高一数学3月月考试题(衔接班)

甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．23n k+ C ．()(2222n +++ 二、多选题9．ABC 的内角A 、B A ．710．对任意向量a 、bA ．2ω=B ．函数()f x 的单调增区间为C ．函数()f x 的图象关于7,012π⎛ ⎝D ．函数()f x 的图象可由2cos y =12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，三、填空题四、解答题17．已知θ是第三象限角，(1)求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求3πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量(2,2)a =-，(1)若||3a tb +=，求t 的值；(2)若a tb - 与c垂直，求t 19．如图，缉私艇在A 处通过卫星发现正东方相距船正以102nmile/h 的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？20．已知函数()3sin 2cos23f x x x =++．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心坐标；(2)将()y f x =的图象上的各点__________得到y =程()g x m =有解，求实数m 的取值范围．参考答案：8．D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解9．AB【分析】由正弦定理可得b 【详解】在△ABC 中，a =由正弦定理可得sin sin a b A =因为0sin 1B <≤，所以0<所以b 可以为7，8，故选：AB.10．ABC2。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（ ）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（ ）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（ ）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（ ）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（ ）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（ ） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（ ） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得： ，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e = B ．12||||1e e += C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．B ．C ．D ．5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．3106．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A B ．C ．78D ．78-7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+ B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+ D ．2233AB AD+ 8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A ．116+B ．116C ．1112+D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-上的最大值为2C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =，b =，45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若22sin sin sin 2ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a ab a b b <>=⊗ ．已知非零向量m，n 满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗ 都是整数，则m n⊗的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则b在a方向上的投影向量的模长是．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S 中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC =，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅的取值范围．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？20．（本题满分12分）在ABC ∆中，222a a c b =+-=．（1）若b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．答案和解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)【正确答案】B 2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453cos 5α=，02πα<<，4sin 5α∴==，4sin()sin 5παα∴+=-=-．【正确答案】A 3．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e =B ．12||||1e e +=C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 根据题意，依次分析选项：对于A ，12e e ⊥ ，则12,e e方向不同，A 错误；对于B ，12||||112e e +=+=，B 错误；对于C ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅=，则有222121212()22e e e e e e +=++⋅= ，C 正确；对于D ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅= ，则有222121212()22e e e e e e -=+-⋅= ，则12||e e -=D 错误．【正确答案】C4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．52mB ．53mC ．55mD ．56m在ABC ∆中，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180607545CAB ∠=︒-︒-︒=︒，又因为得10BC m =，由正弦定理可得：sin sin BC ABCAB ACB=∠∠，可得3sin 21056sin 22ACBAB BC CAB ∠=⋅=⋅=∠．【正确答案】D5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．310(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，∴(1,2)OA =- ，(2,1)AB =-，故cos OA < ，2222122(1)45(1)22(1)AB -⨯+⨯->==--+⋅+-．【正确答案】A 6．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A ．158B ．158-C ．78D ．78-1sin()sin()12412ππαα-==--，1sin()124πα∴-=-，则2517cos(2)cos(2)2sin ()1216612168πππααα+=--=--=⨯-=-．【正确答案】D7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+D ．2233AB AD+建立平面直角坐标系，如图所示：矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，设(2,0)B ，则(0,1)D ，1(2,)2E ，(1,1)F ，3(2G ∴，3)4；∴3(2AG = ，34，(2,0)AB = ，(0,1)AD = ，设AG xAB y AD =+ ，则3(2，3)(24x =，)y ，即32234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得34x =，34y =；∴3344AG AB AD =+ ．【正确答案】C8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A．116+B ．116C．1112+D ．1112设||AB c = ，||AC b = ，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =，∴||4CB = ，∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=，∴2121111111()(3412321212x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当13432x yx y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6(46)5x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．【正确答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin(2)3g x x π=+的图象；所以函数的最小正周期为π，当12x π=时，函数取得最大值1．【正确答案】AD10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c．若a =，b =45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒在ABC ∆中，由于a =b =45B =︒，利用正弦定理：sin sin a bA B=，解得sin 2A =；由于sin b a B >；所以60A =︒或120︒．【正确答案】CD11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若222sin sin sin ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆的面积为32C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心对于A ，因为222sin sin sin A B C +<，通过正弦定理可知222222cos 02a b c a b c C ab+-+<⇒=<，故ABC ∆是钝角三角形，故A 错；对于B ，若1,30AB AC B ===︒，假设BC x =，由余弦定理可知22212x x =+-，可解得1x =或2x =当111,1224ABC BC S ∆==⨯⨯=，当112,2222ABC BC S ∆==⨯=，故B 错；对于C ，若sin 2sin 2A B =，则由22A B =或者22A B π=-，即A B =或者2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或者直角三角形，故C 错；对于D ，P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，取BC 中点D ，连接PD ，所以有2PB PC PD DB PD DC PD +=+++=，又因为0PA PB PC ++= ，所以PB PC PA +=- ，所以2PA PD -=，所以A ，P ，D 三点共线，且||2||AP PD =．所以P 是ABC ∆的重心，故D 正确．【正确答案】ABC12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a a b a b b <>=⊗ ．已知非零向量m ，n满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗都是整数，则m n ⊗ 的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4由题意可得||sin ()||4n kn m k Z m θ==∈⊗．因为||3||0m n >>，所以||10||3n m <<，因为(,)42ππθ∈，所以2sin 12θ<<，所以||10sin ||3n m θ<< ，即1043k <<，解得403k <<，因为k Z ∈，所以1k =，所以||sin 1||4n n m m θ==⊗ ，则||1||4sin n m θ= ，故2||sin 4sin ||m m n n θθ==⊗，因为(,)42ππθ∈，所以sin 12θ<<．因为||10||3n m <<，所以1104sin 3θ<<，所以3sin 4θ>，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 44θ<<，即9(,4)4m n ∈⊗ ．【正确答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，∴312x -=，则6x =-．【正确答案】6-14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==- ，则b 在a方向上的投影向量的模长是．(1,3),(2,4)a b ==-，∴123(4)10a b ⋅=⨯+⨯-=-，||a == ，故b 在a方向上的投影向量为1||||a b a a a ⋅⋅= ，3)(1=-，3)-，=．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，∴(1,1)AB = ，(2,3)AC =- ，∴(3,2)AB AC +=- ，(1,4)AB AC -=-，||AB AC ∴+=，||AB AC -= ，∴以线段AB ，AC．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．因为(cos )a c B C =，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C =+=+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B +=+cos sin cos C C B C =，因为cos 0C ≠sin C B =，由正弦定理得b ，由题意可得S ==，当29c =时，三角形ABC 的面积最大，此时3c =，b ==，9311sin 3422S bc A ===⨯3sin A ⨯，解得1sin 2A =，设ABC ∆外接圆的半径为R ，2sin a R A=，可得3212R =，可得3R =．；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．解：（1）因为2sin 3sin cos 0a C c A B -=，由正弦定理可得23cos 0ac ac B -=，因为0ac ≠，所以2cos 3B =；（2）因为2BA BC ⋅=，所以cos 2ac B =，所以3ac =，因为1c =，所以3a =，由余弦定理22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC = ，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅ 的取值范围．解：（1）由图知：,AC AD DC CB AB AC AB AD DC =+=-=-- ，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以211()()()22AC EF AD DC AB AD AD AB DC AB AD DC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= ．（2）由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ，则11(1),(()22EA DA DE DA DC EF DC AB AD λλ=-=--=-+- ，所以221111()(1)()()()2222EA EF DA DC DC DA AB AD DC AB DC AD λλλλ-⋅=-⋅---+⋅+-⋅-⋅ 21114(1)(24()244λλλ=-++=--．则1[,2]4EA EF ⋅∈- ．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？解：（1）由题意可知，2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得6A =，20B =，又153122T =-=，所以24T =，则212T ππω==，当3x =时，14y =，即36cos()201412πϕ++=，即cos()14πϕ+=-，即2,4k k Z πϕππ+=+∈，所以32,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，故34πϕ=，所以36cos()20124y x ππ=++，[0x ∈，24]；（2）令36cos()2023124y x ππ=++，可得31cos()1242x ππ+，即322,31243k x k k Z ππππππ-+++∈，解得132452k x k -+-+，k Z ∈，当1k =时，1124x ，故老张该日可在[11x ∈，19]这一时段外出活动，活动时长最长不超过19118-=小时．20．（本题满分12分）在ABC ∆中，22222,2a a c b ac =+-=．（1）若5b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．解：（1）2222a c b ac +-，∴222222a c b ac +-=，2cos 2B ∴=．0B π<< ，∴4B π=．由余弦定理可得2222cos b c a ca B =+-．225(22)224c c π=+-⨯．得2430c c -+=．1c ∴=，或3c =．由正弦定理可得sin sin c b C B =．∴当1c =时，10sin 10C =．当3c =时，310sin 10C =．（2）由余弦定理知22224b c c π=+-⨯．22480c c b ∴-+-=．①当2b =时，2c =，满足题意．②当b =0c =（舍)，或4c =，满足题意．综上，当2b =，或b 时，ABC ∆存在且唯一确定．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+ ，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．解：（1）()2sin cos (2)(sin cos )f a b m θθθθθ=⋅=+-+ ，当0m =时，11()2sin cos 2(sin cos )22(16666622f πππππ=++=⨯⨯⨯+=．（2）2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+ ，∴不妨令sin cos t θθ=+，则22sin cos 1t θθ=-，此时sin cos )4t πθθθ=+=+，[0θ∈ ，]2π，[44ππθ∴+∈，34π，[1t ∴∈，∴原问题等价于不等式241(2)23t m t m t -+-+>-对所有[1t ∈恒成立，242(2)2t t m t t∴++>+-，20t +> ，24222(2))222t t t t t t t m t t t t ++++++∴<==+++，2t t += ，当且仅当2t t =，即t =时，等号成立，此时2()min t t +=，m ∴<，故实数m 的范围为(-∞，．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．（1）证明：因为cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-，所以sin cos()(sin cos sin cos )cos A A B B A A B A -=-，所以sin cos()sin()cos A A B B A A -=-，所以sin cos()sin()cos 0A A B A B A -+-=，即sin[()]0A A B +-=，即sin(2)0A B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ-<-<，所以20A B -=，即2A B =．（2）解：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，022B A π<=<，032A ππ<-<，所以64A ππ<<，所以576444A πππ<+<，从而21sin(642A π-+<-，所以)14A π+<-，设sin 6cos 6t A A =+，则[4t A π=+∈1)-，设函数211()22g t t mt =+-，则其图象的对称轴方程为t m =-，①当m -<，即m >()g t 在[，1)-上单调递增，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为1(2-，)m -．②当212m +-<-，即212m +()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为211[22m --，)m -．③当1m <-<-，即1m <<时，()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，1(2g =，所以f （A ）的值域为211[22m --，1]2-．④当1m --，即1m 时，()g t 在[，1)-上单调递减，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为(m -，1]2-．综上所述，当m >f （A ）的值域为1(2-，)m -；当m f （A ）的值域为211[22m --，)m -；当1m <<时，f （A ）的值域为211[22m --，1]2-；当1m 时，f （A ）的值域为(m -，1]2-．。

2023-2024学年江苏省无锡市高一下学期3月月考数学模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在中，已知为（ ）ABC 3,4,a b c ===C A ．B ．C ．D ．906045302．在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若：：：2：3，则ABC A ∠B ∠1C ∠=a ：b ：（ ）c =A ．1：2：3B ．3：2：1C ．21D ．123．已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC=AD = A ．B ．C ．D ．1233AC AB + 2133AC AB + 1344AC AB + 3144AC AB +4．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- （ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D5．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，.向量，.若ABC a b c (),p a c b =+(),q b a c a =--，则角的大小为（ ）p q∥C A ．B ．π6π3C ．D ．π22π36．在中，是对角线上靠近点的三等分点，点是的中点，若ABCD Y E AC C F BE ，则＝（ ）13AF x AB AD=+ xA ．B ．C ．D ．234556677．如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）,E F ABC AB tan ECF ∠A ．B ．CD ．162723348．在中，是的外心，为的中点，，是直线ABC AC =O ABC M BC 8AB AO ⋅=N 上异于、的任意一点，则（ ）OM M O AN BC ⋅=u u u r u u u rA ．3B ．6C ．7D ．9二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）a b||||1a b == |2|b a -= A ．B ．a b ⊥ ||2a b +=C ．D ．向量，夹角为||a b -=a b 60︒10．已知是夹角为的单位向量，且，则（ ）21,e e 2π312122,a e e b e e =-=+A ．B ．C ．与的夹角为D ．在方向上的投影向||a = 12a b ⋅=-r r a b 2π3a b量为12b - 11．中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，ABC ABC 2a =，下列选项正确的是（ ）AB AC ⋅=A ．3A π=B ．若，则有两解3b =ABCC ．若为锐角三角形，则b 取值范围是ABCD ．若D 为边上的中点，则的最大值为BC AD 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，在菱形ABCD 中，，，则．120ABC ∠=︒2AB = BC DC +=13．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，ABCD 6E AB F BC B 与交于点，则.AF DE M cos EMF ∠=14．如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且ABC 214cm D E ，AB BC ，交于点，则的面积为 .::2:1AD DB BE EC ==AE CD ，P APC △2cm四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量为向量的夹角.()()1,1,1,2,a b θ==-,a b (1)求的值；cos θ(2)若，求实数的值.a b a b λ-=+ λ16．为直角三角形，斜边上一点，满足.ABC BC D AB（1）若，求；30BAD ∠=︒C ∠（2）若，，求.12BD CD=2AD =BC17．已知向量，设.(cos ,sin )a b αα== ()R m a tb t =+∈(1)，求当取最小值时实数t 的值；3πα=||m(2)若，问：是否存在实数t ，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t ；若a b ⊥ a b -m 4π不存在，请说明理由.18．如图，在等腰梯形中，，，M 为线段中点，ABCD AB DC 222AB BC CD DA ===BC 与交于点N ，P 为线段上的一个动点．AM BD CD(1)用和表示；ABAD AM (2)求；ANNM (3)设，求的取值范围．AC xDB y AP =+ xy 19．如图，已知为平行四边形．ABCD(1)若，及的值；5AB = 4AD = AB AD ⋅ AC(2)记平行四边形的面积为，设，，求证：ABCD S ()11,AB x y =()22,AD x y = 1221S x y x y =-1．B 【分析】利用余弦定理的推论即可求解.【详解】由，3,4,a b c ===2221cos 22a b cC ab+-===因为，0180C <<所以.60C =故选：B.2．D 【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解.π【详解】∵：：：2：3，且，A ∠B ∠1C ∠=πA B C ∠+∠+∠=∴，，，则，π6A ∠=π3B∠=π2C ∠=1sin :sin :sin 22A B C ∠∠∠==故::sin :sin :sin 2.a b c A B C =∠∠∠=故选：D.3．A 【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB =-因为，所以.13BD BC=()1133B AC AB D BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+ 故选：A 4．A 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.,BD AC【详解】向量，不共线，且，，，a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- ，则有，而有公共点B ，有A ，B ，D282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= //AB BD,AB BD 共线，A 是；，不存在实数，使得，因此不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠ λAB BC λ=,AB BC ，不存在实数，使得，因此不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；0BC ≠μCD BC μ= ,BC CD ，不存在实数，使得，因此不共线，A ，C ，D 不共线，130AC AB BC b =+=≠ t CD t AC =,AC CD D 不是.故选：A 5．B 【分析】根据，得，由余弦定理可求.p q∥222c a b ab =+-【详解】因为向量，，(),p a c b =+(),q b a c a =--因为，p q∥所以，即，()()()a c c a b b a +-=-222ca b ab =+-由余弦定理可得.2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以，()0,πC ∈π3C =故选：B.6．C【分析】根据平面向量基本定理，由对应系数相等求解即可.【详解】由题可知，()23AE AB AD=+ ∵点是的中点，F BE ∴，1122=+AF AB AE∴211322⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ AF 2132+⨯ AB AD∴，56=13+AB AD∴．56x =故选：C ．7．D 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解.4cos 5ECF ∠=【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为为三等分点，,E F所以，又，AE EF BF ===ACE BCF ≅ 在中有余弦定理得：，ACE △2222cos45CE AC AE AC AE =+-⋅︒⇒CE CF ==在中，利用余弦定理得：，CEF △2224cos 25CF CE EF ECF CF CE +-∠===⋅在中利用同角间的三角函数关系可知：．ECF △3tan 4ECF ∠==故选：D.8．B 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到OM BC ⊥ON OM λ=u u u ru u u r，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AO AC ⋅【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，O ABC M BC AC D OD所以，，设，OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ=u u u ru u u r则()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+ ，AO BA AO AC =⋅+⋅AO AB AO AC =-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 又是的外心，所以O ABC ()cos cos AO AC AO AC CAO AO CAO AC⋅=⋅∠=∠⋅，(22111422AC ==⨯= 所以.8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，AN BC ⋅u u u r u u u r AO AB AO AC -⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r再一个就是利用数量积的几何意义求出.AO AC ⋅9．AC 【分析】对进行平方运算，可求，可判断AD 选项，再对BC 选项进行平方运算，代入|2|b a - a b ⊥ ，可判断BC 选项.0a b ⋅=【详解】，又因为，所以，故，222|2|||4||45b a b a a b -=+-⋅= ||||1a b ==0a b ⋅= a b ⊥ 所以A 正确，D 不正确；，故B 不正确，222||||||22a b a b a b +=++⋅= ||a b +=，所以C 正确.222||||||22a b a b a b -=+-⋅=||a b -= 故选：AC 10．ABD 【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.【详解】设与的夹角为，a b θ对B ，因为，B 正确；()()22121211221222a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-对A ，A 正确；a ===对C ，，1b ===所以，C 错误；cos a b a bθ⋅=== 对D ，在方向上的投影为，D 正确.a b21cos 2b a b b a ba ab bb a b b bθ⋅⋅=⋅⋅==- 故选：ABD 11．BCD【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，A 利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．1()2AD AB AC =+【详解】因为，所以，，又，AB AC ⋅=1cos sin 2bc A bc A ==tan A =(0,)A π∈所以，A 错；6A π=若，则，三角形有两解，B 正确；3b =sin b A a b <<若为锐角三角形，则，，所以，ABC 02B π<<62A B B ππ+=+>32B ππ<<sin 1B <<，，C 正确；sin sin b a B A =sin 4sin 4)sin a Bb B A ==∈若D 为边上的中点，则，BC 1()2AD AB AC =+ ，222222111()(2cos)()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=+又，，222222cos4a b cbc A b c=+-=+=224b c +=+由基本不等式得，，当且仅当2242(2b c bc bc =+≥=4(2bc ≤=时等号成立，b c =所以，所以时等号21(4)174AD ⎡⎤=+=≤+⎣⎦ 2AD ≤ b c =成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．sin B ,a b B12．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,．BC DC AD AB AC +=+=因为，所以，120ABC ∠=︒60BAD ∠=︒所以为等边三角形．ABD △又，，AC BD ⊥2AB =所以．1OB =在，Rt AOB △所以．2BC DC AC AO +===故答案为:13【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用A EMF ∠DE AF向量的夹角公式求解.【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.A则，，，，(0,6)D (3,0)E (0,0)A (6,2)F ，.()3,6DE ∴=-(6,2)AF = 由于就是，的夹角.EMF ∠DE AF∴cosEMF ∠=.∴EMF ∠14．4【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性AB a BC b ==，A P E ，，D P C ，，质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，,DP APAPC ABC ABP CBP S S S S ∆∆∆∆=--属于难题【详解】设，以，为一组基底，则.AB a BC b == ，a b 2133AE a b DC a b=+=+ ，∵点与点分别共线，A P E ，，D P C ，，∴存在实数和，使.λμ2133AP AE a b DP DC a bλλλμμμ==+==+又∵，2133AP AD DP a bμμ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴解得213323λμλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴，()()22446148cm 1412cm 777PAB ABC PBC S S S ∆∆∆⎛⎫==⨯==⨯-= ⎪⎝⎭，∴.()214824cm APC S ∆=--=【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解15．(2)0或1-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求得，代入公式夹角公式即可得结1=⋅=a ab 果；（2）分别用坐标表示出，利用模长相等即可解得或.,a b a b λ-+ 0λ=1λ=-【详解】（1））由可得，()()1,1,1,2a b==-1=⋅= a ab 所以.cos θ⋅===⋅ a ba b（2）由，()()()()2,1,121,2λλλλλ-=-+=++-+=-+a b a b 可得-=+==a b b 或.=0λ=1λ=-即实数的值为0或.λ1-16．（1）（2）60C ∠=︒BC =【解析】（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即ADB ∠ADB ∠ADB C DAC ∠=∠+∠可得解；（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利12BD CD a==AC =cos C ∠用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：，sin 30sin BD ABADB =︒∠得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==，，， 60180ADB ︒<∠<︒∴120ADB ∠=︒∴120C DAC ∠+∠=︒，.60DAC ∠=︒∴60C ∠=︒（2）设，12BD CD a==，，，=AB∴AB =∴AC =从而cos AC C BC ∠==由余弦定理222cos 2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅=解得a BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.17．(1)时2t =-min ||0m =(2)或6t =-23t =【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；b m m（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得||a b - ||a tb + ()()a b a tb -⋅+ ()()cos 4a b a tba b a tbπ-⋅+=-+到方程，解得即可；【详解】（1）解：当时，，3πα=1cos,sin =323b ππ⎛⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝所以(((1=+1222t tm a tb t ⎛⎛=+=+=+ ⎝⎝所以，所以当时||22m t ==+ 2t =-min ||0m =（2）解：依题意，()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+若，则，又，，a b ⊥ 0a b ⋅=a = (cos ,sin )b αα=2=1=又因为，2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= 22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以，||a b -= ||a tb += ，()()22224ab a tb a ta b a b tb a t b t-⋅+=+⋅-⋅-=-=-，且，4t <整理得，解得或，2316120t t +-=6t =-23t =所以存在或满足条件．6t =-23t =18．(1)3142AM AB AD=+ (2)4ANNM =(3)30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可342t t AN t AM AB AD==+ t 得出答案；（3）由题意，可设，代入中并整理可得102DP mAB m ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ AC xDB y AP =+ ，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后()()AC x ym AB y x AD=++-12AC AB AD=+ 结合二次函数的性质可得结论．【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①AM AB BM =+，②AM AD DC CM =++因为M 为线段中点，则，AB CM BM =- 联立①②得：，322AM AB AD DC AB AD=++=+整理得：．3142AM AB AD=+ （2）由AM 与BD 交于点N ，得，3134242t t AN t AM t AB AD AB AD⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．3142t t +=45t =所以，即．45AN AM= 4ANNM =（3）由题意，可设，102DP mAB m ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ 代入中并整理可得AC xDB y AP =+．()()()()AC x AB AD y AD DP x ym AB y x AD=-++=++- 又，故，可得：，．12AC AD DC AB AD =+=+ 121x ym y x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩1x y =-()321y m =+因为，所以，．102m ≤≤312y ≤≤在单调递增，()2211124xy y y y y y ⎛⎫=-=-=--⎪⎝⎭31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦则当时，，当时，，1y =()min 0xy=32y =()max 34xy =所以，的取值范围为．xy 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．(1)10AB AD ⋅=(2)证明见解析【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据BD AD AB =- AB AD ⋅计算可得；AC AD +=（2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角sin ABCDS AB AD A=公式及数量积、模的坐标表示计算可得.【详解】（1）在平行四边形中，ABCD BD AD AB =-所以BD AD =-=，即，解得，2242521AB AD -⋅+= 10AB AD ⋅=所以A C AD +==.（2）因为，将两边平方可得，sin ABCDS AB AD A=()2222222sin 1cos S AB AD A AB AD A ==- 又，cos AB ADA AB AD⋅=⋅所以，22221AB AD S AB AD AB AD ⎡⎤⎛⎫⋅⎢⎥⎪=-⎢⎥⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 整理得，()2222S AB AD AB AD=-⋅ 又，，，22211AB x y =+ 22222AD x y =+ 1212AB AD x x y y ⋅=+ 所以，()()()()22222222222112212121212122112212S x y x y x x y y x y x x y y x y x y x y =++-+=-+=-所以.1221S x y x y =-。

2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考一．选择题（共8小题）1．命题“”的否定是（）A．B．C．D．∀x＞0，x≤0或x≥1．2．sin105°的值为（）A．B．C．D．3．已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3D．64．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|6．已知a＝ln，b＝（），c＝ln（2e），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a7．已知ω＞0且为正数，且，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（）A．2020πB．C．D．1012π8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝e x﹣e﹣x﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（）A．B．﹣2C．D．二．多选题（共4小题）9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若ac2＞bc2，则a＜bC．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞bD．若a＞b＞0，则10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A．若〉＝120°，则B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量同方向的单位向量为C．若|≠0，则与的夹角为60°D．若向量，则向量在向量上的投影向量为12．已知函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的图象关于点（1，1）对称C．f（x）有唯一一个零点D．不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞）三．填空题（共4小题）13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减．14．已知函数f（x）＝，那么f（f（4））＝，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是．15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是．16．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为．四．解答题（共6小题）17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）在①A∪B＝B，②（∁R B）∩A＝∅，③B∪（∁R A）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．18．已知α是第四象限角，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．已知＜α＜π，sin2α＝﹣．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．如图，在菱形ABCD中，．（1）若，求3x+2y的值；（2）若||＝6，∠BAD＝60°，求．21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f（x）．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．命题“”的否定是（）A．B．C．D．∀x＞0，x≤0或x≥1．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题“”等价于“∃x＞0，0＜x＜1”，则其否定是：∀x＞0，x≤0或x≥1．故选：D．2．sin105°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin105＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+sin60°cos45°＝＝．故选：D．3．已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3D．6【解答】解：设扇形半径为r，∵扇形的圆心角为，面积为3π，∴S扇形＝＝3π，解得r＝3，∴该扇形的弧长为l＝＝2π．故选：B．4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，4），∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，则sinα﹣cosα＝，故选：A．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C；又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D．故选：A．6．已知a＝ln，b＝（），c＝ln（2e），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝ln＜0，b＝（）＝∈（0，1），c＝ln（2e）＞1，则c＞b＞a．故选：D．7．已知ω＞0且为正数，且，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（）A．2020πB．C．D．1012π【解答】解：由题意和图易知，|AC|的长度为：，则有，进而，又或﹣6k﹣4，因为0＜ω＜3，所以ω＝2，则T＝π，相邻2个零点的距离有两种和，则当b﹣a为1010个与个的和时最大为．故选：C．8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝e x﹣e﹣x﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：因为函数g（x）＝e x﹣e﹣x﹣2，则易得函数g（x）为增函数，又g（0）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣﹣2＞0，由零点定理得：x0∈（0，1），又f（x0）＝[x0]＝0，所以g（f（x0））＝g（0）＝﹣2，故选：B．二．多选题（共4小题）9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若ac2＞bc2，则a＜bC．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞bD．若a＞b＞0，则【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＝＜0，即，故A正确；对于B，若ac2＞bc2，则c2＞0，∴a＞b，故B错误；对于C，设f（x）＝2x+3x，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵2a+3a＝2b+4b，2b+4b＞2b+3b，∴2a+3a＞2b+3b，即f（a）＞f（b），∴a＞b，故C正确；对于D，∵a＞b＞0，∴＞0，∴a+＞b+，故D错误．故选：AC．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称【解答】解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A．若〉＝120°，则B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量同方向的单位向量为C．若|≠0，则与的夹角为60°D．若向量，则向量在向量上的投影向量为【解答】解：对于A，因为，所以，故正确；对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；对于C，因为，所以即化简得，因为，所以，即，化简得，所以，因为，所以，故错误；对于D，因为，所以向量在向量上的投影向量为，故正确．故答案为：ABD．12．已知函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的图象关于点（1，1）对称C．f（x）有唯一一个零点D．不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，可得f（x）不为奇函数，故A错误；f（2﹣x）＝+＝+，f（x）+f（2﹣x）＝（+）+（+）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称，故B正确；f（x）＝+1+，当x＞1时，f（x）递减；x＜1时，f（x）递减，且x＞1时，f（x）＞0；f（0）＝﹣＜0，f（﹣1）＝＞0，则f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点，故C正确；由f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）内递减，且x＞1时，f（x）＞1；x＜1时，f（x）＜1．不等式f（2x+3）＞f（x2）等价为或或或，解得x＞3或x∈∅或﹣1＜x＜1或x∈∅，即不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞），故D正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题）13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝x﹣2（x≠0）（答案不唯一）．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减．【解答】解：令f（x）＝x﹣2（x≠0），则f（x）是偶函数满足①；f（x）在（0，+∞）上单调递减，满足②；故答案为：x﹣2（x≠0）（答案不唯一）．14．已知函数f（x）＝，那么f（f（4））＝1，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5．【解答】解：由f（4）＝﹣2，那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1．设f（a）＝t，由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），即图象与y＝x有两交点，可得t＝1或t＝﹣1，由图象可知：当t＝1时，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，当t＝﹣1时，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1，综上，存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5个值，故答案为1，5．15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是[﹣2+2，2+2]．【解答】解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ）．∴•＝（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）＝2cosθ+2，∵﹣1≤cosθ≤1，∴•的范围是[﹣2+2，2+2]，故答案为：[﹣2+2，2+2]．16．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为为．．【解答】解：依题意，，即T＝4π，故；将代入f（x）中，可知，故；不妨设k＝0，得，故函数；将函数f（x）的图象压缩为原来的后，得到，再向右平移个单位，得；要求函数的增区间，只需．解得．故函数g（x）的单调递增区间为．故答案为：．四．解答题（共6小题）17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）在①A∪B＝B，②（∁R B）∩A＝∅，③B∪（∁R A）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x＜2}，因为B＝{x|﹣2≤x≤0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤0或1＜x＜2}；（2）若选①：因为A∪B＝B，可得A⊆B，所以，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．若选②：因为（∁R B）∩A＝∅，可得A⊆B，则，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．若选③：因为B∪（∁R A）＝R，可得A⊆B，则，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．18．已知α是第四象限角，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）由题意知，，∴；（2）＝．19．已知＜α＜π，sin2α＝﹣．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：∵＜α＜π，sin2α＝﹣，∴sinα＞0，cosα＜0，则sinα﹣cosα＝＝＝．①sinα+cosα＝﹣＝．②联立①②可得，sinα＝，cosα＝．（1）tanα＝；（2）＝＝＝．20．如图，在菱形ABCD中，．（1）若，求3x+2y的值；（2）若||＝6，∠BAD＝60°，求．【解答】解：（1）因为在菱形ABCD中，．故＝，故，所以3x+2y＝﹣1．（2）显然，所以＝＝……①，因为菱形ABCD，且||＝6，∠BAD＝60°，故，．所以．故①式＝＝﹣9．故＝﹣9．21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．【解答】解：（1）营养液有效则需满足y≥4，则或，即为1≤x≤2或2＜x≤5，∴1≤x≤5，∴营养液有效时间可达5天；（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+4）天，且0≤x≤2；设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度．∴y1＝2[7﹣（x+4）]＝6﹣2x，y2＝b•，y＝y1+y2＝6﹣2x+b•≥4在[0，2]上恒成立，∴b≥（2x﹣2）•在[0，2]上恒成立．令t＝3+x，t∈[3，5]，则b≥﹣2（t+）+20，又﹣2（t+）+20≤20﹣2•2＝20﹣8，当且仅当t＝，即t＝时，取等号．∵∈[3，5]，∴b的最小值为20﹣8．答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20﹣个单位．22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f（x）．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f（1）＝ln（a+1）＝0，故a+1＝1，得a＝0，故f（x）＝lnx；（2）g（x）＝x2﹣2e lnx＝x2﹣2x，该函数开口向上，对称轴为x＝1，故当m＞0时，对于，必有m≥1，且x∈时，g（x）max＝max{g（），g（m）}，又g（m）﹣g（）＝m2﹣2m＝（m﹣1）2•≥0，故g（m）≥g（），所以若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），只需g（m）＝m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），即（m﹣1）2+ln（m﹣1）﹣1＜0（m＞1）恒成立，令t＝m﹣1＞0，则t2+lnt﹣1＜0①，令h（t）＝t2+lnt﹣1（t＞0），显然h（1）＝0，易知y＝lnt，y＝t2在（0，+∞）上都是增函数，故要使①式恒成立，只需0＜t即可，即0＜m﹣1＜1，解得1＜m＜2，故m的取值范围是（1，2）。