高等传热学导热理论——相变导热（移动边界问题）讨论
第五讲：相变导热（移动边界问题）：
移动边界的导热问题有许多种，本讲只讲固液相变时的导热模型。
5.1 相变换热特点与分类： 特点：
(1) 相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间（实际不是一个面，
而是一个区）。
(2) 相变面随时间移动，移动规律时问题的一部分。
(3) 移动面可作为边界，决定了相变问题是非线性问题。
分类：
(1) 半无限大体单区域问题（Stefan Question ） (2) 半无限大体双区域问题（Neumman Question ） (3) 有限双区域问题
5.2 相变导热的数学描述和解： 假定：固液两相内部只有导热，没有对流（适用于深空中相变）。
物性为常量。
不考虑密度变化引起的体积变化。
控制方程：
对固相：
2
21s s s t t a x
τ
∂∂=∂∂ 对液相：
2
2
1l l l t t a x
τ
∂∂=
∂∂
初值条件：0:s l t t t τ∞=== 边界条件：
0:::s l w l s l s x t ort t x t ort or
x t ort t ∞
===∞≠∞
=∆=
在相变界面，热量守恒，温度连续，Q l 为相变潜热：
()():s l s
l
l l
s l p t t d x Q and
t t t x
x
d δτδτλλρτ
∂∂==+==∂∂
5.2.1 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的简化解：
以融解过程为例：
忽略液相显热，
2
210l l l t t a x
τ
∂∂==∂∂，方程解为一直线，由边界条件得：
()/l w p w t t t t x δ
=+-
对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。
由相变处得换热条件求δ的变化规律：
()()():0()l l l
l l
p w l l
t d d x Q t t Q x
dx
d λδτδτδτλρρδ
τ
δ∂==+=
-+∂=
=
式中：()/l l p w l Ste c t t Q =-叫Stefan ’s Number ，物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。
液体厚度与时间的开平方成正比。
所以：
进入物体的融解热流密度为：0
)l l
x w p t q t t x
λ=∂=-=
-∂，
热流密度与时间的开平方成反比。
5.2.2 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的精确解：
同样以融解过程为例：
对液相，
2
21l l l t t a x
τ
∂∂=∂∂，设方程解为（满足初始条件）：
(/
l t A Berf x =+
由边界温度条件得：
l w p w
t t t t -=-
对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。
由相变处得换热条件求δ
的变化规律，设/δΩ=度也与时间的开平方成正比。
上式是关于凝固常数的方程，叫相变问题的特征方程。
进入物体的融解热流密度为：0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂，热流密度同样
与时间的开平方成反比。
5.2.3 半无限大体双区域问题（Neumman Question ）的精确解：
同样以融解过程为例：
对液相，
2
21l l l t t a x
τ
∂∂=∂∂，设方程解为（满足初始条件）：
2
()():)0
exp()()())/l l l l
p w l w p l l l l t d x Q x d t t erf t t Q a Ste δτδτλρτ
λ∂=+∂=
-+
=ΩΩΩ=-=
(/
l w t t Aerf x =+
由边界温度条件得：
l w p w
t t t t -=
-
，t t A -=
对固相，
2
21s s s t t a x
τ
∂∂=
∂∂，设方程解为（满足初始条件）：
(/
l t t Berfc x ∞=+
由边界温度条件得：
s p t t t t ∞∞
-=
-
，t t B -=
由相变处得换热条件求δ
的变化规律，设/δΩ=
度也与时间的开平方成正比，/δΩ=。
得相变问题的特征方程：
(
)
2
l x t A
x e
δ
=Ω∂=∂(
)
2
s x t B
x
e
δβ=Ω∂=-
∂
(
)
()
2
2
))
()/()/exp()()
exp()()
p w p l w p l l l s p l l l t t t t t t a Q t t a Q erf erfc λρλβρ∞∞-+
=-
----
=
ΩΩΩΩΩ
Ω
2
2
/exp()()
exp()()
l
s s l Ste Ste erf erfc βρρ-
=
ΩΩΩΩΩΩ
进入物体的融解热流密度为：0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂，热流密度还是
与时间的开平方成反比。
5.2.4 非线性问题求解方法总结：
对非线性问题，直接求解难度大，一般是进行适当简化，在简化基础上构造
()():l s l
l l
s
t t d x Q x
d x
δτδτλρλτ
∂∂=+=∂∂
一个满足大多数唯一性条件的，保留部分待解常数的解函数。
将这个解函数代入余下的唯一性条件，求出待解常数，即为近似解或精确解。
5.3 关于湖水结冰问题的讨论：
几何条件假定：湖面很大，也很深，看成半无限大体。
换热条件假定：结冰前湖水均温，为t ∞，湖水主体温度一直保持t ∞。
大气环境温度为t a ，湖面与大气间的表面传热系数为常量h 1，冰层下表面与湖水间的表面传热系数也为常量h 2。
物性假定：因为在0℃附近，冰的比热c s 《Q l ，忽略冰层热容作用。
由此可得在冰层中的温度分布为直线。
设坐标原点在湖面，冰层厚度为δ，我们根据能量守恒和平壁导热规律得：
21()1//p a p s l
s
t t d h t t Q h d δρδλτ
∞-=-++ （1）
冰层温度分布：()/s w p w t t t t x δ=+- 求解δ，令
()()()()()
112
2
2
11///////s p p a s s s p a l
s s s s s h m t t t t R h h Ste Fo
Ste c t t Q Fo h c a h δδλττρλτλ∞==--===-==
代入(1)式：
()
()22
11
()1
11(1)
1p s s l
p a p
a h t t d d Q m R d h t t h t
t d d m R d λδδρδτ
τ
δδτ
δ
∞-=
+=+
+---+=
+
00,,00s t t ττδδ∞=→===→=
(
)
2
11
11(1)
0.5
/(1d d m R du m δδτ
δτ++=-+=-⎰
{ln[1/(1)]}/(,)mR mR mR f mR τδδδ=----=
讨论：当()max ,1/mR mR τδ→∞→-。
mR 一定时，冰层的最大厚度也就确定。
此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量，湖水凝结停止。
当0p t t m R ∞=→=，湖水比热无穷大，(
)2
2111τδδ=+-→=此种情况冰层没有极大值，可一直增厚。
即11)/s h δλ=。
当1m R =，冰层得到的热流量等于散出的热流量，
ln 0,c c τδδτδ=--→==-，此种情况由于厚度不能为负值，故不会结冰，尽
管t a 小于冰点。
当,p w a t t t t ∞==，湖水比热无穷大（或湖水与冰间的换热系数无穷大），湖面与大气换热系数无穷大，有：p w
p w
s
s l
s
s l
t t t t d Q d d d Q δλρλτδδ
δ
τ
ρ--=→=
δ=
=
此即Stefan 近似解。
此处的分析方法又叫做准稳态近似法。
