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Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
第十五章 电路方程的矩阵形式 15-1 按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ；3.出节点电压方程的矩阵形式。
解：110000111000101A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦12350000000000100000000R j L j M j M j L Z j C R ωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦50000T S S U U ⎡⎤=-⎣⎦ 10000T S S I I ⎡⎤=⎣⎦n n S SY U AI -AY U =15-2按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ； 3.出节点电压方程的矩阵形式。
i S5L 2解：[]000111011011000A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦[]50000TS S I i ⎡⎤=⎣⎦[]00000T S U ⎡⎤=⎣⎦2134500000000000000000m L M L M Y j C g G G ω⎡⎤-⎢⎥∆∆⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆∆=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中223j (L L M )ω∆=- T m n S m S AY A U AI AY U =-15-3对图示电路建立状态方程。
u 2C解：2C 11221112c L sc s L c R R L s R c du C i i dt du C i i dt di L u Ri dt i i i u Ri u ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=-+⎪⎪=+⎪⎪⎪⎩21211s c R s c L u u i R i u u i R R-⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 整理，得111222************c L s c s c L s L c s c du i i dt C C du u u i i dtC R R C di R u u u dt LL R R ⎧=-+⎪⎪⎪⎛⎫=--+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩1111222222110001111011100c c s c c s L L du C C dt u u du R u R i dt C C C C i di dt L L L ⎛⎫⎡⎤⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=--+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦。
第十五章 电路方程的矩阵形式一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心列出结点电压方程的矩阵形式。
（二）本章重点1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式。
（三）本章前后联系本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集2. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
ab cdef5Q 6Q 7Q abcdef1Q 2Q 3Q 4Q⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001001100100111010014321654321a A划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=100110010011101001AA 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai =KCL ：n Tu A u =3. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
★对于回路关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。
i l=[i l i i l2i l3……i ll]T基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。
★对于割集关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。
u t=[u t i u t2u t3……u t(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）2. 三种分析方法的方程的矩阵形式①回路电流方程的矩阵形式（略）②割集电压方程的矩阵形式（略）③结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：第一步：建立复合支路：由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。
为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。
复合支路即第k 条支路如下：由基尔霍夫电流定律得：所以：对该式进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴复合支路中无受控源时：由KCL得：变成将代入得：又所以对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：⑶复合支路中含有受控源时：都可以推导出第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：3、典型例题分析【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。
写出结点电压方程的矩阵形式。
图（a）图（b）解：由图（b）得节点关联矩阵A,节点电压的列向量，支路电流的列向量，支路电压的列向量，支路导纳矩阵，节点导纳矩阵，结点电压方程的矩阵形式为：【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。
图（a）图（b）解：方法 1直观法KVL：KCL ：；消去：；；代入上式：然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：【例题3】：求图所示电路的状态方程。
图解：设u c ,i1，i2为状态变量其中：从以上方程中消去非状态量，得：写成矩阵形式：【例题4】：图所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥12345111000000000111000000000111100100100010010010 (每错一个元素扣2分，扣完为止)3、典型习题【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： 答（ ）个，3个； 个，4个； 个，3个； 个，4个。
图【题3】：图所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）图【题4】：图所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）图【题5】：图所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Y b为：答（）图【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[][][][][][][]=-时，标准支路的形式为图中所Y U A Y U A In n b S S示的：答（）图【题7】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程。
（直接写出无分）图【题8】：按下列步骤列出图所示电路节点电压方程的矩阵形式：1.有向图;（编号按元件参数下标）2.出所需的各矩阵;3.出节点电压方程的矩阵公式;4.出节点电压方程的矩阵形式。
图【题9】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图【题10】：试列出图所示电路的矩阵形式状态方程。
图【题11】：图所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。
求该电路的状态方程。
图【题12】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题13】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题14】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=3000；C =250F ；L =.。
试建立电路的状态方程。
图【题15】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=30；R 3=10；C =4000F ；L =5mH.。
试建立电路的状态方程。
图第十五章 电路方程的矩阵形式答案题1︒︒︒︒︒()14)5()012356789︒(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ）题3：（D ）题4：（C ）题5：（C ）题6：（A ）题7：题8：题9：题10：d ddd d d SititutiiuuC C1212122143121211⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥题11：ddutC1=-+0505..Si iLddutC2=-+022.u iC LdditL=-050512..u uC C题12：题13：题14：ddutC=--+u i uC L1000SdditL=-⨯+250075001075003u i uC L S 题15：。
