最新高一数学下3月月考试题1(1)(1)

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（ ）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 。

高一数学月考试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母编号填入题前题号的括号内。

1. 已知函数f(x) = 3x + 2，g(x) = x^2 - 1，若h(x) = f[g(x)], 则h(2)的值为：A. 13B. 15C. 19D. 212. 下列矩阵中，不同于其他三个的一个是：A. ⎡1 2⎤⎣3 4⎦B. ⎡2 1⎤⎣4 3⎦C. ⎡-1 0⎤⎣0 1⎦D. ⎡0 1⎤⎣1 0⎦3. 若直线l的斜率为2，且过点(3,1)，则直线l的斜截式方程为：A. y = 2x - 3B. y = 2x + 1C. y = 2x + 3D. y = 2x - 14. 已知等差数列{an}的公差为2，且a5 = 8，那么a8的值等于：A. 14B. 16C. 18D. 205. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，那么f(1)的值为：A. -5B. -2C. 0D. 56. 一矩形的长是宽的2倍，若面积为36平方单位，则宽的长为：A. 3B. 4C. 5D. 67. 若两个事件A和B是互斥事件，且S为宇集，那么事件A∪B的概率为：A. 0B. 0.5C. 1D. 28. 设正方形区域ABCD的边长为a，点M、N分别位于AD边和AB边上，且AM=AN=b，若三角形BMN的面积为B，那么B等于：A. (a^2 - b^2)/2B. (a^2 - b^2)/4C. (a^2 - 2b^2)/4D. (a^2 - 2b^2)/89. 已知集合A = {x | x^2 - 2x - 8 > 0}，则A的解集为：A. (-∞, -2)∪(4, +∞)B. (-∞, -2)∪(-1, 4)C. (-2, 4)D. (-1, 4)10. 在锐角三角形ABC中，已知∠B = 60°，BC = 4，AC = 2√3，则AB的值为：A. 2B. √3C. 4D. 8二、填空题（共10小题，每题4分，共40分）在每小题的横线上填入一个简明扼要的答案。

山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1M =-，{}21N y y x ==-，则MN =（ ）A ．0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知:tan p α=:3q πα=，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0.90.810.8,ln , 1.22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．若非零向量,a b ，满足22||||3a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π5．函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．126．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a （ ） A ．3B ．3-C ．13-D ．137．若将函数g (x )图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则（ ）A ．g (x )＝sin (2)3x π+B ．g (x )＝sin 2(2)3x π+C ．g (x )＝sin2xD ．g (x )＝sin (2)6x π+8．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．7二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若R k ∈，且0kb =，则0k =或0b = B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =C ．若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-= D ．若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅ 10．下列选项中正确的是（ ） A ．α∃，使得4sin 4sin αα+≥成立 B ．若a ，b 为正实数，则2b aa b +≥C ．当0a ≠，不等式12a a+≥恒成立D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．给出下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知扇形的弧长为3cm ，周长为7cm ，则这个扇形的面积为______2cm ．14．已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15．已知函数()y f x =是偶函数，当[]0,1x ∈时，1f x ，当1x >时，()12x f x -=，则()12f x -<的解集是______. 16．已知幂函数()223m m y x m N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.四、解答题 17．已知4a =，3b =，()()24a b a b +⋅-=． (1)求a b ⋅； (2)求a b +．18．已知0απ<<，1sin cos 5αα+=．(1)求sin 2α的值； (2)求cos sin αα-的值．19．已知函数()()sin 20,2f x x πϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，______．请在①函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，①函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，①函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图象将向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？21．已知函数()sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)已知α，β为锐角，111,26421220f f βπαβπ+⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.22．己知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值： （2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】首先求集合N ，再求M N ⋂. 【详解】211y x =-≥-，即{}1N y y =≥-，{}1,0,1M =-，所以{}1,0,1M N ⋂=-. 故选：D 2．B 【解析】求出命题p 为真时α的取值，根据集合之间的关系可得结论． 【详解】tan α=3k παπ=+，k Z ∈；而q 只有3πα=，因此p q ⇒为假，q p ⇒为真，①p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据指数函数的单调性可知，00.910.80.80=>>， 即0.8001,1.21.21a <<=>，即c ＞1，由对数函数的单调性可知1ln 02<，即0b <．所以c ＞a ＞b ． 故选：B ． 4．A【解析】 【分析】设向量a 与b 的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：设向量a 与b 的夹角为θ， ①22||||3a b =， 不妨设||3b m =，则22a m =， ①()(32)a b a b -⊥+， ①()(32)0a b a b -⋅+=， ①223||2||0a b a b --⋅=， 26a b m ∴⋅=，26cos ||||32a b m a b m θ⋅∴==⋅⋅，0θπ≤≤，①4πθ=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先求出定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解． 【详解】解：对于函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可． 【详解】 解：()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-．若(ln 2)8f =，(ln 2)(ln 2)8f f ∴-=-=-，则ln 28a e --=-， 得ln 28a e -=， 得ln8ln2a =-， 即3ln2ln2a =-， 得3a -=，得3a =-， 故选：C ． 7．C 【解析】 【分析】由函数()f x 的部分图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再得出()g x 的解析式． 【详解】由函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象知，1A =，且35346124T πππ=-=， 解答T π=，所以22Tπω==； 又12x π=，()1f x =，sin(2)112πϕ⨯+=，所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈；由||2ϕπ<知，3πϕ=；所以()sin(2)3f x x π=+；所以()()sin[2()]sin 2663g x f x x x πππ=-=-+=．故选：C ． 8．D 【解析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2； 又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-， 即函数()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为2317⨯+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查方程实数解的问题，根据数形结合的思想求解即可，属于常考题型.9．AC 【解析】 【分析】根据数乘运算的定义判断A ；根据a b ⊥时，0a b ⋅=判断B ；根据向量加减法的几何意义判断C ；根据a 与b 平行且反向时的结果判断D. 【详解】解：对于A 选项，根据数乘运算的定义，A 选项正确； 对于B 选项，当a b ⊥时，0a b ⋅=亦成立，B 选项错误；对于C 选项，若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则由向量加减法运算的几何意义得a b +与a b -是以非零向量a ，b 为邻边的菱形的对角线，故()()a b a b +⊥-，即()()0a b a b +⋅-=，故正确；对于D 选项，当a 与b 平行且反向时，a b a b ⋅=-⋅，故错误； 故选：AC 10．ABD 【解析】 【分析】A.D 可以代入特殊值，即可判断，BD 利用基本不等式即可判断. 【详解】A.当sin 1α=时，4sin 54sin αα+=≥成立，故A 正确.B.当a ，b 为正实数，2b a a b +≥=，当a b =时等号成立，故B 正确；C.当0a <时，10a a +<，所以不等式12a a+≥不恒成立，故C 错误；D.0,0x y >>()212142448yx x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =时，即122x y ==时等号成立，故D 正确. 故选：ABD 11．BCD 【解析】先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A 错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD 正确. 【详解】因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减，又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确；因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确； 故选：BCD.思路点睛：求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 12．ABD 【解析】 【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确. 【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确 故选：ABD 13．3 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.由题意可知，扇形的半径为732cm 2-=，因此，该扇形的面积为21323cm 2S =⨯⨯=. 故答案为：3. 14．23π 【解析】 【分析】将题目所给方程展开后，化简为()tan αβ+的形式，由此求得αβ+的大小. 【详解】将()()114αβ=展开得)()tan tan 31tan tan αβαβ+=-⋅，即()tan tantan 1tan tan αβαβαβ+=+=-⋅α，β为锐角，0παβ<+<，故2π3αβ+=.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题. 15．()1,3- 【解析】 【分析】根据题意，画出()f x 的图象，数形结合，即可求得不等式的解集. 【详解】()f x 的图象如图所示.令122x -=，可得2x =，所以()22f =. 因为()12f x -<，所以()()12f x f -<.结合函数图象可得12x -<，解得13x . 故答案为：()1,3-. 16．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案. 【详解】 幂函数()223m m y xm N --*=∈在()0,∞+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N ∈，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去； 当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足； 当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减， 故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<. 故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭17．(1)6【解析】 【分析】（1）根据向量数乘运算的运算律求解即可； （2）结合根据向量模的运算公式求解即可. (1)解：①()()24a b a b +⋅-=①2224a a b b -⋅-=，2224a a b b -⋅-=①4a =，3b = ①(224234a b -⋅-⨯=，即6a b ⋅=(2)解：①4a =，3b =，6a b ⋅=，①()22222222242631a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，①()231a b a b +=+=18．(1)2425- (2)75-【解析】 【分析】（1）由0απ<<，1sin cos 5αα+=，两边同时平方，可求出sin 2α的值；（2）由（1）知sin 2α的值，可判断α为第二象限角，再对cos sin αα-两边同时平方，可求出cos sin αα-的值. (1)()21sin cos 1sin 225ααα+=+=，所以24sin 225α=-.(2)()249cos sin 1sin 225ααα-=-=①0απ<<，sin 20α<，①α为第二象限角 7cos sin 5αα-=-.19．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）不管选择条件，都是根据三角函数对称性，列式，结合ϕ的取值范围，求函数的解析式；（2）首先利用三角函数变换规律，求得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求6x π-的范围，即可求得函数的值域. (1)若选①，函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数sin 2126y f x x πϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于原点对称，则,6k k Z πϕπ-+=∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()f x 在3x π=-取得最小值，则()sin 213f x πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22,32ππϕπ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭k k Z ，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)由题意可得函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以563,6x πππ⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以62ππ-=-x 时，()min sin 12g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 63x ππ-=时，()max sin3g x π==所以函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡-⎢⎣⎦．20．(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案. (1)当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+. 故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩ (2)当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29； 当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减， 所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元. 21．(1)2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、二倍角公式、降幂公式化简即可得出()f x ，再由正弦型三角函数的单调性求解即可；（2）由（1）及同角三角函数的基本关系可求出β，αβ+的正余弦值，再由角的变换ααββ=+-求解即可.(1)()sin cos cos 6f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π11cos 211()cos )cos 2sin(2)24264x f x x x x x x +∴=+=+=++π， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)11111sin()cos 26224244f ⎛⎫+=++=+=+ ⎪⎝⎭βππββ, cos β∴=故可得sin β= 1111sin()2122420f +⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭αβπαβ3sin()sin 5∴+=<=αββ， 4cos()5∴+=-αβ[]cos cos ()cos()cos sin()sin ∴=+-=+++ααββαββαββ 4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 22．（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域； （3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++ 20x >，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+∈- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x <，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <； ①函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+ ，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。

2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A.M N⋃ B.M N ⋂C.()()U U M N D.()()U U M N 2.“=1x -”是“20x x +=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数()231i i +=A.2 B.－2 C.2i D.-2i4.如图所示，用符号语言可表达为（）A.m αβ= ，n ⊂α，m n A= B.m αβ= ，n α∈，m n A = C.m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D.m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈5.已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=- ，则AC = （）A.5B.42C.6D.52 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A.2B.22 C.3 D.337.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A.1B.2C.2D.38.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（） A.224+ B.3 C.34 D.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πR B.圆锥的侧面积为22πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.下列命题正确的是（）A 平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB.平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B.一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C.奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D.若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积最大为23D.过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B⊥三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.15.下列说法中，所有正确说法的序号是______．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．16.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19.已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知两个非零向量a 与b 不共线，（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；（2）试确定实数k ，使得ka b + 与k +a b 共线；（3）若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.21.如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．22.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上.（1）证明：//AP GH ；（2）若AB 的中点为N ，求证：//MN 平面APD .2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ABD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】2.【15题答案】【答案】②④【16题答案】【答案】4π四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）42iz =+（2）41m -<<【18题答案】【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）34【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1k =±（3）32λ=-【21题答案】【答案】(1)2；（2）4.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

智才艺州攀枝花市创界学校外国语2021级高一〔下〕3月阶段性测试数学试题一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．1.数列2，6，12，20，的第8项是〔〕A.56B.72C.90D.110【答案】B【解析】【分析】根据数列前四项发现规律：相邻两项的差成等差数列，从而可得结果.【详解】，，，，，，，应选B.【点睛】此题通过观察数列的前四项，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些一样的性质.(猜想〕.2.，那么的等比中项为〔〕【答案】C【解析】【分析】直接利用等比中项的定义求解即可.【详解】因为的等比中项是，所以的等比中项为，应选C.【点睛】此题主要考察等比中项的定义与求法，意在考察对根底知识的掌握情况，属于简单题.中，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.【详解】在中，，那么，由正弦定理，得，解得，应选A.【点睛】此题主要考察正弦定理及其应用，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.的前项和，且，那么〔〕【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，即可得结果.【详解】因为,，，应选B.【点睛】此题主要考察等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题.解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质〔〕与前项和的关系.满足，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出.【详解】由和得，，，，可得数列是周期为4的周期数列，，应选C.【点睛】此题主要考察利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：〔1〕项的序号较小时，逐步递推求出即可；〔2〕项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者者是周期数列.6.的内角所对的边分别为，假设,，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.【详解】由，得，即，得，因为，所以，化为，得，应选D.【点睛】此题主要考察两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，那么河流的宽度〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.【详解】如图，，，在中，又，，在中，，，，河流的宽度等于，应选C.【点睛】此题主要考察两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考察综合应用所学知识解决实际问题的才能，属于中档题.的前项和为，且,那么( 〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.【详解】由等比数列的性质可得，仍成等比数列，，,成等比数列，，解得，,应选D.【点睛】此题主要考察等比数列的性质与应用，意在考察对根底知识的掌握与灵敏应用，属于中档题.的前项和为，假设公差，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．【详解】公差，，，，，,，，，，，应选D．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质〔〕.10.的内角所对的边分别为，〕A.假设，那么一定是等边三角形B.假设，那么一定是等腰三角形C.假设，那么一定是等腰三角形D.假设，那么一定是锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；由正弦定理可得，或者，是等腰或者直角三角形，不正确；由正弦定理可得，即，那么等腰三角形，正确；由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，应选AC.【点睛】此题主要考察正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：〔1〕通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进展判断；〔3〕根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分．中，，那么________.【答案】【解析】【分析】根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】，，，故答案为.【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式，属于中档题.等差数列根本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个根本量一般可以“知二求三〞，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.12.的内角所对的边分别为，假设，那么_______.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】,,是锐角，由正弦定理可得，，故答案为.【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.中，假设，三角形的面积，那么三角形外接圆的半径为________.【答案】2【解析】【分析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径的值.【详解】中，，三角形的面积，，故，再由正弦定理可得，三角形外接圆的半径，故答案为2.【点睛】此题主要考察正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，假设三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径.中，是关于的方程两个实根，那么________.【答案】8【解析】【分析】由,根据是关于的方程的两个实根，利用韦达定理可得结果.【详解】因为等比数列中，,是关于的方程的两个实根，那么，，那么,那么有,因为，所以，，故答案为8.【点睛】此题主要考察等比数列的性质，涉及一元二次方程中根与系数的关系，属于根底题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：假设那么.的前项和为满足，那么数列的通项公式________.【答案】【解析】【分析】由可得，是以2为公差，以2为首项的等差数列，求得，利用可得结果.【详解】，故，，故是以2为公差，以2为首项的等差数列，，，，综上所述可得，故答案为.【点睛】此题主要考察数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题.数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或者是关于第项的递推关系，假设满足等比数列或者等差数列定义，用等比数列或者等差数列通项公式求出数列的通项公式，否那么适当变形构造等比或者等数列求通项公式.在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.的三边和面积满足条件，且角既不是的最大角也不是的最小角，那么实数的取值范围是________.【答案】【分析】根据余弦定理和面积公式可得，得，结合的范围确定结果.【详解】，，又，，，锐角三角形不是最大角、也不是最小角，那么，，，故荅案为.【点睛】此题主要考察余弦定理和三角形面积公式的应用，属于根底题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.中，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根据等差数列中，求出、公差的值，从而可得数列的通项公式；(2)由〔1〕可得，每相邻两项结合求和，从而可得结果.【详解】〔1〕,,(2).【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式，属于中档题.等差数列根本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个根本量一般可以“知二求三〞，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.18.如图，在梯形中，，．〔1〕求；〔2〕求的长度.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)由正弦定理求出的正弦值，再利用可得结果；〔2〕求得,利用正弦定理可得结果.【详解】(1)在中，由正弦定理，得，∴,∵，∴，.(2)由〔1〕可知,,在中，由正弦定理，得.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.19.是等差数列，是等比数列，且〔1〕求，的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】〔1〕，；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；〔2〕结合〔1〕可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】〔1〕等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以．〔2〕由〔1〕知，，．因此．从而数列的前项和,,,两式作差可得,,解得.【点睛】此题主要考察等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，假设数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法〞求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解,在写出“〞与“〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“〞的表达式.中，角，，所对的边分别为，，，假设．〔1〕求的大小；〔2〕求的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕1【解析】试题分析：〔1〕利用余弦定理，将即可求出，继而得；〔2〕利用三角形内角和定理将所求表达式表示为关于的三角函数式，结合三角函数的性质求解最大值. 试题解析：〔1〕由题意，余弦定理：，∵，所以. 〔2〕因为，，那么．那么：∵，∴，当时，获得最大值为1，即的最大值1.21.某企业2021年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的消费才能逐年下降，假设不能进展技术改造，预测从2021年起每年比上一年纯利润减少20万元，2021年初该企业一次性投入资金600万元进展技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年〔以2021年为第一年〕的利润为万元〔为正整数〕.〔1〕设从今年起的前年，假设该企业不进展技术改造的累计．．纯利润为万元，进展技术改造后的累计纯利润为万元〔须扣除技术改造资金〕，求，的表达式；〔2〕依上述预测，从2021年起该企业至少经过多少年，进展技术改造后的累计利润超过不进展技术改造的累计纯利润？ 【答案】〔1〕；〔2〕4.【解析】 【分析】〔1〕利用等差数列的求和公式可得，由等比数列的求和公式可得的表达式；〔2〕令,构造函数，根据函数的单调性，利用特殊值验证，从而可得结果.【详解】..〔2〕令,设在单调递增,，,所以当时,即经过4年，进展技术改造后的累计利润超过不进展技术改造的累计纯利润.【点睛】此题主要考察等比数列与等差数列的求和公式以及函数单调性的应用，考察的阅读才能与建模才能，属于中档题..的满足，且,记.(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的值；(3)是否存在正实数，使得对任意都成立？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕证明见解析，；〔2〕；〔3〕.【解析】【分析】(1)化简，从而可得的通项公式；〔2〕结合〔1〕可得,利用裂项相消法可得结果；〔3〕利用“累乘法〞化简左边式子为,从而可得对任意恒成立,构造函数,利用单调性求得，从而可得结果.【详解】(1),所以是以为首项，2为公差的等差数列,.〔2〕,,.(3)左边,由题意可知,对任意恒成立,令,那么由对钩函数的性质可知在上单调递增，故，综上可以，即正实数的取值范围为.【点睛】此题主要考察等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求和、不等式恒成立问题，属于难题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.。

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C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ A ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ D ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( D ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ D ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ B ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ B ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( C )．A ．16B ．72C ．86D ．100 12.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ D ）A. βα>B. 0>+βαC. βα<D. 22βα>二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________()2sin(2)23f x x π=--14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________11015.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf 116.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________.2 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.1018.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________599605,66ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >其中正确命题的序号是________________________________③④ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 (2) 已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：（1）34-（2）-4 21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：（1）38 （2）1116 （3）233222. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数O-226π1211πyx yP)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q 是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.解：（1）56πϕ= （2）15A =23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.解：（2）3sin ,42()cos ,4x x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩（3）当21-12a a =-≤或<时，2a M π= 当2a =34a M π= 当22a <--1<时，a M π=（1）O 1-12π23π2π-ππ-yx24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 换sin t x = 则2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8- 当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0k >时，2()g x 值域为1[,]2k k -②当0k <时，2()g x 值域为1[,]2k k -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩∴10k ≥或20k ≤-。

高一数学月考试题及答案一、选择题（共20小题，每题4分，共80分）1. 已知集合 $A = \{x \mid x \text{是正整数，且} x < 10\}$，$B = \{y \mid y \text{是正整数，且} y \geq 5\}$，则集合 $A \cup B$ 包含元素个数为（）。

A. 4B. 9C. 10D. 112. 已知函数 $f(x)=3x^2+2x+1$，则 $f(2) =$（）。

A. 21B. 17C. 13D. 113. 若 $a=(1, 2)$，$b=(3, 4)$，则 $\overrightarrow{AB} =$（）。

A. (2, 2)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 6)4. 在点 $P(4, 3)$ 和点 $Q(-2, 7)$ 的坐标平面直角坐标系下, 则$\overrightarrow{PQ}$ 的坐标为（）。

A. (6, 4)B. (-6, 4)C. (6, -4)D. (-6, -4)5. 下列事件中, 既是必然事件又是不可能事件的是（）。

A. 抛一颗骰子, 出现1点.B. 抽一张扑克牌, 不是黑桃.C. 接电话时, 大声讲话.D. 一次朋友聚会, 5人都睡着了.6. 若等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=3$，公差 $d=2$，则 $a_5=$（）。

A. 5B. 7C. 9D. 117. 若直线 $y=2x-3$ 切割下列圆所得弦长相同的是（）。

A. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$B. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$C. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 1$D. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$8. 设正弦函数 $y=3\sin{(2x+\frac{\pi}{6})}$，则振幅为（）。

A. 2B. 3C. -2D. -39. 在直角坐标系中，过点 $A(-3, 4)$ 和点 $B(1, 2)$ 的直线为（）。

2024年上学期3月阶段考试高一年级数学试卷（答案在最后）2024年3月时量：120分钟满分150命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b λ=.若a b + 与a 平行，则λ=（）A.5-B.52C.7D.12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】(1,2)(,1)(1,3)a b λλ+=-+=-，由a b + 与a平行，可得132(1)0λ-⨯-⨯-=，解得12λ=-.故选：D.2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin sin30sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+= ．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++ ，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．4.设集合{}(){}221,ln 1M y x y N x y x ==-==-，则M N ⋂=（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对集合,M N 化简，然后利用集合的交集运算求M N ⋂.【详解】由题意得{}{}21212102M y x y y y y y ⎧⎫==-=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}ln 1101N x y x x x x x ==-=->=<，所以112M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：C.5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,=AO AB AC OA AB =+ ，则向量AC 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC uu u r C.14BC-D.34BC-【答案】B 【解析】【分析】根据条件作图可得ABO 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又||||AB AO =，所以ABO 为等边三角形，则30ACB ∠=︒，故||||cos30AC BC =︒，所以向量AC 在向量BC上的投影向量为22cos30cos 3034AC BC BC AC BC BCBCBC BC BCBC BC BC BCBC︒︒⋅⋅=⋅=⋅=．故选：B ．6.已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =(其中12)x x ≠，则12116x x +的最小值（）A.34B.32C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得1216x x =，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=--=-+，所以由()()12f x f x =可得()()2221212222log 4log 3log 4log 3x x x x -+=-+，化简可得2122log log 4x x +=，即1216x x =，因为1121122111611x x x x x x x x +=+=+，120,0x x >>，所以112111612x x x x +=+≥=，当且仅当111x x =，即121,16x x ==时，等号成立.故选：C7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A.()()()()23ff f f > B.()()()()23fg f g <C.()()()()23g g g g > D.()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【详解】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C 不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.8.在ABC 中，()2221sin ,224B A a c b -=+=，则sin C =（）A.23B.32C.12D.1【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理的边角变换得到2cos 2cos a B b A c -=-，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为22222a c b +=，所以22222a b c -=-，因为2222222cos ,2cos a c b ac B b c a bc A +-=+-=，两式相减，得222222cos 2cos ,2cos 2cos a b ac B bc A c a B b A c -=-=-∴-=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=-，即()2sin sin B A C --=-，因为()1sin 4B A -=，所以1sin 2C =.故选：C.二､多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，a 的值可以为（）A.134B.72C.174D.5【答案】CD 【解析】【分析】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立转换为2230x x a ++->恒成立，然后应用一元二次函数的性质解题即可.【详解】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，即2230x x a ++->恒成立，所以Δ0<，即()4430a --<，解得4a >，故选：CD ．10.已知函数π()cos()(0,)20,||f x A x A ωωϕϕ>>=+<的部分图象如图所示，则（）A.0.5A =B.2ω=C.π3ϕ=-D.()204f =【答案】AB 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式，【详解】由图可知πππ0.5,2362T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则2ππ||T ω==，因为0ω>，所以2ω=．由π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，得π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-，所以ππ3()0.5cos 2,(0)0.5cos 664f x x f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：AB11.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，23CD =，E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点（包括端点），EF CD BA λμ=+，则下列说法正确的是（）A.4AB =B.若F 为线段AB 的中点，则1λμ+=C.32λ=-D.FC FD ⋅的最小值为6【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，过B 作AD 的垂直，再根据条件即可求出AB ，从而判断出选项A 的正误；对于选项BCD ，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD 分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，过B 作AD 的垂直，交AD 于G ，所以//BG CD ，又//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，CD =所以4AB =，故选项A 正确；建立如图所示平面直角坐标系，则(4,0)A，(2,B，C，E ，选项B ，因为F 为线段AB的中点，则F ，(3,0)EF =，(0,CD =-(2,BA =-，所以(2,)CD BA λμμ=-+- ，由EF CD BA λμ=+，得到0--=，所以0λμ+=，故选项B 错误；设(01)AF t AB t =≤≤，则(42,)F t -，(42,EF t =--，选项C ，由EF CD BA λμ=+，得到422t μ-=⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得32λ=-，故选项C 正确；选项D，(24,)FC t =-，(24,)FD t =--，所以22(24))162816FC FD t t t ⋅=--=-+，令2162816y t t +=-，对称轴为78t =，又[]0,1t ∈，当78t =时，所以FC FD ⋅ 的最小值为154，故选项D错误；故选：AC.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin ,2A B a b c =+=，则cos C =_______________．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】由已知结合正弦定理角化边可得2a b =，从而可得三边之间的关系，利用余弦定理化简求值，即得答案.【详解】因为sin 2sin A B =，所以2a b =，又2a b c +=，所以32b c =，则222222294114cos 2416b b b a b c C ab b +-+-===．故答案为：111613.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______【解析】【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意122OP e e =-，122OP e e =-===14.定义在R 上的两个函数()f x 和()g x ，已知()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =图象关于点()1,0对称，则()0f =___，()()()()1231000g g g g ++++= ___________．【答案】①.3②.0【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到()()2f x f x =--，通过赋值得到()()02f f =-，根据()y g x =的图象关于点()1,0对称得到()()110g x g x -++=，即可得到()()13f x g x -+=，再利用方程法得到()()26f x f x +-=，令0x =，得到()()026f f +-=，然后求()0f 即可；②利用方程法得到()()2g x g x =--，整理可得()()4g x g x =-，得到4是()g x 的一个周期，然后根据()()2g x g x =--得到()()()()12340g g g g +++=，最后再利用周期求()()()()1231000g g g g ++++ 即可.【详解】由()()33g x f x +-=可得()()123g x f x -+--=，又()()13f x g x +-=，所以()()2f x f x =--，令0x =，所以()()02f f =-；因为()y g x =的图象关于点()1,0对称，所以()()110g x g x -++=，又()()13f x g x +-=，所以()()13f x g x -+=，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=，()()26f x f x +-=，令0x =，所以()()026f f +-=，则()03f =；因为()()13f x g x -+=，所以()()323f x g x ---=，又()()33g x f x +-=，所以()()2g x g x =--，()()24g x g x -=--，则()()4g x g x =-，4是()g x 的一个周期，因为()()31g g =-，()()42g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，因为()g x 周期是4，所以()()()()12310000g g g g ++++= .故答案为：3，0.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．）15.已知平面向量,a b满足=4,8,a b a = 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．【答案】（1）（2）32k -=【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得()()0a kb ka b +⋅-=，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【小问1详解】因为=48a b a = ，，与b 的夹角为2π3，所以2π1cos481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以a b -===【小问2详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()2221a kb ka b ka k a b kb+⋅-=+-⋅- ()216161640k k k =---=，化为2310k k +-=，解得32k -±=.16.已知函数()25sin cos 2f x x x x =-+；（1）确定函数()f x 的单调增区间；（2）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合．【答案】16.()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 17.5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）借助正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】55()sin 2(1cos 2)sin 2cos 222222f x x x x x=-++=-1π5sin 225sin 2223x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()ππππ5π2π22πππ2321212k x k k k x k k -≤-≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z ，∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】当ππ22π32x k -=+，即5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时，()f x 有最大值5．17.如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.（1）若BC =AD =，求ACD 的面积；（2）若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】（1）4；（2）833.【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【小问1详解】因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin AC B=，解得4AC =.在ABC 中，BC =428sin sin BC CAB CAB ==∠∠，解得2sin 2CAB ∠=.又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =，所以14422ACDS∆=⨯⨯=.【小问2详解】设DAC∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D=，所以π3ACDθ∠=-.因为π2DAB∠=，所以π2CABθ∠=-.在DAC△中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC ADD ACD=∠，πsin32ADθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π1sin sin33322ADθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos3θθ=-.在ABC中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC BCB CAB=∠，即41πsin22BCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π8sin8cos2BCθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以4cos3BC ADθθ⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭πsin33θ⎛⎫=+⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin3θ⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD-的最大值为3.18.对于函数1()f x，2()f x，()h x，如果存在实数a，b，使得12()()()h x a f x b f x=⋅+⋅，那么称函数()h x 为1()f x与2()f x的生成函数．（1）已知1()sinf x x=，2()cosf x x=，π()sin6h x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，是否存在实数a，b，使得()h x为1()f x与2()f x 的生成函数？若不存在，试说明理由；（2）当1a b ==，()e x h x =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()ln 65f x x x =++，2()ln(2)f x x m =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）102[,)33--【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦化简()h x 后可得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数；（2）根据奇函数和偶函数的性质可求1()f x 与2()f x 的解析式；（3）根据生成函数的定义可求()h x ，利用对数的运算性质可求得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【小问1详解】因为πππ1()sin sin cos cos sin sin cos 66622h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭()()12122f x f x =-，取1,22a b ==-，故()()()12h x af x bf x =+，故存在实数1,22a b ==-，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数.【小问2详解】若存在，则()()12e x f x f x +=，故()()12e xf x f x -+-=，所以()()12e xf x f x -+=，故()()12e e e e ,22x x x xf x f x ---+==.【小问3详解】依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-），结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点，所以，实数a 的取值范围为102[,33--.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）33-（3）223+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

2021-2022学年上海市金山中学高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．已知集合，集合，若，则的值为________.{}1,2A ={},2B m ={}1,2,3A B = m 【答案】3【分析】根据集合的并集结果，结合集合的性质求参数即可.【详解】由，，，{}1,2,3A B = {}1,2A ={},2B m =∴.3m =故答案为：32．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________【答案】2【详解】分析：设幂函数f （x ）=x α，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f （4）的值．详解：设幂函数f （x ）=x α，∵函数f （x ）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得，12a =则f （x ），∴f （4）=2，故答案为2．点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．3．已知，则__________.tan 2α=tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】-3【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵，∴，tan 2α=tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅故答案为：-3.4．把化成的形式___________(注:不唯一).sin αα()sin (0)A A αϕ+>ϕ【答案】2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据特殊角的三角函数值，以及两角和的正弦公式得到结果.【详解】1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的化一的应用，题目比较基础.5．函数是定义在上的偶函数,则__．()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 225a b f ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可解得,再根据偶函数定义可得,代入即可得解2a =1b =析式,从而可求出.225a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为是定义在上的偶函数,()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 所以,解得,220a a -+-=2a =由得,即,()()=f x f x -20a b -=1b =则,故．()221f x x =+()22222211211355a b f f f ⎛⎫⎛⎫++===⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:36．已知在地球上，大气压p 和海拔高度h 之间的关系可以表达为，其中k 和e 是常数，0khp p e -=是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为__________.0p 【答案】1lnp h k p =-【分析】根据指数与对数的关系，将转化为用k 和e 、、表示的函数形式即可.0khp p e -=0p p h 【详解】由，则，0khp p e -=0kh e pp -=∴，即.0ln h p k p =-01lnph k p =-故答案为：.01lnp h k p =-7．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代文化．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风．如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，2.4m 0.6m 0.9m 若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积为__．2m【答案】1.35【分析】设小扇形的半径为，可得大扇形的半径，由弧长公式以及两个扇形的弧长之比求出，r r 利用扇形面积公式计算即可．【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，r 0.9r +所以，，0.9 2.40.6r r +=0.3r =所以扇环面积为，112.4(0.30.9)0.60.3 1.3522⨯⨯+-⨯⨯=所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为．21.35m 故答案为：1.358．若命题“关于的不等式有解”为真命题,则实数的取值范围是__．x 12x x a++-<a 【答案】3a >【分析】关于的不等式有解为真命题转化为,分类讨论去绝对x 12x x a++-<()min12x x a++-<值求出的最小值即可.()12f x x x=++-【详解】设,则()1212f x x x x x =++-=++-当时,,2x >()213f x x =->当时,,12x -≤≤()3f x =当时,,1x <-()123f x x =->则,()min 3f x =关于的不等式有解为真命题,则,x 12x x a++-<()min12x x a++-<,3a ∴>故答案为:.3a >9．如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 为线段CD 的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A 与点M 重合，折痕与AD 交于点E ，与BC 交于点F . 记，则_______.MEF θ∠=sin(4πθ+=【分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出DE x =12DM EM EA x ===-，34x =，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系54EM =sin DEM ∠sin 2θ和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设，则，DE x =12DM EM EA x ===-，在中，，所以，Rt DEM △90D ︒∠=222DE DM EM +=即，解得，所以，2221(2)x x +=-34x =54EM =所以在中，，Rt DEM △4sin 5DM DEM EM ∠==则，4sin 2sin()sin 5DEM DEM θπ=-∠=∠=又sin cos θθ+==所以sin(cos )4πθθθ+=+=10．设A ={2，4，6，8，9}，B ={1，2，3，5，8}，若存在非空集合C ，使C 中的每一个元素加上2变成A 的一个子集，且C 的每一个元素都减去2变成了B 的子集，则集合C 所有可能的情况为__________;【答案】，，{}4{}7{}4,7【分析】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则，设集合B 中每个元{}0,2,4,6,7D =C D ⊆素都加上2变成集合，则，从而可得，进而可求得结果{}3,4,5,7,10E =C E ⊆()C D E ⊆ 【详解】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则，{}0,2,4,6,7D =C D ⊆设集合B 中每个元素都加上2变成集合，则，{}3,4,5,7,10E =C E ⊆所以，()C D E ⊆ 因为，为非空集合，{}4,7D E = C所以，或，或，{}4C ={}7{}4,7故答案为：，，{}4{}7{}4,711．已知函数是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式()f x 12,x x 12x x ≠恒成立，则不等式的解集为__．11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+(1)(2022)0x f x +>【答案】(,1)(0,)-∞-⋃+∞【分析】根据条件推导出 的单调性，再结合奇偶性解不等式即可.()f x 【详解】不等式，11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+即，，112212[()()][()()]x f x f x x f x f x ->-1212()[()()]0x x f x f x -->故函数在R 上是增函数，函数 在R 上为奇函数， ，()f x ()f x ∴(0)0f =若不等式，则，或，，(1)(2022)0x f x +>1020220x x +>⎧⎨>⎩0x >1020220x x +<⎧⎨<⎩1x <-；()(),10,x ∴∈-∞-+∞ 故答案为：.()(),10,-∞-⋃+∞12．对于问题：当x >0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，求实数a 的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y ＝[(a －1)x －1](x 2－ax －1)；丙：分别研究两个函数y 1＝(a －1)x －1与y 2＝x 2－ax －1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．【答案】##1.532【分析】题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分、和三种情况10a -<10a ->10a -=情况讨论，从而可得到答案．【详解】解：可以选择丙同学的想法．对于函数，(1)1y a x =--①当时，由于当时，，因此在上恒成立，10a -<0x =11y =-10y <(0,)+∞若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ---- 则在上亦恒小于或等于0，显然不可能成立；221y x ax =--(0,)o +②当时，对于函数在上，10a ->1(1)1y a x =--1(0,)1a -10y <在，上恒成立；1(1a -)∞+10y >若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ---- 因此在上，在，上恒成立，221y x ax =--1(0,)1a -20y <1(1a -)∞+20y >即当时，，即，，或（舍去）．11x a =-20y =21110(1)1a a a -⋅-=--2230a a -=32a =0a =检验：当时，原不等式可化为，．即，32a =213(1)(1)022x x x --- 2(2)(232)0x x x --- ，2(2)(21)0x x -⋅+ 又，所以恒成立，因此时，符合题意．0x >2(2)0x - 32a =③当时，易知不符合题意，10a -=综上所述：.32a =故答案为：.32二、单选题13．若为第三象限角，则（ ）αA ．B ．sin 0α>cos 0α>C ．D ．tan 0α>sin cos 0αα<【答案】C【分析】根据角所在象限，可判断其三角函数值的正负，即可得答案.α【详解】为第三象限角，α则，，，，sin 0α<cos 0α<tan 0α>sin cos 0αα>由此可得：A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C.14．下列函数中，在是增函数的是（ ）(),0∞-A ．B ．C ．D ．3y x=2y x=1y x=32y x=【答案】A【分析】分别判断各选项函数所对应的单调增区间，可得答案．【详解】对于A ，在是增函数，正确；3y x =(),0∞-对于B ，在是减函数，错误；2y x =(),0∞-对于C ，在是减函数，错误；1y x =(),0∞-对于D ，在上没有意义，错误；32y x =(),0∞-故选：A15．在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件，即表示开关A 闭合时灯泡B 不一定亮，但是灯泡B 亮时开关A 一定闭合：选项A 中，开关A 闭合是灯炮B 亮的充分不必要条件；选项C 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；选项D 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件；选项B 中，开关A 和开关C 都闭合时灯泡B 才亮．故选B ． 【解析】充要条件点评：本题考查充要条件的判断，与物理知识相结合，体现学科综合16．设为锐角，且，则的最大值为（ ）,αβsin cos()sin ααββ+=tan αABC ．1D【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【详解】解法一：由得，sin cos()sin ααββ+=2cos cos sin sin sin sin αββαβα-=所以．2cos sin tan sin tan ββαβα-=因为均为锐角，所以，,αβ22cos sin tan 1tan 11sin 12tan 2tan tan βββαββββ===≤+++当且仅当tan β=tan α解法二: 由得:sin cos()sin ααββ+=，1cos()sin sin [sin(2)sin ]sin 2αββααβαα+=⇒+-=于是，11sin sin(2)33ααβ=+≤等号当时取得，111arcsin,arccos323αβ==因此的最大值为tanα1tan arcsin 3=三、解答题17．已知．cos α=(0,π)α∈(1)求的值；π3πsin()cos()22sin(π)cos(3π)αααα--+-++(2)求的值．3πcos(2)4α-【答案】(1)13-(2)【分析】（1）根据同角三角函数关系求出的值，根据诱导公式奇变偶不变符号看象限化简求sin α值；（2）根据诱导公式化简成，根据两角和的余弦公式展开，二倍角公式求三角函数πcos(2)4α-+值.【详解】（1）因为cos α=又因为，且，22sin cos 1αα+=(0,π)α∈所以sin α=所以；π3πsin()cos()cos sin 122sin(π)cos(3π)sin cos 3αααααααα--+--==--++-（2）3ππcos(2cos(2)44αα-=-+sin 2)αα=-212sin cos )ααα=--=18．记函数的定义域为，若对任意的，都有成立，则称是集合()y f x =D x D ∈(())f f x x =()f x 的元素．M (1)判断函数，是否是集合的元素；()1f x x =-+()21g x x =-M (2)若，求使成立的的取值范围．()(0)1axf x M a x =∈<+()1f x <x 【答案】(1)，()1f x x M =-+∈()g x M ∉(2)或1x <-12x >-【分析】（1）通过计算得，而，即可判断；()()f f x x=(())43g g x x =-（2）由题得，化简得恒成立，则求出值，得到不等式，111axa x xaxx ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=a 11x x -<+解出即可.【详解】（1）因为对任意，，所以，R x ∈(())(1)1f f x x x =--++=()1f x x M =-+∈因为不恒等，所以；(())2(21)143g g x x x =--=-x ()g x M ∉（2）因为，所以对定义域内一切恒成立，()(0)1axf x M a x =∈<+(())f f x x =x 所以，即恒成立，111axa x x axx ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=故，解得，21010a a +=⎧⎨-=⎩1a =-由，得即，所以或．()1f x <11x x -<+2101x x +>+1x <-12x >-19．2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购100买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，2020则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执121.521.598.5行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.60(1)求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；x y x (2)学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用90020来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克90060的平均花费在什么范围？【答案】(1)2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩(2)[45,60]【分析】（1）根据已知条件求得关于的函数.y x （2）求得购买种子每千克的平均花费的函数表达式，通过求的值域来求得平均花费的()f x ()f x 取值范围.【详解】（1）当时，；020x ≤<100y x =当时，；2060x ≤≤2[100(20)]120y x x x x =--=-+.2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩（2）设购买种子每千克的平均花费为，则由题可知；()f x 2060x ≤≤此时.2120900900()120()x x f x x x x -+-==-+，，900206520+=900607560+=，当时等号成立.90060x x +≥=30x =所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；30x =900y x x =+6060x =900y x x =+75当时，的值域为；∴2060x ≤≤900y x x =+[60,75]故值域为，即购买种子每千克平均花费在元.()f x [45,60][45,60]20．立德中学高一数学兴趣小组利用每周五开展课外探究拓展活动，在最近的一次活动中，他们定义一种新运算“”：，，通过进一步探究，发现该运算有许多优美的⊕()lg 1010x y x y ⊕=+,R x y ∈性质：如，等等．x y y x ⊕=⊕()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕(1)对任意实数，请判断是否成立？若成立请证明，若不成立，请,,a b c ()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-举反例说明；(2)已知函数，函数，若对任意的，存在，使得()()f x x x =⊕-()()()1g x x x =⊕⊕-1R x ∈2R x ∈，求实数的取值范围．()()12lg 32g x m f x =-+m 【答案】(1)成立，证明见解析(2)4228,,3333⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】（1）根据新运算的定义，去判断证明即可；（2）根据新运算的定义，先得到函数f (x ),g (x )的的解析式，求得各自的值域，再根据条件推得，据此列出不等式，解得答案.A B ⊆【详解】（1）成立，()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-证明如下：由条件可知，()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-()()()()()lg 1010lg 101010lg 1010lg10a c b c a b c a b c a c b c ----⎡⎤-⊕-=+=+⨯=++⎣⎦，()lg 1010a b c =+-所以成立．()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-（2）由题意知()()()lg 1010x xf x x x -=⊕-=+()()()()1lg 101010x x g x x x -=⊕⊕-=++当时，（当且仅当时等号成立）x R∈10102x x -+≥=0x =所以函数的值域为，()g x [)lg12,A ∞=+函数的值域为()f x [)lg 2,+∞令，则函数的值域为，()()lg 32h x m f x =-+()h x )lg2lg 32,B m ∞⎡=+-+⎣由已知可得，A B ⊆于是，所以，，lg12lg2lg 32m ≥+-lg 32lg6m -≤0326m <-≤解得且， 4833m -≤≤23m ≠因此实数的取值范围为.m 4228[,)(,]3333- 21．对于集合和常数，定义：{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅0θ为集合相对的“余弦方差”．()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-= A 0θ（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭00θ=A 0θ（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0θ0θ（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭[)0,πα∈[)π,2πβ∈0θ0θ关的定值，求出、．αβ【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，．38127π12α=23π12β=11π12α=19π12β=【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得即可求出、的值，即可得解．cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩αβ【详解】解：（1）依题意：；22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===（2）由“余弦方差”定义得：，()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22200013cos sin cos 22θθθ=++32=为定值，与的取值无关．31232μ∴==0θ（3）依题意，()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=所以分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+要使是一个与无关的定值，则，，μ0θcos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩cos 2cos 2αβ=- 与终边关于轴对称或关于原点对称，又，2α∴2βy sin 2sin 21αβ+=-得与终边只能关于轴对称，，2α2βy 1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩又，，则当时，；当时，．[)0,πα∈[)π,2πβ∈72π6α=232π6β=112π6α=192π6β=，或，．7π12α∴=23π12β=11π12α=19π12β=故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定7π12α=23π12β=11π12α=19π12β=0θ0θ值．。

江苏省南京市江宁高级中学2021-2022高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共16小题）1.直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【详解】因直线方程为50x +-=，所以直线的斜率k =，故其倾斜角为150°. 故选D【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型. 2.已知10sina =，且a 为第二象限角，则()2tan a π+=（ ） A. 34-B.35C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到cos a =tan 3a =-，再计算()tan 2a π+即可.【详解】因为sin a =，且a 为第二象限角，cos a ==，sin tan 3cos a a a ===-.()22tan 63tan 2tan 21tan 194a a a a π-+====--.故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.3.如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A. 2 B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2. 4.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=，所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125，所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为（ ） A. 151060x y --=B. 151060x y -+=C. 6430x y --=D.6430x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的方程为320x y c -+=，再根据直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，可得132c c--=，解得c 的值，可得所求直线的方程．【详解】解：直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，可设直线l 的方程为320x y c -+=．再根据且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1， 可得132c c --=，解得65c =-，故直线l 的方程为63205x y --=， 即：151060x y --=. 故选：A.【点睛】本题主要考查两条直线平行的条件和直线方程，以及直线在坐标轴上的截距． 6.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 310x y -+= B. 370x y ++= C. 3110x y --= D. 3130x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程.【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--；设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++= 则3(4)(1)0m ⨯-+-+= 解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=. 故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题. 7.函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ).A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为2π的偶函数D. 周期为2π奇函数【答案】B 【解析】 因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222f x x x x x x ππ=-+---=+=，故()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22T ππ==，应选答案B ．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120A =︒，2c b =，则cos C （ ）D.14【答案】C 【解析】 分析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出=a ，之后再应用余弦定理求得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即22222427a b b b b =++=，故=a ，故222cos 2a b c C ab +-==． 故选：C ．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，属于基础题目. 9.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A. 1 B. 1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.11.已知直线20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A. 32k ≤ B. 32k ≥C. 4332k -≤≤ D. 43k ≤-或32k ≥【答案】C 【解析】 【分析】因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，结合43AM k =-，32AN k =，可求． 【详解】解：因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，又因为43AM k =-，32AN k =， 故直线的斜率k 的范围为4332k -． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线斜率的求解，属于基础题．12.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4a =，23b =c (2)cosB a b cosC =-，则ABC 的面积为（ ）． A. 3 B. 3 C. 6D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先由()2c cosB a b cosC ⋅=-边化角，化简整理可求出角C ，然后计算面积即可. 【详解】解：由()2c cosB a b cosC ⋅=-，得()2sinCcosB sinA sinB cosC =- 所以2sinCcosB sinBcosC sinAcosC +=，即()sin 2B C sinAcosC += 所以sin 2A sinAcosC =，sin 0A ≠得cosC 12=，所以3C π=所以113423622ABCSabsinC ==⨯⨯= 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角转化，三角形的面积公式，属于基础题.13.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 231sin 222xxsin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z ，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212kk x kZ ，，故()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称则D 不对． 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．14.在ABC 中，()()sin sin A B A B +=-，则ABC 一定是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 此题考查解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，所以，又因为,A B 为三角形的内角，故sin 0B >，因此cos 0A =，90A ∠=，所以ABC ∆是直角三角形.选C. 答案：C15.已知2sin cos 1θθ-=，则sin cos 1sin cos 1θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】由2sin cos 1θθ-=，通过二倍角公式，得到cos02θ=或 2sincos22θθ=原式化简为222222sin cos cos sin sin cos 12222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再分别求解. 【详解】因为2sin cos 1θθ-= 所以2sin cos 1θθ=+ 所以24sin cos2cos 222θθθ=解得cos 02θ=或 2sincos22θθ=当cos02θ=时222222sin cos cos sin sin cos 122220sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2sincos22θθ=时222222sin cos cos sin sin cos 122222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.16.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan 3C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、填空题（本大题共4小题）17.已知1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 21sin 2αα=-_______． 【答案】3【解析】【分析】 先由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出tan α，然后对cos21sin2αα-用二倍角公式并化简求值即可. 【详解】解：因为1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11tan 1143tan tan 144211tan 34παππααπα⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭所以()()()2222211cos sin cos sin cos2cos sin cos sin 1tan 2311sin2cos sin 2sin cos cos sin 1tan cos sin 12αααααααααααααααααααα++--++======-+-----故答案为3【点睛】本题考查了三角恒等变换，给值求值类问题，二倍角公式，齐次弦化切思想，属于基础题.18.已知点(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程为______________________________【答案】340x y ++=【解析】【分析】求出线段AB 的中垂线方程即可． 【详解】131513AB k -==--，其中垂线的斜率为3-，又AB 中点为(2,2)-，∴直线方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=．故答案为：340x y ++=．【点睛】本题考查点的对称性，考查求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解．19.已知△ABC 中，AC ＝3，且3sinA ＝2sinB ，cosC 13=，则AB ＝_____. 【答案】3【解析】【分析】由条件3sin 2sin A B =和3AC =，可得BC 的边长，然后用余弦定理可得答案.【详解】在△ABC 中，由3sin 2sin A B =，得32BC AC =.又3AC =，可得2BC =.由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 19422393=+-⨯⨯⨯= 所以3AB =故答案为：3【点睛】本题考查利用正弦、余弦定理解三角形，属于基础题.20.若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.【解析】【分析】联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．【详解】解：联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =． 把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n到原点的距离5d ，当2n =-，1m=-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共2小题）21.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22C f =，sin 2sin B A =，求,a b 的值. 【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）1,2a b ==. 【解析】【分析】 （1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出C的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值． 【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos ,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，②由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成三角形的面积的最值，是中档题.。

同安一中2021~2022学年下学期第一次月考高一数学试题（本卷满分150分,考试时长120分钟）第Ⅰ卷 选择题一，单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分）1. 已知集合{20}M x x =-<,{N x y ==,则M N = （ ）A. {1}x x >-B. {12}x x -≤<C. {}12x x -<< D. R【结果】B 【思路】【思路】化简集合,M N ,即得解.【详解】解：由题得(,2),[1,)M N =-∞=-+∞,所以[1,2)M N =- .故选：B 2. 已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位）,则实数a 等于（ ）A. −2 B. 2C.12D. −1【结果】C 【思路】【思路】依据复数地运算法则,化简复数为21255a ai -++,依据复数地概念,列出方程,即可求解.【详解】依据复数地运算法则,可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a a i -+=+,因为复数2a i i +-是纯虚数,所以2105a -=且205a +≠,解得12a =.故选：C ．3. 下面函数中,既是奇函数,又是增函数地是A. ()2log f x x= B. ()1f x x =+ C. ()lg f x x= D. ()3f x x=【思路】【思路】依据要求对给出地四个选项分别进行判断,进而可得结果．【详解】选项A 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。

选项B 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。

选项C 中,函数()f x 为偶函数,在(),0∞-上为减函数,在()0,∞+上为增函数,所以不合题意。

选项D 中,函数()f x 为奇函数,在定义域上为增函数,所以符合题意．故选D ．【点睛】解答本题关键是熟知所给函数地性质,然后再依据要求进行判断,考查对基础知识地掌握情况和判断能力,属于基础题．4. 已知a →,b →为非零向量,则“0a b →→∙>”是“a →与b →夹角为锐角”地A. 充分而不必要款件 B. 必要而不充分款件C. 充分必要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】B 【思路】【详解】依据向量数量积地定义式可知,若0a b ⋅> ,则a 与b 夹角为锐角或零角,若a 与b夹角为锐角,则一定有0a b ⋅> ,所以“0a b ⋅> ”是“a 与b夹角为锐角”地必要不充分款件,故选B.5. 已知(1,)a n = ,(1,)b n =-．若2a b - 与b垂直,则||a＝（ ）A. 1C. 2D. 4【结果】C 【思路】【思路】由向量垂直坐标表示可得n 2＝3,再依据向量模长地坐标运算求||a即可.【详解】由题设得：(2)a b -⋅ 220b a b b =⋅-= .故222(1)(1)0n n --+=,解得n 2＝3.所以,||2a ==.的的6. 长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸,假设游船在静水中地航行速度1v地大小为114/v km h = ,水流地速度2v 地大小为24/v km h = .设1v 和2v地夹角为()0180θθ︒<<︒,北岸地点'A 在A 地正北方向,游船正好到达'A 处时,cos θ=（ ）A.B. C.27D. 27-【结果】D 【思路】【思路】用向量表示速度,依据向量地平行四边形法则,由题意可得2v v ⊥,即可求解.【详解】设船地实际速度为v ,1v 和2v地夹角为θ,北岸地点A '在A 地正北方向,游船正好到达A '处,则2v v ⊥,∴21421)47(v cos cos v θπθ=--=-=-=- .故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量在物理中应用问题,解题关键是依据向量地平行四边形法则及物理性质求解,考查数形结合思想和转化思想,属于基础题.7. 在ABC 中,角A B C ，，地对边分别为a b c ，，,面积为S ,若cos cos 2a B b A bc +=,且cos S A =,则A =（ ）A.6π B.4πC.3πD.23π【结果】C 【思路】【思路】依据正弦定理以及三角形地面积公式进行求解即可．【详解】解：cos cos 2a B b A bc += ,∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=,即sin()sin 2sin A B C b C +==,的由sin 0C >,得21b =,12b =,cos S A =,∴1cos sin 2S A bc A ==,即sin A A =,即sin tan cos A A A==则3A π=,故选：C ．8. 在OAB 中,2OA OB ==,AB =动点P 位于直线OA 上,当PA PB →→⋅得到最小值时,PBA ∠地正弦值为（ ）【结果】C 【思路】【思路】建立平面直角坐标系,写出坐标表示PA PB →→⋅,利用二次函数求出最小值时P 地坐标,最后利用向量地夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则((0,1)A B O ,设(,)P x y ,因为动点P 位于直线OA 上,直线OA 地方程为：1y x =+,所以22(,),)3PA PB x y x y x y →→⋅=--⋅--=-+222244931)2(334x x x x x =-++=+-=+-,当x =时,PA PB →→⋅得到最小值94-,此时3(4P,3(),(4BP BA →→==-,所以cos BP BA PBA BP BA→→→→⋅∠====⋅又因为(0,)PBA π∠∈,所以sin PBA ∠=故选：C.二，多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中每题全都选对得5分,选对但不全得2分,有选错得0分）9. 已知复数4732iz i+=+,则下面结论中正确地是（ ）A. z 地虚部为i B. 2z i=-C. |z |=D. z 在复平面内对应地点位于第四象限【结果】BC 【思路】【思路】由复数地除法运算逐项排除可得结果.【详解】()()()()4732472613232323213i i i iz i i i i +-++====+++-,对于A ,z 地虚部为1,故错误。

南京市第二十九中学2020-2021学年下3月学情检测 数学2021.3一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1. 已知向量,a b 满足1,2==a b ，且a 与b 的夹角为60︒，则+=a b （ ）．A.B.C.D. 2. 已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.3. 已知向量()(),1,3,3m ==a b ，且()-⊥a b b ，则m 等于（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 64. 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos a B c =，则ABC △的形状一定是（ ）．A. 等边三角形B. 等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形5.已知π1sin 33αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.13 B. 13-C.79 D. 79-6. 如图，在ABC △中，3AB =，4AC =，,D E 分别为边BC 和AC 上的点且2BD DC =，AE EC =，则AD BE ⋅的值为（ ） A. 4- B. 116-C. 103- D. 67.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为0.618，这一比值也可以表示为2cos72a =︒2=（ ） A.12B. 1C. 2D.148. 在ABC △中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过H 作一直线MN 分别与边,AB AC 交于,M N ，若AM xAB =，AN yAC =，则4x y +的最小值是（） A. 52B. 73C. 94D. 14ANMHD CB A二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分） 9. 已知函数()2cos21f x x x =-+，下列结论中正确的是（ ）．A. ()f x 的图象关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B. ()f x 在[]0,π内的零点是0和2π3C. ()f x 的图象关于π3x =对称 D. ()f x 的最大值为310. 下列命题正确的有（ ）A. 与向量()3,4=-a 平行的单位向量是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. sin 20sin 40cos100︒+︒-︒=C. 若π04x ≤≤2cos x D. 已知()sin 2sin 2βαβ=+，其中π2k α≠，ππ,2k k αβ+≠+∈Z ，则()tan 3tan αβα+=-11. 已知ABC △是边长为2的等边三角形，,D E 分别是,AC AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）． A. 1AB CE ⋅=- B. 2133BD BC BA =+ C. 32OA OB OC ++=D. ED 在BC 方向上的投影向量的模为7612. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量(),m n =a ，向量(),p q =b ，令mq np =-ab ，则下面说法正确的是（ ）． A. 若a 与b 共线，则0=a bB. =a b baC. 对任意的λ∈R ，有()()λλ=a b a bD. ()()2222+⋅=a b a b a b三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 在ABC △中，,A B 为锐角，且()()1tan 1tan 2A B --=，则cos C = ． 14. sin10cos102cos140m ︒+︒=︒，则m = ．15. 如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为 ．16. 若ππsin 2sin 62αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α= ，cos2α= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分10分）已知向量,,a b c 在同一平面上，且()2,1=-a ． ⑴ 若//a c ，且25=c ，求向量c 的坐标； ⑵ 若()3,2=b ，且-ka b 与2+a b 垂直，求k 的值．18. （本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 2f x x x x x =-∈R ． ⑴ 求()f x 的最小正周期；⑵ 讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性．19. （本小题满分12分）⑴ 2sin130cos101︒+︒︒⑵ 已知sin α=sin β=ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求αβ+的值．20. （本小题满分12分）在ABC △中，sin2ABC ∠=，2AB =，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =． ⑴ 求cos ABC ∠；⑵ 求BC 和AC 的长．21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+．⑴ 求AC CB的值；⑵ 已知()1,cos A x ，()1cos ,cos B x x +，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，若()f x 的最小值记为()g m ，求()g m 的表达式，并求()g m的最大值．22. （本小题满分12分）如图，一楼房高AB 为BC为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾斜角为60︒（即BC 水平线夹角为60︒）EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=； ⑴ 试将tan θ表示为x 的函数； ⑵ 求点E 的位置，使θ取得最大值．DCBA南京市第二十九中学2020-2021学年下3月学情检测数学2021.3 一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.【答案】A；【解析】+=a b A．2.【答案】A；【解析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos5α=，可得4sin5α=，则πππ413sin sin cos cos sin333525ααα⎛⎫-=-=⨯-⎪⎝⎭，故选A．3.【答案】C；【解析】由()-⊥a b b可得()()331330m-⨯+-⨯=，则5m=，故选C．4.【答案】B；【解析】由2cosa B c=，可得2sin cos sinA B C=，()sin sin sin cos sin cosC A B A B B A=+=+，则sin cos sin cosA B B A=，即tan tanA B=，则A B=，即a b=；故选B．5.【答案】D；【解析】由π1sin33αα⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得11sin cos23ααα⨯-=，即π1sin33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，令π3xα=+，则1sin3x=，2ππ7sin2sin2cos22sin1629x x xα⎛⎫⎛⎫+=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D．6.【答案】C；【解析】2133AD AB AC=+，12BE AB AC=-+，则()()222211104443663ADBE AC AB⋅=-=-⨯=-，故选C．A【答案】A ；2cos54cos5414cos72sin 722sin1442︒︒===︒︒︒，故选A ．8. 【答案】C ；【解析】由D 为BC 中点可得1122AD AB AC =+, 由题意11222AH AM AN x y=+，即1144AH AM AN x y =+， 由,,M H N 共线，可得11144x y+=， 则()1155944444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，2x y =时取等；故选C ． 9.【答案】CD ；【解析】()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，A 选项，由()f x 解析式可得对称中心不在x 轴上，A 错误；B 选项，[]0,πx ∈时，ππ11π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即ππ266x -=-或7π6或11π6， 有三个零点，B 错误C 选项，ππsin 2136⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，则()f x 取到最大值，π3x =是对称轴，C 正确；D 选项，()max 213f x =+=，D 正确；故选CD ．10.【答案】BCD ；A 选项，与a 平行的单位向量有反向的两个，A 错误；B 选项，左侧()()sin 3010sin 3010cos102sin30cos10cos100=︒-︒+︒+︒-︒=︒︒-︒=，B 正确； C 选项，左侧π04x ≤≤时，0sin cos x x <≤，则左侧cos sin sin cos 2cos x x x x x =-++=，C 正确； D 选项，令,x y αβα=+=，由()sin 2sin βαβ=2+可得()()sin 2sin x y x y -=+， 则sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin x y x y x y x y -=+，即sin cos 3cos sin x y x y =-， 则tan 3tan x y =-，即()tan 3tan αβα+=-；故选BCD ．NMHD CB A【答案】BCD ；【解析】如图建系，则()()(()11,0,1,0,,0,0,3A B C E D ⎛-- ⎝⎭，由:3:4BE EH =，可得O ⎛ ⎝⎭； A 选项，0AB CE ⋅=，A 错误； B 选项，由2AD DC =可得2133BD BA BC =+，B 正确； C 选项，30,2OA OB OC ⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭，则32OA OB OC ++=，C 正确； D 选项，设ED 在BC 方向上投影向量为a ，则ED BC a BC ⋅=⋅，则76ED BC a BC⋅==，D 正确； 故选BCD ．12.【答案】ACD ；【解析】A 选项，a 与b 共线时，mq np =，则0=ab ，A 正确；B 选项，mq np =-ab ，np mq =-ba ，则=ab ba 不一定成立，B 错误；C 选项，()()(),m q n p mq np λλλλλ=⋅-⋅=-a b a b ，则()()λλ=a b a b ，C 正确；D 选项，()()()()()()222222222222222222mq np mp nq m q n p m p n q m n p q +⋅=-++=+++=++=aba b a bD 正确；故选ACD ．13. ； 【解析】由()()1tan 1tan 2A B --=，则tan tan tan tan 1A B A B --=，则()tan tan tan 11tan tan A BA B A B++==--，由πA B C ++=可得()()tan tan πtan A B C C +=-=-，则tan 1C =，则π4C =，则cos C ．14.【答案】【解析】()2cos1402cos402cos 30102cos30cos102sin30sin10sin10︒=-︒=-︒+︒=-︒︒+︒︒=︒︒，则m =A【答案】9．【解析】由数量积几何意义可得N 点在C 点处时AM AN ⋅最大，此时()221132349222AM AN AM AC ABAD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=⋅=+⋅+=+⋅+=++= ⎪⎝⎭．16. 【答案】，1114-； 【解析】由ππsin 2sin 62αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得ππsin cos cos sin 2cos 66ααα+=-，5cos 2αα=-，则tan α= 22222222251cos sin 1tan 113cos2cos sin 25cos sin1tan 1413ααααααααα---=-====-+++． 17.【答案】⑴ (=-c 或(=-c ；⑵ 223-．【解析】⑴ 设(),x y =c ，由//a c ，且25=c ，可得2y x-=，22225x y +=，则x y⎧=-⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则(=-c 或(=-c ； ⑵ ()23,2k k -=---ka b ，()24,5+=a b ，由-ka b 与2+a b 垂直可得()()423520k k --+-=，则223k =-． 18.【答案】⑴π；⑵ ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．【解析】⑴ ()cos2111π2cos2sin 22226x f x x x x +⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， 2ππ2T ==，最小正周期为π； ⑵ ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时ππ2π2,633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πππ2,632x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 递增，ππ2π2,623x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时()f x 递减，则()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．【答案】⑴ 13；⑵π4． 【解析】⑴原式12sin1302cos102⎫︒+︒+︒⎪⎪==2sin1302sin 1030︒+︒+︒==2sin 4552sin 4552︒+︒+︒-︒==；⑵ 由ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得cos 0,cos 0αβ>>，由sinα=sin β=cos αcos β=，由ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0,sin 0αβ>>，可得π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()0,παβ+∈，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==()0,παβ+∈可得π4αβ+=． 20. 【答案】⑴13；⑵ 3,3BC AC ==．【解析】⑴ 221cos 12sin 1223ABCABC ∠∠=-=-⨯=⎝⎭； ⑵ 由2AD DC =可得2AD DC =，则()2BD BA BC BD -=-，则32BD BA BC =+， 则222944BD BA BA BC BC =+⋅+， 由2AB =，BD =，1cos 3ABC ∠=， 则21619442433BC BC ⨯=+⨯⨯⨯+，解得3BC =或113-，由0BC >可得3BC =； ()222129232433AC BC BA BC BC BA BA =-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，则3AC =．DCBA【答案】⑴ 2；⑵ ()21,01,0122,1m g m m m m m ≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩，()g m 最大值为1；【解析】⑴ 由1233OC OA OB =+，可得32OC OA OB =+，即()2OC OB OA OC -=-，则2BC CA =，则2AC CB=；⑵ 1221cos ,cos 333OC OA OB x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1,cos OA x =，()cos ,0AB x =，()2221cos cos 2cos 33f x x x m x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得[]cos 0,1x ∈，令[]cos 0,1t x =∈，则2222122133y t t m t t mt ⎛⎫=++-+=-+ ⎪⎝⎭，则0m ≤时，221y t mt =-+在[]0,1递增，则()202011g m m =-⋅+=； 01m <<时，221y t mt =-+在t m =时取得最小值，()21g m m =-+；1m ≥时，221y t mt =-+在[]0,1递减，则()2121122g m m m =-⨯+=-；则()21,01,0122,1m g m m m m m ≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩，0m ≤时()1g m =；01m <<时，211m -+<；1m ≥时，220m -≤，则()g m 最大值为1．【答案】⑴tan 2x θ=>；⑵x =【解析】⑴ 过F 作FM AB ⊥交AB 于M ，过C 作AN FM ⊥交FM 于N ， 交DB 延长线于H ， 由,AE x =则MF x =，由60CBH ∠=︒，4BC =，则2CH BH ==，则2MH =，则2FN x =-， 由AB FE =AM =，C则183 BM=，则HN=CN=则tanBMBFMFM∠==，tanCNCFNFN∠==，则()tan tan CFN BFMθ=∠-∠==由题意2x MN>=即2x>；⑵()218tan11079xxθ+=-+，令1820t x=+>，()2tan19107938tt ttθ===-++-，20t>时1440tt+≥1440tt=即t=则144038380tt+-≥>，则tanθ≤t=18x=时取得最大值，答：E点距离A点18米时，θ取得最大值．。

山东省博兴县第一中学2017-2018学年高一数学3月月考试题（扫描版，无答案）
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南昌三中2016—2017学年度下学期3月考高一数学试卷命题：张磊 审题：周平一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、对于实数,λμ和向量,,a b c ，下列各式中不恒成立的是（ ） （A ）()a a a λμλμ+⋅=⋅+⋅ （B ）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ （C ）()()a b a b λλ⋅=⋅ （D ）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅2、已知向量(1,3),(sin ,cos ),a b a b αα==⊥，则tan α的值为（ ） （A ）3（B ）3-（C ）13（D ）13- 3、在ABC ∆，已知120,5,7A AB BC =︒==，则ABC ∆外接圆半径为（ ） （A ）7（B ）3（C ）733（D ）2 4、在等差数列{}n a 中，481,4S S ==，则17181920a a a a +++的值是（ ） （A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）105、若O 为平面内一点，且OA OB CO +=，则O 为ABC ∆的（ ） （A ）垂心 （B ）重心 （C ）外心 （D ）内心6、下列各组向量中，能做为一组基底的是（ ）（A ）12(0,2),(0,1)e e ==- （B ）12(2,1),(4,2)e e ==-- （C ）125(3,1),(5,)3e e == （D ）12(2,1),(4,2)e e =-=7、若满足条件：2,30a B ==︒的ABC ∆有两个，则边b 的取值范围是（ ） （A ）01b <<（B ）12b b =≥或（C ）12b <<（D ）2b ≥8、已知无穷数列{}n a 是等差数列，在前n 项和n S 中，67S S <且78S S >，则下列四个命题正确的个数为（ ）（1）7a 最大；（2）34a a 或最大；（3）311S S =（4）8n ≥时，0n a < （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个9、在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为S ，且满足：22)(2c b a S -+=，则C tan 的值为（ ）（A ）34（B ）43（C ）34-（D ）43- 10、如右图所示，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）（A ）111（B ）211（C ）311（D ）41111、ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且02=++AC AB OA ，||||AB OA =，则CBCA ⋅的值为（ ）（A ）32（B ）3（C ）3（D ）23 12、已知数列{}n a 为2132143211,,,,,,,,,,121231234，依它的前10项的规律，则99100a a +的值为（ ） （A ）3724（B ）76（C ）1115（D ）715二.填空题：（每小题5分，共20分）13、等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若231n n S n T n =+，则2323a b = 14、已知(,2),(3,6)a b λ==，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 15、在ABC ∆中，已知22720,6,cos 8b bc c a A --===，则ABC S ∆= 16、若等差数列{}n a 中，,()m n a n a m m n ==≠，则m n a +=三、解答题17、（10分）如图所示，为了解某海域海底构造，对在海平面内一条直线上的,,A B C 三点进行测量，已知50,120AB m BC m ==，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求DEF ∠的余弦值18、（12分）已知平行四边形ABCD 中，12,33PC AC DQ DB ==，设,AB a AD b ==，试用,a b 表示出,,AP AQ PQ19、已知二次函数22()2(103)961100()f x x n x n n n N *=+-+-+∈（1）设二次函数()y f x =的图像的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求{}n a 是的前n 项和n S ；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T20、（12分）已知向量11||1,,()()22a ab a b a b =⋅=-⋅+=，求 （1）求向量a 在b 方向上的投影；（2）求a b -与a b +的夹角的余弦值21、（12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ=+-+（1）求角A 的值；（2）若12,27AB AC a ⋅==,b c （其中b c <）22、已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，1sin(2)22C π-=，且222a b c +< （1）求角C 的大小；（2）求a bc+的取值范围高一数学答案一、选择题1、D2、B3、C4、C5、B6、D7、C8、A9、D 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、6845 14、14≠->λλ且15、21516、0三、解答题17、10298,130,150516cos 1065DF DE EF DEF ===∠=分分18、225332110331123AP a b AQ a b PQ b =+=+=-分分分19、（1）23102317522n n a n S n n=-=-分分（2）{n T =20、（1）3sin ,363A ABC A π=∆∴=是锐角三角形分分（2）22212,2482cos 10104,612AB AC bc a b c bc A b c b c b c ⋅=∴==+-⇒+=<⇒==分分分21、。

恩施市第一中学高一年级第二学期月考试卷高一数学考试时间：3月25日10：00—12：00试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数lg y x=的定义域为（ ） A ．()0,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()()0,11,⋃+∞2．已知角θ的终边过点()1,1-，cos()2πθ-=（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．13．已知tan 2α=，()0,απ∈，则cos tan()4παα+-=（ ）A ．13- B 13+ C ．13+ D 13- 4．已知点D 是ABC 所在平面上一点，且满足12BD BC =-，则AD =（ ） A ．1122AB AC - B ．1122AB AC + C ．1322AB AC -+ D ．3122AB AC - 5﹒函数|cos sin |()x xx x x f x e e -+=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6﹒已知0.20.2a =，2log 0.3b =，0.303c =．，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．命题p ：关于x 的不等式121x x a ++-≤能成立时，实数a 的取值范围．命题q ：关于a 的不等式log 21a ≤的解．则命题P 是命题q 的（ ）A ．充要条件B ．即不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件8．将函数()sin()(6f x x πωω=+>0）的图像向左平移12πω个长度单位得到()y g x =的图像，且()y g x =在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围为（ ）A ．14,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．517,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．511,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（ ）A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角．10．已知非空集合A 、B 满足：全集(]1,5U A B =⋃=-，[]U4,5B A ⋂=，下列说法不一定正确的有（ ）A ．AB ⋂=∅B ．A B ⋂≠∅C ．()1,4B =-D ．()U1,4B A ⋂=-11．已知ABC 是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G ，点P 为ABC 所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A ．||2AB AC +=B ．2AB AC ⋅=C ．3PA PB PC PG ++=D ．||||AB BC AB CB +=+12．已知()sin sin f x x x =+，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 关于2x π=对称C ．()f x 的值域为[]0,2D ．()f x 为周期函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：01()2lg 2lg 253-+++=__________． 14．当ϕ=__________时，函数()()2sin 2f x x ϕ=+在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调．（写出一个值即可）． 15．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合41()16(12)t c t -=-，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合42()152tc t -=⋅．一病患开始注射后，最迟隔__________小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔__________小时开始进行第二次注射．（计算结果精确到个位数，参考数据：lg20.3≈，130.48g ≈）．（第1空2分，第2空3分．） 16．已知0x ≥，0y ≥，且11211xx y +=++，则1y x-的最小值为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，②{|1}A x x =>，③{}11A x x =-<这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合{}22|210B x x x a =++-=． （1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）（1）化简：tan()cos(2)sin()2()cos()f ππαπαααα+++=-．（2）若1sin cos 2αα+=，0απ<<，求sin2cos2αα+的值． 19．（12分）已知函数2()2sin()cos()2sin 63f x x x x ππ=+⋅--．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在(0,)2π上的单调递增区间．20．（12分）已知2()()21x xaf x a R +=∈+为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值：（2）()))g x x b x =++，b R ∈．若对任意的[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得123()()g x f x =成立，求实数b 的取值范围．21﹒（12分）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O 距水面的高度为1米．设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d （单位：米）（在水面下则d 为负数）．若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：分钟）之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭．（1）求d 与时间t （单位：分钟）之间的关系式；（2）某时刻0t （单位：分钟）时，盛水筒W 在过O 点竖直直线的左侧，到水面的距离为2米．再经过3π分钟后，问盛水筒W 是否在水中？如果在，求距水面的距离，如果不在，说明理由．22．（12分）已知,0()0,)(,x a x x f x x a R -<=⎧>∈⎪⎨-⎪⎩（1）若()2f x =的零点至少有2个，求实数a 的取值范围；（2）假设()f x 在()0,+∞上存在两个不同的零点1x ，2x ，证明：1212x x +>． 恩施市第一中学高一年级第二学期月考试卷参考答案高一数学说明：（1）此评分标准仅供参考；（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．AB 10．ABD11．BC 12．AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2+14．6π（答案不唯一） 15．16；716．2-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1 ∴2441()0a ∆=--= 解得：0a =（2）比如选①（选其他按照相应给分） 集合1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合{}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++= ∵A B A ⋃=∴B A ⊆ 显然有1a ≠±要满足条件，必有：111111aa⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩解得：()()(),21,12,a ∈-∞-⋃-⋃+∞18．解：（1）tan()cos(2)sin()tan cos cos 2()sin cos()cos f ππαπααααααααα+++⋅⋅===-（2）∵1sin cos 2αα+=两边平方得112sin cos 4αα+=所以3sin 22sin cos 4ααα==-又∵0απ<<，∴(,)2παπ∈∴sin cos αα-===∴221cos2os sin (sin cos )(sin cos )2c ααααααα=-=-+-=-=所以3sin 2cos2()(4αα+=-+=19．解：（1）22()2sin ()2sin 1cos(2)(1cos2)63f x x x x x ππ⎡⎤=+-=-+--⎢⎥⎣⎦1cos2cos(2)cos2sin 2322x x x x π=-+=+ sin(2)6x π=+函数()f x 的最小正周期22T ππ== （2）由（1）知：()sin(2)6f x x π=+当(0,)2x π∈，72(,)666x πππ+∈ 又因为sin y x =在,62 ππ⎛⎤⎥⎝⎦，7,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦令2662x πππ<+≤，得 0,6x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦∴函数()f x 在(0,)2π的单调递增区间为（0, 6π⎛⎤ ⎥⎝⎦20．解：（1）∵2()()21x xaf x a R +=∈+为R 上的奇函数∴()00f = 解得：1a =-经检验：当1a =-时，满足()f x 为奇函数所以1a =-（2）由（1）知212()12121x x x f x -==-++ 由复合函数单调性知：()f x 在[]0,1x ∈上单调递增所以当[]0,1x ∈时，()()()0,1f x f f ∈⎡⎤⎣⎦，即()[]30,1f x ∈ 设()g x 在[]0,1x ∈的值域为A ，知[]0,1A ⊆ 对b 讨论：当0b <时，()00g b =<显然不符合 当0b ≥时，因为1)y x =与2y x =在[]0,1x ∈上均单调递增，同理根据复合函数单调性知：所以()g x 在[]0,1x ∈上单调递增所以当[]0,1x ∈时，[]()(0),(1)1)1)g x g g b b ⎡⎤⊆=+⎣⎦故有：01)1)1b b ≥⎧⎪⎨+++≤⎪⎩解得：011)b ≤≤--21．解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为2米，筒车的轴心O 距水面的高度为1米，可得：2A =，1K = 当0t =时，0d =，代入()2sin 21d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-， 因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-∴2sin(2)16d t π=-+（2）在水中，理由如下： 由题知：02sin(2)126t π-+=，01sin(2)62t π-= 由题意，0cos(2)06t π-<，所以0cos(2)6t π-==，∴00211sin 2()sin (2)()()366 123222t t ππππ⎡⎤⎡⎤+-=-+=⨯-+-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=故再经过3π分钟后()21110d =⨯-+=-< 所以再经过3π分钟后盛水筒在水中，距水面距离为1米． 22．解：（1）当0x <时，()2f x =显然有一个零点2- 当0x >时，2111 ()),244f x x a a a ⎡⎫=+=+-∈-+∞⎪⎢⎣⎭故要使得()2f x =的零点至少有2个，须满足：124a -≤，解得：94a ≤ （2）法一：当0x >时，2111 ()),244f x x a a a ⎡⎫=-=-+-∈-+∞⎪⎢⎣⎭显然14a <由题意令()0f x =得：有1212+⎨==1+=121()2x x <=≠，所以104<于是有：212112x x +=-=->法二：显然14a <，所以1122102=+>⎨⎪<=⎪⎩得：1 04a<<所以：22212111222x x a⎛⎛+=+++-=-⎝⎝=于是有：121 2x x +>．。