3.2.2半角公式学案

3.2 半角公式-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案课程目标本课主要教授半角公式的求解方法和应用，通过实例演示，使学生理解该知识点并能够熟练运用半角公式解决实际问题。

教学内容1.半角公式的概念和基本式推导2.半角公式三角函数的应用3.实例演示和练习题解答教学重点1.了解半角公式的概念和基本式推导2.掌握半角公式三角函数的应用3.熟练运用半角公式解决实际问题教学难点1.掌握半角公式的推导过程2.熟练掌握半角公式三角函数的应用教学方法板书+讲解+实例演示+学生互动教学步骤第一步：引入通过板书及简要讲解引入半角公式的概念和重要性。

第二步：基本式推导讲解半角公式的基本式及推导过程，并通过板书和示例演示加深学生理解。

第三步：半角公式的应用学习半角公式在三角函数中的应用，通过简单实例演示，提高学生的注意力和掌握能力。

第四步：实例演示通过多个实例演示，加强学生对半角公式应用的理解和掌握。

第五步：练习题解答提供一定量的练习题，让学生通过实践加强半角公式运用的能力，并在课堂上进行解答。

教学方案时间安排本课程需要1小时完成。

授课方法及资源准备板书、讲解、实例演示、练习题教学过程1.引入（5分钟）–通过蝴蝶效应等相关例子引导学生注意半角公式的存在和重要性。

2.基本式推导（20分钟）–在板书上展示半角公式的基本式及导出过程，并通过示例演示加深理解。

3.半角公式的应用（10分钟）–在板书上展示半角公式在三角函数中的应用，让学生掌握该知识点的使用方法。

4.实例演示（15分钟）–在实例中演示半角公式的具体应用及解题方法，让学生了解和掌握实际运用。

5.练习题解答（10分钟）–提供一定量的练习题，并在课堂上讲解解题思路和方法，加强学生对该知识点的掌握。

总结本节课主要讲解了半角公式的概念、基本式的推导、三角函数中的应用以及实例演示和练习题等内容。

学生通过实践加强了对该知识点的熟练掌握和应用能力。

文登一中高一数学组教学案（）课题：半角的正弦、余弦和正切（）月（）日编者: 审稿人：星期授课类型：新授课1、学习目标：掌握半角公式及推导过程，会应用公式解决相关的问题2、重点难点：对公式的理解与应用3、教学方法：自主探究，学练结合课堂内容展示一、复习回顾：（12分钟）1.倍角公式sin2α= .cos2α= = = .= .2.已知α是锐角且cos=,求（1）sinα；（2）cosα；（3）tanα.自学指导：1.能否把倍角公式中的α换成?尝试一下.2. 如何用α角的三角函数来表示角的三角函数？3、小结：半角公式：二、自学检测：（20分钟）1、求sin150，cos150，tan150的值.规律总结2、求cos22.503、等腰三角形ABC的顶角A的余弦等于,求这个三角形底角B的余弦和正弦.4、三、合作探究：1、如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,求sin的值2、已知3、求tan－cot的值课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧！本节反思反思一下本节课，应该注意哪些问题呢？3、当堂检测1、已知，，那么=_____________。

2、已知，，那么+=___________。

3、设，则=______________。

4、=________________。

5、已知-=，，则=__________。

6、已知：，的终边在第四象限，求的值7、已知，并且在第三象限，求的值。

8、设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan9、已知，，、均为锐角，求的值。

10、若，且，求的值。

《半角公式》导学案一、学习目标1、理解半角公式的推导过程。

2、掌握半角公式的内容，并能熟练运用半角公式进行三角函数的求值、化简和证明。

3、通过对半角公式的学习，提高逻辑推理和数学运算能力。

二、知识回顾1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：＼（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\）（2）商数关系：＼（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）三、半角公式的推导1、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 1 2\sin^2\alpha\），可得：＼＼begin{align}＼cos 2\alpha&＝1 2\sin^2\alpha\＼2\sin^2\alpha&＝1 ＼cos 2\alpha\＼＼sin^2\alpha&＝＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼sin\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝＼）2、同理，由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 2\cos^2\alpha 1\），可得：＼＼begin{align}＼cos 2\alpha&＝2\cos^2\alpha 1\＼2\cos^2\alpha&＝1 ＋＼cos 2\alpha\＼＼cos^2\alpha&＝＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼cos\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝＼）3、对于\（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼），由\（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼），可得：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{＼sin\frac{＼alpha}｛2}｝｛＼cos\frac{＼alpha}｛2}｝＼＼＆＝＼frac{＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝｝｛＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝｝＼＼＆＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}｝＼end{align}＼又因为\（＼tan\alpha ＝＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛＼sin 2\alpha}＼），所以：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha}＼＼＆＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼end{align}＼综上，半角公式为：＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝＼）＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝＼）＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛1＋＼cos\alpha}｝＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha}＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼）四、半角公式的应用1、求值例 1：已知\（＼cos\alpha ＝＼frac{1}｛3}＼），且\（＼alpha\）为第一象限角，求\（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼）的值。

半角公式15分钟35分θ=-,θ∈,则in co=BD【解析】选D因为θ∈,所以∈,所以in==,co =-=-,所以in co=22021·西安高一检测已知co α=-,α∈,则=C【解析】α=-,α∈,得in α=-,====-,所以=-232021·济南高一检测在△ABC中,若in Bin C=co 2,则下面等式一定成立的为=B =C=C =B=C【解析】选C在△ABC中,因为in Bin C=co 2=,所以2in Bin C=-co Bco Cin Bin C1,所以co Bco Cin Bin C=coB-C=1,因为-π0,所以==-co α所以原式===in答案:in62021·浦东高二检测已知α,β∈且α于是==co-in==in【补偿训练】给出下列等式:1-tan=-;2=tanα-β;3=-;4tan2=其中正确的等式序号是________将你认为正确的等式序号全部写出来【解析】对于等式1,左边==2×=,等式1不成立;对于等式2,左边===-=-=-tan,等式2不成立;对于等式3,左边==tan=tan=tan=-tan=-,等式3成立;对于等式4,等式右边===tan2,等式4成立答案:34α=4in 2α-co 2α2,在锐角三角形ABC中fA=6,且co 2B=co 2C,则tan B的值为B-1C 1 D【解析】α=4in 2α-co 2α2=4in 2,又因为在锐角三角形ABC中,fA=6,所以fA=4in 2=6,即in =,所以2A-=或2A-=,解得A=或A=舍去,又因为co 2B=co 2C,所以2B=2C ,即B=C=,所以tan B=== 1【误区警示】注意本题中锐角三角形的限制,产生多解后要对其进行检验二、多选题每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分52021·长沙高一检测下列三角式中,值为1的是15°co 15°C D【解析】选15°co 15°=2in2×15°=2in 30°=1,本选项符合题意;=2co=2co=1,本选项符合题意;C=tan2×°=tan 45°=1,本选项符合题意;D==co≠1,本选项不符合题意=-2in co ,则下列选项正确的是的最小正周期是π在区间上单调递增的图象关于点对称的图象关于=-对称【解析】=-2in co=co 2-in 2=co,对选项A,函数的最小正周期为T==π,故正确;对选项B,因为-≤≤⇒0≤2≤,所以f在上单调递减,故错误;对选项C,f=co=,函数不关于点对称,故错误对选项D,f=co=,函数f的图象关于=-对称,故正确【光速解题】B选项可以将区间端点值代入验证得f>f,故不成立,由对称中心在平衡位置处及对称轴对应的函数值为最大或最小值易知C错D对三、填空题每小题5分,共10分72021·杭州高一检测若α的终边上的点,满足=2,则in α-co α=________,tan=________【解析】在α的终边上,任意取一点,则in α==-,co α==-,则in α-co α=-=-,tan==-答案:--82021·上海高一检测若△ABC为等腰三角形,顶角为A,co A=-,则in B=________ 【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由A角的函数值得B角的函数值【解析】因为△ABC为等腰三角形,顶角为A,所以B=,in B=in =co ,由半角公式得co =±=±,又co A<0,故A为钝角,∈,所以in B=co=答案:四、解答题每小题10分,共2021=1求f的值;2当∈时,求g=fin 2的最大值和最小值【解析】1f======2co 2所以f=2co=2co=-2由1知f=2co 2,g=fin 2=co 2in 2=in因为∈,所以≤2≤,所以g ma=,g min=-1102021·上海高一检测如图,在O平面上,点A1,0,点B在单位圆上,∠AOB=θ0<θ<π1若点B,求tan的值;2若=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ·的取值范围【解析】1因为B,∠AOB=θ,所以co θ=-,in θ=所以tan===2所以tan===-32Sθ=in θ=in θ,因为=,=,所以==,所以·=1co θ,所以Sθ·=in θco θ1=in10<θ<π,因为<θ<,所以-<in≤1,所以0<Sθ·≤ 1已知co co=,则in4θco4θ的值为________ 【解析】因为co co==co2θ-in2θ=co 2θ=所以co 2θ=故in4θco4θ===答案:。

半角公式教案教案标题：引入半角公式的基础数学课程教学教学目标：1.了解和理解半角公式的概念；2.学会应用半角公式解决与角度相关的数学问题；3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1.半角公式的定义和推导过程；2.半角公式的应用举例。

教学过程：一、导入（10分钟）1.教师出示一道与角度相关的数学问题，要求学生思考并讨论如何解决；2.学生积极参与讨论，教师引导学生思考角度和半角之间是否存在一定的关系。

二、学习（20分钟）1.教师简要介绍半角公式的概念和定义，并推导出半角公式的表达式；半角公式：sin（A/2）= ±√[(1 - cosA) / 2]2.教师讲解半角公式的原理和应用；3.学生跟随教师的讲解，记录笔记并思考相关问题。

三、实践（30分钟）1.学生分组，每组选举一名代表解答问题；2.教师提供一些与角度相关的题目，要求学生运用半角公式进行解答；3.学生小组展示解题思路和方法，其他小组提问和讨论；4.教师给予学生及时的反馈和指导。

四、巩固（15分钟）1.教师出示一些应用半角公式解决实际问题的例子，要求学生尝试解答；2.学生将解题过程和答案呈现出来，教师进行点评和总结。

五、拓展（15分钟）1.结合实际，教师讲解半角公式在几何、物理等领域的应用；2.学生进行讨论和思考，拓展半角公式在更多领域中的应用。

六、归纳（10分钟）1.教师将半角公式的应用进行总结，并概括成简洁的原则；2.学生积极参与讨论，检查自己的笔记是否完整。

七、作业（5分钟）1.布置与半角公式相关的练习作业，要求学生独立完成；教学反思：通过本节课的教学，学生对半角公式的概念和应用有了初步的了解。

通过实践和讨论，学生积极参与，有效提高了对半角公式的理解和运用能力。

同时，通过拓展环节的设置，拓宽了学生对半角公式在实际应用中的认识。

在今后的教学中，可以进一步引导学生运用半角公式解决更复杂的数学问题，加深对半角公式的理解和运用能力。

第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)[自主预习·探新知]半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝＝1－cos αsin α.思考：利用tan α＝sin αcos α和倍角公式能得到tan α2与sin α，cos α有怎样的关系？提示：tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．()(3)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.( ) (4)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为( ) A ．－33 B ．33 C ．63 D ．－63B3．已知cos α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos α2的值为( )A ．66 B ．306 C ．－66 D ．－306 B4．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D.3－1 B [由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cosα2、tanα2.[解]sin α2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角． 当α2为第二象限角时，sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2. [解] ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2 θ2－1 得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2(1＋cos α＋sin α)2＋2cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. [思路探究] 利用半角公式将角进一步统一为α2，注意角的取值范围． [解] ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α24cos 2 α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2－2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.1．半角公式适用的条件是什么？ 提示：cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2，α∈R .tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？ 提示：例如α可以看成α2的倍角，也可以看成2α的半角． 3．怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？ 提示：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值.[思路探究] 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质．[解] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取最大值，最大值为2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A ．63B ．－63C ．±63D ．±33A [由题意知α2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63.]2．函数f (x )＝2sin x 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A ．12 B ．32 C ．1D ．2A [∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.]3．计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.[解析] 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.[答案] －44．设5π<θ<6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________. [解析] ∵5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. ∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－1－132＝－33.[答案] －33 5．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切目标索引1．了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.学前预习1．半角公式 sin α2＝± 1－cos α2； cos α2＝±1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 小试身手1．cos 2π8－12＝( )A ．1B .12 C.22 D.242．设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α2等于( )A ．sin α2 B.cos α2 C ．－sin α2 D.－cos α23．已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2＝________.题型探究题型一 给值求值例1 已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．【分析】 先求出cos2φ的值，再利用半角公式求sin φ，cos φ值．变式训练1-1 已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B.－22C ．2 D.2或－22题型二 化简例2 化简下列各式：(1) 12－12 12＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π； (2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ.变式训练2-1 化简4cos 2α÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2等于( ) A.12sin αcos α B.sin2αC ．－sin2α D.2sin2α题型三 半角公式的综合应用例3 已知3π4＜α＜π，tan α＋cot α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值．【分析】 (1)解关于tan α的方程可得tan α的值；(2)利用降幂扩角公式，最后将所求式化为关于tan α的关系式求值．变式训练3-1 在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( )A ．等边三角形 B.等腰三角形C ．不等边三角形 D.直角三角形当堂检侧知识点一 给值求值1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为() A ．－33 B.33C.63D.－632．已知sin θ＋2cos θ＝0，求cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ的值．3．下列各式与tan α相等的是( )A. 1－cos α1＋cos2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos2α D.1－cos2αsin2α4.1＋cos100°－1－cos100°等于( )A ．－2cos5° B.2cos5°C ．－2sin5° D.2sin5°5.3cos10°－1sin170°＝________.【参考答案】小试身手1．D【解析】cos 2π8－12＝1＋cos π42－12＝12cos π4＝24，故选D. 2．D【解析】1－cos π＋α2＝ 1＋cos α2＝ cos 2α2＝－cos α2，故选D.3．2－62 【解析】∵α为第四象限角，∴α2为二、四象限角，∴tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－ 1－331＋33＝2－62. 题型探究例1 解 ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169.又∵π4＜φ＜π2，∴π2＜2φ＜π，sin φ＞0，cos φ＞0，∴cos2φ＜0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169， ∴sin φ＝ 1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213， cos φ＝1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 变式训练1-1 B 【解析】解法一：tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， ∴2tan 2θ－tan θ－2＝0，∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ<0，∴tan θ＝－22，故选B.解法二：∵π<2θ<2π，且tan2θ＝－22<0，∴3π2<2θ<2π， ∴cos2θ>0， ∴cos2θ＝ 11＋tan 22θ＝13，π2<θ<π，∴tan θ<0， ∴tan θ＝－1－cos2θ1＋cos2θ＝－22，故选B. 题型二 化简例2 解 (1)∵3π2＜α＜2π， ∴ 12＋12cos2α＝|cos α|＝cos α.又∵3π4＜α2＜π，∴ 12－12cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2. ∴原式＝sin α2.(2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ＝2sin4θcos4θ＋2sin 24θ2sin4θcos4θ＋2cos 24θ＝2sin4θsin4θ＋cos4θ2cos4θsin4θ＋cos4θ＝tan4θ. 变式训练2-1 B【解析】原式＝4cos 2α·sin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin2α，故选B.例3 解 (1)由tan α＋cot α＝－103，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0.即tan α＝－3或tan α＝－13.又3π4＜α＜π，所以tan α＝－13为所求．(2)原式＝5×1－cos α2＋4sin α＋11×1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526. 变式训练3-1 B【解析】由sin A sin B ＝cos 2C 2，得sin A sin B ＝1＋cos C 2， 即2sin A sin B ＝1－cos(A ＋B )，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，即A ＝B ，故△ABC 是等腰三角形．当堂检侧1．B2．解 由sin θ＋2cos θ＝0得sin θ＝－2cos θ，∴cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ－2sin θcos θsin 2θ＋2cos 2θ＝cos 2θ6cos 2θ＝16. 3．D【解析】1－cos2αsin2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α，故选D.4. C 【解析】1＋cos100°－1－cos100° ＝ 2cos 250°－2sin 250°＝ 2cos50°－2sin50°＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos50°－22sin50° ＝2(sin45°cos50°－cos45°sin50°)＝－2sin5°.故选C.5. －4【解析】3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°＝2sin10°－30°12sin20°＝－4.。