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数值分析—第6章 数值积分与数值微分

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(完整)数值计算方法复习

(完整)数值计算方法复习

2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。

（二) 复习要求1。

了解数值分析的研究对象与特点。

2。

了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。

（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。

229的近似值，则x 有2位有效数字。

例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。

了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。

3。

理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。

4。

掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。

为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。

数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。

它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。

数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。

与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。

数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。

在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。

计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。

例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。

绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。

对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。

相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。

计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。

舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。

数值分析学习课件

数值分析学习课件

Ak =
∫ ∏
xn x0 i≠k
n 0
=∫
(t − i ) h (b − a )( − 1) n − k ∏ (k − i ) h × h dt = n k !( n − k )! i≠k
( x − xi ) dx ( x k − xi )
令
x =a+th
∫ ∏ (t − i )dt
n 0 i≠k
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
2
n
机械求积
∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A f ( x )
a k =0 k k
注：机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。 机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。
1.2 代数精度
如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能 准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则 次多项式就不准确成立， 准确成立，但对于 次多项式就不准确成立 称该求积公式具有m次代数精度 次代数精度。 称该求积公式具有 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有 次代数精度 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有1次代数精度。 一般，若要使得求积公式具有m次代数精度，只要令 一般， 次代数精度， 2 m 都能准确成立， 它对于 f ( x ) = 1, x, x ,L , x 都能准确成立，即
∫ f ( x ) dx = f (ξ )( b − a )
b a
1.1 数值积分的基本思想
思 只要对平均高度 提供一种算法， f (ξ ) 提供一种算法，相应地便获 路 得一种数值求积的方法。 得一种数值求积的方法。

《数值分析教程》课件

《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点

(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点

计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。

其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。

通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。

三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。

数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。

数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。

学会选用相对较好的数值计算方法。

A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。

2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。

数值微分 计算方法讲解

数值微分 计算方法讲解

（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f

数值分析(20)数值微分


k0
lk
(x)

(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=4时,可得到5点公式：
中点求导公式：
f ( x0 )
f ( x0 2h) 8 f ( x0 h) 8 f ( x0 h) 12h
f ( x0 2h)
h4
f (5) (
)
30
(6),
x0 2h x0 2h,
h0
数值分析
数值分析
端点求导公式：
(4)
设
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
则(4)式为
f ( x0 )
f ( x0
h)
f ( x0
h)
e( x0
h) e( x0
h)
2h
2h
h2 6
(2)对f ( x)在点xi以h为增量作Taylor展开有
f ( xi
h)
f (xi )
f
'( xi )h
1 2
f
''( xi )h2

1 3!
f（3）( xi )h3
O(h4 )
f ( xi
h)
f (xi )
f
1 '( xi )h 2

数值分析--数值积分与数值微分


n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得

《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx

n
b a
pn ( x )dx
b n

b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分

的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a

《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )

1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )

1 0
sd s
此时式(2―5)为

b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是

b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分

数值分析中的数值微分与数值积分

数值分析中的数值微分与数值积分数值分析是一门重要的数学分支，用于研究如何使用计算机来求解各种数学问题。

数值微分和数值积分是数值分析中的两个基本概念，它们在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。

一、数值微分数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。

在实际计算中，往往很难直接求得函数的导数表达式，这时候数值微分方法就派上用场了。

1. 前向差分公式前向差分公式是最简单的数值微分方法之一，它基于导数的定义，用函数值的差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0)) / h其中h是一个足够小的正数，通常称为步长。

通过取不同的步长h，可以得到不同精度的数值微分结果。

2. 中心差分公式中心差分公式是数值微分中较为常用的方法，它利用了函数值的前向和后向差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)与前向差分公式相比，中心差分公式的精度更高，但计算量稍大一些。

二、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数在某个区间上的定积分值。

定积分在数学、物理等领域中具有广泛的应用，尤其是对于无法用解析方法求解的积分问题，数值积分提供了可行的解决办法。

1. 矩形法则矩形法则是最简单的数值积分方法之一，它将函数在积分区间上分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * f(x)其中x是[a, b]上的随机点。

2. 梯形法则梯形法则是数值积分中较常用的方法，它将函数在积分区间上分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2梯形法则的精度要比矩形法则要高一些。

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

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b n M R[ f ] x xi dx a ( n 1)! i 0
2019年1月25日4时40分
第6章 数值积分与数值微分
5
数值分析
6.1.3 求积公式的的代数精度
定义6-1 若求积公式对于任意次数≤m次的多项式均能
准确地成立，但对于m+1次多项式不能准确成立，则
称该求积公式的代数精度为m．
对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m
次的代数多项式，则求积公式是精确成立的．
确定代数精度的方法
一般地，欲使求积公式

b
a
f ( x )dx

i0
n
i
f ( x i )具有m次代数
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，
而对于xm +1不成立。
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 6

b a
f ( x )dx f ( xi ) li ( x )dx
b i 0 a
n
ωi
机械求积公式
i ( x x ) dx
a j i
i j
b
( x x j )
由节点决定，与 f (x)无关。
式中 xi 称为求积节点； ωi 称为求积系数.
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 4
数值分析
6.1.2 插值型求积公式的余项
R[ f ] [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a b
Rn ( x )dx
a
b
b a
f ( n1) ( x ) n ( x xi ) dx ( n 1)! i 0
当 f ( n1) ( x ) M ( x [a , b]) 时，可得到
∴ 此求积公式的代数精度为0
定理6-1 对任给的n+1个互异的求积节点x0 ,x1 ,… ,xn,
一个机械求积公式的代数精度有 n 次 该公式为插
值型求积公式。
插值型求积公式是代数精度最高的求积公式
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 7
数值分析
例2 试构造形如 0 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值 求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数. 解: 求积公式有 A0, A1, A2三个未知数, 令公式对 f(x)=1, x, x2 均准确成立, 则有 3h=A0+ A1+ A2 9 h2=0 + A h+ A 2h 1 2 2 9h3=0 + A1h2+ A24h2 3 9 解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 4 4 3h 9h 故求积公式的形式为 0 f(x)dx 3h f(0) + f(2h) 4 4 由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 当f(x)=x3时, 公式的左边= 81 h4, 右边=18h4, 公式的左边右边, 4 3 说明此公式对 f(x)=x 不能准确成立. 因此, 公式只具有2次代数精度.
1 1 x2 2 x 1 1 1 x 4 dx 4 2 ln x 2 2 x 1 2 2 [arctan( 2 x 1) arctan( 2 x 1)]
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 3数值分析来自6.1 插值型求积公式
近似计算
I f ( x )dx
数值分析
例6-1

1 0
1 1 1 3 f ( x )dx f ( ) f ( ) , 求其代数精度。 2 3 2 4
解 逐次检查公式是否精确成立
取 f(x) = 1 ： 取 f(x) = x ：
1 dx 1 =
0
1
1 1 1 2 2

1 0
x dx
1 1 1 1 3 13 2 3 2 4 24 2
3h
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 8
数值分析
例3 给定形如 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) B0 f (0) 的 0 求积公式，试确定系数 A0 , A1 , B0 ，使公式具有尽可能高的 代数精度. 2 令 分别代入求积公式使它精确成立 f ( x ) 1 , x , x 解 解: 当 f ( x) 1 时，得 A0 A1 1dx 1; 0 1 当 f ( x) x 时，得 A1 B0 xdx 1 ; 0 2 1 1 当 f ( x) x 2 时，得 A1 x 2 dx . 0 3 2 1 1 解得A0 , A1 , B0 ,于是得
数值分析
数值积分
近似计算 I f ( x )dx
a b
为什么要进行数值积分？
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
I ( f ) f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
2019年1月25日4时40分
a
b
Ln ( x )dx
a
b
思 利用插值多项式L ( x) f ( x) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xi )li ( x ) ，即得到
i 0 n
插值型积分公式
数值分析
第6章 数值积分与数值微分
Numerical Integration And Numerical Derivation 6.1 插值型求积公式 6.2 三个常用的求积公式及其误差
6.3 复化求积公式
6.4 Romberg求积公式
6.5 Gauss求积公式
6.6 数值微分法
2019年1月25日4时40分 第6章 数值积分与数值微分 1
第6章 数值积分与数值微分
2
数值分析
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
x f(x) 1 4 2 4.5 3 6 4 8 5 8.5
e.g.
☎ f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 1 sin x 1 e.g. x2 0 x dx 0 e dx 它们的原函数都不是初等函数. ☎ f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂. e.g.