复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子.
特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题:
一课堂例题
1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(.
2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是}0{=⊥M .
3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T
4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T
5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T
6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理.
7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间)(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子.
8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01
||||0*
x f x f X f =∈=
二课后习题
1.5.1.; 1.6.5;
2.
3.2; 2.
4.5; 2.4.6; 2.
5.12;
2.5.18; 2.5.20.
