M a t l a b数值积分与数值微分
Matlab数值积分
1.一重数值积分的实现方法
变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法
1.1变步长辛普森法
Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长
辛普森法求数值积分.调用格式为:
[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)
[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)
Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限；
tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展
开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开.
返回值I为积分数值；n为调用函数的次数.
--------------------------------------------------------------------- 例如：求
∫e0.5x sin(x+π
)dx
3π
的值.
先建立函数文件
fesin.m
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调用quad函数
[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)
I=
0.9008
n=
365
--------------------------------------------------------------------- 例如：分别用quad函数和quadl函数求积分
∫e0.5x sin(x+π
6
)dx
3π
的近似值，比较函数调用的次数.
先建立函数文件
fesin.m
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));
formatlong
[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)
I=
n=
198
[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)
I=
n=
365
--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并
且比quad函数求得的数值解更精确.
1.2高斯-克朗罗德法
Matlab提供了自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调用格式为：
[I,err]=quadgk(@fname,a,b)
Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平面上求积分.
--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分
∫
xsinx
1+cos2x
dx π
的数值.
先编写被积函数的m文件
fsx.m
function f=fsx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);
再调用quadgk函数
I=quadgk(@fsx,0,pi)
I=
2.4674
--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分
∫
xsinx
1+cos2x
dx +∞
−∞
的值.
先编写被积函数的m文件
fsx.m
function f=fsx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调用quadgk函数
I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)
I=
-9.0671e+017
---------------------------------------------------------------------
1.3梯形积分法
对于一些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的一
组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问
题用梯形积分法，其函数是trapz函数，调用格式为：
I=Traps(X,Y)
X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1分区间是[x1,x n]
--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所示的两组样本点.
现已知变量x和变量y满足一定的函数关系，但此关系
未知，设y=f(x)，求积分
13.39
∫f(x)dx
1.38
的数值.
X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11
.12,13.39];
Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41
