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Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1．关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念2．熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系3．熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景难点：1．掌握各种电路分析方法的矩阵应用2．理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。
在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。
对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。
但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。
对于这类“大规模（Large scale）电路”，不可能再凭观察来列写方程。
需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。
本章初步地介绍了这种分析方法。
其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。
§15-1 电网络图论的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
15.1.1 网络的图1．网络图论——网络拓扑学图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。
主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。
2．支路——Branch每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。
3．节点——node每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。
在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
有向图——Oriented graph是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。
5．路径——path从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。
第十五章 电路方程的矩阵形式一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心列出结点电压方程的矩阵形式。
（二）本章重点1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式。
（三）本章前后联系本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集2. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
ab cdef5Q 6Q 7Q abcdef1Q 2Q 3Q 4Q⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001001100100111010014321654321a A划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=100110010011101001AA 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai =KCL ：n Tu A u =3. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
第十五章 电路方程的矩阵形式一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心列出结点电压方程的矩阵形式。
（二）本章重点1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式。
（三）本章前后联系本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集2. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
ab cdef5Q 6Q 7Q abcdef1Q 2Q 3Q 4Q⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001001100100111010014321654321a A划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=100110010011101001AA 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai =KCL ：n Tu A u =3. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
选树（1、2、5），则有单连支回路（1、4、5），（1、2、6），（2、3、5），回路方向为连支方向，所以：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+++++-+-=010110100011011001321654321B13213支路如果按先连支后树枝的顺序，则有：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--+-++=101100101010110001321521643f B B 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：l i B i T= KVL ：0Bu =4. 割集矩阵定义割集矩阵（割集、支路关联矩阵）用Q 表示，行对应割集，列对应支路，任意元素q jk 定义如下：1+=jk q ，表示支路k 与割集j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk q ，表示支路k 与割集j 关联，且他们的方向相反； 0=jk q ，表示支路k 与割集j 不关联。
选树（1、2、5），则有单树支割集（1、4、6）， （3、4、5），（2、3、6），割集方向为树支方向， 所以：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--+-+=011100100110101001321654321Q 支路如果按先连支后树枝的顺序，则有基本割集矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=100011010101001110321521643f QQ 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0i Q =fKVL ：t Tf u Q u =5．复合支路1）电路中无受控源（0d =kI &），无耦合13+-kU &()kk k k k k k I U U Y I U Y I S S S e &&&&&&-+=-= 对整个电路有()SS I U U Y I &&&&-+= Y ——支路导纳矩阵，是一个对角阵。
2）有受控源()SS I U U Y I &&&&-+= 6．结点电压的矩阵方程A 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai = KVL ：n Tu A u =支路方程： ()SS I U U Y I &&&&-+= 结点矩阵方程：SS n T U AY I A U AY A &&&-= 设Tn AY A Y =，SS n U AY I A &&&-=J ，则有 nn n J &&=U Y （二）本章难点及学习方法指导本章难点:1.割集定义、基本回路矩阵、基本割集矩阵； 2．含有受控源的结点电压方程的矩阵形式。
学习方法指导:1．理解每个矩阵表示的含义； 2．针对典型电路列方程。
三、典型例题分析+-kU +-U &jU 1311124222502101310012T n b G G G G G G G G G G G +--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-++-=--⎢⎥⎢⎥⎢-+⎥⎢-⎥⎣⎦⎣⎦G AG A例一个直流电阻网络如图所示，给定G 1=G 2=G 3=G 4=G 5=1S ，U S3=1V ，I S5=1A ，编写结点电压方程的矩阵形式。
①② ③④1234 5解：G b =diag[1 1 1 1 1]； U Sb =[0 0 1 0 0]T ； I Sb =[0 0 0 0 1]T 结点电导矩阵：1311124222502101310012T n b G G G G G G G G G G G +--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-++-=--⎢⎥⎢⎥⎢-+⎥⎢-⎥⎣⎦⎣⎦G AG A 结点独立电流源矩阵：3351001S SnSb b Sb S G U I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦J AI AG UG n U n =J Sn ， 即 (1)(2)(3)210113100121U U U ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦四、思考题（一） 思考题、习题 1．选择题1） 连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，（a ）把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
（b ） 把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是不连通的。
2）一般可以用在连通图G 上作闭合面的方法判断确定一个割集关联矩阵A 为：101001101001001⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎣⎦A（a）若把与此闭合面相切割的所有支路全部移去，G将分离为两个部分，则这样一组支路便构成一个割集。
（b）若把与此闭合面相切割的所有支路全部移去，G将分离为两个部分，则这样一组支路不能构成一个割集3）对于一个连通图G，如任选一个树，每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集。
（a）这种由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集，或基本割集。
（b）这种由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集不是单树支割集，或基本割集。
4）对于一个具有n个结点和b条支路的连通图G，其树支数为（a）n；（b）n-1；（C）b。
2．正误判断题1）支路与结点的关联性质可用关联矩阵描述，它的行对应于支路，列对应于结点。
2）设一个回路由某些支路组成 , 则称这些支路与该回路关联 , 支路与回路的关联性质可用回路矩阵 B 描述， B 的行对应一个回路，列对应于支路。
3）支路电压列向量不能用结点电压列向量来表示。
4）对于结点电压法，不允许存在无伴电压源支路。
3．列写方程1）以结点(4)为参考,写出图示有向图的关联矩阵A。
2）对于图示有向图，若选支路7，3，4，5，6为树支，支路1，2为连支，支路编号按先连支后树支排列，写出基本回路矩阵。
3）对于图示有向图，若选支路1,2为树支，支路3为连支，支路编号按先树支后连支排列，写出基本割集矩阵。
4）图示电路中电源角频率为ω, 试以结点(3)为参考结点, 列写该电路结点电压方程的矩阵形式。
（二）习题解答1）2）3）4）第十六章二端口网络一、本章的重点、难点及前后联系（一）重点：两端口的方程和参数的求解（二）难点：二端口的参数的求解（三）本章与其它章节的联系：学习本章要用到前几章介绍的一般网络的分析方法。
（四）预备知识：矩阵代数二、习题例16－1：求图示两端口电路的Y 参数。
例 16-1 图解：根据Y 参数的定义得：例16－2：求图示两端口电路的Y 参数。
例 16-2 图解：应用 KCL 和 KVL 直接列方程求解，有：比较Y 参数方程：得：注意：当，即不含受控源的线性两端口网络满足互易性。
例16－3：求图示两端口电路的Y 参数。
例 16-3 图解：根据Y 参数的定义得：注意：该电路满足，，所以为互易对称两端口网络。
例16－4：求图示两端口电路的Z 参数。
例 16－4 图解：解法1，根据Z 参数的定义得：解法2，直接列方程求解， KVL 方程为：所以 Z 参数为：例16－5：求图示两端口电路的Z 参数。
例 16－5 图解：直接列方程求解，KVL 方程为：所以 Z 参数为：注意：当存在受控源时两端口网络一般不满足互易性。
例16－6：求图示两端口电路的Z 、 Y 参数。
例 16-6 图解：直接列方程求解， KVL 方程为：所以 Z 参数为：Y 参数为：例16－7：求图示理想变压器的T 参数。
例 16-7 图解：理想变压器的端口特性为：即：例16－8：求图示两端口电路的T 参数。
例 16-8 图解：根据T 参数的定义得：例16－9：求图示两端口电路的H 参数。
例 16-9 图解：直接列方程求解， KVL 方程为：KCL 方程为：比较H 参数方程：得：例16－11：求图（a）所示两端口网络的T 参数。
例 16-11（a）解：图（a）的两端口网络可以看成图（b）所示的三个两端口的级联，例 16-11（b）易求出：则图（a）二端口的T 参数矩阵等于级联的三个两端口端口的T 参数矩阵相乘：第十七章非线性电路一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心含有非线性电阻电路的分析。
（二）本章重点1. 非线性元件的特性；2. 非线性电路的小信号分析法。
（三）本章前后联系本章讨论的非线性电路，也属于集总电路，因此，KCL、KVL 仍然适用。
电路分析方法中的2b 法完全适用于非线性电路。
在一定的条件下，串联或并联、结点电压法、回路电流法也可用于非线性电路，但叠加定理、相量法、拉普拉斯变换法仅适用于线性电路分析。
预习知识：电阻的伏安特性，电容的库伏特性，电感的韦安特性，一端口的概念，电阻电路的分析方法等。
