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二次根式的分母有理化58892

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二次根式的分母有理化

二次根式的分母有理化
（1）30 = __1__， 32 = _9___； 1
（2）（-3）0 = __1__， （-3）2 = __9__； 1
（3）b0 = __1__， b2 = __b_2_ （b≠0）．
平凉市第十中学
探索整数指数幂的性质
问题3 引入负整数指数和0指数后，am an am n
（m，n 是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整
二次根式的分母 有理化
新知探究:
探究（一）
如何去掉 1 中被开方数中的分母呢? 3
分析： 1 3
1 3 3 33 3
1
平凉市第十中学
2 思考与探索 1.练习题：化简下列各式
(1)
3
3
42
(2) 1 2 2 8 16 4
(3) 1 a
1 a
aa
a a a2 a
平凉市第十中学
由此你能的得到一般结论吗? 3
a2b2a6b6
a 8b8
b8 ． a8
平凉市第十中学
课堂练习 练习2 计算：
（1）x2 y（3 x1y）3；（2）（2ab2c ） 3 2 （a2b）3．
平凉市第十中学
探索整数指数幂的性质
问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
am an am n ，ama-n am =a （-n） m-n ，因此， am an amn ，即同底数幂的除法 am an 可以转化
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
m m
n
n
(m
n)
解：
（1） 3 3( 3 1) 3 3

二次根式的分母有理化

二次根式的分母有理化
深入理解二次根式的定义和性质可以帮助我们更好地应用它们。例如，我们可以进行加减乘除运算，简 化和扩展二次根式，以及判断二次根式的大小。
有理化的概念和意义
有理化是将含有根号的分母转化为不含根号的过程。有理化让我们更方便地 进行运算和比较。它在代数学和数学分析中具有重要的应用价值。
二次根式的分母有理化的步骤
1 Step 1
确定分母中含有的根号 的个数。
2 Step 2
将分母中的根号与它前 面的系数整理成标准形 式。
3 Step 3
用有理数乘以适当的因 式，将根号的分母有理 化。
二次根式的分母有理化的示例
Example 1
有理化分母为平方数的二次根式。
Example 2
有理化分母为非平方数的二次根式。
常见的二次根式分母有理化方法
方法 有理化分母为平方数
有理化分母为非平方数
适用范围
分母是完全平方数的二次根 式
分母是非完全平方数的二次 根式
示例 √2/√9 = 2/3
√2/√3 = (√2 * √3) / 3 = √6 / 3
应用和扩展性问题
1
扩展性问题
2
对有理化的更深入研究可以扩展到更 高阶根式的分母有理化，以及更复杂
的代数和函数问题。
应用问题
掌握有理化的方法后，我们可以解决 更复杂的方程和等式，以及在数二次根式是数学中的一个重要概念，它包含了有理数与根号的运算。本节将 详细介绍二次根式及其性质，以及如何对二次根式的分母进行有理化。
二次根式的基本概念
了解二次根式的基本定义和性质是学习有理化的基础。二次根式由根号和二 次根式的主体部分组成，可以表示为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的定义和性质

二次根式的分母有理化PPT学习教案

二次根式的分母有理化PPT学习教案

化简二次根式
实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
第12页/共16页
小 结
怎样化去被开方数中的分母
怎样化去分母中的根号
二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(1)
3
3
42
(2) 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2
(3)
1
a
1 a
aa
a a a2 a
第3页/共16页
由此你能的得到一般结论吗?
当a≥0,b>0时,怎样化去 a 中的分母? b
a ab b bb
ab b2
ab b2
ab b
第4页/共16页
化去根号中的分母：
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2y (x 0, y 0)
(3)分母中不含有根号.
第13页/共16页
若一个三角形的三边长分别为a、b、c,设 p 1 (a b c), 则这个三角形的面积
2
S p( p a)(p (海b)伦(p-秦c九) 韶公式)
当a=4、b=5、c=6时,求S的值.
第14页/共16页
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
第15页/共16页
第13页共16页若一个三角形的三边长分别为abc设则这个三角形的面积海伦秦九韶公式第14页共16页知识象一艘船让它载着我们驶向理想的
二次根式的分母有理化
会计学

自主学习
1.想一想:
(1) a ?(a ___,b ___) b
(2) a ?(a ___,b ___) b

二次根式的分母有理化课件

二次根式的分母有理化课件
二次根式的分母有理化课件
分母有理化的概念
通过有限的步骤将二次根式的分母转换为有理数，使得计算更简便。能够简 化二次根式的运算和推导过程。
分母有理化的步骤和方法
1
步骤一：找到不含开方的因式
将分母中的二次根式化简为不含开方的因式，如将√3转化为2√3/3。
2
步骤二：用适当的有理数乘以分母
将分母的每一项与适当的有理数相乘，使得分母中的二次根式消失，母的某些项
解决方法：仔细检查，确保每一项都被正确有 理化。
错误：未合并同类项
解决方法：整理分母，合并同类项，确保化简 后的分母正确。
错误：错误地进行有理化操作
解决方法：复查步骤，并进行适当的修正。
错误：计算错误
解决方法：仔细计算，避免粗心导致错误。
分母有理化的应用场景
1 高等数学
有理化分母是解决高等数 学中复杂方程和公式的关 键步骤。
2 物理学
在物理学中，有理化分母 的技巧可以简化力学和电 磁学等领域的计算。
3 工程学
在工程学中，有理化分母 的方法能够简化工程设计 和分析中的复杂计算。
分母有理化的练习题和解析
通过一系列练习题和解析，巩固对分母有理化的理解和应用。
结论和要点
分母有理化是解决二次根式运算和推导等问题的重要技巧，在高等数学和相 关学科中有广泛应用。
3
步骤三：化简分母
整理分母中的项，使得每个项都是有理数，如合并同类项。
分母有理化的实例演示
Example 1
有理化分母的步骤在解决二次方 程中起到关键作用。
Example 2
在将分数进行运算时，有理化分 母可以简化计算过程。
Example 3
在数学课堂中，有理化分母是一 个常见的考点。

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(解析版)

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(解析版)

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•A ．4bB ．CD 思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．解：∵a ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0；=1故选：D ．总结提升：=a ≥0，b ≥0）a ＞0，b ≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：1= ．思路引领：==总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．2．（2021春• ．思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．解：原式总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．解：1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则1进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，bb=，求a ，b 的值．思路引领：（1）分子分母同乘以2（2（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．解：（1）1===2+故答案为：2（2）1（3b=（a +b （b ﹣a ），∵a+b=1，∴a +b =2a−b =−1，得a =12b =32．总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”= ．思路引领：2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．解：1=2．2．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．2．（2022秋•牡丹区期末）若1的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+ab ＝ ．思路引领：先将1分母有理化并根据a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．∵23，∴5＜3+6，∴2.53，∵1的整数部分是a ，小数部分是b ，∴a ＝2，b 2所以，a 2+（1ab ＝22+（1+×2=4+（7﹣1）＝4+6＝10．故答案为：10．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a 、b 的值．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简==总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。

二次根式 的性质4-分母有理化

二次根式 的性质4-分母有理化

成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1

二次根式16.2(5)--二次根式分母有理化

16.2(5)--二次根式分母有理化一．【知识要点】1.分母有理化:把分母中的根号化去的方法，叫分母有理化；二次根式的除法中，当被开方数不能恰好整除时，常采用分母有理化的方法进行化简。

二．【经典例题】1. 阅读下面问题;23)23)(23(23231-=-+-=+25)25)(25(25251-=-+-=+试求：⑴671+的值； ⑵17231+的值； ⑶nn ++11（n 为正整数）的值。

2.已知：132-=x ，求12+-x x 的值。

3.已知:m+n=10,mn=9,则=+nm n -m _______.4.设4的整数部分为a ，小数部分为b ，则1a b-的值为__________________．三．【题库】 【A 】1.已知65+=a ,561-=b ，则a 与b 的大小关系是（ ）A. b a >B. b a <C. b a =D. 无法确定 2. 已知x=，则x 2﹣x+1= ．3.若c b a c b a 、、，则，，2-31327=+== 的大小顺序是 。

【B 】1==3.的值26250 （ ）。

A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和8之间D.在8和9之间 4.观察下列等式：①121-=2+1；②231-=3+2；③341-=4+3；……，请用字母表示你所发现的规律： 。

5. 已知a ,求2121a a a -+-.6.（8分）观察下列等式：①；②；③；……回答下列问题：（1）仿照上列等式，写出第n 个等式： ;1310+++【C 】 1.若120152014-=m ，则2014-2-2m m 的值是．2．观察下列一组等式的化简．然后解答后面的 问题：1==；==2==（1）在计算结果中找出规律= （n表示大于0的自然数）（2“＜”或“=”）；（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：1)2016+3.（1）已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。

二次根式的分母有理化课件

基础练习
运用前面所学的方法解决 简单的有理化问题。
挑战练习
针对较复杂的二次根式， 运用更高级的有理化技巧。
实际Байду номын сангаас用
将学到的知识应用于实际 问题，并进行解答。
课后作业
• 完成练习题集中的习题 • 思考分母有理化的应用场景并写下你的观察 • 准备与老师和同学分享你在课程中的新思考
总结回顾
1
复习重点知识
回顾本课件涵盖的重点知识和方法。
解答疑惑
2
解答大家在学习过程中遇到的疑惑和
困惑。
3
鼓励反思
鼓励同学们反思学习过程，提出自己 的问题和想法。
二次根式的分母有理化课 件
欢迎来到我们的二次根式的分母有理化课件！在本课件中，我们将讨论二次 根式的分母有理化的要素、目的以及不同的有理化方法。让我们开始探索吧！
要素讲解
• 了解二次根式的基本概念和特点 • 掌握分母有理化的必备知识 • 理解如何应用要素来解决问题
分母有理化的目的
分母有理化的目的是将分母中的根式变为有理数，使得二次根式的计算更加简化和方便。
一般分母有理化的方法
1 乘以共轭根式
通过乘以分母的共轭根式，可以消除分母中的根号。
2 简化分式
对二次根式进行简化，使得分母中不存在根号。
3 应用公式
根据分母有理化的公式和规则，对二次根式进行变形。
特殊分母有理化的方法
1. 平方差公式 2. 三角恒等变换 3. 代数恒等变换 4. 倒置公式
练习题解析

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

内容 基本要求 略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一 二次根式的乘除最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-⋅---一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。

【例2】 a ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a中考要求例题精讲二次根式基本运算、分母有理化【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】若最简二次根式a2b-的值．a【巩固】若a b，的值是（），为非负数，a a bA．02a b，或11==，D．20====，a b==a b，B．11a b，C．02==a b【例5】已知最简根式a a,b的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；【例6】=的整数解有组.…这1999是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例7】【例8】【巩固】-【例9】3【例10】计算：+【巩固】计算：-【例11】 计算：-【巩固】+-【例12】 先化简后求值。

二次根式的分母有理化[优课优讲]


课堂类别
平凉市第十中学20
归纳结论
（1）aman am n（m，n 是整数）；
（2）（am）n amn（m，n 是整数）；
（3）（ab）n anbn （n 是整数）；
（4）am an amn （m，n 是整数）；
（5）（
a b
）n
an bn
（n
是整数）．
课堂类别
平凉市第十中学21
整数指数幂性质的应用
课堂类别
平凉市第十中学8
8
3、计算： 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知
x
1
，求
2 1
x
1
2
4
x
1
4
x x
的值
课堂类别
平凉市第十中学9
拓展思考
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面 式子的值．
（1 + 1 + 1 + +
1
）（ 2002+1）
化去根号中的分母：
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
m m
n
n
(m
n)
解：
（1） 3 3( 3 1) 3 3
3 1 ( 3 1)( 3 1) 2
（2） 4
1 33
2 (4
(4 33
3 3 2)(4
2) 3 3
4 2)
3 3 30
2
（3）
m m
n
n
(
(m n)( m m n)( m
例1 计算：
（1）a2
a5；（2）（
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(2) 1 7
7 7
(3) 5b (a 0,b 0) 3a
15ab 3a
尝试 交流
化去分母中的根号:
(1) 1 27
(3) 2 7 5
5b
(Байду номын сангаас)
(a 0,b 0)
72a3
交流 尝试
化去分母中的根号：
(1) m (m 0) m
解：当m>0时,
m
2
m
m
mm
(2) m n mn
(3) m n m n
二次根式的分母有理化
自主学习
1.想一想: (1) a ?(a ___,b ___)
b
(2) a ?(a ___, b ___) b
2.小组讨论如何去掉 1 中被开方数中的分母呢?
3
一般地，二次根式运算的结果中，被开方数
中应
不含能开得尽方的因数或因式.
例如:不能有象 8, a3 , b5, (a b)3……
同样二次根式运算的结果中，被开方数中不 含分母、分母中不含有根号.
例如:不能有象 1 , 1 ……的式子. 22
思考与探索
1.怎样化去被开方数中的分母?
(1)
3
3
42
(2) 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2
(3) 1 a
1 a
aa
a a a2 a
由此你能的得到一般结论吗?
当a≥0,b>0时,怎样化去 中的分母?
小结:
象
8, 不1能,作1为二次根式的最后化简结果.
32
化简二次根式
实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
若一个三角形的三边长分别为a、b、c,设
则这个三角形的面积
p 1 (a b(海伦c-秦),九韶公式) 2
当a=4、b=5、c=6时,求S的值.
S p( p a)(p b)(p c)
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的
……
完成P66练习1
尝试 交流
化去根号中的分母：
(1) 6 1 7 2 (2) 1 1 (x 0.y 0) x2 y xy2
84
xy
xy
(3) 5c (a 0,b 0, c 0) 15abc
12 ab
6ab
思考与探索
2.怎样化去分母中的根号呢?
由此你能化去分母中的根号吗?
当a≥0,b>0时,
a
b
a ab b bb
ab b2
ab b2
ab b
化去根号中的分母：
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2 y (x 0, y 0)
3
3 3x
解:(1) (2) (3)
2 23 6 3 33 3
2 1 7 7 3 21 3 3 33 3 2y 2y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
a a b ab b b b b
化去分母中的根号:
(1) 2 3
(2) 1 5
(3) 2y (x 0, y 0) 3x
解:(1)
(2) (3)
2 2 3 6 3 3 3 3
1 5 5 5 5 5 5
2y 2y 3x 6xy
3x 3x 3x 3x
化去分母中的根号:
(1) 3 5
15 5