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Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1.关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。
难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。
§ 15.1 图的矩阵表示1. 有向图的关联矩阵2.电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。
若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。
有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3. 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
4. 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
5. 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
6. 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。
7.一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。
支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。
设有向图的结点数为 n ,支路数为b ,且所有结点与支路均加以编号。
于是，该有向图的关联矩阵为一个 」阶的矩阵，用 表示。
它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 定义如下：8.，表示支路 k 与结点j 关联并且它的方向背离结点9.-1 一，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10.n:A，表示支路k 与结点j 无关联。
对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是1 23 45 61'-I -1 0 1 0 0A=2 0 0 1 -1-1 D 3 41 0 0 0+1 +4 0 +1 -1 0图 15.1J-的每一列元素之和为零。
关联矩阵丄的特点:①每一列只有两个非零元素，一个是+1，—个是-1，如果把 的任一行划去，剩下的矩阵用 亠』表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵， 所以往往略去“降阶”二字） ，被划去的行对应的结点可以当作参 考结点。
例如，若以结点4为参考结点，把上式中'3-的第4行划去，得 A0 0-1 0+1 -+1的第3行划去，得 A0 01-1 0 0 -1或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结从而画岀有向图。
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1．关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念2．熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系3．熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景难点：1．掌握各种电路分析方法的矩阵应用2．理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。
在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。
对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。
但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。
对于这类“大规模（Large scale）电路”，不可能再凭观察来列写方程。
需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。
本章初步地介绍了这种分析方法。
其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。
§15-1 电网络图论的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
15.1.1 网络的图1．网络图论——网络拓扑学图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。
主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。
2．支路——Branch每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。
3．节点——node每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。
在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
有向图——Oriented graph是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。
5．路径——path从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。
答案第一章【1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【2】：D 。
【3】：300；-100。
【4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I a b .=+=9485V ； I U 162125=-=a b .A ；P =⨯6125. W =7.5 W；吸收功率7.5W 。
三相电路一、填空题1、星形联接对称三相电路，数值上线电压是相电压的电压比相应的相电压 超前30︒ 。
2、上线电流比相应的相电流 滞后30 。
3、对称三相电路总的 瞬时功率 是恒定的，且等于其平均功率。
4、对称三相正弦电源是指 三相正弦电源频率相同、振幅相同、相位互差︒1205、负载为三角形连接的三相对称电路中，各线电流与相应的相电流在相位上的关系是 线电流滞后对应相电流30︒ 。
6、相序为A →B →C 的三相对称电源，已知A U =2200∠V ，则UBC =38090BC U =∠-︒ 。
7、图T-8 电路为负载∆形联接的对称三相电路，三只电流表的读数均为17.3A ，若AC 线断开，则A 1、A 2、A 3读数分别 10 A 、 17.3 A 、 10 A 。
图T-88、9、二、选择题1、一台三相电动机接在380V 的线路上使用，若功率为10KW ，功率因素为0.8，则线电流I L 为（ B ）。
（A ）18A （B ）19A （C ）20A （D ）21A2、三相四线制交流电路中的中性线电流必定有（ C ）。
（A ）C B A N I I I I ++= （B ）CB A N I I I I ++= （C ）()N A B C I I I I =-++ （D ）A N I I 3=3、三、计算题1、图示对称三相负载的功率10Kw,功率因数866.0cos ==ϕλ（感性），线电压为380V 。
试求：（1） 计算A 相的相电压和线电流, ；（2） 画出该三相负载各电压、电流的相量图； （3） 计算两个功率表的读数；（电气系学生必做，电子系学生不做） （4）求每相负载的阻抗Z 。
（电子系学生必做，电气系学生不做）A B C'答案：(1)A I V U A A 00305.17,0220-∠=∠=∙∙(3分)(2) 略 (3分) (3) W A AB I U W 33255.05.1738060cos 01=⨯⨯==W C CB I U W 66505.173800cos 02=⨯== (4分)(4) )(3.69.103057.120Ω+=∠=j Z2、图示对称三相负载的功率10Kw,功率因数866.0cos ==ϕλ（感性），线电压为380V 。
第十五章 电路方程的矩阵形式一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心列出结点电压方程的矩阵形式。
（二）本章重点1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式。
（三）本章前后联系本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集2. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
ab cdef5Q 6Q 7Q abcdef1Q 2Q 3Q 4Q⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001001100100111010014321654321a A划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=100110010011101001AA 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai =KCL ：n Tu A u =3. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
第十五章 电路方程的矩阵形式 15-1 按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ；3.出节点电压方程的矩阵形式。
解：110000111000101A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦12350000000000100000000R j L j M j M j L Z j C R ωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦50000T S S U U ⎡⎤=-⎣⎦ 10000T S S I I ⎡⎤=⎣⎦n n S SY U AI -AY U =15-2按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ； 3.出节点电压方程的矩阵形式。
i S5L 2解：[]000111011011000A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦[]50000TS S I i ⎡⎤=⎣⎦[]00000T S U ⎡⎤=⎣⎦2134500000000000000000m L M L M Y j C g G G ω⎡⎤-⎢⎥∆∆⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆∆=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中223j (L L M )ω∆=- T m n S m S AY A U AI AY U =-15-3对图示电路建立状态方程。
u 2C解：2C 11221112c L sc s L c R R L s R c du C i i dt du C i i dt di L u Ri dt i i i u Ri u ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=-+⎪⎪=+⎪⎪⎪⎩21211s c R s c L u u i R i u u i R R-⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 整理，得111222************c L s c s c L s L c s c du i i dt C C du u u i i dtC R R C di R u u u dt LL R R ⎧=-+⎪⎪⎪⎛⎫=--+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩1111222222110001111011100c c s c c s L L du C C dt u u du R u R i dt C C C C i di dt L L L ⎛⎫⎡⎤⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=--+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦。
