泛函分析学习心得(2020年10月整理).pdf

学习泛函分析心得学院：数计院班别：10数本1班学号：2010224315（25）姓名：侯月容转眼间，就进入到大四的生活了，时间为什么就过得这么快呢。

四年的大学生活即将要结束了。

进入到大四，总感觉自己的心不是很定，想的事情也特别多了，即将要面临找工作的事，现在就开始有些担心了。

但这学期还有课要上的，其中重要的一门课是泛函分析，下面说说我学习泛函分析的一些感受。

邓老师，上个学期就开始听你上课了，之前就听师兄说实变函数挺难的。

刚开始的时候我觉得还好，还能大概听懂。

可是慢慢地，发现越来越难，很多都听不懂，有的时候自己不小心走神一下，等我清醒过来再继续听，就完全听不懂了。

总感觉自己真差劲，脑子也没有其它同学好，不够别的同学勤奋。

有的同学平时不怎么听课，考试却考的很好。

有的时候我努力了，却学习效果不好。

还记得上个学期的期中考试，我也很认真努力地复习，看书，也许是重点没抓住，期中却考了个刚好及格，60分而已。

当时传阅成绩的时候，一看到自己这个分数，突然就心里特别伤心，不想说话。

然后就暗下决心，期末我一定要努力复习考好，不能补考。

而这学期还要上和实变函数差不多的泛函分析，一开始拿到课本，心里就很担心，这门课我真的觉得好难，比数学分析还要难，以前学习数学分析还挺好的，大部分都能听懂。

但是数学分析学了好久了，感觉学厌了。

对于泛函分析，还是挺新奇的，课本不算厚。

刚开始上课的时候，也还能听懂很多，比如老师说的一些概念，定理，自己都能理解的。

感觉并没有想象中难。

可是上了两节课之后，自己感觉越来越吃力了，听不懂，看不明白。

特别是一些例子，根本不知道为什么是这样解，为什么要这样做，心中有很多很多的疑问。

上课时，很认真地听老师上课，看着黑板。

可是看着看着就走神了，不知道听到哪里去了。

有的时候，有些地方是听懂了，可是到自己要做题的时候，完全不知道怎么下手，不知道怎么去想，好像和老师上课讲的，和课本的又联系不上。

所以每次课后老师都会布置作业，让我们巩固知识。

函授学习心得体会（精选5篇）函授学习篇1两年的函授大专学习生活就要结束了，通过两年的函授学习和社会实践是我不断的挑战自我、充实自己的一个过程。

本人在思想认识、业务知识和专业技能方面都有了很大的提高。

毕业之即，对自已两年来的学习和生活作一个。

一、思想政治方面，本人注重政治理论学习，能在工作和学习中认真践行“三个代表”思想，能自觉与党中央保持高度一致;尊重领导，团结同志，热爱本职，作风严谨，为人正派，热爱祖国，热爱人民，热爱中国共产党，忠心拥护党和国家的重大方针、政策。

平时关心国家大事，总是尽力去做有益于国家、社会的事。

在今年我省汶川大地震中，积极投入到为灾区捐款捐物活动中。

平时勤俭朴素，谦虚谨慎，孝敬父母，乐于助人，爱护公物，而且作风正派，是非观念强，道德品质优良。

二、学习方面，自参加四川中央广播电视大学旅游管理专业大专高教自考学习以来，本人能能按照学校的有关规定，利用业余时间自学各门课程，积极参加集中面授和串讲，按时完成各项作业。

通过两年学习，现已认真完成了《酒店管理》、《旅游管理》等门课程的学习，掌握了所学知识，并通过了所学课程考核。

三、业务方面，为适应社会发展的需求，我认真学习专业知识，对本专业一丝不苟，由于所学的是旅游管理专业，也是我现在所从事的事业，因此非常努力刻苦。

除了理论学习之外，还把学到的理论知识用到我现在的工作中来，我的实践能力也得到非常大的提高。

再有就是懂得了运用学习方法同时注重独立思考。

在学习时，以“独立思考”作为自己的，时刻不忘警戒。

做什么都勤于思考，遇有不懂的地方就请教老师。

随着学习的进步，我不止是学到了专业知识，我的心智也有了一个质的飞跃。

我一直坚信：只要有恒心铁棒就能磨成针。

为适应社会发展的需求，为了提高我的业务能力，我认真运用我所学习的各种专业知识，发挥自己的特长;挖掘自身的潜力，结合我工作时所操作的旅游团队，为我解决了很多实际操作中的困难。

从而逐步提高了自己的学习能力和分析处理问题的能力以及一定的协调组织和管理能力。

泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。

它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。

泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。

下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。

1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。

拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。

泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。

2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。

范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。

完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。

泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。

3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。

希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。

内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。

4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。

泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。

5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。

可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。

Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间与赋范线性空间;二、有界线性算子与连续线性泛函;三、内积空间与希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间与赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中就是最基本的概念,它就是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推广,所以学好它有助于后面知识的学习与理解。

1.度量定义:设X 就是一个集合,若对于X 中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)就是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

(这个定义就是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为就是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 与度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 与2d ,则我们认为(X, 1d )与(X, 2d )就是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定就是数集,也不一定就是代数结构。

为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d,而称“度量空间X ” 。

学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题数学系06级3班高能 060203037摘要通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。

最后提出有待解决的问题及部分解决方法。

关键词：实变函数数学美集合学习方法“实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。

国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。

”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。

我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。

Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。

勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。

如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。

实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。

点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。

也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。

我们学习研究数学，就应该追求数学美。

不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。

对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。

泛函分析学习心得在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着重要的贡献。

下面是我在学习泛函分析的心得体会。

首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数学学科。

相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。

其中最基本的概念就是线性空间和赋范空间。

线性空间是指满足一定线性运算规则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。

了解这些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函分析的核心思想。

其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。

泛函是将一个向量或者函数映射到一个实数的映射。

通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函数的性质和行为。

在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。

线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上满足一定连续性质的线性泛函。

学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。

此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。

这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。

例如，内积可以用来定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。

学习和掌握这些概念和工具对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。

最后，在学习泛函分析过程中，练习和实践也非常重要。

泛函分析是一个非常抽象和理论性很强的学科，对于我们来说可能有一定的难度。

但是通过练习和实践，我们可以更好地理解和运用所学的知识。

可以通过做一些练习题、阅读一些经典的参考书籍、参加研讨会等方式来提升自己的泛函分析水平。

在实践中我们还可以体会到泛函分析的应用，并且可以与其他学科进行交叉的思考，提高自己的综合能力。

泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。

相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。

一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。

常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。

2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。

线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。

3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。

一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。

4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。

一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。

二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。

2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。

3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。

4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。

5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。

三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。

2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。

3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。

4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。

总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。

通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函分析概念总结泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间上的函数和函数空间。

它将数学分析的基本概念和方法推广到无限维空间上，通过引入拓扑空间和线性空间的概念，揭示了函数空间的结构和性质。

泛函分析在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用，特别是在物理、工程、计算机等领域。

泛函分析的基本概念包括：线性空间、拓扑空间和连续线性泛函等。

线性空间是泛函分析的基础，它包括了向量空间的概念，并满足了一个加法封闭性和一个数乘封闭性的要求。

拓扑空间是泛函分析中用来描述空间结构的工具，它引入了开集和邻域的概念。

通过与度量空间的关系，拓扑空间可以定义连续性的概念，并研究拓扑结构和连续映射的性质。

连续线性泛函是泛函分析的核心概念，它是一个从一个线性空间到标量域的线性映射，并满足了一定的连续性条件。

连续线性泛函可以通过内积和范数的概念进行推广。

泛函分析的基本工具和技巧包括：度量、拓扑结构、收敛性、紧性、完备性、分离等。

度量可以用来度量空间中的两个元素之间的距离，进而衡量连续性、收敛性等性质。

拓扑结构定义了空间中的开集和闭集，通过拓扑性质，可以描述函数空间中的收敛性和连续性等性质。

紧性是指空间中任意无限多的序列必存在收敛子列，体现了空间的紧缩性。

完备性是指空间中任意柯西序列必存在极限元素，体现了空间的完备性。

分离是指通过函数来分离空间中的元素，体现了空间的分立性。

泛函分析的应用领域主要有：变分法、偏微分方程、函数逼近和最优化等。

变分法是通过求泛函的极值来解决实际问题的一种方法，它在物理学、力学、气象学等领域有着广泛的应用。

偏微分方程是描述自然界中的数学模型，通过泛函分析的方法可以研究偏微分方程的解的存在性和唯一性等性质。

函数逼近是将连续函数用离散的函数进行近似表示，通过泛函分析的方法可以计算逼近误差和逼近的收敛性等性质。

最优化是求一个泛函的最大或最小值，通过泛函分析的方法可以寻找最优解的条件和性质。

总之，泛函分析作为数学的一个重要分支，通过推广数学分析的基本概念和方法，研究了无限维空间上的函数和函数空间的结构和性质。

学习泛函分析心得我在学习泛函分析时，深刻理解到对于数学中的函数空间，通常要考虑的是函数与函数之间的关系，而泛函分析正是研究这种关系的一门学科。

在泛函分析中，将函数看作向量，函数空间称为向量空间。

然而，这个向量空间与我们平常接触的欧几里得空间有所不同。

在欧几里得空间中，我们通常使用内积来定义空间中向量的长度、角度等性质，而泛函分析中，我们在向量空间上定义了一种新的线性映射：泛函。

泛函将函数映射到实数或复数，从而使得函数也可以看作向量空间中的元素。

同时，泛函也可以看作将向量空间中的向量映射到一个标量。

泛函分析中一个核心的概念是范数。

范数是一种将向量空间中的向量映射到非负实数的函数，可以看作在数学上定义了向量的长度。

泛函分析中的范数并不局限于欧几里得空间中常用的2-范数，我们可以定义各种各样的范数，根据不同的需求来选择合适的范数。

另一个很重要的概念是完备性。

一个向量空间是完备的，意味着空间中的任何柯西序列都可以收敛到该空间中的一个元素。

在欧几里得空间中我们已经很熟悉了柯西序列与收敛的概念，但在一般的向量空间中，柯西序列可能并不收敛，这就需要考虑向量空间的完备性。

泛函分析有很多应用，其中比较重要的一类是微积分方程。

通过泛函分析的分析工具，可以求解各种各样的微积分方程，比如把微分方程转化为积分方程。

同时，泛函分析也被应用于量子力学、图像处理、信号处理等很多学科中。

总之，学习泛函分析可以让我们从一个完全不同的角度来看待函数空间、向量空间等数学概念，提供了一个更加广阔的数学视角。

同时，泛函分析也是一个重要的研究领域，有着广泛的应用前景。