《泛函分析》读书笔记
课程题目：泛函分析
任课教师：高云兰博士
学生姓名：崔继峰
学生学号：20081058
2008年12月10日
《泛函分析》读书笔记
Reading Notes about Functional Analysis
崔继峰
所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
一、泛函分析的产生
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何
之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
二、泛函分析的特点和内容
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
三、《泛函分析》空间知识认识
泛函中存在诸多空间，这里对于几个重要的空间予以认识。
1.度量空间
我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义R 中点列n x 的极限是x 时，我们是用||x x n -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||x x n -可表示为数轴上n x 和x 这两点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即
0),(lim =∞
→x x d n n 。 于是人们就想，在一般的点集X 中如果也有“距离”，那么在点集X 中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？
1.1度量空间的定义
Definition 1.1设X 为一非空集合。若存在二元函数R X X d →?:，使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件：
（1）,0),(≥y x d 且y x y x d =?=0),(（非负性）
（2）),(),(x y d y x d =（对称性）
（3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），
则称d 为X 上的一个距离函数，（d X ,）为度量空间或距离空间，),(y x d 为y x ,两点间的距离。
Notes ： 若（d X ,）为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则（d Y ,）也是一个度量空间，称为（d X ,）的子空间。
我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连续函数空间],[b a C ，有界数列空间∞l ，p 次幂可和的数列空间p l ，p 次幂可积函数空间],[b a L p )1(≥p ，均满足距离空间的性质。
Appendix ：p 次幂可积函数空间],[b a L p )1(≥p 介绍
}L b][a,|)(| |)({],[可积上在p p t f t f b a L =，在],[b a L p 中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。],[b a L p 有下列重要性质：
（1）对线性运算是封闭的。即若],[,b a L g f p ∈，则
],[],,[b a L g f b a L f p p ∈+∈α，其中α是常数。
（2）)1](,[],[≥?p b a L b a L p 。
设],[b a L f p ∈，令)1|(|≥=f E A ，],[),1|(|b a E f E B =<=，则
dm f dm f dm f B
A b
a ???+=||||||
)(||a b dm f A p
-+≤? +∞<-+≤?)(||a b dm f p
b a 故),(b a L f ∈。
（3）],[,b a L g f p ∈?，定义
=),(g f d p p
p b a dm t g t f 1|)()(|??
? ??-? （2.6） 则p d 是一个距离函数。称)],,[(p p d b a L 为p 次幂可积函数空间，简记为],[b a L p 。 1.2度量空间有重要的定理
Theory 1 对度量空间),(d X 有
（1）任意个开集的并集是开集; 有限个开集的交集是开集;
（2）任意个闭集的交集是闭集; 有限个闭集的并集是闭集; （3）X 与Φ既是开集又是闭集.
Theory 2设),(d X 是度量空间,X E X x ?∈,0,则0x 是E 的聚点的充要条件是存在E 中点列{})(0x x x n n ≠,使)(0),(0∞→→n x x d n .
Theory 3 设),(d X 是度量空间,E x X E ∈?,,则下面的三个陈述是等价的:
(2) x 的任一邻域中都有E 的点;
（3）有点列E x n ∈,使)(0),(0∞→→n x x d n .
Theory 4 设),(d X 是度量空间, E 是X 的非空子集,则E 为闭集的充要条件是E E ?'.
要比较透彻的研究度量空间，不得不提到一下内容：
2. 映射的连续与一致连续性
Definition 2.1 设X ，Y 是距离空间，f 是X 到Y 的一个映射。X x ∈0如果对任何0>ε，存在0>δ当δρ<),(0x x 时，有ερ<),(0fx fx 则称f 在0x 连续。又若f 在X 中每一点都有连续，则称f 是X 上的连续映射。若对任何0>ε，存在0)(>=εδδ，只要X x x ∈21 ,，且δ<),(21x x d ，就有ερ<))(),((21x f x f 成立，则称f 在X 上一致连续。
Example 1 ),(0x x ρ是距离空间X 上的连续函数，其中0x 是X 的一固定点。
proof: 任取x '∈X 。因为对X x ∈,
),(),(),(),(),(0000x x x x x x x x x x '-'+'≤'-ρρρρρ=),(x x 'ρ
),(),(),(),(),(0000x x x x x x x x x x ρρρρρ-+'≤-'=),(x x 'ρ
所以 ),(),(),(00x x x x x x '≤'-ρρρ.
于是任给0>ε，只要取εδ=,当δρ<'),(x x 时，就有ερρ<'-),(),(00x x x x ,因此,),(0x x ρ是X 上的连续函数。
Theory 2.1 设),(d X ，),(ρY 是距离空间，Y X f →:,X x ∈0,则下列各命题等价。
(1)f 在0x 连续；
（2）对于0fx 的任一邻域B (0Tx ,ε)，都存在0x 的一个邻域),(0δx B 使得
][),(),(00εδTx B x B f ?；
（3）对于X 中的任意点列{x n }，若)(0∞→→n x x n ，则))(()(0∞→→n x f x f n 。
proof:（1）?(2):由f 在x 0连续的定义知，任给0>ε,存在0>δ，当δρ<),(0x x 时有ερ<),(0fx fx .注意δρ<),(0x x 即),(0δx B x ∈,而ερ<),(0fx fx 即),(0εTx B Tx ∈。所以),()),((00εδTx B x B f ?。
（2）?（3）:由假设0x x n →，即对0>δ,存在N,当n>N 时，),(0δx B x n ∈.由（2）有)),(()(0εx f B x f n ∈，即ερ<),((0fx x f n ,因此)()(0x f x f n →，
（3）?（1）：反证法。假设f 在x 0不连续，则必存在某个正数0ε，使得对于每一个),2,1(1 =n n 有n x 满足n
x x n 1),(0<ρ,但00))(),((ερ≥x f x f n 这与)()(0x f x f n →矛盾。
Theory 2.2 设),(d X ，),(ρY 是距离空间，Y X f →:。则f 是连续映射的充分必要条件是，对Y 中的任一开集G ，其原象{})( ,)(1G x f X x x G f ∈∈=-是开集。
proof: 必要性，不妨设)(1G f -非空。任取)(10G f x -∈，即G x f ∈)(0。因G 是开集，故存在0>ε，使G x f B ∈)),((0ε。由于f 连续，所以对0>ε，有0>δ,使得G x f B x B f ??)),(()),((00εδ。即)(),(10G f x f -?δ。说明0x 是)(1G f -的内点，故)(1G f -是开集。
充分性：任取X x ∈0，对任意的0>ε，取开集)),((0εx f B G =，则),(10G f x -∈由假设)(1G f -是开集，因而存在0>δ，使)(),(10G f x B -?δ,故
)),((),((00εδx f B G x B f =?，即f 在0x 连续。 Definition2.2设),(d X ，),(ρZ 是两个度量空间，Z X X f →?:，点 X X y x ?∈),(00，若对任意0>ε，都存在0),,(00>εδy x ，使得当X X y x ?∈),(，且δ<),(0x x d ，δ<),(0y y d 时，恒有ερ<),(),,((00y x f y x f 成立，则称二元映射f 在),(00y x 点是连续的。若f 在X X ?上每点都连续，则称f 是X X ?上点连续二元映射。若上述δ与点),(00y x 无关，则称f 在X X ?上一致连续。
Theory 2.3 度量空间),(d X 中的距离函数),(y x d 是X X ?上的连续二元函数。 3 完备性
实数空间R 具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将
这些概念引到一般距离空间中来。
3.1 完备性概念
Definition 3.1 设{x n }是距离空间X 中的一个点列，若对任何0>ε，存在N ，当m,n>N 时，有ερ<),(n m x x 则称{x n }是X 中的一个基本列（或Cauchy 列）。 如果X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的距离空间。
Theory 3.1 设),(d X 是度量空间，则
（1）收敛点列是基本列；
（2）基本列是有界的；
（3）若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，其极限即该子列之极限。 proof:（1）设n x 、X x ∈，且x x n →。则0>?ε，N N ∈?，当N n >时，
2),(ε
εε
ε
=+<+≤22),(),(),(m n m n x x d x x d x x d 。
（2）设}{n x 为一基本列，则对1=ε，存在N ，当N n >时，有1),(1=<+ερn N x x ，记}1),,(,),,(),,(max{11211+++=N N N N x x x x x x M ρρρ ，则对任何n m ,，均有M M M x x x x x x N m N n m n 2),(),(),(11=+≤+≤++ρρρ成立，即}{n x 有界。
设}{n x 为一基本列，且}{i n x 是}{n x 的收敛子列，).(∞→→i x x i n 于是，
N N ∈?>?1,0ε，当1,N n m >时，2),(ε<
m n x x d ；N N ∈?2，当2N i >时，2),(ε
ε=+<+≤22),(),(),(x x d x x d x x d i i n n n n ，故)(∞→→n x x n 。
Example 2 C[a,b]是完备的距离空间。
proof: 设{x n }是C[a,b]中的基本列，即任给0>ε,存在N ，当m,n>N 时，ερ<),(n m x x 即
ε<-∈)()(max ],[t x t x n m b a t
故对所有的t ∈[a,b],ε<-)()(t x t x n m 由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数x(t)，使{x n (t)}在[a,b]上一致收敛于x(t)，即)(0),(∞→→n x x m ρ,且x ∈C[a,b].因此C[a,b]完备。
Example 3 空间)1](,[≥p b a L p 是完备的距离空间。
proof: 取{x n }是],[b a L p 中的基本列，即任给0>ε，存在N ，当m,n>N 时，
ερ<-=?
p p n m E n m dt t x t x x x /1))()((),( 于是对1/2k 有n k ,且n k+1>n k 使
k
p b a p nk nk n nk dt t x t x x x 21))()((),(/111<-=?++ρ 由Holder 不等式，得
q b a p b a p nk nk b a nk nk dt dt t x t x dt t x t x /1/111)())()(())()(???
-≤-++ )111( )(21/1=+-<
q p a b q k 故有 q nk nk b a k a b dt t x t x /111)()()(-≤-+∞=?∑
由前面定理知
+∞<-+∞=∑)()(11
t x t x nk nk k (n 乎处处成立）,
即()
∑∞=+-1)()(1k n n t x t x k k 收敛，从而部分和 )()()()()()(13221t x t x t x t x t x t x nk nk n n n n -++-+-- =)()(1t x t x nk n -
几乎处处收敛(k→∞)。因此存在一个函数x(t)，使)()(lim t x t x k n k =∞
→ 以下证明在],[b a L p 中,))(()(∞→→n t x t x n ,且],[)(b a L t x p ∈。
由假设，任给ε>0,存在N ，当m,n>N 时，
p b a p n m dt t x t x ε<-?
)()( 任意固定一个n ，使n>N,取k 0>N,当k>k 0时m=n k >n N >N,故有 p b a p n n dt t x t x k ε<-?
)()(
应用法杜定理 p b a
p n n k b a p n n k dt t x t x dt t x t x k k ε≤-≤-??∞→∞→)()(lim )()(lim 又因 ),()()()()(lim x x dt t x t x dt t x t x n b a
p n n b a p n n k k k ρ=-=-??∞→ 所以有)(0),(∞→→n x x n ρ。
最后，由
)()]()([)(t x t x t x t x n n +-=
而],[)( )()(b a L t x t x t x p n n ∈-与。故得],[)(b a L t x p ∈。
我们知道，有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用。对于一般的距离空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用。那么是否对于任一不完备的距离空间都可以添加一些点使之成为完备的距离空间呢？答案是肯定的。下面给出空间完备化的定义与结论。设X ，Y 是距离空间，T:X→Y ,如果对任何的x 1,x 2∈X,都有),(),(2121x x Tx Tx ρρ=则称T 是X 到Y 上的等距映射，并称X 与Y 等距。
可以证明，对于每一个距离空间X ，必存在一个完备化的距离空间X 0，使得X 等距于X 0中的一个稠密子空间X′，如果除去等距不计，X 0还是唯一确定的。
4可分性
在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性。同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将这些概念引到一般距离空间中来。
Definition 4.1 设X 是距离空间，X B A ??，如果对任何B x ∈，总存在{x n })( ,∞→→?n x x A n 使，则称A 在B 中稠密（或A 是B 的稠密子集）。又若B=X ，通常称A 在X 中处处稠密。
Theory 4.1 设),(d X 是度量空间，A 在B 中稠密与下列各命题互相等价，
（1）A B ?（其中?=A A {A 的聚点}称为A 的闭包）。
（2）对任何 B x ∈及)(,0x N δδ>（x 的邻域）内都含有A 的点。
（3）任取一个}{B A x x S ?∈>),(,0εε。即由以A 中每一点为中心ε为半径的开球组成的集覆盖B 。
另外，稠密集还有如下性质：若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密。
Definition 4.2 距离空间X 叫做可分的，是指在X 中存在一个稠密的可列子集。X A ?叫做可分的，是指存在X 中的可列子集B ，使B 在A 中稠密，即A B ?。
欧氏空间R n 是可分的，因为坐标为有理数的点组成的集构成R n 的一个可列稠密子集。
空间C[a,b]是可分的，可以证明：具有有理系数的多项式的全体P 0在C[a,b]中稠密，而P 0是可列集还可以证明空间p p l b a L ],,[等都是可分的。
存在着不可分的距离空间。
考虑∞l 中的子集
}1 0),,,,({21或===n n x x x x x A
则当x,y ∈A,x y ≠时，有1),(=y x ρ。
因[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列。
假设∞l 可分，即存在一个可列稠密子集A 0，以A 0中每一点为心，以3
1为半径作开球，所有这样的开球覆盖∞l ，也覆盖A 。因A 0可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为X 0，于是
3
23131),(),(),(100=+<+≤=y x x x y x ρρρ 矛盾，因此∞l 不可分。
5赋范线性空间与Banach 空间
Definition 5.1 设X 是实（或复）线性空间，如果对于X 中每个元素x 按照一定的法则对应于一个实数x ，满足：
0,0;x x x θ≥==（1）的充分必要条件是
(2)();x x ααα=∈K
,.x y x y x x +≤+（3）则称是的范数，称（X,）为赋范线性空间，
或简称 X 为赋范线性空间。
设X 是赋范线性空间，对于∈x,y X 及K ∈α令
(,),x y x y ρ=-
那么从范数的定义可以验证ρ(x,y)满足距离的所有条件，我们称这样得到的距离为由范数||||?诱导出的距离，这时X 构成一个距离空间。
已知赋范线性空间是特殊的距离空间，如果ρ(x,y)是范数所诱导出来的距离，那么这种距离和线性运算之间存在着以下关系。对任何x,y X ∈及K ∈α有
(1)(,)(,);x y x y ρθρ-=
(2)()().x x ρααρ=
反之，设X 是线性空间，又其上有距离(,)x y ρ，满足上述条件（1）和（2），我们定义(,)x x ρθ=可以验证它满足范数条件，并且由这个范数诱导出来的距离即原来的距离(,)x y ρ。这就是说，对于具有线性运算的距离空间，如果它的距离与线性运算之间满足条件（1），（2），即可成为赋范线性空间。
既然任何一个赋范线性空间都可以看成是距离空间，那么距离空间中的邻域、开集、闭集、可分性与完备性、列紧性与紧性等概念都可以相应定义。下面给出赋范线性空间中的收敛概念。
Definition 5.2： 设X 是赋范线性空间，
x ，x n X ∈（n=1,2,3,…），若0(),n x x n -→→∞则称点列{x n }依范数
收敛于x ，记作x x n n =∞
→lim ，有时简记为)(∞→→n x x n 。 Definition 5.3：完备的赋范线性空间称为Banach 空间。
对于课本上的内容就做这些笔记吧，因为其他重要内容书本很透彻的讲解了，况且如果照顾很多细节内容的话，哪个也写不清楚，只能把握重要的和熟悉的内容，方法。我接下对泛函分析应用举例来说明学习泛函到底有什么用？（这是很多初学者困惑的地方，我个人认为）我把这本部分内容作为笔记的附录内容。 Appendix ：
（本附录非常适合于对滤波器的基本概念和术语不是十分熟练的读者，但是该例子可以适当说明泛函的广泛最用）
A.1 )(2Z l 理论及定义
首先，我们介绍)(2Z l 上的线性算子的一个一般结论。
Theory A.1 设F →)(:2Z l )(2Z l 为一平移可交换的连续线性算子，则存在序列)()(2Z l h Z k k ∈∈，使得对任何)()(2Z l x x Z k k ∈=∈，均有下式成立：
()∑∈-=Z
n n n k k x h Fx (A.1)
而且，函数)2 ,0()(πωω∞∈∈=∑L e h H Z k ik k ，∞
=H F 。反之，若)()(2Z l h Z k k ∈∈且)2 ,0(π∞∈L H ，则 (A.1)式定义了一个平移可交换的连续线性算子，且∞=H F 。
proof: 设F →)(:2Z l )(2Z l 为一平移可交换的连续线性算子，{}Z k k e ∈为)
(2Z l
的标准基，且???=≠=.
,1, ,0k n k n e k ，则∈0Fe )(2Z l 。令)(k h h =，因为F 具有平移可交换性，所以对任何Z k ∈
∑∈-=Z
n n n k k e h Fe (A.2)
成立。我们转到光谱领域并定义算子F ~：→)2 ,0(2πL )2 ,0(2πL 为：
∑∈==Z
k ik k e y Y X F ωωω)()(~，)2 ,0()(2πωωL e x X Z k ik k ∈=∑∈，其中)()(k k x F y =。
由于傅里叶变换为等距变换，从而F ~为有界线性算子且F F =~。在(A.2)中两
边同时用傅里叶变换可得：
∑∈-=Z n in k n k e h Fe ωωωik e H )(=。由F ~的定义知，ωik e F ~ωωik e H )(=，由线性性可知，
对任何有限的三角和N X 均有N N X H X F )(~ω=成立。我们断言对所有
)2 ,0(2πL X ∈，
此式成立。事实上，设N X 有限的三角和且→N X )2 ,0(2πL X ∈，由F ~的连续性知， ∈→X F X F N ~~)2 ,0(2πL 。又)2 ,0(2πL H ∈，)2 ,0(1πL HX ∈，而
1)(X X H N -22X X H
N -≤，
当∞→N 时，上式的右边趋于0，于是 →N HX )2 ,0(1πL HX ∈。再加上∈→=X F X F HX N N ~~)2 ,0(2πL ，从而函数FX
和HX 几乎处处相等。即，对)2 ,0( a.e.πω∈，))(~(ωX F )()(ωωX H =。
这里，纯粹是应用测度、积分及泛函分析知识来证明∈H )2 ,0(π∞L 且F H ~=∞。一般的结论是：设),(μX 为可测空间，∈g ) ,(2μX L 且对所有∈g ) ,(2μX L 均有∈gf ) ,(2μX L 成立。则
（i ）G :) ,(2μX L →) ,(2μX L 为有界线性变换，其中G 定义为：
∈?f ) ,(2μX L ，gf Gf =；
(ii) ∈g ) ,(μX L ∞且∞=g G 。
然而由于它有丰富的整数群结构及对偶群T ，所以有一种更好的方法来处理。 为了证明∈H )2 ,0(π∞L ，我们考虑这种特殊的单位向量
=
-)(ξωN X []))(1()(11ξωξω---+++N i i e e N 。 因为12=N X 及N N HX X F =~，所以F X F N ~~2≤。通过计算得
22)(~ωN X F ?-=π
ξξξωπ202)()(21d H K N ，
其中
=-)(ξωN K =-2)(ξωN X 22sin 2sin 1?????? ?
?--ξωξωN N 为r e Fej '核。因而)(2ωH K N *=22)
(~ωN X F 2~F ≤,于是2H K N *∈)2 ,0(π∞L 关于N 一致成立。又∈2H )2 ,0(1πL ,2H K N *在)2 ,0(1πL 中趋近于2H ，故
2H ∈)2 ,0(π∞L 。概括起来，我们已证明对于三角多项式，均有N N HX X F =~成立，且已证明∈H )2 ,0(π∞L 且F H ~≤∞。又已证明得∈H )2 ,0(π∞L ，于是立
即可知对任何∈X )2 ,0(2πL ，HX FX =成立且F H
~≥∞，从而结论的一方得
以证明。 为了证明结论的另一方，我们假定)()(2Z l h Z k k ∈∈且)2 ,0(π∞∈L H 。对)(2Z l x ∈，定义F 为：
()∑∈-=Z
n n n k k x h Fx x h *=， (A.3)
(注意∑∈-Z
n n n k x h 通常称为h 和x 的离散卷积。)下面我们需证明∈Fx )(2Z l ，F 有界且∞=H F ，(线性性及平移可交换性显然。)这可由
?π
ωωωωπ20)()(21d e X H ik ∑∈-=Z
n n n k x h (A.4)
及前半部分的证明直接得出。证明结束。
这个定理为离散滤波器的2l 理论奠定了基础。事实上，我们定义滤波器:F )(2Z l →)(2Z l 为平移可交换的连续线性映射。虽然在不同的定义域、值域及拓扑里，滤波器有不同的定义，但不管是哪中情形，滤波器总是连续且平移不变的。2l 的范围符合我们的要求。
定义滤波器F 的脉冲响应为h Fe =0，序列=h Z k k h ∈)(也称为滤波器。若只有有限个k h 不为0，我们称此滤波器有有限脉冲响应(FIR),则它是一个FIR 滤波器。否则，则它具有无穷脉冲响应(IIR)。实际应用中，滤波器均是有限的，但并不是说IIR 滤波器没有用处；它们在理论上起着重要的作用，应用中也可以用有限滤波器来逼近。然而存在有限滤波器被设计为有限的，例如把有限滤波器与具有紧支撑的小波联系起来。目前我们将考虑一般的情形，只假定)()(2Z l h Z k k ∈∈。 定义F 的转移函数为-π2周期函数
∑∈=Z
k ik k e h H ωω)(。
习惯上，常用)(ωF 指F 的转移函数。
设T 为)(2Z l 上的有界线性算子，其伴随算子*T 定义为
y T x y *= , ,，)( ,2Z l y x ∈。
若F 为滤波器)(k h ，通过简单计算可得*F 为滤波器)(k h -，从而
)()(ωωF F =*。
A.2 一般的2—信号通道数滤波器组
一般的2—信号通道数滤波器组如图A.1所示：
图A.1 一般的2—信号通道数滤波器组
虽然我们试图强调量化和传送在实际应用中的存在重大问题，但这里假定它们都是理想的。设分光滤色片0F 和1F 经过亚抽样（D 算子），然后上抽样（*D 算子），再合成（或重建）0G 和1G ，而后输出。
若)()()(0ωωωX F Y =为滤波器0F 的输出结果，则经过亚抽样后，信号表示为∑∈=Z k k i k e y Y ωω220)(。可记作：
{})()()()(2
1)(000πωπωωωω+++=X F X F Y ， 类似的
{})()()()(2
1)(111πωπωωωω+++=X F X F Y 。 故输出X '为：
{}.)())()()()(( )())()()()((2
1)(11001100πωωπωωπωωωωωωω++++++=
'X G F G F X G F G F X (A .5) 注意这个输出包括输入信息的两种形式：原始信号)(ωX 加上它的混叠——)(πω+X 。信号处理专家告诉我们，这一部分不是我们需要的，故为了得到精确的重建，第一步是令)(πω+X 的系数为0，即：
0)()()()(1100=+++ωπωωπωG F G F ， (A.6) 为了使输出恰好等于输入的信息，必须有：
2)()()()(1100=+ωωωωG F G F (A.7) 实际应用中，这个要求放宽为：
Z n e G F G F in ∈=+- ,2)()()()(1100ωωωωω， (A.8) 这表示原始信号可以被延迟。
(A.6)和(A.8)是两个非常经典的关系式，已在过去的二十多年里应用多种方法得到了“解决”。下面介绍它们的几个解。Esteban 和Galand 选取
)()(01πωω+=F F ，
)()(00ωωF G =，
)()(01πωω+-=F G 。
易发现它们满足(A.6)，而条件(A.8)变为
ωπωωin e F F -=+-2)()(2
020。 其中n 必须为奇数，由于当πωω+→时，改变了上式左边的符号，所以Esteban 和Galand 称这些滤波器为镜像正交滤波器(QMFs).
称为“镜像”的原因是：若把函数0F 延拓为单位圆环域上的解析函数
F 0∑∈=Z k n
k z h z )(,
则F 1=)(z F 2)(z -，且当z 变为z -时，滤波器关于原点镜像对称。“正交”的思想稍稍复杂点，Esteban 和Galand 考虑的是实的对称FIR 滤波器
∑+==1
200)(N k ik k e h F ωω，
且当N k ≤≤0时，k N N k h h -++=1。这些条件隐含了滤波器0F 和1F 的相位相差2π
±：
因而相位是正交的。
遗憾的是，只有Haar 滤波器（[253]）满足这些条件。为了确定此状况，Smith 和Barnwell 引入了以下条件（考虑实滤波器）[238]，[239]：
)()(01πωωω+-=-F e F in ， n 为奇数，
)()()(010ωπωωωF e F G in -=+=，
)()()(101ωπωωωF e F G in -=+-=.
这些滤波器被命名为共轭正交滤波器(CQFs)。显然关系式(A.6)成立，而条件(A.8)化为
2)()(2
020=++πωωF F 。 于是问题转化为寻找满足此关系的滤波器0F 。实际应用中，人们希望0F 为有限滤波器（FIR ）且有“因果关系” 。因果关系是指没有输入便没有输出，或正式的说，若0=k x )0( ∑==N k ik k e h F 00)(ωω。 首先我们指定*=00F G ，*=11F G 。则问题为寻找满足(A.6) 和(A.8)的0F 和1F 。但条件为 0)()()()(1100=+++ωπωωπωF F F F ， (A.6') 2)()(2120=+ωωF F ， (A.8') 这正是定理3.1中的矩阵为酉的条件。这些条件在定理3.1的证明中十分重要。经简单计算可知(A.6')和(A.8')隐含了(3.1)。在其它方向，这个隐含更具技巧性。 最后，初学者应注意的是在这件事情上有许多约定。有些作者对)(1ωY 保留了奇系数而不是偶系数，这种情况下 )(1ωY {})()()()(2 111πωπωωω++-=X F X F 。也有关于转移函数的定义的约定：有时定义为∑-=ωωik k e h F )(0。这些差异令人困惑，但不影响基本结果。 ***我们可以从上例看到，需要用到大量的泛函的概念和定理，其实，这样 的实际例子有很多，它被广泛应用于数学物理方程，统计（与Markou随机过程的理论研究）等许多相关学科领域。 当然，泛函中还有很多重要的概念和定理，这里就不在详细的论述了。但是不得不提到的是Riesz引理，有界线性算子（附录里已经用到），共鸣定理，Banach-Steinhaus定理，开映射定理和闭图像定理，（在这里我想特别的指出，从Banach空间到Banach空间上的有界线性算子是开算子。）逆算子定理，Banach 定理，凸集的隔离定理，Helly定理，共轭空间（不仅仅是由原空间派生出的一种新空间，而且提供了认识原空间的新工具）和共轭算子，Hillbert空间，Riese-Fisher定理，投射定理。这些定理都有很好的性质和广泛的应用。如果还想深入了解和学习泛函的话，以下的经典教材是不得不看的： (1)夏道行,吴卓人,严绍宗,舒五昌等.实变函数与泛函分析.北京:人民教育出版社,1979. (2)吉田耕作.泛函分析.吴元凯等译.北京:人民教育出版社,1980. (3)A.B.Taylor.Introduction to Functional Analysis.New York,1958. 本人对夏道行教授做人，做学问仰慕已久，在这里附夏教授的个人介绍：夏道行（Xia Daoxing）(1930一 ) 江苏省泰州市人，中国数学家，中国科学院学部委员。1950年毕业于山东大学数学系，后到复旦大学任教。1956年任数学系副教授，1978年晋升为教授，并历任复旦大学数学研究所副所长，中国数学会常务理事，上海市数学会理事、秘书长、理事长等职。夏道行主要从事函数论、泛函分析和数学物理的研究，在这几个方面均有建树，在国内外有较大的影响。在函数论方面，夏道行曾于1957年证实“复变函数从属理论”中两个有名的“戈鲁辛猜测”。 50年代初期，他在单叶函数论的面积原理与偏差定理等方面的研究中曾做出系统的成果，到70年代仍被国内外单叶函数论的许多重要著作所引用。1972年由菲茨杰尔德（Fitzgerald）做出的所谓菲茨杰尔德不等式，实际上是夏道行1952年得到的一个不等式的特殊情况。1959年夏道行建立了“拟似共形映照的参放表示法”，这个方法近20年来多次被国内外函数论家所引用和称道。夏道行研究过的一类解析函数，现被国外一些函数论家称为夏道行函数。此外，夏道行在线性拓扑代数万面，建立了带对合的赋半范环论和局部有界拓扑代数理论；在非正常算子理论方面，首先建立了非正常算子的奇异积分算于模型；在现代数学物理方面，进行了关于带不定尺度的散射向题的研究，引起国外一些物理学家的兴趣。杨振宁认为，夏道行对于规范场场论与规范势的研究，被北美、欧洲许多物理学家的研究结果还要深入，夏道行因他的贡献，被国外数学家称为中国数学家中在泛函分析方面是有代表性的数学家，1982年并获中国自然科学奖。夏道行已发表科学论文50多篇，专著有《无限维空间上的测度和积分论》(1965)一书，1972年并由美国科学出版社翻译出版。 在该笔记结束之际，感谢高老师的精心讲解！ 崔继峰 于内蒙古工业大学理学院 2008年12月4日 试卷一 （参考答案及评分标准） 一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =?+? 4、充要 5、11|()()|n i i i f x f x -=??-???? ∑成一有界数集。 三、1．错误……………………………………………………2分 例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分 2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分 例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-?? 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分 4．错误…………………………………………………………2分 0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E f x dx =?…5分 四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分 因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101()3f x dx x dx ==? ?…8分 2．解：设ln()()cos x n x n f x e x n -+=，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分 又因' 2ln 1ln 0t t t t -??=< ??? ，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时， 第三章赋范空间 3.1. 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。 图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,, ,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数） ：2x = ● 1-范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将 2 或 3 中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的 长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此， 管理基础知识重点归纳（全） 一、管理 ■含义：1.管理是由管理者引导的活动 2.管理是在一定的环境条件下进行的 3.管理是为了实现组织目标 4.管理需要有效地动员和配置资源 5.管理具有基本职能 6.管理是一种社会实践活动 ■管理的特性：1.管理的二重性（自然属性和社会属性）首先是指管理的生产力属性和生产关系属性。管理工作既有科学性又有艺术性。 2.管理具有目标性。 3.管理具有组织性。 4.管理具有创新性。 ■管理的基本职能：计划 组织（组织设计、人员配备、组织运行） 领导 控制 ■管理的类型：按公共领域和非公共领域划分，现代管理分为公共管理和企业管理。 ■管理者的层次分为高层管理者、中层管理者、基础管理者。同时整个组织还包括一层作业人员。 ■按管理人员的领域分为综合管理人员和专业管理人员。 ■管理者的角色：人际角色（代表人角色、领导者角色、联络者角色）、信息角色（信息监视者、信息传播者、发言人）、决策角色（企业家、故障处理者、资源配置者、谈判者）。 ■管理者应具备的技能：技术技能；人际技能；概念技能。 ■管理环境之组织环境的分类：外部环境（一般环境和特殊环境）；内部环境（人力资源、财力资源、物力资源和信息资源和各项管理手段完善与协调的程度） ■外部环境：一般环境（政治、经济、社会文化、技术、自然环境） 特殊环境（产品的用户、竞争对手、供应商、政府机构、社会团体） ■两种程度四种环境状况，美国的邓肯的静态（稳定）—动态（不稳定），简单—复杂得来。 ■SWOT（内外部环境综合分析）：S优势、W劣势、O机会、T威胁。 二、决策 ■决策的本质：1.决策应有明确合理的目标； 2.决策必须有两个或两个以上的备选方案，但只能采取其中一个； 3.必须知道采用每种方案后可能出现的各种后果； 4.最后选取得方案，只能是“令人满意”或“足够好的”，而不可能是最优的。 5.决策的实质是为了谋求企业外部环境、内部条件和经营目标之间的动态平衡而作出的努力。 ■决策的特征：前瞻性；目标性；选择性；可行性；过程性；科学性；风险性。 ■决策的作用：决策时决定组织管理工作成败的关键； 决策时实施各项管理职能的保证。 ■决策的类型：1.按决策的重要程度，可分为战略决策、战术决策和业务决策。 2.按决策的重复程度，可分为程序化决策和非程序化决策。 3.按决策的信息可靠程度，可分为确定型、风险型和不确定型决策。 4.按照参与决策主体不同，可分为个人决策和群体决策。 ■决策的原则：满意原则；系统原则；信息原则；预测原则；比较优选原则；反馈原则；效益原则。 ■决策的制定过程：1.确定决策问题；2.确定目标；3.拟定备选方案；4.分析备选方案；5.选择最优方案。 《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =? (iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞ 博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理 4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。 基础心理学知识复习概要 第一节绪论 第一单元基础心理学的研究对象及内容 一、心理学概述 心理学研究：①动物的心理现象；②儿童的心理现象；③正常成人的心理现象。 心理学是研究心理现象发生、发展及活动规律的科学。 基础心理学是研究正常成人心理现象的心理学基础学科。 基础心理学总结的心理活动规律是：①心理活动最普遍、最一般的规律；②对心理学各分支的研究都具有指导的意义。 二、基础心理学的内容 基础心理学的内容可以分为四个方面： （一）认知；（二）需要和动机；（三）情绪、情感和意志；（四）能力、气质和性格认知，包括感觉、知觉、记忆、思维等心理现象。 需要和动机是推动人从事心理活动的内部动力。 意志是人的思维决策见之于行动的心理过程。 一般把心理现象分为：①心理过程和人格；②知、情、意和个性。 心理现象可分为心理过程和人格。 一、心理是脑的机能 动物心理的发展经历了3个阶段。动物心理的发展经历了感觉、知觉和思维萌芽三个阶段。 人的心理是：①脑的机能；②客观现实的反映。 人的心理是脑的机能得到了：①心理发生和发展过程的科学事实的证明；②生理科学研究资料的证明； ③临床事实的证明；④人们生活经验的证明。 二、心理是客观现实的反映 客观现实是心理的源泉和内容；心理是大脑活动的结果，却不是大脑活动的产物。 心理反映的特点有能动性和主观性。心理反映不是镜子式的反映，而是能动的反映。 心理反映的形式可以是：①事物的形象；②概念；③体验；④活动。 由于人的心理和行为之间的关系使得我们可以通过人的行为客观地研究他的心理。 心理和人的行为之间的关系表现为：①心理支配人的行为；②心理通过行为表现出来。但心理和行为不能划等号，不能说“心理就是行为”，“行为就是心理”。 心理学是自然科学和社会科学相结合的中间科学或边缘科学。下列说法是不正确的：①心理学是自然科学；②心理学是社会科学；③心理学既不是自然科学也不是社会科学。 第三单元心理学发展简史 一、科学心理学的建立 1879年冯特在德国莱比锡大学建立了世界上第一个心理学实验室，标志着科学心理学的诞生。 德国艾宾浩斯：“心理有一个长的过去，但只有一个短的历史。” 古希腊的希波克拉底把人分为四种类型：胆汁质，多血质，粘液质，抑郁质。 罗马盖伦提出气质这个概念； 19世纪中叶，心理学成为实证科学，成为一门独立的学科。 德国韦伯，1840年发现了差别感觉阈限的定律，即韦伯定律。 德国费希纳于1860年开创了心理物理学的新领域； 科学心理学的创始人是冯特。 冯特用内省法研究感觉、知觉、注意、联想等心理现象，提出了统觉学说和情感三维说，还主张用民族心理学的方法研究高级心理现象。 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯 一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足 ()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=?? ??=????≤+?? 、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。 2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d 设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令 ()1,,0,x y d x y x y ≠?? =??=?? 当当 ②序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点 ()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令 ()11,21i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑ ③有界函数空间B （A ） 设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义 (),()()sup t A d x y x t y t ∈=- ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令 ()()(),1()() X f t g t d f g dt f t g t -=+-? 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 泛函分析结课论文Functional Analysis Course Paper 学号 一、泛函分析空间理论 泛函中四大空间的认识 第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋线性空间和度量空间。 在线性空间中赋以“数”，然后在数的基础上导出距离，即赋线性空间，完备的赋线性空间称为巴拿赫空间。数可以看出长度，赋线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋线性空间都是距离空间。 在距离空间过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋线性空间和积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。 赋线性空间是其中每个向量赋予了数的线性空间，而且由数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋线性空间是Banach空间。赋线性空间的性质类似于熟悉的n R，但相比于距离空间，赋线性空间在结构上更接近于n R。 赋线性空间就是在线性空间中，给向量赋予数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。 在积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋线性空间与积空间的本质区别。任何积空间都赋线性空间，但 赋线性空间未必是积空间。 距离空间和赋线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。事实上，n R 上还具有向量的积，利用积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋线性空间中没有定义积，因此不能定义向量的正交。积空间实际上是定义了积的线性空间。在积空间上不仅可以利用积导出一个数，还可以利用积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。Hilbert 空间是完备的积空间。与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。 1 线性空间 （1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ?∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作 z x y =+ ,x X K α?∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作 u x α= 且,,x y z X ?∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律： 10 x y y x +=+ 20 ()()x y z x y z ++=++ 30 在X 中存在零元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+= 40 x X ?∈，存在负元素x X ?-∈，使得()x x θ+-= 50 1x x ?= 60 ()()x x αβαβ= 70 ()+x x x αβαβ+= 80 ()x y x y ααα+=+ 当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间 （2）维数： 10 设X 为线性空间， 12,,,n x x x X ∈若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈，使 得 11220n n x x x ααα++ += 第一部分教育学基础 第一章教育及教育学 第一节、教育概述（P3）※ 一、教育的概念 1、广义泛指凡是能够增长人的知识和技能，影响人的思想品德，提高人的认识能力，增强人的体质，完善人的个性的一切活动。 2、狭义即学校教育，是教育者根据社会发展的要求，在特定的教育场所，有目的、有计划、有组织的对受教育者的身心施加影响，以使他们的身心朝着社会期望的方向发展的过程。（组织性、计划性、目的性，专业的师资和场地，系统的教育及教学组织的规范） 3、更狭义思想品德教育活动（德育） 二、教育的要素（P3-P4）※ 构成教育活动的基本要素：教育者受教育者教育影响 1、教育者是教育实践活动的主体。 教育者的基本特征：主体性目的性社会性 2、受教育者是教育的对象，是学习的主体具有受教性（受教性是人的身心发展和动物的省心发展的本质区别）。 3、教育影响是置于教育者和受教育者之间的一切“中介”的总和。它包括作用于受教育者的影响以及运用这种影响的活动方式和方法。 4、教育要素之间的关系教育三个要素之间既相互独立，又相互制约，共同构成一个完整的实践活动系统，缺一不可。教育者按一定的目的和要求来改变受教育者，教育者及受教育者之间相互作用；教育者和受教育者之间的作用及联系是以一定的教育影响为中介的；三者之间相互联系和作用的结果使受教育者发生合乎目的的变化。 三、教育的形态 含义：由教育三要素所构成的教育系统在不同时空背景下的变化形式，也是“教育”理念的历史实现。 （一）根据教育系统自身形式化的程度：非制度化的教育及制度化的教育。 非制度化教育：没能形成相对独立的教育形式的教育——生产及生活高度一体化（人类学校教育以前的教育。 制度化教育：由专门的教育人员、机构及其运行制度所构成的教育形态——人类教育的高级形态，促进人类教育文明的发展。 （二）从教育系统所赖以运行的空间特性来看：家庭教育、学校教育、社会教育。 家庭教育：以家庭为单位进行的教育活动。 学校教育：根据一定的社会要求，按照一定的目的，选择适当的内容，利用集中的时间，有计划、系统地向学生进行各种科学文化知识的教育。 社会教育：在广泛的社会生活和生产过程中所进行的教育活动。 特点：开放性、群众性、多样性、补偿性、融合性 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 诗歌主题： 大类别：1.男人在外面流浪 ①送别诗：朋友间的友情，对家乡的怀念，借此说官运不通 ②山水诗：纵情山水，对大自然的讴歌，借此说对官场的厌倦 ③田园诗：田园中的安逸，劳动的乐趣，归隐思想 2.男人在外面打仗 ①边塞诗：边塞的风光，将士的勇敢，战争的惨烈 ②战争诗：（基本同上），对战争的反思 3.男人没事干（想象） ①怀古诗：借古讽今，吊古伤怀，抒发历史的沧桑感 ②说理诗：说明一个道理（说理诗只存在于宋代及以后） ③抒情诗一（借景）：借助一个景色抒发情感 ④抒情诗二（借事）：借助一个事件说明一个观点或态度 ⑤抒情诗三（借物）：借助一个景物抒发一种情感或者人生观 ⑥抒情诗四（借人）：借助一个人物抒发自己的情感 4.女人在家里惆怅 ①思夫：思念远行在外的丈夫 ②闺怨：对爱情婚姻不如意的怨恨和伤感 诗歌风格： 风格分类：1.最粗线条 ①雄浑阔达（辛弃疾、黄庭坚）、豪放旷达（苏轼）、沉郁顿挫（杜甫）：雄浑豪放、景色壮阔、感情沉厚…… ②慷慨悲壮（陆游、岳飞）：悲壮、沉重…… 2.粗线条 ①平实质朴（陶渊明、白居易、元稹）：明白畅晓、多用口语 3.细线条 ①清新雅致（王维、前期李清照）：清新自然 ②含蓄隽永（柳永、秦观、温庭筠）：委婉含蓄 ③绚丽/浪漫飘逸（李白）：华美绚丽、多姿多彩 4.最细线条 ①缠绵哀婉（李商隐、李清照）：笔调婉约、凄美 常用特殊含义词汇： 冰雪————品行高洁 月亮————思乡 柳树————谐音"留"，留恋，送别，伤怀 蒲—————分手之处 芭蕉————凄苦 梧桐————孤独 梅花————人品高洁（这个概念在唐以后）、春天的含义 菊花————孤傲 松柏————坚贞 羌笛————西北的荒凉，边塞思乡之情 春—————与爱情、青春有关 春水————愁绪 泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界 公共营养师基础知识知识点 整理(总14页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 公共营养师基础知识知识点整理 一、公共营养师职业道德 1.道德是内在的、非强制性的特殊行为规范。 2.职业道德的特点：行业性，连续性，实用性及规范性，社会性和时代性。 3.社会主义职业道德的基本规范：爱岗敬业、诚实守信、办事公道、服务群众、奉献社会。 4.社会主义职业道德确立了以为人民服务为核心，以集体主义为原则，以爱祖国、爱人民、爱 劳动、爱科学、爱社会主义为基本要求，以爱岗敬业、诚实守信、办事公道、服务群众、奉献社会为主要规范和内容，以社会主义荣辱观为基本行为准则。 5.公共营养师职业守则：（1）遵纪守法，诚实守信，团结协作；（2）忠于职守，爱岗敬业， 钻研业务；（3）认真负责，服务于民，平等待人；（4）科学求实，精益求精，开拓创新。 注：职业守则没有对职业目标进行要求 6.职业的本质是承担特定的社会责任；职业的目的是获取报酬。 二、医学基础 1.细胞的基本活动现象是新陈代谢和兴奋性。 2.人体四大基本组织：上皮组织、结缔组织、肌组织、神经组织。 3.人体九大系统：运动、循环、呼吸、消化、泌尿、生殖、神经、内分泌、感觉器官。 4.两次生长发育高峰：婴儿期和青春期。 5.孕期生理性贫血：是指孕期血浆容积和红细胞增加程度不一致，导致血红蛋白浓度、红细胞 比容和红细胞计数均下降，形成血液的相对稀释的现象。 6.孕早期和孕末期≤110g/L，孕中期≤105g/L。 7.孕期体重增加孕前体重超过标准体重120%，孕期体重增加7~8kg为宜；孕前体重正常，不计 划哺乳，孕期增重10kg为宜；孕前体重正常，计划哺乳，孕期增重12kg为宜；青春期怀孕或体重低于标准体重10%，孕期增重14~15kg；双胎妊娠女性，孕期体重增加目标18kg。 8.初乳是指分娩后5天内分泌的乳汁，含有多种抗体。哺乳前6个月平均每天泌乳量为750ml。 9.前半岁体重kg=出生体重＋月龄×0.6 10.后半岁体重kg=出生体重＋3.6＋（月龄-6）×0.5 11.2岁后体重kg=年龄×2＋8（出生体重约为3.2kg） 12.新生儿身长50cm 13.1岁时75cm 14.2岁后身长cm=年龄×7＋75 15.20颗乳牙出齐不应迟于2.5岁。6岁左右开始萌出恒牙。 16.孕妇的生理特点：（1）内分泌改变雌孕激素、甲状腺素、胰岛素。（2）消化功能改变胃 排空延迟、早孕反应、营养素吸收量增加。（3）血液容积及血液成分改变孕期生理性贫血。（4）肾功能改变有效肾血浆流量及肾小球率过滤增加，妊娠尿糖。（5）孕期体重增加。 17.老年人的生理特点：⑴代谢功能降低合成代谢降低，分解代谢增高，老年人的基础代谢降低 15%~20%。⑵消化系统功能减退⑶体成分改变瘦体组织减少而脂肪组织增加，A肌肉萎缩。B. 身体水分减少。C.骨矿物质减少，骨质疏松。⑷器官功能改变 A.肝肾功能降低B.胰腺分泌功能下降。C.免疫功能下降。D.心血管疾病发生率升高。 三、营养学基础 1.五大类营养素：蛋白质、脂类、碳水化合物、矿物质、维生素。 2.体温每升高1℃，基础代谢率约增加13%。 3.膳食营养素参考摄入量（DRIs）包括四项内容：平均需要量（EAR）、推荐摄入量（RNI）、 适宜摄入量（AI）、可耐受最高摄入量（UL）。RNI=EAR＋2SD 4.营养素的功能：提供能量、促进生长与组织修复、调节生理功能。 5.1kcal=4.184kJ 1kJ=0.239kcal 6.1kcal指1kg纯水的温度由15℃上升到16℃所需要的能量。 7.食物的热价：亦称能量系数，指每克产能营养素在体内氧化所产生的能量值。1g碳水化合物 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。实变函数与泛函分析报告答案
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