第四章 习题课
基本内容
1．线性有界泛函
:f D X ?→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ?∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|
||||sup
||||
x f x f x θ
≠=． ||||1
||||1
||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．
共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：
①延括定理：G X ?是线性子空间，:f G X ?→∧是线性有界泛函，则*F X ?∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：
（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ?∈，0x θ≠，则*f X ?∈，||||1f =，00()||||f x x =．
（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ?是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ?∈，满足（ⅰ）x G ?∈，()0f x =；
（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子
1X ，2X ——l.n.s ，1D X ?线性子空间，2:T D X ?满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．
4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理
引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且
2()R T X =，则T 为开映射．
① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线
性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．
② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ?→是闭算子，
其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．
③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12
X X →的线性有界算子，则
{|||||}i T i A ∈有界1x X ??∈，{|||||}i T x i A ∈有界．
6．强收敛与弱收敛
① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．
（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*
f X ?∈，|()()|0n f x f x -→，称*
n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）
*
n x x →?（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ??（稠密），使*f M ?∈，
0|()()|0n f x f x -→．
④ 算子列的各种收敛性：
（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；
（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ?∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：
（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；
（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．
7．共轭算子
设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有
*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =
成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．
共轭算子的范数：
定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是
**21X X →的线性有界算子，且有
*||||||||T T =．
定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ?=?； （3）***1212()T T T T +=+；
（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子
H 是Hilbert 空间，若,x y H ?∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ??∈，
(,)Tx x 为实数．
性质：（1）特征值为实数；
T 1X *1X *
T 2X *
2X
（2）不同特征值的特征向量正交．
投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．
举 例
例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ?→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。
证：)(?设Φ≠?01,A X A （0A 是A 的内部）
2X TA ?有界，取A r a O ?),(（Φ≠0A ），,0>r 令∞<=∈||||sup Tx A
x β，
,0,1≠∈?x X x 有),(||||1r a O x x r a ∈+-，因此
β≤+-||)||||(||1x x r a T
可以推出 r x r x Ta x x r
a T Tx /||||2/||||||)||
||(||||||β≤-+= 因此T 有界。
)(?显然成立。
例2．设)(Y A B T →∈，A 是X 的稠密子空间，Y 完备，则?唯一的)(Y X B T →∈，使得||||||||,T T T T A ==。 证：X x ∈?，取,}{A x n ?使)(∞→→n x x n 。因
||||||||||||n m n m x x T Tx Tx -≤-
故 }{n Tx 是Y 中的Cauchy 列；由于Y 完备，必存在n n Tx ∞
→lim ，记为x T ，这
与}{n x 的选取无关（事实上，若)(A x x x n n ∈'→'，取},,,,{}{2
211 x x x x y n ''=，x y →，则}{n Ty 为Cauchy 列，x T Ty n →，则x T x T n →'），这样就定义了
一个算子Y X T →:，T 显然是线性的，且T T A =。由
||||||||||||||||lim ||||lim
||||x T x T Tx x T n n n n =≤=∞
→∞→
故 ||||||||T T ≤，故)(Y X B T →∈。 因 ||||||||||||||||,x T x T Tx A x ≤=∈?， 故||||||||T T ≤， 因此 ||||||||T T =。
若有某)(Y X B S →∈亦满足,T S A =则X x ∈?，取,}{A x n ?，使
x x n →，则x T Tx Sx n n ==∞
→lim ，因此T S =（唯一性得证）。
例3．设-----Y X ,...s n l ，∞=X dim ，}0{≠Y ，则存在无界线性算子Y X T →:。
证： ∞=X dim ，∴可取线性独立的可数集,}{X x A n ?=可设
,1||||=n x 取Y y y ∈≠,0，定义算子T ：ny Tx =
T 可以自然的扩张到SpanA （如),Y x T x T Ty SpanA x x y ∈''+'=∈''+'=βαβα。 则X 可以表示B SpanAA X ⊕=，B x ∈?定义0=Tx ，则
T 是一线性算子，)(Y X T →∈，因
+∞==≥=||||sup ||||sup ||||sup 1
||||ny Tx Tx n
n n
x
故T 是无界算子。
例4．设),0,0,,,,(21 n n x x x x T =，2}{l x x n ∈=?。证明 )(22l l B T n →∈，求||||n T 。
证： )(22l l B T n →∈显然。||||||=x T n ||),0,0,,,,(21 n x x x ||,||x ≤因此
1||||≤n T 。
另一方面，设}{i e 是2l 的标准正交基，则1||||=n e ，n n n e e T =，故
||||1n e ==||||||||||||||||n n n n n T e T e T ==， 故 1||||≥n T ，故1||||=n T 。
例5．给定.)..(s n l X a ∈，令Ta T =)(?（))(X X B T →∈，证明
),((X X B B →∈?求||||?。
解：此题中，a 是固定的， T 成了“自变量”，
)()()()(S T Sa Ta a S T S T β?α?βαβαβα?+=+=+=+ （))(,X X B S T →∈ 可见:?X X X B →→)(是线性算子。由
||||||||||||||)(||a T Ta T ≤=? ))((X X B T →∈?
得 ||||||||a ≤?； ∴X X X B →→∈)(?。 取 I T =，得 ||||||||||||||)(||||||||||???=≤==I I Ia a
∴ ||||||||?≤a ； ||||||||a =∴?。
例6． 设Y X ,是Banach 空间，)(Y X B T →∈是一个单射，存在
X x n ?}{，使得)(||||1
||||N n x n
Tx n n ∈?≤
，证明)(T R 在Y 中不是闭的。 证： 用反证法。若)(T R 在Y 中闭，则)(T R 作为Y 的子空间是一个
Banach 空间，于是)(:T R X T →是一个线性等距同构（T 是单射，
2121,Tx Tx x x ≠≠），由逆算子定理知，))((1X T R B T →∈-，这与以下事实
相矛盾。
.||||||||||)(||1n n n Tx n x Tx T >=-
例7．设X 是,..s n l 设X x k ?}{，*
X f ∈?，∑∞
=∞<1
|)(|k k x f ，证明
∑∞
=≤1
|||||)(|k k
f M x
f 。
证：定义算子l X T '→*:l X ',(*均为Banach 空间），))((k x f Tf =。 若在*X 中f f n →，在l '中)(k n a a Tf =→，则必有
)()(k k n x f x f →=),(N k n a k ∈?∞→a TF =∴。于是由闭图像定理知
),(*l X B T '∈，即得证。M T ≤∴||||，故*X f ∈?，
.||||||||f M Tf ≤ 即
∑∞
=≤1
|||||)(|k k
f M x
f 。
例8．设X 是Banach 空间，Y 是,..s n l ，
)(Y X B T n →∈，∞<|)(|sup x T f n n
（*,Y f X x ∈∈?） ，证明+∞<||||sup n n
T 。
证： X x ∈?，由∞<|)(|sup x T f n n
，则?+∞<≥||||sup 1
x T n n 。
（事实上，*Y f ∈?，|)((|x T f n 是有界的，0>?f C ，使f n C x T f ≤|)(|（f C 与f 有关，而与n 无关），作映射****)(:Y Tx Tx ∈→?， 然后再对}{n T 应用共鸣定理可得 +∞<||||sup n n
T 。
例9． 设R X f '→:是一非零线性泛函，证明： （1）f 有界?)(f N 是闭子空间； （2）f 无界?X f N =)(。 证：,0≠f X f N ≠∴)(。 （1）
若f 有界，则f 连续，因而)0()(1-=f f N 是闭集（设
),(x x f N c n n →∈，则
00lim )(lim )lim ()(0====∞
→∞
→n n n n x f x f x f ，).(0f N x ∈∴
（2）
反之，若f 无界，则X x n ??}{，使|||||)(|n n x n x f >。
今证X f N =)(（这会推出)(f N 非闭，因而问题得证）。
X x ∈?，有 )()
()(f N x f x x f x y n n
n ∈-
= （
)
()
()()()(=-
=n n n x f x f x f x f y f ），
=
-||||x y n 0|
)(|)(|||||||)(|→≤n
x f x f x x f n n ，
这表明)(f N x ∈，故X f N =)(。
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
室内设计配色定律 一想到设计的时候什么风格搭配什么颜色，就很头痒吧！的确是啊！今天小编就这个问题，为广大童鞋收集整理了一些室内设计的配色定律，希望你们有所收获。 首先是特备"定律"，给喜欢DIY的朋友们参考： 1. 空间配色不得超过三种，其中白色、黑色不算色。 2.金色、银色可以与任何颜色相配衬。金色不包括黄色，银色不包括灰白色。 3.家用配色在没有设计师指导下最佳配色灰度是：墙浅，地中，家私深。 4.厨房不要使用暖色调，黄色色系除外。 5.打死也不要深绿色的地砖。 6.即使没有人威胁打死你，你也坚决不要把不同材质但色系相同的材料放在一起。否则，你会有一半的机会会犯错！ 7.想制造明快现代的家居品味，那么你就不要选用那些印有大花小花的东西(植物除外)，尽量使用素色的设计。
8.天花板的颜色必须浅于或与墙面同色。当墙面的颜色为深色设计时，天花板必须采用浅色。天花板的色系只能是白色或与墙面同色系者。 9.空间非封闭惯穿的，必须使用同一配色方案。不同的封闭空间，可以使用不同的配色方案。 10.本"定律"如果用于家居设计以外，90%可能错误！ 释义： 什么叫灰度？很简单，把你要用的颜色用黑白复印机印出来比一下就行了。不管是暖色系还是冷色系，必然有它的灰度的。 什么叫素色：就是纯单色。 什么叫色系：接近的同色。 在一般的室内设计中，都会限制使用颜色在三种之内。当然，这不是一种绝对，由于专业的室内设计师熟悉更深层次的色彩关系，用色可能超出三种，但一般只会超出一种或两种。 限制三种颜色的定义： 1、同一个相对封闭空间内的三种颜色，包括天花、墙面、地面和家私。客厅和主人房可以有各成系统的的不同配色，但如果客厅和餐厅是连在一起的，视为同一空间。 2、白色、黑色、灰色、金色、银色不计算在三种颜色的限制之内。但金色和银色一般不能同时存在，只能在同一空间使用金或银的一种。
泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10， 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若a在b之先，则b便不在a之先。 （2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法： （1）为真，这里是A中最先的元素。 2）对一切,为真，则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如X中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C：。 例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。 线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理：
定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义： 设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果 （1）H是线性无关的。 （2）H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系： 定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3，可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。 SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间 定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为
泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析： 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R. 弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。（一）、希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
室内色彩搭配技巧的一些黄金定律 现代风格 以简洁明快为其主要特色。重视室内空间的使用效能，强调室内布置应按功能区分的原则进行，家具布置与空间密切配合；主张废弃多余的、繁琐的附加装饰，使室内景观显得简洁、明快，完美地反映出“少就是多”这一设计概念。如一间现代风格的居室，利用不规则墙面形成壁面家具，同时这一墙面也起到美化居室的作用。地面、天花板均朴素、淡雅，无一多余饰物，显得简洁、舒适、大方，令人赏心悦目。 复古风格 当人们对现代生活求新求变的要求在不断得到满足时，又萌生出一种向往传统、怀旧复古的情绪。在复古思潮影响下，十八、十九世纪盛行于欧洲的装饰风格又出现于现代建筑之中。例如曲线优美、线条流动的洛可可风格的家具被人用来作为居室陈设，再配以相同格调的壁纸、帘幔、地毯、家具等，显得恬静典雅、古色古香，宛如回到上个世纪中去。又如在室内摆置古典风格的饰品柜，陈列各种颇有欣赏价值的古代餐具、茶具等器皿，给室内增添了端庄凝重的气氛。 乡土风格和自然风格 主要表现为尊重民间的传统习惯、风土人情，保持民间特色，注意运用地方建筑材料或利用当地的传说故事等作为装饰的主题。这样可使室内景观丰富多彩，妙趣横生。例如“渔家”的布置采用较暗的灯光，墙上挂着鱼叉、鱼网和船桨，天花板用的是一艘底儿朝天的小木船，置身其中，仿佛来到渔村，享受到特有的幽静和温情。 大城市生活的紧张、拥挤和环境污染，使人们产生厌倦，向往能享受更多阳光、空气、鸟语花香的环境。这种思绪使人们崇尚自然的室内布置，例如采用不加粉刷的砖墙面，将粗犷的木纹刻意外露于室内。木、藤家具造型朴拙，甚至带着原有的树皮，形成一种自然轻松的田园韵味。有的将绿色植物、花卉、鸟雀引进室内，使人犹如置身于大自然的怀抱。 东方风格 中国、印度、日本等东方国家的家具、陈设及日用品，在艺术上都具有自己独特的风格和民族气息。西方国家普遍认为东方文化的艺术魅力具有持久性，它的美不受时代潮流限制，因此不少人常常凭借东方风格的器物所特有的恬静、含蓄、稳重的气质来增添现代居室的神采韵律。东方风格的室内布置是灵活多样的，有时将室内一角布置成东方韵味的环境，有时整个房间或整幢房子都用东方风格的家具、屏风、古董、刺绣等装点。 后现代风格 主张兼容并蓄，凡能满足当今居住生活所需的都加以采用。这种风格的室内设计，空间组合十分复杂，突破完整的立方体、长方体的组合，且多呈界限不清的状态。利用设置隔墙、屏风或壁炉的手法来制造空间层次感，使居室在不规则、界限含混的空间利用细柱、隔墙，形成空间层次的不尽感和深远感。后现代派的设计者们还常将墙壁处理成各种角度的波浪状，形成隐喻象征意义的居室装饰格调。 居室色彩选择搭配应以符合主人的心理感受为原则。通常，有这样几个色调的搭配方法： ——轻快玲珑色调。中心色为黄、橙色。地毯橙色，窗帘、床罩用黄白印花布，沙发、天花板用灰色调，加一些绿色植物衬托，气氛别致。——轻柔浪漫色调。中心色为柔和的粉红色。地毯、灯罩、窗帘用红加白色调，家具白色，房间局部点缀淡蓝、有浪温气氛。 ——典雅靓丽色调。中心色为粉红色。沙发、灯罩粉红色，窗帘、靠垫用粉红印花布，地板淡茶色，墙壁奶白色，此色调适合少妇和女孩。——典雅优美色调。中心色为玫瑰色和淡紫色，地毯用浅玫瑰色，沙发用比地毯浓一些的玫瑰色，窗帘可选淡紫印花的，灯罩和灯杆用玫瑰色或紫色，放一些绿色的靠垫和盆栽植物点缀，墙和家具用灰白色，可取得雅致优美的效果。 ——华丽清新色调。中心色为酒红色、蓝色和金色，沙发用酒红色，地毯为暗土红色，墙面用明亮的米色，局部点缀金色，如镀金的壁灯，再加一些蓝色作为辅助，即成华丽清新格调。 住宅装修色彩技巧
《泛函分析》课程标准 英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4 一、课程性质 泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。 二、课程理念 1、培育理性精神，提高数学文化素养 基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。 2、良好的学习状态，提高综合解题能力 本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。 3、内容由浅入深 本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的： “度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。最后，介绍巴拿赫空间中的四个著名定理：Hahn-Banach泛函延拓定理，一致有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用。 4、理论联系实际，拓展学生知识面 在教学过程中，主要把握以下几点：将先进的教学思想和教学理念贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。课堂教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。教师通过应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛函分析的内容。 要求学生做到：将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅
第一条: 空间配色不得超过三种，其中白色、黑色不算色。 第二条：金色、银色可以与任何颜色相配衬。金色不包括黄色，银色不包括灰白色。 第三条：家用配色在没有设计师指导下最佳配色灰度是：墙浅，地中，家私深。 第四条: 厨房不要使用暖色调，黄色色系除外。 第五条：打死也不要深绿色的地砖。 第六条：即使没有人威胁打死你，你也坚决不要把不同材质但色系相同的材料放在一起。否则，你会有一半的机会会犯错！ 第七条：想制造明快现代的家居品味，那么你就不要选用那些印有大花小花的东西(植物除外)，尽量使用素色的设计。 第八条：天花板的颜色必须浅于或与墙面同色。当墙面的颜色为深色设计时，天花板必须采用浅色。天花板的色系只能是白色或与墙面同色系者。 第九条：空间非封闭惯穿的，必须使用同一配色方案。不同的封闭空间，可以使用不同的配色方案。 第十条：本"定律"如果用于家居以外，90%可能错误！ 释义： 什么叫灰度？很简单，把你要用的颜色用黑白复印机印出来比一下就行了。不管是暖色系还是冷色系，必然有它的灰度的。 什么叫素色：就是纯单色。 什么叫色系：接近的同色。 在一般的室内设计中，都会限制使用颜色在三种之内。当然，这不是一种绝对，由于专业的室内设计师熟悉更深层次的色彩关系，用色可能超出三种，但一般只会超出一种或两种。 限制三种颜色的定义： 1、同一个相对封闭空间内的三种颜色，包括天花、墙面、地面和家私。客厅和主人房可以有各成系统的的不同配色，但如果客厅和餐厅是连在一起的，视为同一空间。 2、白色、黑色、灰色、金色、银色不计算在三种颜色的限制之内。但金色和银色一般不能同时存在，只能在同一空间使用金或银的一种。 3、图案类以其呈现色为准。例如一块花布有多种颜色，由于色彩有多种关系，所以专业上以主要呈现色为准。办法是眯着眼睛看，即可看出其主要色调。但如果一个大型的图案的个别色块很大的话，同样得视为一种色。 装修流行式 很多业主在装修前，都会相当关心自己家的装修风格，就像很多人买车怕车型落后一样紧张。对于很多人来说，在预算允许的情况下做出最合适的装修是一件非常重要的事。 所以，我们经常会听到大家在谈论时会说到那一些东西老土，或落后之类的用词。国内素有装修风格跟风的习惯。上世纪80年代流行水曲柳，那个时代装修仍然是一件较为少见的事儿。上世纪90年代开始，人民生活水平的提升，装修活动大幅增加，有一些业主甚至曾经装修过几套房子，在这个年代，风靡一时的当算红榉木（红榉事实上是偏黄色的），于是就形成了"全国河山一片黄"的
泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连
设X 是一个非空集，K 是复（或实）数域。如果下列条件满足，便称X 为一复（或实）线性空间 （1）X 是一加法交换群，即对任意的x,y 之和，适合称为记做y x y x u X U X ,,,+=∈?∈ y x y x K x K x x x x x x x x ax u X X K x a X x a K x x x x X x X x x x X x X z y x z y x x y y x βααβαβαβααββαθθθθ+=+∈?∈?+=+=?=?=∈??∈?∈=+∈?∈?+=+∈?∈?++=+++=+)() ,,())(3.2(1)2.2()(1.2,u ,,)2(-,,,)4.1(,,)3.1())(2.1(1.1;;'）（）（的数乘，适合 对称为计做）（即的数乘运算，与中的数定义了数域为记使得对对唯一的） （）（ 线性同构 Ty Tx y x T X X T X X βαβα+=+?→?)(2)1(:,1 1）（在上的即他是一对一的并且是它既是单射又是满射，都是线性空间，设 线性子空间 为线性子空间一个线性空间，则称上的加法与数乘还构成依若设E X E X E ? 线性流形 {}为线性流形则称使得及线性子空间若设E E X E 000000E x x x x E E X X x ∈+?+=?∈??线性相关 ，否则称为线性无关的 ，使得不全为存在称为线性相关的，如果一组向量0....0......1111=++∈∈n n n n x x K X x x λλλλ 线性基 中向量的线性组合 都是而且任意的， 中的向量是线性无关的向量组，即中的一个极大线性无关是若A A X A X x ∈ 维数 线性空间中的线性基的元素个数（势） 线性包 {}{}{}A x K A x x y A x i i i n n ∈∈∈+=∈λαλααλλ称为中的向量族，线性组合是是一个指标集， 设,....X A 11 线性和与直接和 {}21212121,E E E E E E y E x y x X E +∈∈+的线性和，记，为的子空间， 是设 准范数
实变函数和泛函分析还是很重要的 实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。首先，实变函数是研究L 积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。 L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。也使很多概率理论变得更加严格。比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。没有测度论就无法分析连续鞅等等。 另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。 再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函。当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。所以，纯粹学习泛函，而不讲究实用，可以直接学泛函，大不了在学习时补充一点范数的具体形式就可以了。泛函分析有什么用呢？无非是泛函可以让我们在更广义的层次上分析最优化问题。泛函分析不仅给出的是最优路径，而不是微积分中的最优点。当然，你也可以说最优路径就是函数空间中的最优点。一般在运筹学中用处很多。那在博弈论中有什么应用呢？我们说，理性经纪人的行为就是给定约束和目标下的最优路径。所以分析经济行为当然离不开泛函分析了。但是想把泛函分析理论用来解决经济学中的优化问题并不容易。即因为首先你要把研究的问题数学模型化，然后在定义一个恰当的函数空间，一般是线性空间，然后在这个空间中定义出恰当的范数。然后把你的优化问题转化
设计师必看10大配色法则2013-12-23设计之旅 一、橙色
使用了高亮度橙色的站点通常都会给人一种晴朗新鲜的感觉，而通过将黄色、黄绿色等类似颜色与成色搭配使用，通常都能得到非常好的效果。同时，中等色调的橙色类似于泥土的颜色，所以也经常用来创造自然的氛围。 橙色是可以通过变换色调营造出不同氛围的典型颜色，它既能表现出青春的活力也能够实现沉稳老练的效果，所以橙色在网页配色中的使用范围是非常广泛的。
Color Point: 橙色通常会给人一种朝气活泼的感觉，它通常可以是原本抑郁的心情豁然开朗。 在东方文化中，橙色象征着爱情和幸福。充满活力的橙色会给人健康的感觉，且有人说橙色可以提高厌食症患者的食欲。有些国家的僧侣主要穿着橙色的僧侣服，他们解释说橙色代表着谦逊。
二、黄绿色 黄绿色时而能够表现出自然的感觉，时而能够表现出未来虚幻的感觉。 原本这两种印象之间有很大的差异，但黄绿色就像穿越时间隧道那样能够自由自在地表现出这两种截然不同的感觉。 在网页中，黄绿色通常与蓝色搭配使用。总的来说，黄绿色主要用于表现温暖亲切的感觉或高科技神秘虚幻的感觉。
Color Point: 黄绿色和草绿色都会让人联想起大自然。黄绿色同时含有黄色和绿色两种颜色的共同特点，也就是说，黄绿色既能表现出黄色的温暖，也能表现出绿色的清新。在社会上，儿童和年轻人比较喜欢黄绿色。 三、绿色
绿色也是在网页中使用最为广泛的颜色之一。 因为它本身具有一定的与健康相关的感觉，所以也经常用于与健康相关的站点。绿色还经常用于一些公司的公关站点或教育站点。 当搭配使用绿色和白色时，可以得到自然的感觉。 当搭配使用绿色与红色时，可以得到鲜明且丰富的感觉。 同时，一些色彩专家和医疗专家们提出绿色可以适当缓解眼部疲劳。
泛函分析和偏微分方程的广义求解 1历史和背景 1.1泛函分析简介 1.1.1什么是泛函分析 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1.1.2赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的
连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p，如果p ≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 1.1.3主要结果和定理 泛函分析的主要定理包括： 1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 1.1.4产生的历史、特点和内容 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1
泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application
Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】
《泛函分析》读书笔记 Reading Notes about Functional Analysis 崔继峰 所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
一个口诀三个定律，地砖配色万能公式！ 这篇文章的开始，要从小编贴了一面绿色墙说起。我本身很喜欢绿色，感觉要是能在自家的卫生间里运用起来，能带我家的卫生间打开时尚的新大门。刷完之后，我发现，地砖不是那么好搭。我开始发愁怎么样才能显示出它的味道。“浅黄色墙面，深灰色沙发，地砖配什么颜色好?”“我想刷一面紫色的墙，地面怎么选颜色?”诸如此类的问题，地砖用什么颜色好看?很难找到标准答案，色彩搭配是主观的，每个人都有不同的偏好，但又有规律可循。于是我闭关七七四十九天，潜心研究地砖、墙面和家具的搭配，终于悟出了一个秘籍，那就是 一个口诀+三个定律 不擅长色彩搭配的新手们，看完妙招之后，马上就会运用。 一个口诀，墙浅地中家具深 墙壁颜色较浅，家具颜色最深，地面颜色取中间，这样的搭配让房间从上往下有层次感，不会头重脚轻。但墙面和地面的色差不能太大，稍微模糊下界限，不断层就好，倘若发现颜色太深，可以用地毯补救(这是后话)。 这是一个万能的口诀，不管是地砖还是木地板，乳胶漆还是墙纸，柜子还是沙发，所有的颜色搭配都可以套用这个公式。怎么把这一个口诀运用到家中呢?我们就分别来说说客厅和厨卫。客厅相对而言，它的面积是家中最大的，配色就一个要求：大气!开放空间，客人来了都聚在客厅，地砖颜色的选择上不能太特立独行，休闲大气就好。 白色干净木色温润灰色高级厨卫 厨卫空间几平米大小，这两个空间要是3-4平，用深色会像个暗黑的小盒子，进去很压抑，最好用浅色瓷砖来扩大空间感。但要6㎡以上用不用浅色系都无所谓，可以随心所欲。 浅色系深色系三个定律：相似对比同类配 一、相似色 24色相环上相邻的颜色，比如蓝色和青色、蓝色和紫色、橙色和红色，这样的配色能让空间既统一又有层次感。二、对比色