最新高一数学下3月月考试题(1)

2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终xOy αO x 边过点，则的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．77-17-【答案】D【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点，可得，()4,3P 3tan 4α=所以.3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--故选：D2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()310AE AB AC=+D BC A ．B ．C ．D ．37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.2AB AC AD += 35AE AD=【详解】因为为边的中点，所以，D BC 2AB AC AD +=因为，所以，()310AE AB AC=+35AE AD = 则．23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位），其中是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i ,xy i x y +A ．5B C ．D ．2【答案】A 【详解】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0lnMv v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.()kg m ()kg M Mm 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷40018流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相23900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s1800m/s2100m/s【答案】C【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，0v v 则，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()09002700552ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003v ==+-+-，27002700180)0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =≈=-⨯-⨯故选：C.5．已知集合，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)∞+[25)(5,)+∞【答案】B【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由有意义可得，得，所以，2log (5)y x =-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，0x >12y x x =+≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =sin y x=3y x =-12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.3y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值3()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x3.27 1.570.61-0.59-0.260.420.35-0.56-0y101.63-10.04-0.270.260.210.200.22-0.03-0下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0【答案】B【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．a 【详解】由，则，故，(0)0f =0d =3()f x ax cx =+所以且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；()f x [0.56,0.59]根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2πB ．函数的最大值为2()f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为()f x 12π()sin 2g x x=【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，()f x 22ππ=()f x 对于C ，当时，，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；sin y x =,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为()f x 12π，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d+>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc>0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的()()2cos 20f x x x ωωω=+>2π()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）x 3π()g x A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,04π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．是奇函数D ．在区间上的值域为()g x ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后ω()g x 根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以()()2cos 20f x x x ωωω=+>，因为函数的()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，2π，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故2sin 22cos 236()2sin 22g xx x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于D ：因为，所以，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB11．已知，，，则（ ）0a >0b >21a b +=A ．B ．CD54a b +<1a b ->-12b ≤≥【答案】BCD【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；2,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为，取等号时满足，故A 错误；221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==B ．因为，故B 正确；22215151112424a b b bb ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为，取等号时C 正确；12b ==≤1,2a b ==D ．因为，只需证，20b -<≥()2132a b ≤-()232a b ≤-即证，即证，即证，()()22312b b -≤-24410bb -+≥()2210b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2210b -≥31,42a b ==故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭sin cos a b θθ--几何意义去进行求解并判断.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．若，则__________．π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.425-【分析】根据诱导公式进行求解.【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.25-14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.ϕ=【答案】34π【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故可得，解得，sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Zπϕπ+=∈解得；又因为，,4k k Zπϕπ=-∈()0,ϕπ∈故可得.34πϕ=故答案为：.34π【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1sin cos 2αααα+=-tan 2α【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-，∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-即，tan 1tan 112αα-+=tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，.6CAB π∠=ABC 2DC =3DA =____．sin D =【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．2sin()sin sin 1.2A C B B B π+=⇒=∴=由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，,2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为C 值.()+3sinD D D φ=-详解： ，由正弦定理得到cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为21312cos AC D =-212AC AC AC D ==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测A B C P αβγ得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山15α=45β= 30γ=5km 2AD =1km2EB =1km BC =AC隧道，试求出隧道的长度.DE【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得PBC 12sin15PB =PAB的长度3AB =+DE 【详解】在中，，，.PBC 30C γ∠==15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，sin sin BC PBCPB C =∠∠即，所以.1sin15sin30PB=12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==45ABP β∠== 所以.180120APB A ABP ∠=-∠-∠=由正弦定理，sin sin BP ABA APB =∠∠所以，2sin1202sin 15AB =3==+所以DE AB AD EB =--51322=+-=所以隧道的长度为.DE 18．已知函数的部分图像如图所示.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；()f x ()f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.ABC ∆,,A B C A 14,cos sin 21225A f B Cπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π[π,π],.63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到π()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π[π,π],.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知,1sin 2A =根据角为锐角,得到.A π6A =进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当时，，可得π6x =πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为所以故 π,2ϕ<π.6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为π2π[π,π.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴.A π6A =，.0πB <<.【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =(1)求；tan B(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC【答案】(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将sin sin()A B C =+代入，由即可求解；1cos 3C =sin tan cos BB B =（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，sin B cos B 2ab =c =在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C+==+由，得1cos C 3=sin C==所以，即12sin sin 3B B B=sintan cos B B B ==（2）由，可得，22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin B =cos B =在中，由正弦定理得，且ABCsin sin c bC B ==2a b=所以，sin sin b C c B ===在中，由余弦定理得：，CMB 2222cos 59MB BCMB BC B CM +-⋅==，222112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪⎝⎭所以，22259a a ⎫+-⋅=⎪⎪⎭所以，可得25959108a =a =b =11sin 22ABC S ab C ==⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C △△a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c a c a B化简整理为，解得22230--=c c 1=+c所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=21．已知函数.()sin 2+sin(2)3f x x x π=-(1)求的最大值及相应的值；()f x x (2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，g()()4x f x π=,,P M N ()y gx =求的值.cos MPN ∠【答案】(1)；1,Z12x k k ππ=+∈【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.PM MN PN ===MPN △【详解】（1）解：由题意，函数()1sin2sin22f x x x x =+-，1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为，此时，即.()f x ()max 1f x =2232x k πππ+=+,Z12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭过作轴于，D MD x ⊥D因为 所以，可得，1PD DM ==90PMN ∠=PM MN PN ==在直角中，可得MPN △cos PM MPN PN ∠===22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；52(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．2B 2A 92【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.15-【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.由余弦定理得cos C ＝＝＝－.(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·＋sin B ·＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（ ）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（ ）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（ ）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（ ）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（ ）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（ ） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（ ） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得： ，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。

2023年北京市北师大二附中高一3月月考数学试卷一､选择题（共12小题，每题5分共60分）1. 化简sin 600︒的值是（ ）A. 12B. 12-C.2D. 2. 已知()3,4P -是角α的终边上的点，则sin α=（ ） A.45B. 35C. 35-D. 43-3. 已知角5α=，则α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角4. 若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A.125 B. 125-C.512D. 512-5. 已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当π9x =时函数取得最大值2，当4π9x =时函数取得最小值2- ）．A. π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；B. π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；C. π2sin 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭； D. π2sin 36x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin y x =的图象（ ） A. 把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π个单位B. 把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移3π个单位 C. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位 D. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位 7. 已知扇形的圆心角为2π3） A.5π4B. π8. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合终边在直线2x －y ＝0上，则()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（ ） A. ﹣2B. 2C. 0D. 239. 函数2cos sin y x x =+的最大值为（ ）． A. 2B.54C. 1D. 010. 已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称 B. 函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 C. 函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D. 函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增11. 若函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移3π个单位后，所得图象关于原点对称，则ω的最小值为（ ） A.14B.34C.74D.9412. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. 2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D. ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二､填空题（共6小题，每题5分，共30分）13. cos40cos20sin40sin20-的值等于__________. 14. 若角πα+终边上一点坐标为()5,12-，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭________. 15. 已知tan 3,αα=是第三象限角，则2cos sin αα-的值为__________. 16. 若点()cos ,sin Pθθ与点ππcos ,sin 33Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于直线y x =-对称，写出一个符合题意的θ值为__________.17. 如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图.O 为观览车的轮轴中心，点O 距离地面的高度为32m ，观览车转轮的半径为30m ，其逆时针旋转的角速度为1rad /s .点0P 表示观览车上某座椅的初始位置，且0π6xOP ∠=，此时座椅距地面的高度为__________m ；当转轮逆时针转动s t 后，点0P 到达点P 的位置，则点P 的纵坐标y 与时间t （单位：s ）的函数关系为__________()0t ≥.18. 已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得1()f x +2()0f x =，则m n -的最小值为__. 三､解答题（共4小题；共60分）19. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4AOP π∠=，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点()Q a b ，（1）当6πθ=时，求ab 的值；（2）设42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求b a -的取值范围．21. 已知函数()πsin (0,0)6f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图像可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎭的图像平移得到；③函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件的序号，并求出()f x 的解析式. （2）求()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间. （3）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和.22. 已知函数()cos2f x x x =+.（1）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()008ππ,,542f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （3）若函数()y f x ω=在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．附：参考答案一､选择题1. D2. A3. D4. D5. B6. A7. B8. B9. B10. C11. B12. C二､填空题13. 12或0.514.5 1316. 7π12（答案不唯一）17. ①47②π30sin6 y t⎛⎫=+⎪⎝⎭18.3π三､解答题19. （Ⅱ）4 5（Ⅱ）5665-或166520. (1)14 ab=(2) 1⎡⎣21. （1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）2π322. （1）最大值是2，最小值是1-（2； （3）1353ω≤≤。

高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

河南省南阳市邓州市第一高级中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a r ，b r是非零向量，“a a bb =r r r r ”是“a b =r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点ππsin ,cos 66P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πsi n 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-BC ．D ．123．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知πcos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A B 3C ．D ．5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图，BC x ⊥轴，DE x⊥轴，四边形BCDE 的面积为4,CD = ）A ．ππ2,,23A ωϕ===B ．ππ2,,26A ωϕ===C ．π,4A ωϕ===D ．π,4A ωϕ== 7．设函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0)ω>．若()f x 在区间[12π-，]3π上具有单调性，且5()()()326f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为( )A ．2πB ．34π C ．πD ．2π8．已知函数()cos cos f x x x =-，则下列结论中正确的个数为（ ）①()f x 为偶函数；②()f x 的一个周期为π；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的值域为[2,0]- A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列四个函数中，以π为周期，且在区间(,)42ππ上单调递增的是（ ）A ．|sin |y x =B ．cos 2y x =C ．tan y x =D ．sin |2|y x =10．下列命题中错误的有（ ）A ．a b =r r的充要条件是||||a b =r r 且//a b r r B ．若//,//a b b c r r r r ，则//a c r rC ．若//a b r r ，则存在实数λ，使得a b λ=r rD ．若AB u u u r与AC u u u r 是共线向量，则,,A B C 三点共线11．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．若π,02⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则()f x 的值域为⎡-⎢⎣⎦D ．()f x 的图象可以由cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数()πtan (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则1ω=B ．已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，且函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，若函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数π12m =C ．已知函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3三、填空题13．若21,e e u r u u r 为平面内所有向量的一组基，且1234a e e =-r u r u u r ，126b e ke =+r u r u u r 不能作为一组基，则k 的值为.14．已知函数()f x 对任意的实数x 都满足()()()422f x f x f ++=，且函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称，若()()122f f -+-=，则()2021f =．15．若函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2π上恰好有4个零点和4个最值点，则ω的取值范围是．16．将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到()g x 的图象，记()f x 与()g x 的图象在y 轴的右侧的所有公共点为()()*,i i x y i ∈N ，则i x 的最小值为.四、解答题 17．解答下列问题：(1)计算11π13π8π11πsin tan cos sin 64369π13π7πtan cos tan 434⎛⎫-- ⎪⎝⎭-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值；(2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，求()()()3πsin πsin 2sin π2cos 2παααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-+-的值．18．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中A >0，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象．求函数()([2,1])y g x x =∈-的值域．19．如图，已知OAB V 中，点B 关于点A 的对称点为,C D 在线段OB 上，且2,OD DB DC =和OA 相交于点E ．设,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ．(1)用a b rr ､表示向量OC DC u u u r u u u r ､．(2)若OE OA λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．20．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数()f x 的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出()f x 在一个周期内的图象； (3)求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．21．平行四边形ABCD 中，点M 在AB 上，且2AM MB =u u u u r u u u r ，点N 在BD 上，且3BN ND =u u u r u u u r ，记AB a =u u u rr ，AD b =u u u rr(1)以a r ，b r为基底表示MN u u u u r ；(2)求证：M 、N 、C 三点共线.22．如图，已知函数()()()cos 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图象与x 轴相交于点1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，图象的一个最高点为5,16B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()()114y g x x =--的所有零点之和．。

广东韶关实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设平面向量()()2,1,,2a b x ==-r r ，若a b rr P ，则x 等于（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-2．已知全集{}12345U =，，，，，{}24A B =I ，，{}1234A B =U ，，，，则（ ） A ．2A ∈，2∉B B ．3A ∈，3B ∈ C ．4A ∈，4B ∉D ．5A ∉，5B ∉3．下列所给的等式中正确的为（ ）A ．2π1353=o B ．πtan6C ．3πsin4=D ．π1cos 32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4．已知θ是第四象限角，且()3sin π5θ+=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17B ．7-C ．17-D ．75．已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ） A ．a a m b b +< B ．a a m b b m+<+ C ．a m ab m b+<+ D ．a ab m b<+ 6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()π23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x xC ．()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．ABC ∆所在平面内一点P 满足22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，若2PA BP =u u u r u u u r，则cos 2θ=（ ）A B ． C ．13D ．13-8．已知cos1cos1sin1cos1,log sin1,2a b c =+==，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．c b a >>D ．a c b >>二、多选题9．已知向量()(),1,2,1a m b =-=-r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若1m =，则-=r ra b B ．若a b ⊥r r，则2m =C ．“12m <-”是“a r 与b r 的夹角为锐角”的充要条件 D ．若1m =-，则b r 在a r 上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知1sin cos 5αα-=，0πα≤≤，则下列选项中正确的有（ ） A ．12sin cos 25αα= B ．7sin cos 5αα+=-C ．4sin 5α=D ．4tan 3α=11．下列说法正确的是（ ）A ．函数()2sin cos f x x x =是周期为π的奇函数B ．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线2π3x =对称C ．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,Z 82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．函数()sin f x x x =的最大值是2，且在区间7π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题12．已知函数()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()5f -=．13．如图，点P ，A ，B 均在边长为1的小正方形组成的网格上，则()2PA PB PA ⋅-=u u u r u u u r u u u r．14．已知πsin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．四、解答题15．如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且,,AB a AC b AE c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，试用向量,,a b c r r r表示向量,,CD BC BD u u u r u u u r u u u r .16．如图，在△ABC 中，∠A =30°，D 是边AB 上的点，CD =5，CB =7，DB =3（1）求△CBD 的面积； （2）求边AC 的长.17．（1）已知点()3,P a -为角α终边上一点，且4tan 3α=-，求()cos πα+的值；（2）若π1tan 43β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin22cos ββ+的值.18．①函数211()sin()cos()cos ()(0)22224f x x x x ωωωω+->；②函数1()sin()(0,||)22f x x πωϕωϕ=+><的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于原点对称.在以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知___________，函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.” （1）求()6f π的值；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间；（3）记1()2()2h x f x =-，将()h x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()t x 的图象，若对于任意的1x ，2[0,]x m ∈，当12x x <时，都有1221()()()()h x t x h x t x ->-，求m 的取值范围.19．n 个有次序的实数12,,,n a a a u r u u L r u u r 所组成的有序数组()12,,,n a a a u r u u r u u r L 称为一个n r维向量，其中()1,2,i a i n =r L u 称为该向量的第i 个分量.特别地，对一个n r 维向量()12,,,n a a a a =u r u L u r u u r r，若1i a =u r ，1,2i n =r L ，称a r 为n r 维信号向量.设()12,,,n a a a a =u r u L u r u u r r，()12,,,n b b b b =u r u L u r u u r r ，则ar 和b r的内积定义为1n i i i a b a b =⋅=∑r r u r u r ，且0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；(3)已知k 个两两垂直的2024维信号向量12,,,k x x x u r u u r u u rL 满足它们的前m 个分量都是相同的，45.。

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）α1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos αA ．BC ．D ．12-12【答案】A【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果.cos x α=【详解】由三角函数的定义可得.1cos 2α=-故选：A.2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）45︒A ．（）B ．（）2π45k +︒Z k ∈π3604k ⋅︒+Z k ∈C ．（）D ．（）36045k ⋅︒+︒Z k ∈5ππ4k +Z k ∈【答案】C【分析】根据终边相同的角的表示方法以及角度和弧度的应用，一一判断各选项，可得答案.【详解】对于A ，B ，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（），45︒36045k ⋅︒+︒Z k ∈π2π4k +Z k ∈对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C 正确，D 错误，5ππ4k +0k =5π445︒故选：C3．已知，则（ ）tan 3α=-22cos sin αα-=A ．B ．C ．D ．4545-3535-【答案】B【分析】弦化切即可求解.【详解】，22222222cos sin 1tan 84cos sin cos sin 1tan 105αααααααα----====-++故选:B.4．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ．D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误；π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2当时，，，则此函数在区间上单调递减，故D )π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-正确.故选：D.5．函数在上的图像大致为（ ）()3sin xf x x x =-[]π,π-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，3sin ()xf x x x =-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且，33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求.πx =()(π)πf x f ==故选：B6．已知，则（ ）π3,π,sin 25αα⎛⎫∈=⎪⎝⎭cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BC ．D【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.【详解】由，得π3,π,sin 25αα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，4cos 5α===-，，ππππ,2224αα<<∴<<cos 02α>，cos 2α===所以cos πcos 22αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：A.7．如图，在正方形中，分别是边上的点，，，则（ ）ABCD ,E F ,AB AD 32AE BE =4ECF π∠=A ．B ．32AD DF =2AD DF =C ．D ．3AD DF =4AD DF=【答案】D【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到.tan FCB ∠tan FCD ∠4AD DF =【详解】由题可知，()31tan tan 5tan tan 431tan tan 115FCE BCE FCB FCE BCE FCE BCE ∠∠∠∠∠∠∠++=+===-⋅-⨯则，即，.1tan 4FCD ∠=4CD DF =4AD DF =故选：D.8．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a=的值是（ ）0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果()085f x a=04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为，()()sin cos f x a x b xx ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cosϕ=由于函数的图象关于对称，所以，6x π=6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭即，化简得，12ab =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x aπ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.二、多选题9．下列各式中正确的是（ ）A ．B ．3ππtantan 55>tan2tan3<C ．D ．17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A ，B ，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C ，D.【详解】对于A ，，A 错误;3π2π2ππtantan(πtan 0tan 5555=-=-<<对于B ，，由于函数在上单调递增，π23π2<<<tan y x =π(,π)2故，B 正确；tan2tan3<对于C ，，17π17πππcos(cos cos(4πcos 4444-==+==，故，C 正确；23π3π3πcos()cos(4π+cos 0555-==<17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D,函数在上是增函数，而，sin y x =ππ[,]22-ππ1018-<-所以，D 不正确； ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．若为第一象限角，则为第一或第三象限角α2αB ．函数是偶函数，则的一个可能值为()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ϕ3π4C ．是函数的一条对称轴π3x =()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为601cm 60cm 【答案】AC【分析】对于A ：直接代入象限角的范围即可求解；对于B ：代入即可判断奇偶性；对于3π4ϕ=C ：代入根据余弦函数对称轴的性质即可判断；对于D ：根据弧长公式即可求解.π3x =【详解】对于A ：若为第一象限角，则，απ2π2π,Z2k k k α<<+∈则：，所以为第一或第三象限角，πππ,Z 24k k k α<<+∈2α故选项正确；A对于B ：当时，，函数为奇函数，3π4ϕ=()()sin πsin f x x x =+=-故选项错误；B 对于C ：因为，所以是函数π2cos π23f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3x π=的一条对称轴，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故C 选项正确；对于D ：扇形圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为，π31cm πcm3故D 选项错误.故选：AC.11．已知函数，其中表示不超过实数x 的最大整数，下列关于()[][]sin cos cos sin f x x x =+[]x 结论正确的是()f x A ．B ．的一个周期是cos12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 2πC ．在上单调递减D ．()f x ()0,π()f x 【答案】ABD 【分析】将代入可判断A ；根据函数周期的定义可判断B ；根据取整函数的定义，可以判断2x π=在上函数值是确定的一个值，从而判断C ；利用可判断D.()0,π()0f 【详解】由，()[][]sin cos cos sin f x x x =+对于A ，，故A 正确；sin 0cos1cos12f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于B ，因为()()()2sin cos 2cos sin 2f x x x πππ+=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以的一个周期是，故B 正确；[][]()sin cos cos sin x x f x =+=()f x 2π对于C ，当时，，，所以，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<[][]sin cos 0x x ==所以，故C 错误；()[][]sin cos cos sin sin 0cos 01f x x x =+=+=对于D ，()[][]0sin cos 0cos sin 0f =+D 正确；sin1cos 0sin111=+=+>>故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数、单调性、周期性、最值的综合应用，属于中档题.12．已知函数，则（ ）()cos 2sin ,Rf x x a x a =+∈A ．的最小正周期为()f x πB ．的图象关于直线轴对称()f x π2x =C ．当则函数在上单调递增2a =()f x ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．当时，最小值为0，则1a =()π,,6x f x α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π7,π26α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD【分析】A 、B 分别判断、是否成立即可；C 、D 研究正弦函数和二(π)()f x f x +=(π)()f x f x -=次函数所构成的复合函数的单调性，以及正弦函数的值域判断正误.【详解】A ：，又，故不一(π)cos 2(π)sin(π)cos 2sin f x x a x x a x +=+++=-R a ∈(π)()f x f x +=定成立，错误；B ：，即关于直线轴对称，正确；(π)cos 2(π)sin(π)cos 2sin ()f x x a x x a x f x -=-+-=+=()f x π2x =C ：由，令，则，2()12sin 2sin f x x x =-+1sin (2t x =∈-2215()()1222()24f x g t t t t ==-+=--+而在上递增，在上递增，上递减，sin t x =ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()g t 11(,22-1(2所以在上递增，在上递减，错误；()f x ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ：由，令，则，而2()12sin sin f x x x =-+sin t x =2219()()122()48f x g t t t t ==-+=--+，1((1)02g g -==要使在上最小值为0，只需保证至少取到或1中的一个值，但不能小于，()f x π,6α⎛⎫-⎪⎝⎭sin α12-12-即，正确.π7π26α<≤故选：BD三、填空题13．已知，且是第二象限的角，则______．2sin 3β=βtan β=【答案】【分析】根据同角的平方关系求得，从而得到结果.cos β【详解】因为是第二象限的角，则，βcos 0β<所以cos β==则sin tan cos βββ==故答案为:14．函数的定义域为______．()()lg tan 1f x x =-【答案】，πππ,π42k k ⎛⎫++⎪⎝⎭()k ∈Z 【分析】根据对数函数真数大于0，正切函数图象性质解决即可.【详解】由题知，，()()lg tan 1f x x =-所以，即，解得，tan 10ππ2x x k ->⎧⎪⎨≠+⎪⎩ππππ42ππ2k x k x k ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩πππ,42k x k k π+<<+∈Z 所以函数的定义域为，()()lg tan 1f x x =-πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 故答案为：，πππ,π42k k ⎛⎫++⎪⎝⎭()k ∈Z15．已知函数，若函数在区间上存在两个零点和两个最值点，则m 的()sin cos f x x x=-()f x []0,m 取值范围是___．【答案】79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先根据辅助角公式得到，再求出的取值范围，然后根据正弦函()π4f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4x -数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可．【详解】依题意可得，()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由，则，[]0,x m ∈πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦要使函数在区间上存在两个零点和两个最值点，()f x []0,m 则，解得．3ππ2π24m ≤-<7π9π44m ≤<所以m 的取值范围为．79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：．79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．若定义在上的函数满足：当时，，且R ()f x π2x ≤()()sin 2sin 3sin cos f x f x x x -+=，则__________.()()2f x f x +=365f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】##3625-1.44-【分析】将代入已知等式，结合正余弦函数的奇偶性可构造方程组求得，x -()sin 3sin cos f x x x=结合可化简得到；利用周期性可知所求函数值为，令cos 0x ≥()sin 3sin f x x =45f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可求得结果.4sin 5x =-【详解】当时，π2x ≤，；π2x -≤()()()()()()sin 2sin sin 2sin 3sin cos f x f x f x f x x x ∴--+-=+-=-由得：，()()()()sin 2sin 3sin cos sin 2sin 3sin cos f x f x x x f x f x x x ⎧-+=⎪⎨+-=-⎪⎩()sin 3sin cos f xx x =当时，，π2x ≤cos 0x ≥cos x ∴=()sin 3sin f x x ∴=，，()()2f x f x += 36448555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则.4sin 5x =-412365525f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭故答案为：.3625-【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够灵活应用正余弦函数的奇偶性，采用构造方程组的方式求得，利用周期性将自变量转化到的范围()sin f x []1,1-内即可.四、解答题17．（1）已知，求值；sin 2cos α63sin α5cos αα-=--tan α（2）化简.()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.28tan 19α=-2sin α【分析】（1）根据同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式进行求解即可.【详解】（1）；sin 2cos αtan 22866tan 3sin α5cos 3tan 519ααααα--=⇒=⇒=-----(2)()()2πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2sin sin cos cos sin ααααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭==18．如图所示，在平面直角坐标系中、角的项点与原点重合，以x 轴非负半轴为始边的两个锐xOy 角、，它们的边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B.αβ(1)求，的值.sin αsin β(2)求的值()sin 2αβ+【答案】(1)，sin α=sin β=【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解，cos α=cos β=解sin α=sin β=（2）由二倍角公式可得，，进而由正弦的和角公式即可求解.4sin25β=3cos25β=【详解】（1）由三角函数的定义可知为锐角，则，从而cos α=cos β=αsin 0α>sin α==sin β==sin α=sin β（2）∵，，4sin22sin cos 5βββ==23cos22cos 15ββ=-=所以()34sin 2sin cos2cos sin255αβαβαβ+=+==19．已知，.π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；()2sin 22cos f ααα=-(2)若，且的值.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1)；45-(2).π4【分析】(1)先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍α角公式和同角三角函数的基本关系，进行弦化切，代入即得结果；(2)由，结合所给的角的范围，利用两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的3π3π44ββ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭基本关系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.1tan 3β=【详解】（1）∵，π1πtan 0434αα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴，解得.1tan 11tan 3αα-=+1tan 2α=∴；()2222sin 22cos 2sin cos 2cos 1cos sin f αααααααα-⋅-==+21222tan 2211tan 5144αα⨯--===-++（2）∵，且，∴，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3πsin 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π3π5π444β<+<∴，3π3πcos 0,cos 44ββ⎛⎫⎛⎫+<+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3π3π3π3π3π3πsin sin sin cos cos sin 444444ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，⎛=-= ⎝π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴，∴.cos β=1tan 3β=∴，()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αβαβαβ+++===-⋅-⨯又∵，3π04αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴.π4αβ+=20．已知函数，的最小正期为.()()()2π2sin 2104f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()f x π(1)求的单调增区间和对称中心；()f x (2)方程在上有两个解，求实数的取值范围.()210f x n -+=70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦n 【答案】(1)的单调增区间为，；对称中心为，；()f x π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈(2).31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再结合三角函数的图象及性质求解即()f x 可；（2）根据正弦函数的图象和性质结合条件即得.【详解】（1）因为，()()()2π2sin 2104f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭所以，()ππcos 22sin 222sin 223f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为的最小正周期为，，()f x π0ω>所以，即，2ππ2ω=1ω=所以的解析式，()f x ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，πππ2π22π232k x k -≤-≤+Z k ∈得：，π5πππ1212k x k -≤≤+所以的单调增区间为，，()f x π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈令，，得：，π2=π3x k -Z k ∈ππ62k x =+所以的对称中心为，；()f x ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈（2）因为，所以，7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2336x -≤-≤当，即时，单调递增，πππ2332x -≤-≤5π012x ≤≤()π2sin 23y f x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()π2sin 232y f x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦当，即时，单调递减，ππ5π2236x ≤-≤5π7π1212x ≤≤()π2sin 23y f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()[]π21,2sin 23y f x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭方程在上有两个解，即在上有两个解，()210f x n -+=70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21f x n =-70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，1212n ≤-<312n ≤<所以实数的取值范围为.n31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．已知函数.()21sin cos 2y f x x x x ==-(1)求函数在区间的值域；()y f x =2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.()π6h x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()cos 0x h x m -->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)(),1-∞-【分析】(1)首先化简,再根据范围求出范围，即可得到其值域；()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x π26x -(2)利用诱导公式和二倍角余弦公式结合分离参数得，再结合22192cos cos 12cos 48m x x x ⎛⎫<+-=+- ⎪⎝⎭范围，即可求出右边最小值，即得到答案.x 【详解】（1）21()sincos 2f x x x x =-1cos21222x x -=+-12cos 22x x =-，πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，1()sin 2,162πf x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故函数在区间的值域为.()y f x =2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）因为()ππsin 2cos 262h x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()cos 0,cos cos 20x h x m x x m -->+->所以2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48m x x x x x ⎛⎫<+=+-=+- ⎪⎝⎭设()2192cos 48g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若不等式在上恒成立，只需.()cos 0x h x m -->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min m g x <当时，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈所以当，即时，cos 0x =π2x =()2min π1921248g x g ⎛⎫⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.1m <-实数的取值范围为.m (),1-∞-22．已知函数，其中a 为常数.()245f x x ax =-+(1)若对，恒成立，求实数a 的取值范围；1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤(2)若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a 的取值范围.()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)[]0,8(2)2192a ≤<【分析】（1）参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦求出和的最值，得到实数的取值范围；()164g x x x =-()44h x x x =+a （2）解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，分三种情况数形结合得到实数a 的取值范围；112t <<22t =解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围.112t <<22t =11t =22t =101t <<212t <<a 【详解】（1），恒成立，1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤即对恒成立，16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，()164g x x x =-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以， ()()max 20g x g ==今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，()44h x x x =+448x x +≥1x =所以，()min 8h x =所以，即实数的取值范围是.08a ≤≤a []0,8（2）解法一：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，1t ()212t t t <2450t at -+=则方程在内有且只有三个实数解等价于且；()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11t =212t <<或且；或且101t <<212t <<112t <<22t =今，对称轴为，且，()245m t t at =-+8a t =1254t t =①当且时，，解得；11t =212t <<()()219022120128Δ800m a m a a a ⎧=-=⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪=->⎪⎩9a =②当且时，，解得； 101t <<212t <<()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<③当且时，与相矛盾，不合题意；112t <<22t =1254t t =综上，实数的取值范围为.a 2192a ≤<解法二：今，则方程即， 2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，令.1t ()212t t t <2450t at -+=()245m t t at =-+若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解，11t =9a =254t =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 1x =52sin 4x =则方程在有两个实数解； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则，，22t =212a =158t =当时，有一个实数解，有一个实数解，5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 2x =52sin 8x =则方程在有两个实数解，不合题意； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此外，要使方程在有三个实数解，只需，，()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭101t <<212t <<则，解得；()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<综上，实数的取值范围为.a 2192a ≤<【点睛】复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程的根的个数，在解决此类问x ()0g f x =⎡⎤⎣⎦题时，分两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使其等式成立，第二层()g x ()f x 是结合第一层的值，求出对应的的值，求出零点的个数.()f x x。

云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市红河州一中2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ） A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{}1A Î D ．{}1,2,3A ⊆2．若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（ ） A ．3B ．45-C ．35D ．34-3．上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．24．已知(3,1),(2,1)a b =-=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．11,510⎛⎫⎪⎝⎭5．ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()sin 2f x x a x =++，且()5f m =，则()f m -=（ ） A ．5-B ．3-C ．1-D ．37．若0.11.1a =，0.2log 0.3b =，4πcos 5c =，则（ ） A ．c b a << B ．c<a<b C ．b<c<aD ．a c b <<8．在ABC V 中，D 在BC 上，且2,BD DC E =u u u r u u u r 在AD 上，且4AD AE =u u u r u u u r．若B E x A B y A C =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +=（ ） A ．1312 B ．34C ．34-D ．1312-二、多选题9．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ， 则下列说法正确的有（ ） A ．A :B :C = a :b :c B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．若A >B ， 则a >bD ．πA B C ++=10．已知函数()sin f x x x =，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴 D ．函数()y f x =在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．下列命题是真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，12x x+≥ B ．0x ∃>，ln x x =C ．x ∀∈R ，21x x +≥-D ．方程22x x =的实根有三个三、填空题12．若函数()23,01,0x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -=．13．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取（只填符合条件的一种即可）14．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则ω 的取值范围是.四、解答题15．已知()()11,cos ,,sin ,0,π3a x b x x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭r r ．(1)若a r //b r，求sin cos sin cos x x x x+-的值；(2)若a b ⊥r r ，求sin cos x x -的值．16．为绘制海底地貌图，测量海底两点C ，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，C ，D 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得30BAC ∠=︒，45DAC ∠=︒，45ABD ∠=︒，75DBC ∠=︒，同时测得AB .(1)求AD 的长度； (2)求C ，D 之间的距离. 17．已知函数()13x bf x a a=--（0a >且1a ≠）是奇函数，且()12f =.(1)求a ，b 的值及()f x 的定义域；(2)设函数()()2g x kf x =-有零点，求常数k 的取值范围；18．在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． (1)求角C ；(2)若2c =，求2a b -的取值范围．19．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e u r ，2e uu r 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy 中的坐标.(1)设1232OP e e =+u u u r u r u u r，求OP u u u r ；(2)已知()11,a x y =r，()22,b x y =r ，求a b ⋅r r ； (3)若()2,4m =r ，()6,3n =-r，m u r 与n r 的夹角记为θ，求θ的余弦值.。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e = B ．12||||1e e += C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．B ．C ．D ．5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．3106．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A B ．C ．78D ．78-7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+ B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+ D ．2233AB AD+ 8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A ．116+B ．116C ．1112+D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-上的最大值为2C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =，b =，45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若22sin sin sin 2ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a ab a b b <>=⊗ ．已知非零向量m，n 满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗ 都是整数，则m n⊗的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则b在a方向上的投影向量的模长是．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S 中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC =，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅的取值范围．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？20．（本题满分12分）在ABC ∆中，222a a c b =+-=．（1）若b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．答案和解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)【正确答案】B 2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453cos 5α=，02πα<<，4sin 5α∴==，4sin()sin 5παα∴+=-=-．【正确答案】A 3．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e =B ．12||||1e e +=C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 根据题意，依次分析选项：对于A ，12e e ⊥ ，则12,e e方向不同，A 错误；对于B ，12||||112e e +=+=，B 错误；对于C ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅=，则有222121212()22e e e e e e +=++⋅= ，C 正确；对于D ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅= ，则有222121212()22e e e e e e -=+-⋅= ，则12||e e -=D 错误．【正确答案】C4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．52mB ．53mC ．55mD ．56m在ABC ∆中，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180607545CAB ∠=︒-︒-︒=︒，又因为得10BC m =，由正弦定理可得：sin sin BC ABCAB ACB=∠∠，可得3sin 21056sin 22ACBAB BC CAB ∠=⋅=⋅=∠．【正确答案】D5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．310(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，∴(1,2)OA =- ，(2,1)AB =-，故cos OA < ，2222122(1)45(1)22(1)AB -⨯+⨯->==--+⋅+-．【正确答案】A 6．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A ．158B ．158-C ．78D ．78-1sin()sin()12412ππαα-==--，1sin()124πα∴-=-，则2517cos(2)cos(2)2sin ()1216612168πππααα+=--=--=⨯-=-．【正确答案】D7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+D ．2233AB AD+建立平面直角坐标系，如图所示：矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，设(2,0)B ，则(0,1)D ，1(2,)2E ，(1,1)F ，3(2G ∴，3)4；∴3(2AG = ，34，(2,0)AB = ，(0,1)AD = ，设AG xAB y AD =+ ，则3(2，3)(24x =，)y ，即32234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得34x =，34y =；∴3344AG AB AD =+ ．【正确答案】C8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A．116+B ．116C．1112+D ．1112设||AB c = ，||AC b = ，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =，∴||4CB = ，∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=，∴2121111111()(3412321212x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当13432x yx y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6(46)5x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．【正确答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin(2)3g x x π=+的图象；所以函数的最小正周期为π，当12x π=时，函数取得最大值1．【正确答案】AD10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c．若a =，b =45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒在ABC ∆中，由于a =b =45B =︒，利用正弦定理：sin sin a bA B=，解得sin 2A =；由于sin b a B >；所以60A =︒或120︒．【正确答案】CD11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若222sin sin sin ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆的面积为32C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心对于A ，因为222sin sin sin A B C +<，通过正弦定理可知222222cos 02a b c a b c C ab+-+<⇒=<，故ABC ∆是钝角三角形，故A 错；对于B ，若1,30AB AC B ===︒，假设BC x =，由余弦定理可知22212x x =+-，可解得1x =或2x =当111,1224ABC BC S ∆==⨯⨯=，当112,2222ABC BC S ∆==⨯=，故B 错；对于C ，若sin 2sin 2A B =，则由22A B =或者22A B π=-，即A B =或者2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或者直角三角形，故C 错；对于D ，P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，取BC 中点D ，连接PD ，所以有2PB PC PD DB PD DC PD +=+++=，又因为0PA PB PC ++= ，所以PB PC PA +=- ，所以2PA PD -=，所以A ，P ，D 三点共线，且||2||AP PD =．所以P 是ABC ∆的重心，故D 正确．【正确答案】ABC12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a a b a b b <>=⊗ ．已知非零向量m ，n满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗都是整数，则m n ⊗ 的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4由题意可得||sin ()||4n kn m k Z m θ==∈⊗．因为||3||0m n >>，所以||10||3n m <<，因为(,)42ππθ∈，所以2sin 12θ<<，所以||10sin ||3n m θ<< ，即1043k <<，解得403k <<，因为k Z ∈，所以1k =，所以||sin 1||4n n m m θ==⊗ ，则||1||4sin n m θ= ，故2||sin 4sin ||m m n n θθ==⊗，因为(,)42ππθ∈，所以sin 12θ<<．因为||10||3n m <<，所以1104sin 3θ<<，所以3sin 4θ>，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 44θ<<，即9(,4)4m n ∈⊗ ．【正确答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，∴312x -=，则6x =-．【正确答案】6-14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==- ，则b 在a方向上的投影向量的模长是．(1,3),(2,4)a b ==-，∴123(4)10a b ⋅=⨯+⨯-=-，||a == ，故b 在a方向上的投影向量为1||||a b a a a ⋅⋅= ，3)(1=-，3)-，=．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，∴(1,1)AB = ，(2,3)AC =- ，∴(3,2)AB AC +=- ，(1,4)AB AC -=-，||AB AC ∴+=，||AB AC -= ，∴以线段AB ，AC．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．因为(cos )a c B C =，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C =+=+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B +=+cos sin cos C C B C =，因为cos 0C ≠sin C B =，由正弦定理得b ，由题意可得S ==，当29c =时，三角形ABC 的面积最大，此时3c =，b ==，9311sin 3422S bc A ===⨯3sin A ⨯，解得1sin 2A =，设ABC ∆外接圆的半径为R ，2sin a R A=，可得3212R =，可得3R =．；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．解：（1）因为2sin 3sin cos 0a C c A B -=，由正弦定理可得23cos 0ac ac B -=，因为0ac ≠，所以2cos 3B =；（2）因为2BA BC ⋅=，所以cos 2ac B =，所以3ac =，因为1c =，所以3a =，由余弦定理22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC = ，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅ 的取值范围．解：（1）由图知：,AC AD DC CB AB AC AB AD DC =+=-=-- ，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以211()()()22AC EF AD DC AB AD AD AB DC AB AD DC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= ．（2）由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ，则11(1),(()22EA DA DE DA DC EF DC AB AD λλ=-=--=-+- ，所以221111()(1)()()()2222EA EF DA DC DC DA AB AD DC AB DC AD λλλλ-⋅=-⋅---+⋅+-⋅-⋅ 21114(1)(24()244λλλ=-++=--．则1[,2]4EA EF ⋅∈- ．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？解：（1）由题意可知，2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得6A =，20B =，又153122T =-=，所以24T =，则212T ππω==，当3x =时，14y =，即36cos()201412πϕ++=，即cos()14πϕ+=-，即2,4k k Z πϕππ+=+∈，所以32,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，故34πϕ=，所以36cos()20124y x ππ=++，[0x ∈，24]；（2）令36cos()2023124y x ππ=++，可得31cos()1242x ππ+，即322,31243k x k k Z ππππππ-+++∈，解得132452k x k -+-+，k Z ∈，当1k =时，1124x ，故老张该日可在[11x ∈，19]这一时段外出活动，活动时长最长不超过19118-=小时．20．（本题满分12分）在ABC ∆中，22222,2a a c b ac =+-=．（1）若5b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．解：（1）2222a c b ac +-，∴222222a c b ac +-=，2cos 2B ∴=．0B π<< ，∴4B π=．由余弦定理可得2222cos b c a ca B =+-．225(22)224c c π=+-⨯．得2430c c -+=．1c ∴=，或3c =．由正弦定理可得sin sin c b C B =．∴当1c =时，10sin 10C =．当3c =时，310sin 10C =．（2）由余弦定理知22224b c c π=+-⨯．22480c c b ∴-+-=．①当2b =时，2c =，满足题意．②当b =0c =（舍)，或4c =，满足题意．综上，当2b =，或b 时，ABC ∆存在且唯一确定．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+ ，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．解：（1）()2sin cos (2)(sin cos )f a b m θθθθθ=⋅=+-+ ，当0m =时，11()2sin cos 2(sin cos )22(16666622f πππππ=++=⨯⨯⨯+=．（2）2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+ ，∴不妨令sin cos t θθ=+，则22sin cos 1t θθ=-，此时sin cos )4t πθθθ=+=+，[0θ∈ ，]2π，[44ππθ∴+∈，34π，[1t ∴∈，∴原问题等价于不等式241(2)23t m t m t -+-+>-对所有[1t ∈恒成立，242(2)2t t m t t∴++>+-，20t +> ，24222(2))222t t t t t t t m t t t t ++++++∴<==+++，2t t += ，当且仅当2t t =，即t =时，等号成立，此时2()min t t +=，m ∴<，故实数m 的范围为(-∞，．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．（1）证明：因为cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-，所以sin cos()(sin cos sin cos )cos A A B B A A B A -=-，所以sin cos()sin()cos A A B B A A -=-，所以sin cos()sin()cos 0A A B A B A -+-=，即sin[()]0A A B +-=，即sin(2)0A B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ-<-<，所以20A B -=，即2A B =．（2）解：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，022B A π<=<，032A ππ<-<，所以64A ππ<<，所以576444A πππ<+<，从而21sin(642A π-+<-，所以)14A π+<-，设sin 6cos 6t A A =+，则[4t A π=+∈1)-，设函数211()22g t t mt =+-，则其图象的对称轴方程为t m =-，①当m -<，即m >()g t 在[，1)-上单调递增，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为1(2-，)m -．②当212m +-<-，即212m +()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为211[22m --，)m -．③当1m <-<-，即1m <<时，()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，1(2g =，所以f （A ）的值域为211[22m --，1]2-．④当1m --，即1m 时，()g t 在[，1)-上单调递减，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为(m -，1]2-．综上所述，当m >f （A ）的值域为1(2-，)m -；当m f （A ）的值域为211[22m --，)m -；当1m <<时，f （A ）的值域为211[22m --，1]2-；当1m 时，f （A ）的值域为(m -，1]2-．。

2023-2024学年江苏省无锡市高一下学期3月月考数学模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在中，已知为（ ）ABC 3,4,a b c ===C A ．B ．C ．D ．906045302．在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若：：：2：3，则ABC A ∠B ∠1C ∠=a ：b ：（ ）c =A ．1：2：3B ．3：2：1C ．21D ．123．已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC=AD = A ．B ．C ．D ．1233AC AB + 2133AC AB + 1344AC AB + 3144AC AB +4．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- （ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D5．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，.向量，.若ABC a b c (),p a c b =+(),q b a c a =--，则角的大小为（ ）p q∥C A ．B ．π6π3C ．D ．π22π36．在中，是对角线上靠近点的三等分点，点是的中点，若ABCD Y E AC C F BE ，则＝（ ）13AF x AB AD=+ xA ．B ．C ．D ．234556677．如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）,E F ABC AB tan ECF ∠A ．B ．CD ．162723348．在中，是的外心，为的中点，，是直线ABC AC =O ABC M BC 8AB AO ⋅=N 上异于、的任意一点，则（ ）OM M O AN BC ⋅=u u u r u u u rA ．3B ．6C ．7D ．9二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）a b||||1a b == |2|b a -= A ．B ．a b ⊥ ||2a b +=C ．D ．向量，夹角为||a b -=a b 60︒10．已知是夹角为的单位向量，且，则（ ）21,e e 2π312122,a e e b e e =-=+A ．B ．C ．与的夹角为D ．在方向上的投影向||a = 12a b ⋅=-r r a b 2π3a b量为12b - 11．中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，ABC ABC 2a =，下列选项正确的是（ ）AB AC ⋅=A ．3A π=B ．若，则有两解3b =ABCC ．若为锐角三角形，则b 取值范围是ABCD ．若D 为边上的中点，则的最大值为BC AD 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，在菱形ABCD 中，，，则．120ABC ∠=︒2AB = BC DC +=13．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，ABCD 6E AB F BC B 与交于点，则.AF DE M cos EMF ∠=14．如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且ABC 214cm D E ，AB BC ，交于点，则的面积为 .::2:1AD DB BE EC ==AE CD ，P APC △2cm四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量为向量的夹角.()()1,1,1,2,a b θ==-,a b (1)求的值；cos θ(2)若，求实数的值.a b a b λ-=+ λ16．为直角三角形，斜边上一点，满足.ABC BC D AB（1）若，求；30BAD ∠=︒C ∠（2）若，，求.12BD CD=2AD =BC17．已知向量，设.(cos ,sin )a b αα== ()R m a tb t =+∈(1)，求当取最小值时实数t 的值；3πα=||m(2)若，问：是否存在实数t ，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t ；若a b ⊥ a b -m 4π不存在，请说明理由.18．如图，在等腰梯形中，，，M 为线段中点，ABCD AB DC 222AB BC CD DA ===BC 与交于点N ，P 为线段上的一个动点．AM BD CD(1)用和表示；ABAD AM (2)求；ANNM (3)设，求的取值范围．AC xDB y AP =+ xy 19．如图，已知为平行四边形．ABCD(1)若，及的值；5AB = 4AD = AB AD ⋅ AC(2)记平行四边形的面积为，设，，求证：ABCD S ()11,AB x y =()22,AD x y = 1221S x y x y =-1．B 【分析】利用余弦定理的推论即可求解.【详解】由，3,4,a b c ===2221cos 22a b cC ab+-===因为，0180C <<所以.60C =故选：B.2．D 【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解.π【详解】∵：：：2：3，且，A ∠B ∠1C ∠=πA B C ∠+∠+∠=∴，，，则，π6A ∠=π3B∠=π2C ∠=1sin :sin :sin 22A B C ∠∠∠==故::sin :sin :sin 2.a b c A B C =∠∠∠=故选：D.3．A 【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB =-因为，所以.13BD BC=()1133B AC AB D BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+ 故选：A 4．A 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.,BD AC【详解】向量，不共线，且，，，a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- ，则有，而有公共点B ，有A ，B ，D282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= //AB BD,AB BD 共线，A 是；，不存在实数，使得，因此不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠ λAB BC λ=,AB BC ，不存在实数，使得，因此不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；0BC ≠μCD BC μ= ,BC CD ，不存在实数，使得，因此不共线，A ，C ，D 不共线，130AC AB BC b =+=≠ t CD t AC =,AC CD D 不是.故选：A 5．B 【分析】根据，得，由余弦定理可求.p q∥222c a b ab =+-【详解】因为向量，，(),p a c b =+(),q b a c a =--因为，p q∥所以，即，()()()a c c a b b a +-=-222ca b ab =+-由余弦定理可得.2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以，()0,πC ∈π3C =故选：B.6．C【分析】根据平面向量基本定理，由对应系数相等求解即可.【详解】由题可知，()23AE AB AD=+ ∵点是的中点，F BE ∴，1122=+AF AB AE∴211322⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ AF 2132+⨯ AB AD∴，56=13+AB AD∴．56x =故选：C ．7．D 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解.4cos 5ECF ∠=【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为为三等分点，,E F所以，又，AE EF BF ===ACE BCF ≅ 在中有余弦定理得：，ACE △2222cos45CE AC AE AC AE =+-⋅︒⇒CE CF ==在中，利用余弦定理得：，CEF △2224cos 25CF CE EF ECF CF CE +-∠===⋅在中利用同角间的三角函数关系可知：．ECF △3tan 4ECF ∠==故选：D.8．B 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到OM BC ⊥ON OM λ=u u u ru u u r，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AO AC ⋅【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，O ABC M BC AC D OD所以，，设，OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ=u u u ru u u r则()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+ ，AO BA AO AC =⋅+⋅AO AB AO AC =-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 又是的外心，所以O ABC ()cos cos AO AC AO AC CAO AO CAO AC⋅=⋅∠=∠⋅，(22111422AC ==⨯= 所以.8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，AN BC ⋅u u u r u u u r AO AB AO AC -⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r再一个就是利用数量积的几何意义求出.AO AC ⋅9．AC 【分析】对进行平方运算，可求，可判断AD 选项，再对BC 选项进行平方运算，代入|2|b a - a b ⊥ ，可判断BC 选项.0a b ⋅=【详解】，又因为，所以，故，222|2|||4||45b a b a a b -=+-⋅= ||||1a b ==0a b ⋅= a b ⊥ 所以A 正确，D 不正确；，故B 不正确，222||||||22a b a b a b +=++⋅= ||a b +=，所以C 正确.222||||||22a b a b a b -=+-⋅=||a b -= 故选：AC 10．ABD 【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.【详解】设与的夹角为，a b θ对B ，因为，B 正确；()()22121211221222a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-对A ，A 正确；a ===对C ，，1b ===所以，C 错误；cos a b a bθ⋅=== 对D ，在方向上的投影为，D 正确.a b21cos 2b a b b a ba ab bb a b b bθ⋅⋅=⋅⋅==- 故选：ABD 11．BCD【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，A 利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．1()2AD AB AC =+【详解】因为，所以，，又，AB AC ⋅=1cos sin 2bc A bc A ==tan A =(0,)A π∈所以，A 错；6A π=若，则，三角形有两解，B 正确；3b =sin b A a b <<若为锐角三角形，则，，所以，ABC 02B π<<62A B B ππ+=+>32B ππ<<sin 1B <<，，C 正确；sin sin b a B A =sin 4sin 4)sin a Bb B A ==∈若D 为边上的中点，则，BC 1()2AD AB AC =+ ，222222111()(2cos)()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=+又，，222222cos4a b cbc A b c=+-=+=224b c +=+由基本不等式得，，当且仅当2242(2b c bc bc =+≥=4(2bc ≤=时等号成立，b c =所以，所以时等号21(4)174AD ⎡⎤=+=≤+⎣⎦ 2AD ≤ b c =成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．sin B ,a b B12．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,．BC DC AD AB AC +=+=因为，所以，120ABC ∠=︒60BAD ∠=︒所以为等边三角形．ABD △又，，AC BD ⊥2AB =所以．1OB =在，Rt AOB △所以．2BC DC AC AO +===故答案为:13【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用A EMF ∠DE AF向量的夹角公式求解.【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.A则，，，，(0,6)D (3,0)E (0,0)A (6,2)F ，.()3,6DE ∴=-(6,2)AF = 由于就是，的夹角.EMF ∠DE AF∴cosEMF ∠=.∴EMF ∠14．4【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性AB a BC b ==，A P E ，，D P C ，，质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，,DP APAPC ABC ABP CBP S S S S ∆∆∆∆=--属于难题【详解】设，以，为一组基底，则.AB a BC b == ，a b 2133AE a b DC a b=+=+ ，∵点与点分别共线，A P E ，，D P C ，，∴存在实数和，使.λμ2133AP AE a b DP DC a bλλλμμμ==+==+又∵，2133AP AD DP a bμμ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴解得213323λμλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴，()()22446148cm 1412cm 777PAB ABC PBC S S S ∆∆∆⎛⎫==⨯==⨯-= ⎪⎝⎭，∴.()214824cm APC S ∆=--=【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解15．(2)0或1-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求得，代入公式夹角公式即可得结1=⋅=a ab 果；（2）分别用坐标表示出，利用模长相等即可解得或.,a b a b λ-+ 0λ=1λ=-【详解】（1））由可得，()()1,1,1,2a b==-1=⋅= a ab 所以.cos θ⋅===⋅ a ba b（2）由，()()()()2,1,121,2λλλλλ-=-+=++-+=-+a b a b 可得-=+==a b b 或.=0λ=1λ=-即实数的值为0或.λ1-16．（1）（2）60C ∠=︒BC =【解析】（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即ADB ∠ADB ∠ADB C DAC ∠=∠+∠可得解；（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利12BD CD a==AC =cos C ∠用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：，sin 30sin BD ABADB =︒∠得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==，，， 60180ADB ︒<∠<︒∴120ADB ∠=︒∴120C DAC ∠+∠=︒，.60DAC ∠=︒∴60C ∠=︒（2）设，12BD CD a==，，，=AB∴AB =∴AC =从而cos AC C BC ∠==由余弦定理222cos 2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅=解得a BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.17．(1)时2t =-min ||0m =(2)或6t =-23t =【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；b m m（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得||a b - ||a tb + ()()a b a tb -⋅+ ()()cos 4a b a tba b a tbπ-⋅+=-+到方程，解得即可；【详解】（1）解：当时，，3πα=1cos,sin =323b ππ⎛⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝所以(((1=+1222t tm a tb t ⎛⎛=+=+=+ ⎝⎝所以，所以当时||22m t ==+ 2t =-min ||0m =（2）解：依题意，()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+若，则，又，，a b ⊥ 0a b ⋅=a = (cos ,sin )b αα=2=1=又因为，2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= 22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以，||a b -= ||a tb += ，()()22224ab a tb a ta b a b tb a t b t-⋅+=+⋅-⋅-=-=-，且，4t <整理得，解得或，2316120t t +-=6t =-23t =所以存在或满足条件．6t =-23t =18．(1)3142AM AB AD=+ (2)4ANNM =(3)30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可342t t AN t AM AB AD==+ t 得出答案；（3）由题意，可设，代入中并整理可得102DP mAB m ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ AC xDB y AP =+ ，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后()()AC x ym AB y x AD=++-12AC AB AD=+ 结合二次函数的性质可得结论．【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①AM AB BM =+，②AM AD DC CM =++因为M 为线段中点，则，AB CM BM =- 联立①②得：，322AM AB AD DC AB AD=++=+整理得：．3142AM AB AD=+ （2）由AM 与BD 交于点N ，得，3134242t t AN t AM t AB AD AB AD⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．3142t t +=45t =所以，即．45AN AM= 4ANNM =（3）由题意，可设，102DP mAB m ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ 代入中并整理可得AC xDB y AP =+．()()()()AC x AB AD y AD DP x ym AB y x AD=-++=++- 又，故，可得：，．12AC AD DC AB AD =+=+ 121x ym y x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩1x y =-()321y m =+因为，所以，．102m ≤≤312y ≤≤在单调递增，()2211124xy y y y y y ⎛⎫=-=-=--⎪⎝⎭31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦则当时，，当时，，1y =()min 0xy=32y =()max 34xy =所以，的取值范围为．xy 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．(1)10AB AD ⋅=(2)证明见解析【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据BD AD AB =- AB AD ⋅计算可得；AC AD +=（2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角sin ABCDS AB AD A=公式及数量积、模的坐标表示计算可得.【详解】（1）在平行四边形中，ABCD BD AD AB =-所以BD AD =-=，即，解得，2242521AB AD -⋅+= 10AB AD ⋅=所以A C AD +==.（2）因为，将两边平方可得，sin ABCDS AB AD A=()2222222sin 1cos S AB AD A AB AD A ==- 又，cos AB ADA AB AD⋅=⋅所以，22221AB AD S AB AD AB AD ⎡⎤⎛⎫⋅⎢⎥⎪=-⎢⎥⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 整理得，()2222S AB AD AB AD=-⋅ 又，，，22211AB x y =+ 22222AD x y =+ 1212AB AD x x y y ⋅=+ 所以，()()()()22222222222112212121212122112212S x y x y x x y y x y x x y y x y x y x y =++-+=-+=-所以.1221S x y x y =-。

20232024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. cos150︒=A.B. C.12D. 1-22. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ） A. 30B.π12C.π6D.π33. 已知α是第二象限角，则点()cos ,tan P αα在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若()1,A y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =（ ） A. 3-B. 3C. 1-D. 15. 在[]0,2π上，满足sin 2x ≥的x的取值范围是 A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上减函数 B. 函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数D. 函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 7. 函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()cos3g x x =的图象（ ）A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度8. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,139⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. ()0,1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若,A B 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =+C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75D. 从1,2,3,4中任取2个不同数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是1310. 已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 最小正周期为π2B. ()f x 的定义域为ππ,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. 若()1fθ=，则()πZ 2k k θ=∈ D. ()f x 在其定义域上是增函数11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若对R x ∀∈，有()()()21f x f x f +=+，且当01x <<时，()21f x x =-+，则下列结论中正确的是（ ）A. ()11f -=B. 函数()f x 是周期函数，且周期为2C. 函数π()()sin2xh x f x =+在区间[]4,3-上的零点个数是7个 D. 对*N n ∀∈，123944444n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数ππ2sin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为______.13. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ=_____________．14. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P - （1）求sinα和tanα的值（2）若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值 16. 已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域.17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按[)[)[)[)[)[]140,145,145,150,150,155.155.160,160,165,165,170分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该校男生身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在[145,150)和[)160,165内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在[)145,150内的概率.18. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππϕ-<<），若()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π4，且过点π,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）记方程()43f x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．19. 已知函数()()sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，0πϕ<<）的图象两邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6单位，再向上平移1个单位，所得函数()g x 为奇函数. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2220fx m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()23h x f x =+的图象在区间[],a b （,R a b ∈且a b <）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间[],a b 上，求b a -的最小值.。

广东省深圳市南山区为明学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =I （ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}22．已知向量(2,(1,2),)a b x ==-r r ，若//a b r r ，则a b +=r r（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-3．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，|BC|=1，则AB ⋅BC = A ．-3 B ．-2 C ．2D ．34．在ABC V中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（ ） AB ．23CD ．835．设ABC V 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，b 30A =︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．1或2D6．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-7．已知a =r 2a b ⋅=-r r ，则向量b r 在向量a r上的投影向量为（ ）A ．12a rB ．12b rC ．a -rD ．b -r8．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且对于()(R)y f x x =∈，当1x ，2(,0]x ∈-∞时，1212()()0f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(C ．⎡⎣D ．)+∞二、多选题9．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．4sin(π)5α+=B ．π4cos 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．4tan(π)3α-=D ．3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭10．在ABC V 中，D 在AB 边上，2AD DB =u u u r u u u r，E 是CD 的中点，则（ ）A ．BC AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．2133CD CA CB =+u u u r u u u r u u u rC ．1132AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．23AC CB CD =-uu u r uu r uu u r11．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos sin a B b A c +=，222sin a a b c ab C =+-=，则（ ）A ．tan 2C =B ．π3A =C ．b =D ．ABC V 的面积为三、填空题12．已知向量(2,1)a =r ，(2,4)b =-r ，则||a b -=rr ．13．为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得建筑物顶A ､教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则计算圣索菲亚教堂的高度CD 为m ．14．设锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2C A =，则2c ba+的取值范围是．四、解答题15．已知向量 a r 和 b r ，则 2=r a ,2b =r , ,60a b 〈〉=︒rr 求：(1)a b ⋅r r 的值；(2)2a b +u u r r 的值； (3)2a b +r r 与 b r的夹角θ的余弦值．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222s in s i n s i n s i n s i n B C A B C+-=.(1)求角A ；(2)若6a =，2b c =，求ABC V 的面积.17．已知函数()222cos 1f x x x =+-. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)若π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，60ADC ∠=︒，2AD =．(1)若45ACD ∠=︒，求三角形手巾的面积； (2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD 的长． 19．已知函数()221x f x a =-+为定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值；(2)（i ）证明：()f x 为单调递增函数； （ii ）()0,x ∀∈+∞，若不等式()2221log log 1011m f x x x x x +⋅-+>++恒成立，求非零实数m 的取值范围.。

2023-2024学年高一下学期3月检测数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 4a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.2.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则BF = （）A.1292525a b +B.16122525a b +C.4355a b + D.3455a b + 3.函数()3tan 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（）A.3⎣B.3⎣C.D.9⎣4.已知角θ的终边经过点()239,log 2aP a --，若cos 0θ>，且sin 0θ<，则实数a 的取值范围是（）A.()1,3 B.()2,4 C.()3,4 D.()4,65.()23log log 81a =，134b -=，1218c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c<< B.a b c << C.c<a<bD.a c b <<6.已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A.513B.113-C.513-D.1137.设21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，那么它们的夹角等于（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）A.B.2C.D.二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上11.设函数e (21)()x x f x x+=，则（）A.函数()f x 的单调递减区间为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．B.曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为e(21)y x =+．C.函数()f x 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．D.若方程()f x k =有两个不等实根，则实数k 的取值范围为10,)e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.如图所示，点A 是等边BCD △外一点，且2π3BAD ∠=，2AD =，BD =，则ABC 的周长为__________．13.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．14.已知函数22,21()ln 1,1ex x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()()212x x f x -的取值范围是______.四．解答题（共5小题，共77分）15.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．16.已知函数2()2cos sin(),32f x x x x x R π=+-+∈.（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()h x .若关于x 的方程22()()10[]h x mh x ++=在区间[0,2π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.17.已知向量(cos ,sin )a b αα==，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若a b ⊥ ，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足=AB .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠；（2）若12BD CD =，2AD =，求BC .19.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin c A A a b +=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.2023-2024学年高一下学期3月检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若,sin 4a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理计算可得；【详解】解：因为,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin a b A B =，2323=，解得3b =.故选：A2.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则BF =（）A.1292525a b +B.16122525a b +C.4355a b + D.3455a b + 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】因为3BE EF = ,所以34BE BF = ,34CF AH AE =-=-,所以34BF a CF a AE =+=- ...①,34BE BF b AE ==+...②，由①+34⨯②得：253164BF a b =+，即16122525a b BF =+ .故选：B3.函数()3tan 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（）A.3,333⎣B.333⎣C.3,33D.339⎣【答案】C 【解析】【分析】先求出π26x +的范围，再由正切函数的性质求出πtan(2)6x +范围，再乘以3即可.【详解】ππππππ0,,2,,tan 2,3tan 212663636x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈∴+∈∴+∈∴+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣ 故选：C.4.已知角θ的终边经过点()239,log 2aP a --，若cos 0θ>，且sin 0θ<，则实数a 的取值范围是（）A.()1,3B.()2,4 C.()3,4 D.()4,6【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数定义得到不等式，求出答案.【详解】由三角函数定义可得P 在第四象限，2390log 20a a ⎧->⎨-<⎩，解得24a <<，故a 的取值范围是()2,4.故选：B5.()23log log 81a =，134b -=，1218c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c << B.a b c<< C.c<a<bD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算求得a ，利用指数的性质与运算比较,b c ，从而得解.【详解】因为()()423232log log 81log log 3log 42a ====，1112321441,828b c --⎛⎫=<=== =⎪⎝⎭，所以b a c <<．故选：A ．6.已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A.513B.113-C.513-D.113【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【详解】由2sin()3sin()2ππαα-=+，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=，从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++故选：B7.设21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，那么它们的夹角等于（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得12121cos ,2e e e e ⋅==- ，由此即可得解.【详解】由题意21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，所以1291316e e ⋅+=- ，解得12121cos ,2e e e e ⋅==- ，由[]12,0,πe e ∈ ，所以122π,3e e = .故选：C.8.已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知得AB AC AP AB ACλ⎛⎫⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，利用正弦定理得32sin BD B =，32sin CD C=，可知3112sin sin BC B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC 表示与AC 共线的单位向量，AB AC AB AC ∴+uu u r uuu r uu u r uuu r 的分向与BAC ∠的平分线一致，AB ACOP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r Q uu u r uuu r ，AB AC OP OA AP ABACλ⎛⎫⎪∴-==+ ⎪ ⎪⎝⎭uu u ruuu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r 所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD =，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD 中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中3B C π+=分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 122sin 6BC π=⨯⨯=故选：C二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++=，得0BE CF += ，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.设函数e (21)()x x f x x+=，则（）A.函数()f x 的单调递减区间为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．B.曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为e(21)y x =+．C.函数()f x 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．D.若方程()f x k =有两个不等实根，则实数k的取值范围为10,)e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程()f x k =有两个不等实根转化为y k =与()f x 有两个交点，再利用数形结合即可求解.【详解】对A ：由题意可知()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()()22e 21e 21e ()(21)(1)x x x x x x x f x x x x x '⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦=-'+'=，令()0f x '=，即2e(21)(1)0xx x x-+=，解得=1x -或12x =，当()1,1,2x ∞∞⎛⎫∈--⋃+⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()11,00,2x ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞--和1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,0-和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；对B ：切线斜率(1)2e k f '==，曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为3e 2e(1)y x -=-，即e(21)y x =+，故B 正确；对C ：当=1x -时，()f x 取得极大值为()()()1e 211111ef -⎡⎤⨯-+⎣⎦-==-，当12x =时，()f x取得极小值为121e 2112122f ⎛⎫⨯+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，因为1e<C 正确；对D ：由上分析可作出()f x 的图象如图所示要使方程()f x k =有两个不等实根，只需要y k =与()f x 有两个交点，由图可知，()10,e k ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围为()10,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程()f x k =有两个不等实根转化为y k =与()f x 有两个交点即可.三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.如图所示，点A 是等边BCD △外一点，且2π3BAD ∠=，2AD =，BD =，则ABC 的周长为__________．【答案】6+##6+【解析】【分析】在ABD △中，由余弦定理求得AB ，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．【详解】在ABD △中，由余弦定理可知2222π2cos3BD AB AD AB AD =+-⋅，整理可得2280AB AB +-=，解得2AB =，所以π6ABD ∠=，又BCD △是等边三角形，所以π2ABC ∠=，BC =，由勾股定理可得，4AC =，所以ABC 的周长为6+．故答案为：6+.13.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．【答案】1【解析】【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.【详解】解法1：cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B Ca b c A B C+=⇒+==，而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B π+-++====，∴sin 1sin sin CA B=．解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B ca b ab ab++==，又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，∴sin c C ab c =，故2sin c C ab =，∴2sin sin sin sin CC A B=，∵0C π<<，∴sin 0C >，故sin 1sin sin CA B=．故答案为：114.已知函数22,21()ln 1,1e x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()()212x x f x -的取值范围是______.【答案】5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】利用()f x 的单调性以及已知条件得到(]1122,e ,1,02m m x x m +-==∈-，代入()()212x x f x -，令(]121()e,1,02x g x x x x x +=-+∈-，利用导数的求得()g x 的值域，从而得解.【详解】因为22,21()ln 1,1e x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，所以()22f x x =+在[]2,1-上单调递增，值域为[]2,4-，()ln 1f x x =-在(]1,e 上也单调递增，值域为(]1,0-，又()f x m =的两根为()1212,x x x x <，所以(]1122,e ,1,02m m x x m +-==∈-，从而()()2112122e e 22m m m m x x f x m m m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭，令(]121()e,1,02x g x x x x x +=-+∈-，则1()(1)e 1x g x x x +'=+-+，(]1,0x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,e e 1,10x x x ++>>=-+>，所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立，从而()g x 在(1,0]-上单调递增．又5(0)0,(1)2g g =-=-，所以5(),02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -的取值范围是5,02⎛⎤-⎥⎝⎦，故答案为：5,02⎛⎤-⎥⎝⎦．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数(]121()e ,1,02x g x x x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围求得()g x 的值域，由此得解.四．解答题（共5小题，共77分）15.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【小问1详解】证明：由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=，由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab++--⋅=，化简得2222a b c +=．【小问2详解】由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故2b c =，所以2a c =，故222cos 2bc a A bc +-==．16.已知函数2()2cos sin(),32f x x x x x R π=+-+∈.（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()h x .若关于x 的方程22()()10[]h x mh x ++=在区间[0,2π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)5[0,]12π和11[,]12ππ；(2)3m <-或m =-【解析】【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得()23f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又[]0,x π∈，故()f x 的单调递增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由题意可知()2h x sin x =，由函数的定义域可知()2h x sin x =的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t h x =，则[]0,1t ∈，原问题等价于2210t mt ++=在[)0,1t ∈上仅有一个实根.据此讨论可得3m <-或m =-详解：（1）∵()212222f x cosx sinx cosx x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭22sinxcosx x=-+12222sin x cos x=-23sin xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()222232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈，得()51212k x k k Zππππ-+≤≤+∈，又因为[]0,xπ∈，所以()f x的单调递增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）将()f x的图象向左平移6π个单位后，得()2h x sin x=，又因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]20,xπ∈，()2h x sin x=的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t h x=，则[]0,1t∈，依题意得2210t mt++=在[)0,1t∈上仅有一个实根.令()221H t t mt=++，因为()010H=>，则需()1210H m=++<或280014mm⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩，解得3m<-或m=-点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.已知向量(cos,sin)a bαα==，设()Rm a tb t=+∈.（1）3πα=，求当||m取最小值时实数t的值；（2）若a b⊥，问：是否存在实数t，使得向量a b-与向量m的夹角为4π？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =-时min ||0m =（2）6t =-或23t =【解析】【分析】（1）首先求出b ，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到m ，最后求出m的模；（2）根据数量积的运算律求出||a b - ，||a tb +，()()a b a tb -⋅+ ，再根据()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+得到方程，解得即可；【小问1详解】解：当3πα=时，1cos ,sin =2323b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以(((1=+,122222t t m a tb t ⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以||22m t ==+ ，所以当2t =-时min ||0m = 【小问2详解】解：依题意()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅= ，又a = ，(cos ,sin )b αα= ，所以2a ==，1b == 又因为2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= ，22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以||a b-=，||a tb += ，()()22224a b a tb a ta b a b tb a t b t -⋅+=+⋅-⋅-=-=- ，=，且4t <，整理得2316120t t +-=，解得6t =-或23t =，所以存在6t =-或23t =满足条件．18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足=AB .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠；（2）若12BD CD =，2AD =，求BC .【答案】（1）60C ∠=︒（2）BC =【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 303sin 2AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60DAC∠=︒，∴60C ∠=︒.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而6cos 3AC C BC ∠==，由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.19.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin c A A a b +=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.【答案】（1）π3C =；（2）(3.【解析】【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据C 的范围进而即得C 的大小；（2）设DAB α∠=,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得26ABD S πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭然后利用三角函数的性质即得.【小问1详解】根据正弦定理有sin cos sin sin sin C A C A A B +=+即()sin cos sin sin sin C A C A A A C =++sin sin sin cos C A A A C =+,π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，sin 0A ∴≠，1cos C C =+，π2sin 16C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,0,,,2663C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,∴ππ66C -=，π3C ∴=.【小问2详解】由题意可知2π3ADB ∠=,设π,3DAB ABD αα∠=∴∠=-,π022α<<,又ππ20,,,32124B πππαα⎛⎫⎛⎫=--∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ABD △中,由正弦定理可得:sin sin AB AD ADB ABD=∠∠.即:4sin 23sin sin 33AD AD παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，，11sin 4sin sin 223ABD S AB AD πααα⎛⎫∴=⋅⋅=⨯- ⎪⎝⎭26sin cos 26παααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，2,,2,124633πππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 262πα⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(236πα⎛⎫∴+-- ⎪⎝⎭所以三角形面积的取值范围为(3-.。