下载文档原格式
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一) 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念(1)复数①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).(2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数b ＝虚数b ⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝非纯虚数a(2)集合表示：3.复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题.探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数.思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立.(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数. 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数.解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数. (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数.(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1 答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案 C3.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4.下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数.其中正确命题的个数为( )A.3B.4C.5D.6 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.[呈重点、现规律]1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.。
3.2.2 复数的乘法和除法明目标、知重点 1.把握复数代数形式的乘法和除法运算.2.明白得复数乘法的互换律、结合律和乘法对加法的分派律.3.进一步明白得共轭复数的概念及性质.1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]咱们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法知足运算律吗？探讨点一复数乘除法的运算试探1 如何进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，而且把实部与虚部别离归并即可. 试探2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必需在所得结果中把i2换成－1.例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法能够按多项式的乘法法则进行，注意选用适当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.试探3 如何明白得复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成份式的形式，再把分母实数化(方式是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)原式＝4－3i 24＋3i 4－3i＋4＋3i 24－3i 4＋3i ＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i 42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方式一 原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i 3＋2i 32＋22 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 方式二 (技术解法)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 6＋2＋3ii 2＋3i ＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i 2＋i －i. 解 (1)7＋i 3＋4i＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i 25＝1－i. (2)－1＋i 2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i ·i －i·i＝－1－3i. 探讨点二 共轭复数及其应用试探1 复数a ＋b i 及其共轭复数之积是实数仍是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，因此两个共轭复数之积为实数. 试探2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用那个性质可证明一个复数为实数.(3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用那个性质，可证明一个复数为纯虚数.试探3 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 知足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，因此3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.因此z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 反思与感悟 本题利用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3 已知复数z 知足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.设复数z 知足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iC.－1答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2.已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A.－2iC.－4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.3.复数i －21＋2i等于( )B.－iC.－45－35i D.－45＋35i 答案 A4.复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律]1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法知足互换律、结合律和乘法对加法的分派律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成份式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质能够用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的大体思想方式，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1 复数的乘法法则及运算律阅读教材P 58至“例2”以上内容，完成下列问题． 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1.(2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． (3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.【解析】 因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.【答案】 1＋2i 教材整理2 共轭复数阅读教材P 59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1教材整理3 复数的除法法则阅读教材P 59“探究”以下至P 60“例4”以上内容，完成下列问题． 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0且c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i ＝________.【解析】7－i3＋i＝－－＋－＝20－10i10＝2－i. 【答案】 2－i[小组合作型]( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i(3)计算：－－＋－＋i＝________.【精彩点拨】 (1)利用复数的乘法运算法则进行计算．(2)利用复数的除法运算法则进行计算．(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．【自主解答】 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(2)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C. (3)－－＋－＋i＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i＝1－3i－2＋i ＝－－2－－2＋－2－＝－2－＋－5＝－5＋5i5＝－1＋i. 【答案】 (1)A (2)C (3)－1＋i1．复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．[再练一题]1．(1)复数1＋3i3－i 等于( )A ．iB ．－i C.3＋iD.3－i(2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．(3)计算：＋2＋－2＋i＝________.【解析】 (1)1＋3i3－i ＝＋33＋3－3＋＝3＋i ＋3i －34＝i.(2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. (3)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝－5＝15＋25i. 【答案】 (1)A (2)21 (3)15＋25i已知复数z 的共轭复数是z ，且z －z ＝－4i ，z ·z ＝13，试求zz.【精彩点拨】 设z ＝x ＋yx ，y ∈R →由条件到方程组求x ，y 的值→计算z z的值【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －x －y ＝－4i ，x ＋yx －y＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i. 于是zz＝3－2i 3＋2i ＝－2＋－＝5－12i 13＝513－1213i ，或z z＝－3－2i－3＋2i ＝－3－2－3＋－3－＝5＋12i 13＝513＋1213i.1．已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．[再练一题]2．已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z . 【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.[探究共研型]探究1 i 4【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n(n ∈N )有几种不同的结果？ 【提示】 四种：1，i ，－1，－i. 探究3 i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i 1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝＋231＋23i＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1. (2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z，而z ＝1＋i 1－i＝＋2－＋＝2i2＝i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 1－i＝1.1．要熟记i n的取值的周期性，即i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值． 2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．[再练一题]3．在上例(2)中，若z ＝1－i 1＋i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解】 ∵z ＝1－i1＋i ＝－2＋－＝－2i2＝－i. ∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 016＝1－z 2 0171－z ＝1－－ 2 0171－－＝1＋i2 0171－－＝1＋i 2 0171＋i ＝1＋i 1＋i＝1.1．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 【解析】 z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i.【答案】 A2．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．【答案】 B3．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )【导学号：81092049】A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 【解析】 ∵z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 【答案】 D4．已知a 为实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.【解析】a －i1＋i＝a －－＋－＝a －－a ＋2，因为a －i1＋i 是纯虚数，所以a －1＝0且a ＋1≠0，即a ＝1. 【答案】 15．计算：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i .【解】 法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝＋2＋－－－－＋＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i2－3i －3－2i 2＋3i ＝－2－3i－－＋2＋3i＝i ＋i ＝2i.学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )A．5 B. 5C．3 D. 3【解析】z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 【答案】 A2．i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A．1－i B．－1＋iC.1725＋3125i D．－177＋257i【解析】7＋i3＋4i＝＋－＋－＝25－25i25＝1－i，故选A.【答案】 A3．z1，z2是复数，且z21＋z22<0，则正确的是( )A．z21<－z22B．z1，z2中至少有一个是虚数C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数【解析】取z1＝1，z2＝2i满足z21＋z22<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z21＋z22<0，排除C，从而选B.【答案】 B4．若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i【解析】法一：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝2a＋2b i＋a－b i＝3a＋b i＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.法二：由已知条件2z＋z＝3－2i①，得2z＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，z 的方程组，得z＝1－2i.故选B.【答案】 B5．已知复数z＝3＋i－32，z是z的共轭复数，则z·z＝( )【导学号：81092050】A.14B.12 C ．1D ．2 【解析】 法一：z ＝3＋i －32＝3＋i1－3－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－2×4＝－34＋14i ，∴z ＝－34－14i. ∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 法二：∵z ＝3＋i －32∴|z |＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.【答案】 A 二、填空题6．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________.【解析】 由题意，得x ＋i ＝－1＋2i i ＝－i ＋2i 2i 2＝－i －2－1＝2＋i ， 所以x ＝2. 【答案】 27．复数52－i 的共轭复数是________．【解析】52－i＝＋－＋＝＋5＝2＋i ，其共轭复数为2－i.【答案】 2－i 8．复数2－2a ia ＋2i的模为2，则实数a 的值是________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2a i a ＋2i ＝|2－2a i||a ＋2i|＝22＋－2a2a 2＋22＝2，解得a ＝± 3.【答案】 ± 3 三、解答题9．若z 满足z －1＝3(1＋z )i ，求z ＋z 2的值. 【导学号：81092051】【解】 ∵z －1＝3(1＋z )i ， ∴z ＝1＋3i 1－3i＝＋32－3＋3＝－12＋32i ，∴z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－1.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应的向量为(－2,4＋a )，其模为4＋＋a2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升]1．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i【解析】 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C. 【答案】 C2．设z 的共轭复数为z ，z ＝1＋i ，z 1＝z ·z ，则1z＋1i z 1等于( ) A.12＋i B.12－i C.12D.32【解析】 由题意得z ＝1－i ，∴z 1＝z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.11 ∴1z＋1i z 1＝11－i ＋12i ＝1＋i 2－i 2＝12. 【答案】 C3．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________． ①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.【解析】 对于①，z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，故不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；对于③，|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，故不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故正确．【答案】 ④4．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝－2＋－＝1－2i －12＝－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
