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高一数学必修一第二章基本初等函数复习要点总结每一章的知识点对学习知识是非常有利的，查字典数学网为您提供的是高一数学必修一第二章基本初等函数复习要点，希望可以帮助到你。
第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数，总有;(4)当时，若，则;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(—底数，—真数，—对数式)说明：1注意底数的限制，且;2;3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
高中数学 人教A 版 必修1 第二章 基本初等函数（一） 高考复习习题（选择题1-100）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，当x >0时，x ln x ⋅f ′(x )<−f (x )，则使得(x 2−4)f (x )>0成立的x 的取值范围是（ ）A ． (−2,0)∪(0,2)B ． (−∞,−2)∪(2,+∞)C ． (−2,0)∪(2,+∞)D ． (−∞,−2)∪(0,2)2．已知函数f (x )=ln (e x +e −x )+x 2，则使得f (2x )>f (x +3) 成立的x 的取值范围是 A ． (-1,3) B ． −∞,−3 ∪ 3,+∞ C ． −3,3 D ． −∞,−1 ∪ 3,+∞ 3．设 a =log 123,b =(13)0.2,c =213，则A ． a <b <cB ． c <b <aC ． c <a <bD ． b <a <c4．设f x =e x ，f x =g x − x ，且g x 为偶函数， x 为奇函数，若存在实数m ，当x ∈ −1,1 时，不等式m g x + x ≥0成立，则m 的最小值为（ ） A ． e 2−1e +1 B ． 2e +1 C ． e 2+1e −1 D ． 1−e 21+e5．已知对任意x ∈ 1e ,e 2不等式e x a>x 2恒成立（其中e =2.71828...，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ． 0，e2 B ． （0，e ） C ． (−∞,−2e ) D ． (−∞,4e 2)6．已知函数y=f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数g （x ）=f （x ﹣5）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）=45，则a 1+a 2+…+a 9=（ ）A ． 45B ． 15C ． 10D ． 07．若01a b <<<，则b a ， ab ， log b a ， ）A ．B ．C ．D ． 8．已知函f x =log a x 2−2a x 在 4,5 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ． 1,2 B ． 1,2 C ． 1,4 D ． 1,49．若x log 32≥1，则函数f x =4x −2x +1−3的最小值为（ ） A ． −4 B ． −3 C ． −329 D ． 010．已知函数()lg f x x =.若a b ≠且， ()()f a f b =，则a b +的取值范围是 （ ） A ． ()1,+∞ B ． [)1,+∞ C ． ()2,+∞ D ． [)2,+∞11．已知函数 f x =ln e x +e −x +x 2，则使得f 2x >f x +3 成立的x 的取值范围是 A ． −1,3 B ． −∞,−3 ∪ 3,+∞ C ． −3,3 D ． −∞,−1 ∪ 3,+∞12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，已知函数f (x )=e x1+e x −12，则函数y =[f (x )]的值域是（ ） A ． {0,1} B ． {1} C ． {−1,0,1} D ． {−1,0}13．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是（ ） A ． (](],84,0-∞-⋃- B ． [)[)8,40,--⋃+∞ C ． [][)8,40,--⋃+∞ D ． []8,0-14．已知函数f (x )=35x 5+2x 3+5sin x ，若∃x ∈[−2,2]，使得f (x 2+x )+f (x −k )=0成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ． [−1,3]B ． [0,3]C ． (−∞,3]D ． [0,+∞)15．若实数a ，b ，c 满足0＜a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是 （ ） A ． 0x a < B ． 0x a > C ． 0x c < D ． 0x c > 16．已知命题：①函数y =2x (−1≤x ≤1)的值域是[12,2]；②为了得到函数y =sin (2x −π3)的图象，只需把函数y =sin 2x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度；③当n =0或n =1时，幂函数y =x n 的图象都是一条直线；④已知函数f (x )= |log 2x |,0<x ≤2−12x +2,x >2 ，若a ,b ,c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则a b c 的取值范围是(2,4).其中正确的命题个数为（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 117．函数f x =cos πxx 2−2x +2的部分图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．已知定义在[-2，2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]单调递减,如果不等式f (1−m )+f (−m )<0成立，则实数m 的取值范围（ ）A ． (−∞,12) B ． (−1,12] C ． [−1,12) D ． (12,2] 19．已知a =I n 22,b =I n 33,c =I n ππ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ． a <b <c B ． c <b <a C ． a <c <b D ． b <c <a20．已知函数f x =2 x −m−1为偶函数，记a =f log 0.53 ，b =f log 25 ，c =f 2m，则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A ． a <b <cB ． a <c <bC ． c <a <bD ． b <c <a21．一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i 次得到的数为a i ，若存在正整数k 使得 a i =4k i −1的概率p =mn，其中m ,n 是互质的正整数，则log 5m −log 4n 的值为（ ）A ． 1B ． −1C ． 2D ． −222．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )= −x 2+1,0≤x <12−2x ,x ≥1，若对任意的x ∈ m ,m +1 ，不等式f (1−x )≤f (x +m )恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． −1 B ． −13 C ． −12 D ． 13 23．若关于x 的方程222214210x x x x a -+-++⋅-+=有实根，则实数a 的取值范围是( )A ． (],1-∞B ． (]0,1C ． []1,2D ． [)1,+∞24．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=2x 2，且当x ∈[0,+∞)时，f ′(x )>2x .若f (2e −a )−f (a )<4e (e −a ),g (x )=e x −a x 的零点有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 25．已知函数()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥ 满足对任意的实数12x x ≠都有成立，则实数a 的取值范围为A ． (0,1)B ．C ． D． 26．已知函数f x =ln e x +e −x +x 2，则使得f 2x −f x +3 >0成立的x 的取值范围是（ ）A ． −1,3B ． −∞,−3 ∪ 3,+∞C ． −∞,−1 ∪ 3,+∞D ． −3,3 27．已知函数2y ax bx c =-+的图像如图所示，则函数xy a -=与log b y x =在同一坐标系中的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．28．若不等式()()1214lg1lg44x xa x ++-≥-对任意的(],1x ∞∈-恒成立,则实数a的取值范围是A ． (-∞,0]B ． (-∞,34] C ． [0,＋∞) D ． [34,＋∞) 29．已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>，310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A ．一定等于零．B ．一定大于零．C ．一定小于零．D ．正负都有可能．30，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则） A ． ()3,-+∞ B ． (),3-∞ C ． [)3,3- D ． (]3,3-31．已知函数f x =log a a 2x −4a x +1 ，且0<a <1，则使f x <0的x 的取值范围是 A ． −∞,0 B ． 0,+∞ C ． 2log a 2,+∞ D ． −∞,2log a 232．设定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )>1，y =f (x )−3为奇函数，且f (x )+f ′(x )>1，则不等式ln (f (x )−1)>ln 2−x 的解集为（ ）A ． 1,+∞B ． −∞,0 ∪ 1,+∞C ． −∞,0 ∪ 0,+∞D ． 0,+∞ 33．设函数f x 在R 上存在导函数f ′ x ，对任意的实数x 都有f (x )=f (−x )+2x ，当x >0时，f ′(x )>2x +1.若f a +1 ≥f −a +2a +1 ，则实数a 的取值范围是( )A ． −12,+∞ B ． −32,+∞ C ． −1,+∞ D ． −2,+∞34．已知定义在R 上的函数f x 是奇函数，且f x 在(−∞,0)上是减函数，f 2 =0，则不等式x f x +2 ≤0的解集是（ ）A ． (−∞,−2]∪[2,+∞)B ． [−4,−2]∪[0,+∞)C ． (−∞,−4]∪[−2,+∞)D ． (−∞,−4]∪[0,+∞)35．定义在(0,+∞)上的单调函数f (x )对任意的x ∈(0,+∞)都有f (f (x )−log 3x )=4，则不等式f (a 2+2a )>4的解集为（ ） A ． {a |a <−3或a >1} B ． {a |a >1} C ． {a |−3<x <1} D ． {a |a <−3}36．已知()log 2a y ax =-在[]0,1上为x 的减函数，则a 的取值范围为（ ）A ． ()0,1B ． ()0,2C ． ()1,2D ． [)2,+∞37．已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)且满足f (x y )=f (x )+f (y ),f (12)=1如果对于0<x <y ,都有f (x )>f (y )不等式f (−x )+f (3−x )≥−2的解集为( ) A ． −1,0 ∪ 3,4 B ． −1,4 C ． 3,4 D ． −1,038．若函数()xf x a x a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ． ()0,2C ． ()1,+∞D ． ()0,+∞39．等差数列{a n }前n 项和为S n , (1+a 5)3+2018(1+a 5)=1,(1+a 2014)3+2018(1+a 2014)=−1,则下列结论正确的是A ． S 2018=−2018,a 2014>a 5B ． S 2018=2018,a 2014>a 5C ． S 2018=−2018,a 2014<a 5D ． S 2018=2018,a 2014<a 540．函数y =log a x −3 +1（a >0且a ≠1）的图像恒过定点A ，若点A 在直线m x +n y −1=0 上，其中m >0，n >0，则m n 的最大值为（ ）A ． 116 B ． 18 C ． 14 D ． 1241．光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则经过x 块这样的玻璃后光线强度为： 0.9x y k =⋅，那么至少通过（ ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下（lg30.477≈， lg20.3≈） A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ． 1542．设方程5−x =|lg x |的两个根分别为x 1,x 2，则（ ）A ． x 1x 2<0B ． x 1x 2=1C ． x 1x 2>1D ． 0<x 1x 2<143．设函数f (x )=(12) x −ln (1+x 2)，则使得f (x )>f (2x −2)成立的x 的取值范围是（ ）A ． (−2,2)B ． (−∞,−2)∪(2,+∞)C ． (23,2) D ． (−∞,23)∪(2,+∞)44．已知函数y =f (x +1)的图象关于点(-1，0)对称，且当x ∈(-∞，0)时，f (x )+x f ′(x )>0成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若a =（20.2）f 20.2 , b =(ln 2)f (ln 2)，c =(log 214)f (log 214)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ． a>b>c B ． b>a>c C ． c>a>b D ． c>b>a45．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且满足f (5+x )=f (5−x )，在[0,5]上有且只有f (1)=0，则f (x )在[–2013,2013]上的零点个数为（ ）A ． 808B ． 806C ． 805D ． 80446．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．47①函数f （x ）是奇函数；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③函数f （x ）在Ｒ上是增函数；其中正确结论的序号是A ． ①②B ． ①③C ． ②③D ． ①②③48．已知函数f x =log a −x 2−2x +3 ，若f 0 <0，则此函数的单调递增区间是（ ） A ． −∞,−1 B ． −1,+∞ C ． −1,1 D ． −3,−1 49．已知()2,02,{814,2,x f x x x x <≤=-+>若存在互不相同的四个实数0＜a ＜b ＜c ＜d 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则ab ＋c ＋2d 的取值范围是（） A ．（1313） B ．（13，15） C ．[13，15] D ．（1315） 50．设函数()212xf x e x =-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ． 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ． ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ． 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时， ()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()*1111n n faf n N a +⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ）A ． ()()20132016f a f a >B ． ()()20142017f a f a >C ． ()()20162015f a f a ＜D ． ()()20132015f a f a >52．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时， ()22xf x =-，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ）A ．B ．C ． ()2,+∞D ．53．已知f x 是定义在 −4,4 上的奇函数，当x >0时，f x =−x 2+4x ，则不等式f f x <f x 的解集为（ ）A ． −3,0 ∪ 3,4B ． −4,−3 ∪ −1,0 ∪ 1,3C ． −1,0 ∪ 1,2 ∪ 2,3D ． −4,−3 ∪ 1,2 ∪ 2,354．已知函数f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′ x ，若对于任意实数x ，有f x >f ′ x ，且y =f x −1为奇函数，则不等式f x <e x 的解集为（ ）A ． −∞,0B ． 0,+∞C ． −∞,e 4D ． e 4,+∞ 55．f (x )=log 12(ax 2+2x −1)，g (x )=2+2sin (2x +π6)sin x +3cos xx 2取何值，对f (x 1)>g (x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ． (−∞,−710) B ． (−∞,−45) C ． (−6380,+∞) D ． (−4049,−45) 56．在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（ ）．A ． 2B ． 1C ． 6D ． 357．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12,x x R ∈，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时， ()0f x <，则 （ ）A ． ()f x 是奇函数，且在R 上是增函数B ． ()f x 是奇函数，且在R 上是减函数C ． ()f x 是奇函数，但在R 上不是单调函数D ． 无法确定()f x 的单调性和奇偶性58．已知在实数集R 上的可导函数()f x ，满足()2f x +是奇函数，且） A ． (),1-∞ B ． ()2,+∞ C ． ()0,2 D ． (),2-∞59．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ． (]0,1 B ． C ． (]0,2 D ． [)2,+∞60．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，给出以下四个命题： ①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ②()12,1,1x x ∀∈-且12x x ≠，有③()12,0,1x x ∀∈，有④()1,1x ∀∈-， 其中所有真命题的序号是（ ）A ． ①②B ． ③④C ． ①②③D ． ①②③④ 61．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为 A ． c b a << B ． b a c << C ． a b c << D ． b c a <<62．已知函数y = ()f x 在0,2上是增函数,函数y = ()2f x +是偶函数,则下列结论正确的是 A ． ()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ． ()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ． ()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ． ()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63．实系数一元二次方程x 2+a x +b =0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则2−b3−a 的取值范围是 （ ）A ． (2,+∞)B ． (−∞,12) C ． (12,2) D ． (0,12)64．已知()21y f x =-为奇函数， ()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ）A ． 2B ． -2C ． 1D ． -165．已知函数f x = x +1 2+a ⋅ln 1+9x −3x cos xx +1(a ∈R )，且f 2018 =2019，则f −2018 =（ ）A ． −2017B ． −2018C ． −2019D ． −2020 66．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,(0)x >,则不等式()0f x >的解集是 （ ）. A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()()2,01,-⋃+∞C ．()()2,02,-⋃+∞D ． ()(),11,-∞-⋃+∞ 67．已知f (x )=2x +1x −1+(x −1)3，若f (2018)=a ，则f (−2016)=（ ）A ． −aB ． 2−aC ． 4−aD ． 1−a68．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ln (x +1)x +1.给出以下命题p 1：当x <0时，f (x )=ln (1−x )x −1；p 2：函数f (x )有3个零点；p 3：若关于x 的方程f (x )=m 有解，则实数m 的取值范围是−1e<m <1e；p 4:∀x 1,x 2∈R ,|f (x 2)−f (x 1)|<1恒成立，其中真命题为( )A ． p 1,p 3B ． p 2,p 3C ． p 1,p 4D ． p 2,p 4 69．已知函数f (x )=xe sin (x −π2)（e 为自然对数的底数），当x ∈[−π,π]时，y =f (x )的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 70，若()01f x >的取值范围是（ ）A ．（-1，1）B ．（-1，+∞）C ．()(),20,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞71“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()21x x f x a ++= (0a >且1)a ≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”A ． 1B ． 2C ． 4D ． 672．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，且在[]1,2上是减函数，则（ ）A ．B ．C ．D ． 73．已知函数()f x 的定义域是()0,+∞，且满足()()()f xy f x f y =+， 112f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()3 2.f x f x -+-≥-的解集为（ ）A ． [)(]-1,03,4⋃B ． []-1,4C ． (]3,4D ． [)-1,074．若0.12a =， 2.20.7b =， 2log 0.3c =，则（ ） A ． a b c >> B ． b a c >> C ． c a b >> D ． b c a >>75．已知函数f x = x 2−3 e x ，设关于x 的方程f 2 x −m f x −12e =0 m ∈R 有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ． 3或4或676．F (x )= 1+22x −1 ⋅f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则f (x )( )A ． 是奇函数B ． 可能是奇函数，也可能是偶函数C ． 是偶函数D ． 不是奇函数，也不是偶函数77．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ()1f x +为奇函数， ()00f =，当(]0,1x ∈时， ()2log f x x =，则在区间()8,9内满足方程的实数x 为（ ）A ．B ．C ．D ． 78．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()20f x f x +-=，当01x ≤≤时，()2f x x =，又，若方程()()f x g x =恰有两解，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 79．下列命题为真命题的个数是（ ）①e 2e >2；②ln 2>23；③ln ππ<1e ；④ln 22>ln ππA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 80．已知函数()f x 的图像与函数的图像关于y x =对称，若()()343f x f x -++=-+，则a =（ ）A ． -2B ． 2C ． -3D ． 381．已知函数()2ln f x x x =-与()()21224g x x m x =----的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (),1ln2-∞-B ． (],1ln2-∞-C ． ()1ln2,-+∞D ． [)1ln2,-+∞82．已知当x ∈ 0,1 时，函数y = m x −1 2的图象与y = x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （ ）A ． 0,1 ∪ 2 3,+∞B ． 0,1 ∪ 3,+∞C ． 0, 2 ∪ 2 3,+∞D ． 0, 2 ∪ 3,+∞83．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1， ,E F 分别是棱11,AA CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱11,BB DD 交于,M N ，设BM x =, []0,1x ∈，给出以下四个命题：①EF MN ⊥时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =, []0,1x ∈，则 ④四棱锥1C MENF -的体积()V h x =为常函数；其中正确命题的个数为（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 84．已知p :∃x >0,e x −a x <1成立, q :函数f (x )=−(a −1)x 是减函数, 则p 是q 的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件85．已知函数()2,1{ ,1x a x f x x a x -≤=-+>，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A ． (]0,2B ． (]1,2C ． ()1,2D ． (]0,186．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ﹣2）的对称轴为x=2，f （x+1）=4f (x ) （f （x ）≠0），且f （x ）在区间（1，2）上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f （sinα）和f （cosβ）的大小关系是（ ）A ． f （sinα）>f （cosβ）B ． f （sinα）<f （cosβ）C ． f （sinα）=f （cosβ）D ． 以上情况均有可能87．已知函数()f x 为奇函数， 0x >时为增函数且()20f =，则（ ）A ．B ．C ．D． 88．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (−∞,2]B ． (0,2]C ． [−2,2]D ． (−∞,−2]∪[2,+∞)89．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若()1,{ 0,R x Q f x x C Q ∈=∈，则称()f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对任意x R ∈，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦；②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈， ()()121f x x f x +=；④对任意(),,0a b ∈-∞，都有） A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④90．函数y =xa x x （a >1）的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．91．已知y =f (2x −1)为奇函数， y =f (x )与y =g (x )图像关于y =x 对称，若x 1+x 2=0，则g (x 1)+g (x 2)=（ ）A ． 2B ． -2C ． 1D ． -192．已知函数f x = log 2x , 0<x ≤423x 2−8x +703, x >4 ，若a ,b ,c ,d 互不相同，且满足f a =f b =f c =f d ，则a b cd 的取值范围是（ ）A ． 32,33B ． 32,34C ． 32,35D ． 32,3693．已知函数y =a x −1（a >0,且a ≠1）的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y =m x +n 的图象上,其中m ,n >0,则1m +1n 的最小值为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 2 D ． 494．若函数f x =2e x e x +1+ln ( x 2+1+x )+ cos x d x π0在区间[−k ,k ](k >0)上的值域为[m ,n ]，则m +n 的值是（ ）A ． 0B ． 2C ． 4D ． 695．已知函数f (x )的定义域为R ，f (−2)=2021，对任意x ∈(−∞,+∞)，都有f ′(x )<2x 成立，则不等式f (x )>x 2+2017的解集为（ ）A ． (−2,+∞)B ． (−2,2)C ． (−∞,−2)D ． (−∞,+∞)96．定义在R 上的函数()21x m f x -=-为偶函数，记()0.5log 3a f =， ()2log 5b f =， ()2c f m =，则（ ）A ． a b c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ． c b a <<97．设函数1()421x x f x +=-+-，2()lg(41)g x ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,4]B ．(,4]-∞C ．(4,0]-D ．[4,)+∞98．则()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦函数的零点A ． 1B ． 3C ． 4D ． 699．已知函数f x =e 2x ,g x =ln x +12，对∀a ∈R ,∃b ∈ 0,+∞ ，使得f a =g b ，则b −a 的最小值为 （ ）A ． 1+ln 22 B ． 1−ln 22 C ． 2 e −1 D ． e −1100．对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ． (],0-∞ B ． [)1,+∞ C ． [)0,+∞ D ． (],1-∞参考答案1．D【解析】【分析】构造函数g x=ln x⋅f x x>0，可得g x在0,+∞上为减函数，可得在区间0,1和0,+∞上，都有f x<0，结合函数的奇偶性可得在区间−1,0和−∞,−1上，都有f x>0，原不等式等价于x2−4>0f x>0或x2−4<0f x<0,从而可得x的值范围.【详解】根据题意，设g x=ln x⋅f x x>0，其导数g′x=ln x′f x+ln x f′x=1xf x+ln x f′x，又由当x>0时，ln x⋅f′x<−1xf x，则有g′x=1xf x+ln x⋅f′x<0，即函数g x在0,+∞上为减函数，又由g1=ln1⋅f1=0，则在区间0,1上，g x=ln x⋅f x>g1=0，又由ln x<0，则f x<0，在区间1,+∞上，g x=ln x⋅f x<g1=0，又由ln x>0，则f x<0，则f x在0,1和1,+∞上，f x<0，又由f x为奇函数，则在区间−1,0和−∞,−1上，都有f x>0，x2−4f x>0⇔x2−4>0f x>0或x2−4<0 f x<0，解可得x<−2或0<x<2，则x的取值范围是−∞,−2∪0,2，故选D.【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.2．D【解析】分析：先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将f(2x)>f(x+3)转化为|2x|>|x+3|进行求解.详解：因为f(−x)=ln(e−x+e x)+(−x)2=ln(e x+e−x)+x2=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，又f(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，所以f(2x)>f(x+3)⇔|2x|>|x+3|，解得x<−1或x>3.故选D.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，要注意：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反..3．A【解析】由题意得a<0,0<b<1,c>1，∴a<b<c．选A．4．A【解析】分析：由F(x)=g(x)+ (x)及g(x), (x)的奇偶性求得g(x), (x)，进而可把m g(x)+ (x)≥0表示出来，分离出参数后，求函数的最值，问题即可解决.详解：由f(x)=g(x)− (x)，即e x=g(x)− (x)，得e−x=g(−x)− (−x)，又g(x), (x)分别为偶函数、奇函数，所以e−x=g(x)+ (x)，联立两个式子，可以解得g(x)=12(e x+e−x), (x)=12(e x−e−x)，m g(x)+ (x)≥0，即m⋅12(e x+e−x)+12(e x−e−x)≥0，即m≥e −x−e xe x+e−x ，即m≥1−21+e−2x，因为存在实数m，当x∈[−1,1]时，不等式m g(x)+ (x)≥0成立，1−21+e−2x ≥e2−1e2+1，所以m≥e2−1e2+1，所以m的最小值为e2−1e2+1，故选A.点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数解析式的求解、分离参数，恒成立问题向最值靠拢，利用函数的单调性得到最值，从而求得结果.5．A【解析】由e xa>x2得xa>21n x在x∈1e,e2上恒成立，即1a >21n xx在x∈1e,e2上恒成立．令f(x)=21n xx ，x∈1e,e2，则f′(x)=2(1−1n x)x，∴当x∈1e,e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈e,e2时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)max=f(e)=2e，∴1a >f(e)=2e，∴0<a<e2.故实数a的取值范围是(0,e2)．选A．点睛：已知不等式恒成立求参数的取值范围时，若参数能分离，则一般采用分离参数的方法进行，将问题转化为a<f(x)或a>f(x)恒成立的形式，然后转化为求函数f(x)的最值的问题，即a<f(x)⇔a<f(x)min或a>f(x)⇔a>f(x)max，若函数f(x)的最值不存在，则用函数f(x)值域的端点值表示．6．A【解析】【分析】：由函数的对称性，和等差数列的增减性，得出f a1−5+f a9−5=0，由g(a1)+g(a2)+⋅⋅⋅+g (a 9)=45，可得a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 9的值。
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高一数学必修一第二章基本初等函数复习要点
总结每一章的知识点对学习知识是非常有利的，为您提供的是高一数学必修一第二章基本初等函数复习要点，希望可以帮助到你。
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且∈*.
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.
1。
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高中数学 人教A 版 必修1 第二章 基本初等函数（一） 高考复习习题（选择题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．偶函数 在区间 上单调递增，则有 A ．B ．C ．D ．2．下列命题正确的是( )A ． 若ln ln 3a b a b -=-，则0a b <<B ． 若ln ln 3a b a b -=-，则0a b <<C ． 若ln ln 3a b b a -=-，则0a b >>D ． 若ln ln 3a b b a -=-，则0a b >>3．已知函数，则方程 的实根个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．设函数()3f x x x =+，若当 ()()2sin sin cos 20f m f θθθ+-+>恒成立，则实数m 的取值范围是A ． (-3，+∞)B ． (-1，+∞)C ． (-∞，-3)D ． (-∞，-1)5．已知函数f （x ）＝ － － ＋cosx 的图象关于y 轴对称，若函数g （x ）恒满足g （k ＋x ）＋g （3－x ）＋2＝0，则函数g （x ）的图象的对称中心为A ． （1，1）B ． （2，－1）C ． （2，1）D ． （1，－1）6．已知()3f x x =，若方程()()220f x f k x +-=的根组成的集合中只有一个元素，则实数k 的值为（ ）A ． 1-B ． 0C ． 1D ． 27．设，已知 ，且 ，若 是函数 的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设 表示不小于实数 的最小整数，如 .已知函数，若函数 在（-1，4]上有2个零点，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，对任意的x ∈[t ，t +2]不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，那么实数t 的取值范围是（ ）A ． [ ，+∞）B ． [2，+∞）C ． （0， ]D ． [0， ]10．等差数列 的公差 ，且 ， ， 称等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， ()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ． c b a <<B ． b a c <<C ． b c a <<D ． a b c << 12．已知8m n -<<，函数()()823log ,8,{2,,x x m f x x x m x n --≤<=-≤≤若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 1013．已知函数的最大值和最小值分别是,M m ，则A ． 1B ． 0C ． -1D ． -214．若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ()2,⎫+∞⎪⎭ B [)2,⎤+∞⎥⎦C 15．定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ）A ． 有两个B ． 有一个C ． 没有D ． 上述情况都有可能 16．函数()()sin 2cos2f x x x =+在[],ππ-上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．17，则使得()()121f x f x +<-的x 的范围是（ ）A ．()0,2B ．(),0-∞C ．()(),02,-∞+∞ D ．()2,+∞18．已知()s i nx x x xe e xf x e e --++=+，其导函数记为()'f x ，则()()()()2017511'20175112017511'20175f f f f ++---=（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 201751119．设函数2,1()31,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则满足)(2))((a f a f f =的a 的取值范围（ ）A．),1[+∞ D ．]1,0[20（ ） A ．0 B ．-3 C ．3 D ．621．函数()()1log 2830,1a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 的横坐标为0x ，函数024x x y a -=+的图象恒过定点B ，则B 点的坐标为（ ）A ．()27,3--B ．()27,5-C ．()3,5-D ．()2,5- 22．已知则 之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 无法比较23． 设()1a f =，()2b f =， ()3c f =，则（ ）A ． a b c <<B ． b c a <<C ． c b a <<D ． c a b <<24．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ． 48π-B ． 24π-C ．2π- D ． 36π-25．已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ． ()3,-+∞B ． (),3-∞-C ． ()3,+∞D ． (),3-∞26．已知c 为常数 和是定义在 上的函数，对任意的 ，存在 使得 ， ，且 ，则 在集合M 上的最大值为 A ．B ． 5C ． 6D ． 827（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为[)1,+∞；②函数()y f x =增函数；③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④函数()y f x =的图像关于） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 428．已知函数)(x f 满足：对任意的),0(,21+∞∈x x ，恒有0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ，若)7(log 4f a =，)2.0(),3(log 6.02f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 29．设函数()22,{log ,0x x f x x x ≤=> ，若对于任意给定的()2,y ∈+∞都存在唯一的x R ∈，满足()()222f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是( )A ． 2B ．C ．D ． 4 30．直线y m =（0m >）与|log |a y x =（0a >且1a ≠）的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作垂直于x 轴的直线交（0k >）的图象于C ，D 两点，则直线CD 的斜率（ ）A ．与m 有关B ．与a 有关C ．与k 有关D ．等于1-31．已知函数,若存在实数 ,当 时, 恒成立, 则实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 32）33．若对,R x y ∀∈ ，有()()()2f x yf x f y +=+- ，的最大值与最小值的和为 （ ） A ． 4 B ． 6 C ． 9 D ． 1234．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A ．()+∞ B ．)⎡+∞⎣C ． ()3,+∞D ． [)3,+∞35．，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数）A ．B ．C ．D ．36．已知函数，，的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ． a b c <<B ． c b a <<C ． c a b <<D ． b a c <<37．已知 是定义在R 上的奇函数， 在区间 ， 上单调递减,则使得 成立的 的取值范围是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 38．已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则2log (2)f 的值为( ) A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 39．已知函数()sin f x x x =， []1,1x ∈-，则不等式()()1f x f x +>的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．40．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x ' ，当0x <时有， ()()22f x xf x x '+> 则不等式()()()220142014420x f x f ++--< 的解集为( )A ． ()2016,2012--B ． (),2012-∞-C ． (),2016-∞-D ． ()2016,0- 41．已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶数，则（ ）A ． ()()23f f >B ． ()()25f f >C ． ()()35f f >D ． ()()36f f > 42．已知定义在R 上的函数（m 为实数）为偶函数，记，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<43．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()13f =，且()f x 的导数()f x ' 在R 上恒有()()2f x x R '<∈，则不等式()21f x x <+ 的解集为（ ） A ． ()1,+∞ B ． (),1-∞- C ． ()1,1- D ． ()(),11,-∞-⋃+∞ 44．若函数()f x 是周期为2的偶函数，当01x ≤≤时()()21f x x x =-，则=( ) A ．B ．C ．D ．45．已知函数()()()⎩⎨⎧≤<<=0,210,log 3x x x x f x ,，则=x （）AC ．-9D ． -2 46．对任意的(),0,x y ∈+∞，不等式4464ln x y x y e e x a +--+++≥恒成立，则正实数a 的最大值是（ ）A ．B ．2C ． eD ． 2e 47．已知函数的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y=mx+n的图象上，其中m ，n ＞0，则的最小值为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 448．如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E ，某指数函数()0,1x y a a a =>≠且，经过点,E B ，则a =A ．2 D ．349．若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）AC 50．已知函数()2log ,02,0xx a x f x a x +>⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x =+有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．-1]-∞（，B ．-1)-∞（，C ．)∞（-1，+D ．)∞[-1，+51．设函数()⎩⎨⎧>≤=0,log 0,22x x x x f x ，对任意给定的()+∞∈,2y ，都存在唯一的R x ∈，满足()(),222ay y a x f f +=则正实数a 的最小值是（ ）A ．2 D ．4 52．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）A ． 16B ．C ．D ．(01)a a >≠且，则a 实数的范围是 ( )或1a > C 1a > D.54．设定义在区间 上的函数是奇函数，且.若 表示不超过 的最大整数， 是函数 的零点，则 （ ）A ．B ． 或C ．D ．55．已知对任意实数 ，有 ， ，且 时，导函数分别满足 ， ，则 时，成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．56，对R,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A57．设函数 ，对任意 ，都存在 ，使，则实数 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．58．设函数f(x)＝对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x ∈R ，满足f(f(x))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．4 59．函数的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 60．设平行于 轴的直线分别与函数 及的图象交于 两点，点位于函数 的图象上，若 为正三角形，则 （ ） A ． B ． 12 C ． D ． 1561．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性相同的是（ ）A ．21y x =-+ B．321,01,0x x y x x -≥⎧=⎨+<⎩ 62．函数lncos ()22y x x ππ=-<<的图象是（ ）63．已知函数 ，其中 .若满足不等式 的解的最小值为2，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或64．设定义在 的偶函数 ，满足对任意 都有 ，且 时，3()log (2)sin 2f x x x =--．若，则（ ）A ．B ．C ．D ． 65．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（ ）A ．(3),(8)B ．()4,(11)C ．()1,(3)D ．(1),(4) 66．函数)1lg()(2+=x x f 的图象大致是（ ）67．设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．68．三个数 ， ， 的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ． 69．已知函数，，给出下列3个命题：：若，则的最大值为16.：不等式的解集为集合的真子集. ：当时，若，恒成立，则.那么，这3个命题中所有的真命题是（ ） A ．B ．、C ．、D ．、、70．已知函数 ， ， ，则下列四个结论中正确的是（ ） ① 图象可由 图象平移得到； ②函数 的图象关于直线对称；③函数 的图象关于点对称；④不等式 的解集是.A ． ①②④B ． ①③④C ． ①②③D ． ①②③④71．设函数 ，对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足，则正实数 的最小值是（ ） A ．B ．C ． 2D ． 472．函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(]0,1C ．(]1,0-D ．()1,-+∞73．已知函数 是定义在 上的奇函数，且在区间 上是增函数，若＜，则 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．74．定义在上的函数是减函数，且函数的图像关于原点中心对称，若满足不等式，其中，则当时，的取值范围是A ．B ．C ．D ．该函数为满足约束条件 的一个“ 函数”，有下列函数：① ；② ；③；④ ，其中为“ 函数”的是（ ）A ． ①B ． ②C ． ③D ． ④76．已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数 ，数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 （ ） A ． 45 B ． 15 C ． 10 D ． 077．已知定义在R 上的函数()2(0)x f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ． (),0-∞B ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ． ()1,+∞ 78．定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ） A ． 有两个 B ． 有一个 C ． 没有 D ． 上述情况都有可能 79．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2fx f x +=-，当(]1,3x ∈-时，其中0t >，3个不同的实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 80．已知函数 ，， ，若 ，则 的取值范围是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 81．若实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象大致形状是（ ）82．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有（）A．个B．个C．个D．个83．在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意.关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为奇函数；③函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．084．下列语句中，说法正确的有（）（2）当103a <<时，方程213x a -=有2个不等实根； （3）定义{}(),min ,{,()a ab a b b b a ≤=<，设函数()()12g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(){}2min 2,g x x x =-+，则函数()f x 的最小值为12；（4）存在正实数x 使不等式()3?1x x a +<成立，则实数a 的取值范围为(],1-∞.A ． （1）（2）B ． （2）（3）C ． （2）（4）D ． （3）（4） 85．定义域为 的函数 满足： ，当 时，，若 时，恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．86．若函数 的图象上存在两个点 关于原点对称，则称点对 为 的“友情点对”，点对 与 可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数 的值为（ ） A ． B ． 2 C ． 1 D ． 087．已知偶函数 在 单调递增，若 ,则满足 的 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． -88．下列函数中是偶函数，且在区间 上是减函数的是 A ． B ． C ．D ． 89．已知 ， ， ，则（ ）A ．B ．C ．D ．90．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 , ，则 的大小关系是 （ ）A ．B ．C ．D ．91．奇函数 满足 ，当 时，，则 A ． -2 B ．C ．D ． 292．已设函数 ，则满足 的 的取值范围是A ．B ．C ．D ．93．已知函数是幂函数，且在递减，则实数=（）A．2B．-1C．4D．2或-194．函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( ) A．B．C．D．95．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．96．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A．B．C．D．97．已知奇函数的定义域为，且对任意，若当时，则（）A．B．C．-1D．198．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是A．B．C．D．99．已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围（）A．B．C．D．100．已知{}是等比数列，数列{}满足，且，则的值为A．1B．2C．4D．16参考答案1．D【解析】偶函数开口向下，且在区间 上单调递增，所以可以考虑开口向下，对称轴为y 轴的抛物线，自变量离y 轴越近，函数值越大，因为，所以，故选D.点睛：本题涉及函数的奇偶性奇函数的单调性，属于中档题.在处理此类问题时，首先根据图象平移及奇偶性得到所研究函数的对称性，然后根据函数的单调性，画出示意图，可知函数的轴相对于自变量的位置关系，从而得到函数值的大小关系. 2．C【解析】显然有0,0a b >>，可排除A ，D ； 设at b=，则a b t =，若l n l n 3a b a b -=-，则有ln 3t bt b =-， ln 3t b t =-，由ln 03t b t =>-得01t <<或3t >，不能确定a b <，排除B ； 同理若若ln ln 3a b b a -=-，则l n 3t b b t =-， ln 03t b t =>-，13t <<，即1a b>， a b >，C 正确． 故选C ． 3．D【解析】当 时，则，在同一直角坐标系中画出函数的图像如上图，则两图像有3个交点，即方程有3个实数根；当 时，则，在同一直角坐标系中画出函数的图像如下图，则两图像有1个交点，即方程有1个实数根.。
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第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数，总有;(4)当时，若，则;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(—底数，—真数，—对数式)说明：1注意底数的限制，且;2;3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
必修1 第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）最小值①若2bpa-<，则()m f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bm fa=-()f q最大值①若2bxa-≤，则()M f q=②2bxa->，则()M f p=(Ⅱ)当0a<时(开口向下)最大值①若2bpa-<，则()M f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bM fa=-x xxxxx(q)x③若2bq a->，则()M f q =最小值①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的nn >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数；（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：mna =（0,,,1a m n N n *>∈>且）；1m nm na a-==.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）； （2解：（1）当n3π=-；当n为偶数时，|3|3ππ-=-.xfxxxx（2||x y =-.当x y ≥x y =-；当x y <y x -.【例2】已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.解：332222()(1)1111n n n n n n n nnn n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=-+=++. 【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2a ＞0，b ＞0）； （3.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b. （3）原式22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1（2+⋅⋅⋅+解：（1）原式=22+（2）原式+⋅⋅⋅=11⋅⋅⋅=11)2.点评：2A B -是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）132xy -=； （2）1(3y =； （3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使1(3y =有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤. （3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且. （2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲线位置看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即b <0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论： （1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由小到大. ¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：解：构造四个指数函数，分别为3xy =，0.3xy =，2xy =，0.2xy =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于0x =>，所以从小到大依次排列是：，点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R .∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x xx x x x f x f x ---------====-=-++++. ∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =-.解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a >时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相同；当01a <<时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相反. 而对于形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数单调性的研究，也需结合x a 的单调性及()t ϕ的单调性进行研究.复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()y f u =与()u x ϕ=两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住 “x 的变化→()u x ϕ=的变化→()y f u =的变化”这样一条思路进行分析.第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点： 1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-； （4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设x，则x e =12x e e =，解得12x =.所以，12.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a-==，则log log log aa a M p q M N N =-=-. 所以，log log log a a a MM N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=. 所以，log log log c a c bb a=. 点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第5讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）21lg2lg5(lg 2++（2）2log .解：（1）原式=211(lg2)lg2lg5(lg 22++211lg 2lg2lg5(lg 1)42+-=2111lg 2lg2lg5lg21422+-+=1lg2(lg22lg52)14+-+=1lg2(lg1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log ⨯=221log 2=21log (442=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+===，得到1210b x x =.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=,∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<.又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=， 所以4321log log 2log 33<<. 【例2】求下列函数的定义域：（1）y （2）y 解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥. 所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32. 【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><，解得a >当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-，解得0a <<综上可得，实数a的取值范围是(2,)+∞. 点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论.第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a > 0, a ≠1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数. 又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自变量x取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =. 由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称. 点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数xy a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中. 当燃料重量为1)m 吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把1),4x m y ==代入函数关系式[ln())]4ln 2y k m x =+-+，解得8k =.所以所求的函数关系式为8[ln())]4ln 2,y m x =+-+ 整理得8ln().m x y m+= （2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，544,8m x y =-= 代入函数关系式8544ln(),ln 1,344().544m x y x m x+===-得解得吨 所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第8讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有10n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留24am 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则(1)na x -=，即110211()()22n=，解得n =5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第9讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤.证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=-0=≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a -=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =-- ∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数x y a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%.由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1001) 1.1x ≤⨯≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.。
