江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 不等式 第2课时 算术平均数与几何平均数教学案

第2课时 算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 22ab （当且仅当 时 取“＝”号） 3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 例1．设a 、b ∈R +，试比较2b a +， ab ，222b a +，ba 112+的大小．即ba 112+≤ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．又42)2(222ab b a b a ++=+≤42222b a b a +++ ＝222b a + ∴2b a +≤222b a +当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤2ba + 于是ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 说明：题中的ba 112+、ab 、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：B.解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件. （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。

不等式章节测试题一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ） A ．m ＜0 B ．m ≤－1 C ．m ≤0 D ．m ≤12. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则 （ ） A ．22b a >B ．1<ab C ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ） A ．h y x <- B ．h y x 2<- C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ）A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2B ．| x 1＋x 2|＞4C ．| x 1＋x 2|＜4D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝1 6. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0, 32) B ．(32,0] C ．(52,∞-)),1(∞+⋃ D ．(52, 1) 7. 已知函数f (x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ）A ．(－2，2)B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞)8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（ ） A ．11a -<< B ．02a << C ．3122a -<< D ．1322a -<<9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 .12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a . 13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ． 15．对a ，b∈R，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba bb a a，函数f(x)＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x∈R)的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．17．已知函数f(x)＝xax x ++22，x∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x ＞1时，f(x)＞0．(1)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)对一个各项均正的数列{a n }满足f(S n )＝f(a n )＋f(a n ＋1)－1 (n∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式；(3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a nΛ对n∈N*恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为： 1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度． (1) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (2) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.不等式章节测试题参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.D9.C 10. A 11. )10,18(- 12. －1 13. 8 14.4 15. 2316. 证明：因为a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以))()(()1)(1)(1(b a c a c b c b a +++=---abc ab ac bc 8222=⋅⋅≥．17. 解：(1)当a ＝21时，221)(++=xx x f ，易证f(x)在[1，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝1时，[f(x)]min ＝f(1)＝27 (2)由f(x)＞0得022>++xax x∵x ∈[1，＋∞) ∴x 2＋2x ＋a ＞0∴a ＞－(x 2＋2x)，令t ＝－(x 2＋2x)，x ∈[1，＋∞)则t ＝－(x 2＋2x)＝1－(x ＋1)2∴当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3 ∴a ＞－318.(理)原不等式可化为：(1)(2)0()x x x x a +-≥+ ① 当a>1时，原不等式的解集为{}102x x a x x <--≤<≥或或② 当01a <<时，原不等式的解集为{}102x x a x x ≤--<<≥或或③ 当a ＝1时，原不等式的解集为{}02x x x <≥或 ④ 当20a -<<时，原不等式的解集为{}12x x x a x ≤-<-≥或0<或⑤ 当a ＝0时，原不等式的解集为{}12x x x ≤-≥或 ⑥ 当2a ≤-时，原不等式的解集为{}12x x x x a ≤-≤>-或0<或(文)原不等式可化为：(1)(1)0,(0)ax x a --<>① 当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭② 当1a >时，原不等式的解集为11x x a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭③ 当1a =时，原不等式的解集为φ. 19. (Ⅰ)设0＜x 1＜x 2，则011212>⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒>x x f x x ，从而有)()()(11211212x f x x f x f xx x f x f >⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)因为f(8)＝3f(2)＝3⇒f(2)＝1，所以有=)(n S f )1()()2()(1)1()(++=+⇔-++n n n n n a f a f f S f a f a f)()2(2n n n a a f S f +=⇔，由此及函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增得n n n a a S +=22．当n ＝1时，122112111=⇒+==a a a S a ；当n ≥2时，12121)(22-----+=-=n n n n n n n a a a a S S a11=-⇒-n n a a ，即数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等并非数列，故a n ＝n ；(Ⅲ)设存在满足条件的正整数p 、q ，则当n ＝1时，有149)1(211==⇒<+⇒-+>q p q p q p a ．下面证明不等式)11(211121-+>+++n a a a nΛ对n ∈N *恒成立．事实上，因为1211++>=n n na n=)1(2n n -+ (n ∈N *)，所以na a a 11121+++K)]1()23()12[(2n n -+++-+->K )11(2-+=n .20. (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有99.018.0=++x x ，解得x ＝19． 由c ＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程：99.095.0=++ay ay ，解得y ＝4a ，故z ＝4a ＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a ＋3．因为当1≤a ≤3时，x －z ＝4(4－a)＞0，即x ＞z ，故方案乙的用水量较少．(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似(Ⅰ)得)*()10099(,)1(545c a y c c x -=--= 于是x ＋y ＝)10099()1(545c a c c -+-- +-=)1(51c 1)1(100---a c a 当a 为定值时， x ＋y ≥1)1(100)1(512---⨯-a c a c a -=154-+a当且仅当)1(100)1(51c a c -=-时等号成立．此时 )99.0,8.0(51011),(51011∈-=+=ac ac 或舍去不合题意将ac 51011+=代入（*）式得,1152->-=a a x a a y -=52．故ac 51011-=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-a 与a a -52，最少总用水量是．T(a)＝－a ＋154-a ．。

第2课时 集合的运算1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ．2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B ＝ ．3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．二、集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ， A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔A ∩B ＝A ⇔例1. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-， ∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭. ∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭ 变式训练1.已知集合A=6|1,R ,1x x x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭B={}2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂；（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值.解： 由61,1x ≥+得50.1x x -≤+∴-1＜x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或，∴()R A C B ⋂={}|35x x ≤≤.(2)∵A={}{}|15,|14,x x A B x x -<≤=-<<∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8.例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若A B =∅,求a 的取值范围;(2) 若A B B =,求a 的取值范围.解:(1)A B =∅, ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得12a -≤≤.(2) A B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a >∴若A B =∅,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.变式训练2：设集合A={}2|320,x x x -+=B {}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-=（1）若A B {}2,=求实数a 的值；（2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；（3）若U=R ，A （U C B ）=A.求实数a 的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}1,2.（1）∵A B {}2,=∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B={}{}2|402,2,x x -==-满足条件；当a=-3时，B={}{}2|4402,x x x -+==满足条件；综上，a 的值为-1或-3.（2）对于集合B ，∆=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3).∵A B=A ，∴B ⊆A,①当∆＜0,即a ＜-3时，B=∅，满足条件；②当∆=0，即a=-3时，B {}2,=，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B=A={}1,2.才能满足条件，则由根与系数的关系得2122(1)125a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩即25,27a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3.（3）∵A （U C B ）=A ，∴A ⊆U C B ，∴A ;B =∅①若B=∅，则∆＜03-<⇒a 适合；②若B ≠∅，则a=-3时，B={}2，A B={}2，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B ，将2代入B 的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B 的方程得a 2+2a-2=01a ⇒=-∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜a ＜-1或-1＜a ＜a ＞例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数a 满足条件A B=∅则有（1）当A ≠∅时，由A B=∅，B {}R |0x x =∈>，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得（2）当A=∅时，则有∆=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正，因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数. 则由根与系数的关系，得212(2)40,(2)0a x x a ⎧∆=+-≥⎨+=-+>⎩解得04, 4.2a a a a ≥≤-⎧≤-⎨<-⎩或即 又∵集合{}|4a a ≤-的补集为{}|4,a a >-∴存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.变式训练3.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x ∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x ∈N*}，问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.解：假设A ∩B ≠∅221y x y ax ax a=-⎧⎨=-+⎩有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得a ≤因a 为非零整数，∴a=±1当a=-1时，代入（*x=0或x=-1,而x ∈N*.故a ≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A ∩B ≠∅,此时A ∩B={（1，1），（2，3）}.例4. 已知A ＝{x ｜x2－2ax ＋(4a －3)＝0，x ∈R}，又B ＝{x ｜x2－＋a2＋a ＋2＝0，x ∈R}，是否存在实数a ，使得A B ＝∅?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 解：1<a<2即实数∈a (1，2)时，B A ＝∅．变式训练4.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11y x x =++的值域,集合C 为不等式1()(4)0ax x a -+≤的解集.（1）求A B ；（2）若R C C A ⊆,求a 的取值范围．解：（1）解得A=（-4，2）， B=(][),31,-∞-+∞ 。

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

专题02 一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1 等式性质与不等式性质1、等式性质2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 同向3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4 可乘性 a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5 同向可加性 a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6 正数同向可乘性 a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向 7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2 一元二次不等式的解集有两相异实根x 1，x 2有两相等实根x 1＝x 2没有实数根x |x <x 1或x >x 2xx ≠－b 2a {x |x ∈R }∅1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()a b a b a b R +≥+∈，22a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >> （2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． （3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01 利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =， 则 222a b +的最小值为（ ） A ．2B．C ．4D．【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（ ） ABC．D ．2m法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。