亚波长闪耀光栅矢量衍射效率计算曹艳波;艾华【摘要】将矢量衍射数值算法-严格耦合波分析用于精确计算亚波长闪耀光栅的衍射效率,并分析其衍射特性.建立了闪耀光栅的电磁介质模型,并将楔形不规则结构简化为多层矩形光栅结构,通过电磁场的介质分布建立严格耦合波方程.根据边界条件求解出各层的电磁场分布,再通过增透矩阵方法将各层电磁场依次迭代,求解出了整个结构的衍射效率.计算分析显示,对闪耀角为11.3°、周期为500 nm的金属铝闪耀光栅可以得到高于90%的衍射效率和相应的闪耀级次.实验表明这种矢量衍射数值算法具有较高的准确性,可以推广应用于高致密刻线复杂光栅的衍射计算分析.【期刊名称】《中国光学》【年(卷),期】2010(003)006【总页数】5页(P679-683)【关键词】闪耀光栅;衍射效率;矢量衍射;严格耦合波分析【作者】曹艳波;艾华【作者单位】中国科学院,长春光学精密机械与物理研究所,吉林,长春,130033;中国科学院,长春光学精密机械与物理研究所,吉林,长春,130033【正文语种】中文【中图分类】O436.11 引言闪耀光栅是一种能将单个刻槽面衍射的中央极大和诸槽面间干涉零级主极大分开的相位型光栅。
闪耀光栅的刻槽面与光栅面不平行,两者之间有一夹角 (称为闪耀角),从而使单个刻槽面(相当于单缝)衍射的中央极大和诸槽面间 (缝间)干涉零级主极大分开,将光能量从干涉零级主极大,即零级光谱,转移并集中到某一级光谱上去,实现该级光谱的闪耀[1]。
而闪耀光栅的衍射效率理论上可以利用基于惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫积分的标量衍射理论进行计算,但结果只是近似,特别是对于微小尺寸光栅,无法避免由于入射光的偏振态而造成的偏差。
矢量衍射理论主要针对处于共振区域或亚波长区域的光栅,耦合波方法是目前广泛使用的一种矢量衍射理论,由M.Moharma率先提出,20世纪 90年代在稳定性、收敛性和计算效率方面得到不断完善[2,3]。
光栅衍射问题数值计算的最小二乘方法栾天;王玉洁;郑恩希【摘要】针对光栅衍射问题提出一种最小二乘算法.在计算区域简单剖分的基础上,选取平面波函数近似解的局部性态,并利用Rayleigh展开的有限项截断近似解在无穷远处的性态.结果表明,该方法适用于一般形状的衍射光栅和大波数情形,应用过程简单,所需剖分单元少,收敛速度快.数值实验验证了算法的有效性.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)006【总页数】4页(P1037-1040)【关键词】光栅衍射;Rayleigh展开;平面波函数【作者】栾天;王玉洁;郑恩希【作者单位】北华大学数学与统计学院,吉林吉林132033;吉林大学数学研究所,长春130012;吉林大学数学研究所,长春130012;吉林大学数学研究所,长春130012;大连海事大学理学院,辽宁大连116026【正文语种】中文【中图分类】O241.821 光栅衍射问题在电磁场散射理论中，散射体是周期结构表面的散射问题称为光栅衍射［1］.光栅衍射在微光学领域（如光谱分析、纳米尺度光学原件设计和光纤通信）应用广泛，关于这类问题的数值研究目前已取得了一些结果［2－4］，通常采用的数值方法为有限元方法［5－7］，适用于一般形状的光栅结构.但当问题的波数较大时，有限元方法将带来较大的计算量［8］，不再适合实际应用.为此，本文针对光栅衍射问题，提出一种更有效的算法——最小二乘方法，该方法不仅适用于一般形状的衍射光栅，而且能克服大波数带来的困难，应用过程简单，所需剖分单元少，收敛速度快。
考虑一维光栅的时谐衍射问题.设光栅的表面为Γ，周期为d.带状区域S定义为设Γ0⊂S为Γ在带状区域S内的一个周期，Γ0将S分割为两个部分，上半部分记为E.入射平面波为uI＝exp｛iαx－iβy｝，其中α＝ksinθ，β＝kcosθ，k为波数，－π／2＜θ＜π／2为入射角.在区域E 中，全场u满足Helmholtz方程：Δu＋k2 u＝0.考虑满足拟周期条件的解，即u满足这里u（x，y）exp｛－iαx｝在x方向是以d为周期的周期函数.为了保证数学问题的解存在唯一，并且符合物理要求，还要求衍射场ud＝u－uI在无穷远处满足有界外行平面波条件，即衍射场在无穷远处仅由有限多个向外传播的平面波构成. 一维光栅时谐衍射问题的数学模型为：给定平面入射波uI，求拟周期解u，满足如下边值问题：且衍射场ud＝u－uI满足有界外行平面波条件，这里a，b∈ℝ不同时为零.当a＝0，b≠0时，对应Dirichlet边界条件；当a≠0，b＝0时，对应Neumann边界条件；当a≠0，b≠0时，对应Robin边界条件.2 最小二乘方法将一个周期内的计算区域进行简单剖分，在每个有界子域中选用平面波函数近似解u的局部性态.关于解在无穷远处的性态，使用Rayleigh展开的前有限项截断去近似，这种近似可以自然满足有界外行平面波条件和拟周期条件.设光栅表面Γ为周期曲线，外法方向为ν，最低点在x轴上，光栅的高度为h.记人工边界Γa＝｛（x，y）；0＜x＜d，y＝a＞h｝，区域区域区域将区域E分解为s＋1个单连通开区域Ej（j＝1，2，…，s＋1），其中Es＋1＝Ua.对于所有的区域Ej的边界为Γj＝∂Ej.表示E左侧与E有相同剖分一个周期内的子区域，表示的边界.记Γi，j＝Γi∩Γj，对于i，j≤s，定义＝Γi∩.令n（x）表示Γi，j或的一个法方向.特别地，如果x在上，假设n（x）方向由E′j指向Ei.符号如图1所示.考虑子区域 Ej（j＝1，2，…，s）.由于Helmholtz方程的解u∈H1（Ej）可以利用平面波函数去逼近［9］，因此可采用平面波函数近似解u的局部性态.在每个Ej内部选取点xj＝（xj，yj）（j＝1，2，…，s），并选取Nj个方向d（j）l（l＝1，2，…，Nj），定义局部近似空间图1 符号示意图Fig.1 Diagram of notations在子区域Es＋1中，u的 Rayleigh展式［2］为其中：因此，可以采用Rayleigh展开的有限项截断作为解u的近似.在Es＋1中，定义近似空间结合上述所有近似空间Vj（j＝1，2，…，s＋1），定义试探函数空间V为于是，可定义误差匹配泛函为其中［v］表示函数v在子区域相交边界处的跃度，定义为类似地，可以定义的跃度，表示为因此，定义最小二乘法的数值解uN为如下最小二乘问题的解：利用对偶技巧可以得到最小二乘方法的一个基本估计：命题1 若k2≠（αn＋α）2，n∈ℤ，则存在一个与u和Nj无关的常数C，使得命题1的证明过程与文献［10］中定理3.1和文献［11］中定理2.1的证明完全类似，故略.命题1表明，对任意非共振波数k，J（uN）1／2控制着解的内部误差，因此可以用于判断算法的收敛性.3 数值模拟下面通过数值模拟验证算法在计算光栅衍射问题时的有效性.数值实验均使用Matlab软件实现.为简单，取Nj＝p（j＝1，2，…，s＋1），p∈ℕ，即每个单元上选取相同数目的平面波函数，且平面波的方向按如下方式选取：d（j）l＝（cosθl，sinθl），θl＝2π（l－1）／p，l＝1，2，…，p.例1 直线光栅Γ＝｛（x，y）∈ℝ2，y＝0｝，入射波为平面波uI＝exp｛iαx－iβy｝.取波数k＝50，光栅周期d＝2，入射角θ＝π／4，a＝0，即Dirichlet边界条件.将计算区域｛（x，y）；－1＜x＜1，y＞0｝剖分，选取点x1＝（－0.5，0.25），x2＝（0.5，0.25），如图2所示.由于例1中问题存在真解u＝uI－exp｛iαx＋iβy｝，因此本文计算了真解和数值解在区间Ω＝（－1，1）×（0，1）上的L2误差，并分析了L2 误差和泛函J （uN）1／2的收敛性.数值结果表明，误差随基底数目的增加而快速减少，而且L2误差可以被J（uN）1／2所控制，如图3所示.图2 直线光栅与区域剖分Fig.2 Straight line grating and domain decomposition图3 L2 误差与J（uN）1／2收敛结果Fig.3 L2 error and convergence result of J（uN ）1／2例2 曲线光栅取波数k＝50，光栅周期d＝π，入射角θ＝π／4，b＝0，即Neumann边界条件.将计算区域｛（x，y）；0＜x＜π，y＞0｝剖分，选取点x1＝（π／2，0.1），x2＝（π／8，0.4），x3＝（π／2，0.4），x4＝（7π／8，0.4），如图4所示.图5为泛函J（uN）1／2的收敛性结果.由图5可见，随基底数目的增加，泛函值随之快速衰减.当基底数目达到收敛性要求时，收敛速度也很快.此外，由于L2误差可以被泛函J（uN）1／2所控制，所以即使在没有真解的情况下，仍可以判定算法是关于基底数目p收敛的.图4 曲线光栅与区域剖分Fig.4 Curve grating and domain decomposition图5 J（uN）1／2收敛结果Fig.5 Convergence result of J（uN ）1／2由例1和例2可见，本文算法在处理光栅衍射问题时是高效的.一方面，算法仅需较少的剖分单元，从而减小了计算量；另一方面，当波数较大时，算法同样可以达到较好的精度.参考文献【相关文献】［1］MENG Pin－chao，JIANG Zhi－xia， LI Yan－zhong.Electromagnetic Scattering of Diffractive Grating in Homogeneous Medium ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（6）：1151－1155.（孟品超，姜志侠，李延忠.均匀介质中衍射光栅的电磁散射［J］.吉林大学学报：理学版，2012，50（6）：1151－1155.）［2］BAO Gang，Cowsar L，Masters W.Mathematical Modeling in Optical Science ［M］.Philadelphia：Frontiers in Applied Mathematics，2001.［3］YIN Wei－shi，ZHANG De－yue，MA Fu－ming.Numerical Calculation of the Scattering Problem for Grating by Integral Equation Method［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2009，47（6）：1112－1121.（尹伟石，张德悦，马富明.光栅散射问题数值计算的积分方程方法［J］.吉林大学学报：理学版，2009，47（6）：1112－1121.）［4］LUAN Tian，MA Fu－ming.Well－Posedness of Anisotropic Layers Scattering above Rough Surfaces［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（2）：213－218.（栾天，马富明.粗糙曲面上各向异性介质层散射问题的适定性［J］.吉林大学学报：理学版，2012，50（2）：213－218.）［5］BAO Gang.Numerical Analysis of Diffraction by Periodic Structures：TM Polarization ［J］.Numer Math，1996，75（1）：1－16.［6］BAO Gang，CAO Yan－zhao，YANG Hong－tao.Numerical Solution of Diffraction Problems by a Least－Squares Finite Element Method［J］.Math Methods Appl Sci，2000，23（12）：1073－1092.［7］BAO Gang，CHEN Zhi－ming，WU Hai－jun.Adaptive Finite－Element Method for Diffraction Gratings［J］.J Opt Soc Am A，2005，22（6）：1106－1114.［8］Deraemaeker A，Babuška I，Bouillard P.Dispersion and Pollution of the FEM Solution for the Helmholtz Equation in One，Two and Three Dimensions［J］.Int J Numer Meth Eng，1999，46（4）：471－499.［9］Moiola A，Hiptmair R，Perugia I.Plane Wave Approximation of Homogeneous Helmholtz Solutions ［J］.Z Angew Math Phys，2011，62（5）：809－837.［10］ZHENG En－xi.Application of Least－Squares Non－polynomial Finite Element Methods in Several Scattering Problems［D］.Changchun：Jilin University，2012.（郑恩希.非多项式最小二乘有限元法在几种散射问题中的应用［D］.长春：吉林大学，2012.）［11］ZHENG En－xi，MA Fu－ming，ZHANG De－yue.A Least－Squares Non－polynomial Finite Element Method for Solving the Polygonal－Line Grating Problem ［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，397（2）：550－560.。
