高中数学联赛模拟试题(含详细解答)

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。

高中数学联赛模拟卷姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解析：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根.2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.解析：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3nn n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>， ∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7. 3.如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}；（2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a ；（3）a 是a, b, c, d 中的最小数。

那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 解析：46个。

abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 24=6个不同的数。

abcd 中恰有3个不同数字时，能组成1212121213C C C C C +=16个不同数。

abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

20XX 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y =的最大值是 _______2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________ 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ______5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[33, 22]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072))()((n n f n g =____________7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)之间的“直角距离”为d (P , Q )=|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|若C (x , y )到点A (1, 3), B (6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x , y 满足0≤x ≤10, 0≤y ≤10， 则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知,,a b c 是实数, 二次函数2()f x ax bx c =++满足()02a b c f a--=，求证：－1与1中至少有一个是()0f x =的根.10．设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．11．已知椭圆1222=+y x ，过定点)0,1(C 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于Q P ,两点。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。

则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。

则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。

则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。

）。

A。

-x+9x-12B。

x+9x-12C。

-x-9x+12D。

x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。

）。

A。

①B。

②C。

①和③D。

②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。

）。

A。

B。

C。

1D。

44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。

）。

A。

36πB。

32πC。

20πD。

16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。

）。

A。

9B。

12C。

15D。

186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。

）。

A。

807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。

）。

A。

(-2-1,2)B。

(-2,2-1)C。

[,2-1)D。

(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。

）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。

）。

A。

x<y<zB。

y<z<xC。

z<x<yD。

z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。

全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ． 6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

全国高中数学联赛模拟卷(2)一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式（ ）.A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为（ ）.A.23B. 1C. 89D.983. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为（ ）.A.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 （ ）.A.13B. 23C. 49D.595. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有（ ）.A.12个B. 15个C. 13个D.14 个6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值（ ）. A.25 B. 7 C. 252D.72二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则k =_____________.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99S =____________.9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF . 则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是______________.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则ba的取值范围是______________.11. 计算 __________.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则a b +=__________.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证(1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =;(3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.参考答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式 (A)A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++解 因为()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,()()223f x h x x x -=++,则()()()()222323f x h x x x f x h x x x ---=-+⇔+=-+-故选A .2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为 (D)A.23 B. 1 C. 89 D.98解 记()()44040sin sin 60sin 60T ααα=+-++,()()()()()()()2220002202041cos 21cos 12021cos 120232cos 2cos 1202cos 1202cos 2cos 1202cos 1202T ααααααααα⎡⎤⎡⎤=-+--+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-++⎣⎦++-++而()()000cos 2cos 1202cos 1202cos 22cos120cos 2cos 2cos 20ααααααα+-++=+=-=()()()()()220202000cos 2cos 1202cos 12021cos 21cos 24041cos 24042131cos 41cos 240cos 422αααααααα+-++⎡⎤=++-+++⎣⎦=+++= 所以 339488T =+=.故填D.3. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为 (C)A.解 记,,PA a PB b PC c ===,根据余弦定理得:BC CA AB ==再由海仑公式得:S =将1,2,3PA a PB b PC c ======代入,计算得S ==故选C.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 (B)A.13 B. 23 C. 49 D.59解 在ABC ∆中,延长AI 交BC 于D .则422AB AC λ===.故1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r .因为3,2,1BC BD CD =⇒==,在ABD ∆中,I 分AD 的比'422AB BD λ===. 224399AI AD AB AC ==+uu r uuu r uu u r uuu r , 所以242993m n +=+=.故选B .5. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有个. (B)A.12个B. 15个C. 13个D.14 个解 因为三位数abc ,满足()37abc a b c =++,所以()1001037a b c a b c ++=++,即()()63273673443a a c a b c a c b a =+⇔=+⇔-=-所以当a b c ==时,共有9种,即111;222;333;444;555;666;777;888;999当 3,7,0374,8,145,9,2a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎨-=⎩⎪===⎩; 即370,481,592. 当 4,0,7375,1,846,2,9a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=-⎧⎪⇒-=-⇒===⎨⎨-=-⎩⎪===⎩; 即407,518,629. 所以满足()37abc a b c =++条件的三位数共有15个.故选B.6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值 (A) A.25 B. 7 C.252D.72解 根据两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点能构成一正方形,则 222216925m n m n -=-⇔+=或 222216925m n m n -=-⇔+=故选A.二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则1k =-或3k =.解 因为b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====,所以有 (){();;3;.b c d ak c d a bk a b c d k a b c d c a b ck a b c dk ++=⎧⎪++=⎪⇒+++=+++⎨++=⎪⎪++=⎩ 当0a b c d +++=时,1k =-;当0a b c d +++≠时,3k =.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99910S =.解 对n a 裂项分解n a ====所以1n S =,999110S ==9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF .则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是2.解 因为 2S PD BC PE CA PF AB =⨯+⨯+⨯;BPC PA BC S S ∆⨯≥-, CPA PB CA S S ∆⨯≥-, APB PC AB S S ∆⨯≥-所以 32BPC CPA APB BC PA CA PB AB PC S S S S S ∆∆∆⨯+⨯+⨯≥---=.故2BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=≥⋅+⋅+⋅.当P 点是ABC ∆的垂心时,取得最小值是2.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则b a 的取值范围是12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 解 记()32f x x ax bx c =+++,因为抛物线的离心率为1,所以()10f =,即101a b c c a b +++=⇔-=++()()()()323221111f x x ax bx c x ax bx a b x x a x a b =+++=++-++⎡⎤=-+++++⎣⎦因为()()211h x x a x a b =+++++在()0,1与()1,∞内各有一根,于是()()0010230010h a b a b h >⎧++>⎧⎪⇒⎨⎨++<<<⎩⎪⎩.由线性规划知,易得: 12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.11. 计算3=.解3=.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则4a b +=-.解 ()()()332613212211f x x x x x x =+++=++++,记()3h x x x =+,则()()h x h x -=-,()h x 是奇函数.因为()()()()()()()()3322111210221121210f a a a h a f b b b h b =++++=⇒+=-=++++=⇒+=所以()()220h a h b +++=,故得2204a b a b +++=⇔+=-.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.解由柯西不等式得:()()()12111122131122501n n n n n n a a a a S a a a n n n +++++++-⎛⎫⎛⎫=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=+L当113n a a +=-,22111000na a ++=,即1110,30n a a +=-=时,S 的最大值为()501n +.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证 (1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.证明 记1T qr rp pq =++-,cos cos cos S A B C =，则tan tan tan tan tan tan 1sin sin sin sin sin sin 1cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos T B C C A A B B C C A A BB C C A A BB C A C A B A B C A B C A B C=++-=++-++-=()()()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B C A B A B C A B C A B C+-+-++==因为,,A B C ∠∠∠均为锐角，所以cos cos cos 0S A B C =>.而302A B C π<++<. 故 ()0cos 02T A B C A B C π<⇔++>⇔++<.同理可证:02T A B C π=⇔++=; 02T A B C π>⇔++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =; (3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.解 由题设条件2c a a c ==,得1,a c ==所以双曲线的方程221x y -=. (2). 设直线l : y mx b =+,1m ≠±.11;.11A D A D b b x x y mx b y mx b m my x b y x by y m m -⎧⎧==⎪⎪=+=+⎧⎧⎪⎪-+⇒⇒⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩则AD 的中点坐标为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭. 将y mx b =+代入221x y -=,得()()2221210m x bmx b ---+=.由韦达定理得BC 中点坐标也为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭.从而AB CD =. (3). 设点()(),,,A a a D d d -,0,0a d >>.由AB BC CD ==得:22,33a d a d C +-⎛⎫⎪⎝⎭. 由点C 在双曲线上得222291338a d a d ad +-⎛⎫⎛⎫-=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11133638BOC AOD S S OA OD ad ∆∆==⨯===16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.证明 因为AC AB =,将APC ∆旋转至AEB ∆,连,PE BE ,过B 点作BF ∥PC ,与PD 的延长线交于F .因为D 是BC 的中点,BF ∥PC ,所以BDF CDP ∆≅∆,即得 BF CP =.又,EBP FBP BE PC BF ∠=∠==,所以PBE PBF ∆≅∆,得,EPB FPB PBF ABC AEP ∠=∠∠=∠=∠,因此 在PBE ∆中,BPD APC EPB AEB ∠+∠=∠+∠EPB PEB AEP EPB AEP PBE π=∠+∠+∠=∠+∠+∠=。