋|x －2|>5的解集．解：不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，x ＋1＋2－x>5，或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，x ＋1＋x －2>5，解得x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．2. (2014·镇江期末)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．解：∵ (a＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．∴(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.3. 已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：已知x 、y∈R ＋，且1x ＋9y＝1，有x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y 即x ＝4、y ＝12时，取“＝”．∴ x ＋y 的最小值为16.4. 已知x 2＋y 2＝1，求3x ＋4y 的最大值．解：(换元法)由x 2＋y 2＝1，可设x ＝cos α，y ＝sin α，则3x ＋4y ＝3cos α＋4sin α＝32＋42cos(α－φ)≤5，其中cos φ＝35，sin φ＝45，∴ (3x ＋4y)max ＝5.5. 设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1.证明：由2n≥n＋k ＞n(k ＝1，2，…，n)，得12n ≤1n ＋k ＜1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴ 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n＝1. 6. 已知a 、b 、c 为正数，且满足acos 2θ＋bsin 2θ<c ，求证：acos 2θ＋bsin 2θ< c.证明：由柯西不等式可得acos 2θ＋bsin 2θ≤[(acos θ)2＋(bsin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12＝(acos 2θ＋bsin 2θ)12< c.7. 已知a 、b 、c∈R ＋，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b ＋b a c. 证明：∵ a、b 、c∈R ＋，∴ b 2a ＋c2b ≥2b 2a ·c2b ＝2c b a. 同理，c 2b ＋a2c≥2ac b ，a 2c ＋b2a≥2b a c ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥cb a＋a c b＋b a c . 8. 已知a 、b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.证明：(证法1)a 2a ＋1＋b2b ＋1－1＝a 2（b ＋1）＋b 2（a ＋1）－（a ＋1）（b ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1（a ＋1）（b ＋1）.∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝1－ab（a ＋1）（b ＋1）.∵ a 、b 都是正实数，∴ ab ≤（a ＋b ）24＝1，∴ a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法2)由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a＋b)2. ∵ a ＋b ＝2，∴ 上式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋1＋b 2b ＋1×4≥4， 即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. (证法3)∵ a、b 都是正实数，∴ a 2a ＋1＋a ＋14≥a ，b 2b ＋1＋b ＋14≥b.两式相加，得a2a ＋1＋a ＋14＋b 2b ＋1＋b ＋14≥a ＋b. ∵ a ＋b ＝2，∴ a 2a ＋1＋b2b ＋1≥1.9. (2014·苏北三市期末)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.证明：(证法1)因为a 、b 、c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc)23，1a ＋1b ＋1c≥3(abc)－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．(证法2)因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca.所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3.所以原不等式成立．10. (2014·徐州二模)已知x 、y 、z∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.11. (2014·南通二模)各项均为正数的数列{x n }对一切n∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.试证明：(1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n＜x n ＜1.证明：(1) 因为x n ＞0，x n ＋1x n ＋1＜2，所以0＜1x n ＋1＜2－x n ，所以x n ＋1＞12－x n，且2－x n ＞0.因为12－x n －x n ＝x 2n －2x n ＋12－x n ＝（x n －1）22－x n≥0，所以12－x n ≥x n ，所以x n ≤12－x n＜x n ＋1，即x n ＜x n ＋1.(2) 下面用数学归纳法证明：x n ＞1－1n.① 当n ＝1时，由题设x 1＞0可知结论成立；② 假设n ＝k 时，x k ＞1－1k，当n ＝k ＋1时，由(1)得x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1.由①②可得x n ＞1－1n.下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k ＞1，则一定存在自然数m ，使得x k ＞1＋1m.因为x k ＋1x k ＋1＜2，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1，x k ＋2＞12－x k ＋1＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1＝m －1m －2，…，x k ＋m －1＞m －（m －2）m －（m －1）＝2，与题设x k ＋1x k ＋1＜2矛盾，所以x n ≤1.若x k ＝1，则x k ＋1＞x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾． 所以x n ＜1成立．。