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高等传热学09

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高等传热学知识重点(含答案)2019

高等传热学知识重点(含答案)2019

高等传热学知识重点1.什么是粒子的平均自由程，Knusen数的表达式和物理意义。

Knusen数的表达式和物理意义：（Λ即为λ，L为特征长度）2.固体中的微观热载流子的种类，以及对金属/绝缘体材料中热流的贡献。

3.分子、声子和电子分别满足怎样的统计分布律，分别写出其分布函数的表达式分子的统计分布：Maxwell-Boltzmann（麦克斯韦-玻尔兹曼）分布：电子的统计分布：Fermi-Dirac（费米-狄拉克）分布：声子的统计分布：Bose-Eisentein（波色-爱因斯坦）分布；高温下，FD,BE均化为MB；4.什么是光学声子和声学声子，其波矢或频谱分布各有特性？答：声子：晶格振动能量的量子化描述，是准粒子，有能量，无质量；光学声子：与光子相互振动，发生散射，故称光学声子；声学声子：类似机械波传动，故称声学声子；5.影响声子和电子导热的散射效应有哪些？答：影响声子（和电子）导热的散射效应有（热阻形成的主要原因）：①界面散射：由于不同材料的声子色散关系不一样，即使是完全结合的界面也是有热阻的；②缺陷散射：除了晶格缺陷，最典型的是不纯物掺杂颗粒的散热，散射位相函数一般为Rayleigh散射、Mie散射，这与光子非常相似；③声子自身散射：声子本质上是晶格振动波，因此在传播过程中会与原子相互作用，会产生散射、吸收和变频作用。

6.简述声子态密度（Density of State）及其物理意义,德拜模型和爱因斯坦模型的区别。

答：声子态密度（DOS）[phonon.s/m3.rad]：声子在单位频率间隔内的状态数（振动模式数）Debye（德拜）模型：Einstein（爱因斯坦）模型：7.分子动力学理论中，L-J势能函数的表达式及其意义。

答：Lennard-Jones 势能函数（兰纳-琼斯势能函数）,只适用于惰性气体、简单分子晶体，是一种合理的近似公式；式中第一项可认为是对应于两体在近距离时以互相排斥为主的作用，第二项对应两体在远距离以互相吸引（例如通过范德瓦耳斯力）为主的作用，而此六次方项也的确可以使用以电子-原子核的电偶极矩摄动展开得到。

高等传热学知识点总结

高等传热学知识点总结

多维、线性齐次，乘积解： t ( x, y, z, ) ψ( x, y, z )( ) 令 ψ( x, y, z) X ( x)Y ( y) Z ( z) ，分别求解，然后相乘
t ( x, y, z, ) Cmnp e a ( m
m 1 n 1 p 1
2
m2 m2 )
X( m , x)Y( m , y)Z(m , z)
多维稳态非齐次：边界非齐 fi (r ) 0 or 方程非齐 0 边界非齐次（方程齐次） ：分离变量法
t ( x, y) X ( x)Y ( y) ,参照时间与空间的分离变量法
当多个边界非齐次时，等于各单非齐问题的叠加 方程非齐次：等于相应齐次解+非齐次特解 线性、非齐次、非稳态： 热源函数法：在无限大区域，初始时刻 x=x0 处，作用了 一个 t=t0 的热源，当 0 时，
13
0.14
2 Num 0 . 6 6 4 1 R l e
1 3
Pr
大空间自然对流换热: Nu C (GrPr) C ( Ra)
x z yz z
， 利用
1 H
u H
i 1 i
3

H t 2 i ui
t cp
第二章 分离变量法 分离变量法： 将温度分成只与空间有 t (r , ) ψ(r )( ) ， 关的 ψ(r ) 和只与时间有关的 ( ) 的乘积。 对于线性齐次非稳态无内热源问题， t
ห้องสมุดไป่ตู้对流
t y
y w, x
对流换热基本计算式：傅里叶定律 qw
牛顿冷却公式 qc h(tw, x t ) ，t 在内流时取管道截面 平均流体温度，外流时取远离壁面的流体温度。

高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件

高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件
heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？
qi

3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
ppt课件
14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t

qV

0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2

1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
ppt课件
10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
ppt课件
5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致

高等传热学知识点总结

高等传热学知识点总结
式 对流：流体各部分之间发生相对位移时，冷热流体相互掺 混所引起的热量传递过程。 对流换热：流体流过固体壁面时所发生的热量传递过程。 影响对流换热的因素：流动起因；流体流动状态；换热表 面几何因素（形状、尺度、相对位置、表面粗糙情况） ；换 热过程有无相变；流体的物性（普朗特数） 。
半无限大物体：
d 2 X ( x) 2 X ( x) 0 2 dx
1 X ( , x) X ( , x ' ) F ( x ' )dx 'd 0 N ( )
为热源强度，当 J 1 时， t ( x, ) 为一维热源函数。 意义：无限大区域中，初始时刻在 x 平面上的单位强 度，瞬时面（线、点）热源所造成的温度分布。 应用： Q c p F ( )d A ， J F ( )d 因此， t ( x, )
Dp T v D
表示单位时间内黏性应力 （黏性切应 为黏性耗散函数， 相似原理意义：①实验时， 应当以相似特征数作为安排实 验的依据，并测量各特征数中包含的物理量；②实验结果 应整理成特征数间的关联式； ③实验结果可以推广应用到 与实验相似的情况。 管内湍流换热实验关联式 力与黏性法向应力）对控制体内流体所做的功，不可逆地 转化为热能的那部分 第二章 边界层相似理论和边界层方程 速度边界层：当流体流过固体壁面时，由于流体粘性作 用，使得在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的薄层 速度边界层厚度：速度等于 99%主流速度。 意义：流动区域可分为主流区和边界层区，主流区可看 作理想气体的流动，只在边界层区才需要考虑流体的粘 性作用。 温度边界层：在对流换热时，固体壁面附近温度发生剧 烈变化的薄层，也称热边界层。 温度边界层厚度：过余温度等于 99%主流流体过余温度 意义：温度场也可分为主流区和边界层区，主流区中的 温度变化可看作零，因此只需要确定边界层内的流体温 度分布。 普朗特数： Pr v a 普朗特数反映了流动边界层和温度 边界层的相对大小。其中流体的运动粘度反映了流体中 由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越大，粘性 的影响传递越远，流动边界层越厚。相类似，热扩散率 越大则温度边界层越厚。根据普朗特数大小可将流体分 为高普朗特数流体（百千） 、中~（0.7-10）以及低~0.01 边界层微分方程：外掠平板，2D，常物性，稳态，层 流，不可压缩流体，忽略黏性耗散 数量级分析法

《高等传热学chap》课件

《高等传热学chap》课件
总结词
详细描述
求解导热问题的方法主要包括解析法和数值法两大类，解析法适用于简单几何形状和边界条件，数值法则更为通用。
总结词
求解导热问题的方法主要包括解析法和数值法两大类。解析法适用于简单几何形状和边界条件的问题，可以通过数学推导得到精确解。数值法则适用于更复杂的问题，通过将导热微分方程离散化，采用差分、有限元或有限差分等方法求解。数值法可以处理复杂的几何形状、非均匀介质和复杂的边界条件等问题，但计算量较大，需要借助计算机进行求解。
高等传热学chap
Chap.1 传热学简介Chap.2 导热基本定律Chap.3 对流换热Chap.4 辐射换热Chap.5 传热过程综合分析
contents
目录
Chap.1 传热学简介
CATALOGUE
01
传热学是一门研究热量传递现象的科学，主要涉及温度差引起的热量传递以及热量传递过程中的规律和现象。
总结词
导热微分方程是描述导热过程的基本方程，它基于能量守恒原理和傅里叶定律。
导热微分方程是传热学中的基本方程，它表示在稳态或瞬态导热过程中，单位时间内通过单位面积传递的热量与温度梯度成正比。该方程基于能量守恒原理和傅里叶定律，适用于各种形状和材料的导热问题。求解导热微分方程可以得到导热问题的温度分布和热量传递情况。
通过改进传热设备结构和操作方式，提高传热效率，如增加换热面积、采用新型导热材料等。
传热削弱
在特定场合下，为了限制热量传递而采取措施削弱传热过程，如隔热、保温等。
热量有效利用
合理利用和回收热量，实现能量的高效利用，减少能源浪费。
THANKS
感谢观看
总结词
求解对流换热问题的方法主要包括实验研究、理论分析和数值模拟。
要点一

传热学第九章答案

传热学第九章答案

第九章思考题1、试述角系数的定义。

“角系数是一个纯几何因子”的结论是在什么前提下得出的？答：表面1发出的辐射能落到表面2上的份额称为表面]对表面2的角系数。

“角系数是一个纯几何因子”的结论是在物体表面性质及表面湿度均匀、物体辐射服从兰贝特定律的前提下得出的。

2、角系数有哪些特性?这些特性的物理背景是什么？答：角系数有相对性、完整性和可加性.相对性是在两物体处于热平衡时，净辐射换热量为零的条件下导得的；完整性反映了一个由几个表面组成的封闭系统中。

任一表面所发生的辐射能必全部落到封闭系统的各个表面上；可加性是说明从表面1发出而落到表面2上的总能量等于落到表面2上各部份的辐射能之和.3、为什么计算—个表面与外界之间的净辐射换热量时要采用封闭腔的模型？答：因为任一表面与外界的辐射换热包括了该表面向空间各个方向发出的辐射能和从各个方向投入到该表面上的辐射能.4、实际表面系统与黑体系统相比，辐射换热计算增加了哪些复杂性?答:实际表面系统的辐射换热存在表面间的多次重复反射和吸收，光谱辐射力不服从普朗克定律，光谱吸收比与波长有关，辐射能在空间的分布不服从兰贝特定律，这都给辐射换热计算带来了复杂性。

5、什么是一个表面的自身辆射、投入辐射及有效辐射?有效辐射的引入对于灰体表面系统辐射换热的计算有什么作用？答：由物体内能转变成辐射能叫做自身辐射，投向辐射表而的辐射叫做投入辐射，离开辐射表面的辐射叫做有效辐射，有效辐射概念的引入可以避免计算辐射换热计算时出现多次吸收和反射的复杂性。

6、对于温度已知的多表面系统，试总结求解每一表面净辐射换热量的基本步骤。

答：（1)画出辐射网络图,写出端点辐射力、表面热阻和空间热阻；（2)写出由中间节点方程组成的方程组；（3)解方程组得到各点有效辐射；(4）由端点辐射力，有效辐射和表面热阻计算各表面净辐射换热量。

7、什么是辐射表面热阻?什么是辐射空间热阻？网络法的实际作用你是怎样认识的？答：出辐射表面特性引起的热阻称为辐射表面热阻,由辐射表面形状和空间位置引起的热阻称为辐射空间热阻，网络法的实际作用是为实际物体表面之间的辐射换热描述了清晰的物理概念和提供了简洁的解题方法。

江苏大学复试传热学06-09年真题

09一、填空题：（40分）1、 传热的三种基本形式是 、 和 。

2、对流换热的定义是 。

影响对流换热的因素有 、 、、 。

3、流体外掠平板对流换热，其流动状态以 准则数判别，临界值为 。

如果该流体Pr = 1，其速度边界层厚度δ与热边界层厚度δt 的关系是 。

（填“<”、“>”或“=” ）4、对流换热现象相似， 准则必相等，因此强迫对流换热的实验关联式一般整理为 形式。

5、园筒壁的内、外半径分别为r 1 和r 2 ，温度分别为t 1 和t 2，且t 1 t 2，通过单位长度园筒壁的导热量为 。

导热热阻为 。

6、集总参数法是忽略了 ，近似地认为物体内的温度是 。

7、 所谓 “黑体”是指 。

“白体” 是指 。

“灰体” 是指 。

二、分析题：（40分）1、已知管内紊流换热的准则方程为4.08.0Pr Re 023.0fff Nu ，试分析：（1 ）、管径减小；（2）、流速减小时对流换热系数分别如何变化？（10分）2、一个外径为d 1的球，置于另一个内径为d 2的球中，如果两个球的温度分别为T 1和T 2且T 1>T 2，两球表面黑度分别ε1和ε2， （1）、角系数1-2、2-1和 各为多少？（2）、画出辐射换热网络图。

（3）、写出辐射换热计算式。

（10分）3、在三层厚度相同平壁的稳态导热系统中，已测得t 1,t 2, t 3和t 4依次为600℃，500℃，200℃，及100℃，试问各层热阻在总热阻中的比例是多少？三层平壁的导热系数谁大谁小？（10分）4、流体在管内进行定温流动 ，管直径为d , 流速为u ，若保持温度不变，管直径和流速都按比例增加一倍，问流动是否相似？为什么？ （10分） 三、计算题：1、某板式换热器用铜板制成，铜板厚度δ= 3mm ，λ= 40W/ m.℃。

以知板两侧气体的平均温度分别为250℃和60℃，对流换热系数分别为h 1= 75 W/ m.2℃和 h 2 = 50 W/ m.2℃。

高等传热学学习报告

高等传热学学习报告专业：动力工程学号：11846905姓名：张立明一． 对流传热1. 概念对流传热是传热学的重要组成部分，研究流体流动所引起的传热现象。

2．机理：依靠流体流动将热量从一处传递到另一处，即运动的流体质点以热焓形式将热量带走。

由于壁面上流体速度为零，故流体传给壁面的热流密度仍由傅里叶定律确定。

总之对流给热是流体流动载热与热传导的联合作用的结果。

传递的热量：Q=mc(t f1-t f2)3.影响因素：流体流动的状态，流体对壁面的热流密度因流动而增大，湍流的传热效果一般比层流的要好。

壁面的材料和几何形状对传热也有很大的影响。

液体的物理性质密度、粘度、热容等也对对流传热有很大的影响。

4.微分方程求解对流换热问题时需要联立求解连续性方程、动量方程、能量方程和熵方程① 质量连续方程对于闭口系统，质量是守恒的；对于开口系统，流过系统的质量是“连续”的，也就是说对于时间是可导的。

cvm m in outm q q t ∂=-∂∑∑ M cv 为某一时刻控制体内的质量；q m 为输入、输出控制体的质量流量。

连续方程：()()()0p u u u t x y zρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ ② 动量方程将动量守恒定律应用于运动的流体（控制体）中，可以得到动量方程。

控制体上的外作用力分为表面力（与表面积成正比，如压力和粘性应力等）和体积力（与体积成正比，如重力和离心力等）。

作用于控制体上的力平衡()()()n v cv n m n m n in outM F q v q v t ∂=+-∂∑∑∑ N_S 方程222222+F x u u u u pu u u u v w t x y z x x y z ρη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭222222+F y v v v v pv v v u v w t x y z y x y z ρη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭222222+F z w w w w pw w w u v w t x y z z xy z ρη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭③ 能量方程对流换热的温度场可以通过求解能量方程获得，因而得到正确的能量方程是十分重要的。

高等传热学_第一章_导热理论和导热微分方程


（1-1-4）
其中i、j、k分别为x、y、z在坐标轴上的单位向量。在一般的正交
坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。 连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度
构成一个向量场。
1-1 导热基本定律
1-1-3 热流向量
单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q，单位
where k is a kinetic rate constant with the dimension of reciprocal time. The parameter X in the initial state equals to X0. Then, the solution of this equation is Now, if X∞=0, then the simplest form of this equation is (*) The last two equations describe the relaxation process, and the value of is called the relaxation time. Its value characterizes the rate of approch of the equilibrium (but not the complete time necessary to reach this equilibrium because it is infinitely large according to equation *）. 松弛时间：温度场的重新建立滞后于热扰动改变的时间。
1-1 导热基本定律
1-1-2 等温面与温度梯度
物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温

高等传热学讲义

第2章边界层方程第一节Prandtl 边界层方程一.边界层简化的基本依据外：粘性和换热可忽略)(t δδ,l l t <<<<δδ或内：粘性和换热存在)(t δδ特征尺寸—l二.普朗特边界层方程常数性流体纵掠平板，层流的曲壁同样适用)。

δvlu ∞∞∞u lv v l u δδ~~，可见，0=∂∂+∂∂yv x u )()((x x R δ>>曲率半径yxuv∞∞T u ,wT ∞∞T u ,δl)(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρδδ∞∞u u llu u ∞∞2l u ∞ν2δν∞u )(2lu ∞除以无因次化11Re12))(Re 1(δl因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。

)(12222yv x v y p y v v x v u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1~))(Re 1(2δllδ；可见2222xuy u ∂∂>>∂∂δδ1)(2∞u l l u lu /)(∞∞δ2/)(lu l ∞δν2/)(δδν∞u l ：除以lu 2∞)(Re 1lδ))(Re 1(δl lδ可见，各项均比u 方程对应项小得多可简化为于是u 方程压力梯度项可写为。

)(2222yTx T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,0=∂∂yp dxdpρ1-),(lδ乘了δθδwu l )(∞lu w θ∞2lawθ除以：lu w θ∞Pe/12)(/1δlPe 12δθwa 1)(∞-=T T w w θPr)Re (⋅====∞∞贝克列数—导热量对流热量w w p lk u c a l u Pe θθρ边界层方程：。

时或当可忽略可见，)1,1~)(1(222>>∂∂Pe l Pe x T a δ0=∂∂+∂∂yvx u )(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ)(2222yT x T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂其中，压力的变化由主流速度的变化确定：,0=∴=∞dxdpdx du 对于平板，gf e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ（主流柏努利方程）dxdu u dx dp ∞∞=ρ1（主流速度可按势流问题求解得到）二.普朗特边界层方程定义：对于二元二阶线性偏微分方程（a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 均为x ，y 的已知函数）当，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；当，称为抛物型的；当，称为椭圆型的。

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Advanced Heat Transfer
Chap. 9 Laminar external boundary layers
北京建筑工程学院
Beijing University of Civil Engineering and Architecture
Advanced Heat Transfer
§9-1 laminar forced convection over a flat plate 1.The Governing Eqs & BCs 研究对象：常物性，不可压缩流体，2D，忽略黏性耗 散，无内热源，无体积力，u∞，T∞＝const y 主流区 0 x
Advanced Heat Transfer
aφ xx + bφ xy + cφ yy + dφ x + eφ y + fφ = g ( x, y )
控制方程的 3 种类型 1 控制方程的类型 (根据 b2-4ac的情况分类) 双曲型方程 (问题) ： b2-4ac ＞ 0，过某点 有两条实的特征线。 抛物型方程 (问题) ： b2-4ac = 0，过某点 有一条实的特征线。 椭圆型方程 (问题) ： b2-4ac ＜ 0，过某点 没有实的特征线。
v = − ∂ψ ∂ = − ∂x ∂x
(
f
u ∞ν x
)
⎛1 = −⎜ ⎜2 ⎝
u ∞ν f + x
∂f ∂η ⎞ u ∞ν x ⎟ ⎟ ∂η ∂x ⎠
=
1 2
u ∞ν x
(η
f '− f
)
⎞ 1 −1 ⎟ ⎟= − 2 x η ⎠
u∞ ∂η ∂ ⎛ = y ⎜ ⎜ ∂x ∂x ⎝ νx
⎞ u∞ 1 −1 ⎛ ⎟ ⎟= − 2 x ⎜ ⎜ y νx ⎠ ⎝
(R e x , P r )
Advanced Heat Transfer
分段拟合：
0 .5 6 4 R e 1x 2 P r 1 2 ,
N u x = 0 .3 3 2 R e 1x 2 P r 1 3 ,
P r < 0 .0 5 P r = 0 .6 − 1 0 Pr > 10
0 .3 3 9 R e 1x 2 P r 1 3 ,
du ∞ ( x ) ∂u ∂u ∂ 2u ρ （u ) = ρ u∞ ( x ) +v +μ 2 dx ∂x ∂y ∂y ∂t ∂t ∂ 2t u +v = a ∂x ∂y ∂y 2
∂v ∂u + = 0 ∂x ∂y
y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw x = 0 : u = u ∞ ( x ) , T = T∞
∂T ) y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw ( q = − λ ∂y y = ∞ (δ ) : u = u ∞ , T = T ∞
Advanced Heat Transfer
8.边界层微分方程的特点 (1)边界层由椭圆型方程简化到抛物线型。略去动 量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项。 (2)方程少了一个，变量少了一个 (3)定解条件：14个减少到7个
Advanced Heat Transfer
§2-3 Discussion of boundary layer equations 1.略去动量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项
(1)数学上，边界层由椭圆型方程简化到抛物线型 (2)物理上，下游温度场对上游无影响 • 一个稳态的二维边界层问题与一个一维的非稳态 导热问题相似（x与时间为单向坐标） • 椭圆型一般由迭代法求解；抛物线型一般用步进 积分法求解。
νx ⎞
u∞ ⎟ ⎟ ⎠
−1
u∞ = y νx
不唯一
Advanced Heat Transfer
引入流函数 ∂ψ ∂ψ u = ,v = − ∂y ∂x u 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂η ∂ψ = = = u∞ u∞ ∂y u∞ ∂η ∂y ∂η
∂ u = ∂η u∞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ∂f ⎟ = ∂η u ∞ν x ⎟ ⎠
)
)
∂u ∂ = ∂y ∂y
(
f ' (η ) u ∞
)
=
∂ ∂η
(
f ' (η ) u ∞
∂η ) ∂y = u∞
u∞ f '' (η νx
∂ 2u ∂ ⎛ = u∞ ⎜ 2 ⎜ ∂y ∂y ⎝
u∞ f '' (η νx
2 ⎞ u∞ )⎟ ⎟ = ν x f ''' (η ⎠
)
∂u ∂u ∂ 2u 代入u +v =ν ∂x ∂y ∂y 2
hm 1 = L
∫
L 0
hx d x = 2 hL
Num = 2 NuL h x ∝ x −1 2 , x ↑ , h x ↓
x → 0, hx → ∞ ?
Advanced Heat Transfer
§9-2 laminar forced convection with pressure gradients 1.The Governing Eqs & BCs 研究对象：常物性，2D，低速层流
（u ρ ∂x +v ∂r )=− dx + ⎛ ⎞ η r ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t +v ρcp ⎜u ⎟= ⎜λr ⎟ ∂ x ∂ r r ∂ r ∂ r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Advanced Heat Transfer
6.求解边界层微分方程的经典方法 相似解 级数解 近似解:边界层积分方程 7.相似解：描写速度分布的偏微分方程(x,y)简化为 对η变量的常微分方程 （1）相似解存在的条件 （2）相似变量是否唯一 （3）在存在相似解的前提下，有无寻找相似 解的一般方法
y = ∞ (δ ) : u = u ∞ ( x ) , T = T ∞
Advanced Heat Transfer
u∞ ( x ) = cx m
m =
y
β
2−β
存在相似解
u ∞ , T∞
x
βπ
du ∞ ( x ) dp 2 m − = ρ u∞ ( x ) = ρ cx m mcx m −1 = ρ u ∞ dx dx x
Advanced Heat Transfer
∂v ∂u + = 0 ∂x ∂y
du ∞ ∂u ∂u ∂ 2u +v +μ （u ρ ) = ρ ∞u∞ dx ∂x ∂y ∂y 2
∂t ∂t ∂ 2t u +v = a ∂x ∂y ∂y 2
7个BC：
x = 0 : u = u ∞ , T = T∞ y = 0 : u = 0, v = 0, T = Tw y = ∞ (δ ) : u = u ∞ , T = T ∞
Θ = C1 ∫
η
0
Pr exp(− 2
C1 =
∫
η
0
fd η )d η + C 2
C2 = 0
1 ∞ Pr ∫0 e x p ( − 2
∫
η
0
fd η )d η
Pr e x p ( − ∫0 2 Θ = ∞ Pr e x p ( − ∫0 2
η
∫
η
0
fd η )d η fd η )d η
∫
η
0
= F (η , P r)
u∞ Θ ' (η νx
)
∂Θ ∂Θ ∂η = =Θ ∂ ⎛ ∂Θ ⎞ ∂η = = Θ '' (η ⎜ ⎟ 2 νx ∂y ∂η ⎝ ∂y ⎠ ∂y
Advanced Heat Transfer
Θ '' +
1 Pr f Θ ' = 0 2
Pohlhausen Eq.
Advanced Heat Transfer
2.y方向动量方程： 3.方程少了一个，变量少了一个。定解条件：14 个减少到7个 4.应用边界层对流换热微分方程组的前提 一定要符合边界层分析的前提：
δ L 主流区，边界层区； 5.圆管内边界层微分方程(流速较高，管径较大， 管长较短) ∂u ∂u dp 1 ∂ ∂u
5.0 = x Re x
τ w, x
τ w, x
∂u =μ ∂y
y = 0, x
u∞ u f '= , η = y → u∞ νx
u∞
3 2
∂u =μ ∂y
→μ
y = 0, x
νx
f '' (η )
η =0
= 0.332 μ
u∞
3 2
νx
1 − 1 L c f = ∫ c fx dx = 2c f , L = 1.328 Re L 2 L 0
Advanced Heat Transfer
u = f ' (η ) u∞
∂u ∂ = ∂x ∂x
1 u∞ν v= (η f '− f ) 2 x
∂η 1 −1 = − x η 2 ∂x
∂η 1 u∞ η f '' (η = − ) ∂x 2 x
(
f ' (η ) u ∞
)
=
∂ ∂η
(
f ' (η ) u ∞
1 − τ w, x 2 c fx = = 0.664 Re x 2 2 ρ u∞
上述值与实验测定值符合，证明了Prandtl边界层理论
Advanced Heat Transfer
3.The heat transfer solution： 引入：
T − Tw Θ = T∞ − Tw
u∞ η = y νx