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第5章 三维图形变换

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计算机图形学课件第五章三维图形生成和变换技术

计算机图形学课件第五章三维图形生成和变换技术
p03 3*3次的特 征曲面网格 p02 p13 p23 p33 p32 p21 p20
p12
p22
p01
p00
p11
p10
p31
p30
16
2、贝塞尔曲面的性质 Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。 （l）端点位置 由于 P00=P(0,0) P0m=P(0,1) Pn0=P(1,0) Pnm=P(1,1) 说明P00、P0m、Pn0、Pnm是曲面P(u,v)的四个端点，见图 p33
21
其图形表示如图所示，可以证明它是一个双曲抛物面（ 马鞍面）上的一块曲面片。
22
在上式中，当u=0和u=1时，得到的两条边界为直线段；
P (u, v ) ＝ (1 u)(1 v ) P00 u(1 v ) P10 (1 u)vP01 uvP11 P (o, v ) (1 v ) P00 vP01 P (1, v ) ＝ (1 v ) P10 vP11
5
5.2
一、概述
自由曲面的生成
在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展 之前，一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、 船舶、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传 统的处理办法是用一组或几组平行平面去裁这个曲面， 画出几组截交线来表示这个曲面。例如船体就是用互相 正交的三组平面截得的纵剖线，横剖线和水平线表示； 地面则是用一组水平面截得等高线表示的。这实际上是 把曲面问题转化成了曲线问题。这种处理办法可称为曲 线网格表示法。
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
10
r(ui,vj)
r(ui,v)

三维几何变换-Read

三维几何变换-Read

第五章三维几何变换三维的几何变换是在二维的基础上增加子坐标的考虑而得到的，平衡、缩放较简单，但旋转则要复杂一些。

旋转：1、绕三个坐标轴的二维旋转的复合据给定轴的方向和旋转角度建立的旋转阵§1、平移tx,ty,tz,为x,y,z坐标平移的距离空间的点用齐次坐标表示（）列向量§2、旋转物体旋转时，必须指定一个旋转轴和旋转角度二维旋转，旋转轴为子轴三维旋转，可能指定为围绕空间任意直线进行，平行于坐标轴的旋转是其中最简单的。

通常沿坐标轴的正半轴向原点作观察，绕坐标轴的逆时针旋转为正向旋转。

这与二维旋转是一致的。

如绕子轴的旋转的齐次坐标变换绕x轴绕y轴△一般三维旋转1、绕过原点的直线的旋转设直线l过原点，且表示它的单位向量，绕l旋转角，角为+，观察者的目光与e的方向相反，逆时针方向。

顺时针方向，从几何上考虑， BP’垂直于，也垂直于绕坐标轴的旋转成为特例绕z轴（0，0，1）绕y轴（0，1，0）绕x轴（1，0，0）2、绕空间任一直线的旋转直线l过点P0(X0，Y0，Z0)，方向（）可通过变换的合成1）P2）绕过原点方向为的直线旋转3）（0，0，0）→P§3、缩放相对于坐标原点的缩放变换相对于绽点的缩放变换三个变换的合成§4、反射和错切一、反射三维反射可以是关于给定反射轴的或者是关于反射平面的1、关于给定轴的反射等价于绕此轴的旋转180度2、关于某点的反射P （）1）平移P0（x0，y0，z0）→（0，0，0）2）关于原点的反射R P3）平移（0，0，0）→（）3、关于平面的反射设平面过P 过，转向为关于点的反射，可看成为二、错切错切变换将改变物体的形状，也用于获得一般投影变换的三维观察中。

如子轴错切效果用一个与子值成比例的数值来改变x和y的坐标值，同时保持子坐标不变。

对其它x轴，y轴可类似地定义关于平面§5、复合变换运用变换矩阵的左乘形成复合变换阵首先设置一个单位阵§6、坐标系变换观察坐标系统变化1）平移2）旋转R物体在xyz坐标系下致到期坐标系下的变换阵R将功赎罪分别变到轴上第六章二、三维观察变换§1、二维观察二维观察操作（变换）将世界坐标平面上的点变换到输出设备平面中的象素位置，经过平移、旋转、缩放、裁剪等操作。

新-第5章之二-三维图形生成和变换技术-2

新-第5章之二-三维图形生成和变换技术-2

z 'b
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
计算机图形学
②正等测投影变换 正等测投影为三根轴上变形系数相等的正轴测投影，即 由此可得：
由 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 (cos2 sin2 ) sin2 (cos2 sin2 ) 0 cos 2 1 sin2 0 可得： 所以

y' z ' 1

变换后点A′坐标为：
x' x cos y sin ,
y' 0
计算机图形学
z ' ( x sin sin y cos sin ) z cos
将θ和φ值代入正轴测变换矩阵T正，再将立体顶点 位臵矩阵乘此变换矩阵T正，可获得立体顶点正轴测图位 臵矩阵，最后依次将各顶点连线，即可得到立体的正轴 测图。选用不同θ和φ值，可以产生不同的正轴测图。 工程中常用的有正等测图、正二测图。
计算机图形学
因此将绕Z轴旋转变换矩阵TZ，绕X轴旋转的变换矩阵 TX 和向V面作正投影的变换矩阵 TV 连乘，即得到正轴测变 换矩阵：
cos sin T正 TZ TX TV 0 0 cos 0 sin sin sin 0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sin 0 0 1 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

计算机图形学第五章图形变换

计算机图形学第五章图形变换

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

现代设计方法三维图形的几何变换

现代设计方法三维图形的几何变换

a13 a23 a33 a43
a14
a24 a34 a44
透视投影
总体比例
平移
17
（6）三维复合变换 三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
18
a. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf, yf, zf)作比例、旋转、错切等 变换的过程分为以下三步：
将参考点F移至坐标原点
灭点 灭点 灭点 灭点 灭点
(a)一点透视
一个主灭点，即投影面 与一个坐标轴正交，与 另外两个坐标轴平行。
(b)二点透视 投影面与两个坐标轴相交，
灭点
(c)三点透视
投影面与三个坐标 轴都相交
37
与另一个坐标轴平行。
透视投影
时为正三测。
32
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
O
z
O
z
O
(a)正等测
(b)正二测
(c)正三测
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
33
二、斜投影 斜投影图
——即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的
投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影 面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
21
2.4.3 图形的投影变换
问题：在二维屏幕上如何显示三维物体？ 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示对象是三维的
解决方法----投影
投影变换 —— 就是把三维立体（或物体）投
射到投影面上得到二维平面图形。
22
平面几何投影可分为两大类 透视投影 ——投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影 ——投影中心到投影面之间的距离是无限的

计算机图形学习题参考答案(完整版)

计算机图形学习题参考答案(完整版)
2
区域二（下半部分）
k (x k, yk) pk 0 (7, 3) b 2(x 0 1/2)2 a 2(y01)2a 2b 2 23 1 (8, 2) p02a 2y1a 22b 2x1 361 2 (8,1) p12a 2y2 a 2 297 3 (8, 0)
2a yk pk 2 2 2 1600 b a b (1/4)a 332 768 p0 2b2x1b2 224 768 p12b 2x 2 b 2 44 768 p2 2b 2x 3 b2 208 2 640 p3 2b x 4 b 22a 2y 4 108 640 p4 2b 2x 5 b 2 288 512 p5 2b 2x 6 b 22a 2y6 244 384
10、使用中点椭圆算法，绘制中心为 (0, 0) ，长半径 a 8 ，短半径 b 6 的椭圆在第一象限中的部分。 解： 区域一（上半部分）
k (x k, yk) 2b x k 0 (0, 8) 0 1 (1, 8) 72 2 (2, 8) 144 3 (3, 8) 216 4 (4, 7) 288 5 (5, 7) 360 6 (6, 6) 432 7 (7, 6) 504 8 8, 5
第 2 章 基本图元的显示
1、假设 RGB 光栅系统的设计采用 810 英寸的屏幕，每个方向的分辨率为每英寸 100 个像素。如果 每个像素 6 位，存放在帧缓冲器中，则帧缓冲器需要多大存储容量（字节数）？ 解： 8100101006/8600000 （字节） 。 2、假设计算机字长为 32 位，传输速率为 1 MIP（每秒百万条指令） 。300 DPI(每英寸点数)的激光打 印机，页面大小为 8.511 英寸，要填满帧缓冲器需要多长时间。 解：
2
11、已知： A(0, 0) 、 B(1, 1) 、 C(2, 0) 、 D(1, 2) ，请判断多边形 ABCD 是否是凹多边形。 解： 多 边 形 的 边 向 量 为 AB (1,1, 0) ， BC (1, 1, 0) ， CD (1, 2, 0) ， DA(1, 2, 0) 。 因 为

三维图形几何变换


在功能变换上T可分为四个子矩阵
a11 a12 a13

a21
a22
a23

产生比例、旋转、错切等几何变换
a31 a32 a33
[a41 a42 a43]产生平移变换
a14 a24 产生投影变换 a34
1、比例变换
A0 00
变换矩阵T= 0 E 0 0
①如果线段两端点的四位编码都是0000，则表示两 端点均在窗口内，线段完全可见。
②如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线 段两端点的四位编码逻辑相乘，结果不是0000，则表 示线段两端点在窗口边界线外的同侧位置，该线段完 全不可见。
③如果线段两端点的四位编码不全是0000，将 线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果是0000，需要 再判断线段与窗口边界是否相交，如果有交点，说明 该线段部分位于窗口内，即部分可见；如果没有交点， 说明该线段位于窗口之外，完全逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
cos sin 0 0
sin cos 0 0
T
0
0 10
0
0 01
（2）绕x轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
1 0
0 0
T 0 cos sin 0 0 sin cos 0
0 0
0 1
（3）绕y轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
对于部分可见的线段，需要对线段进行再 分。求出该线段与窗口边界线的交点，重复上 述编码判断，把不在窗口内的部分丢掉。图中 线段PQ被细分后PR段就被丢掉，得到新的段QR， 这时还要对线段QR进行再分割，求出该线段与 窗口下边界线的交点S，直到发现线段RS完全 在窗口内为止。
数控加工技术概述
一、数控加工的基本概念

三维变换


投影线
投影面
A A'
投影中心
B'
B
A'
投影中心在
无穷远处
B'
A B
平行投影
•正投影与斜投影
6.3.2 正投影——三视图的形成
• 将三个投影面画在一个平面上：
（1）V面投影图保持不变（称正投影面，主视图）； （2）H面绕OX轴向下翻转90度（称水平投影面，俯视图）； （3）W面绕OZ轴向后翻转90度（称侧投影面，左视图）； （4）省去投影面的边框和投影轴。见下页。
(x’, y’, z’)
(x’’, y’’, z’’)
1 2
(x, y, z)
x
z
6.2.2 三维几何变换
• 旋转变换
– 绕y轴
y
cos 0 sin 0
Ry
(
)
0
sin
1
0
cos
0 0
0 0 0 1
(x’, y’,
z’)
(x, y, z)
x
z
6.2.2 三维几何变换
• 旋转变换
– 绕z轴
cos
A B
D
x
C
图1
P(2，-2，0)
Y
C(0，2，0)
y
A(2，0，0)
B(2，2，0)
X
图2
随堂练习
4. 假定空间直线AB两端点坐标为A(0,0,0)B(2,2,2)，
试写出绕AB轴旋转30度的三维复合变换矩阵。(问：
方向数为？？)
Y
1) （毋需）
2)AB绕X轴旋转α角，使之落到ZX平面上；
3)将AB绕Y轴旋转β角，使之与Z轴重合；

三维图形观察与变换-Read


三维观察概念
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 三维景物视图的计算机生成类似照片拍摄：
• • 首先，用景物的一特殊点给相机定位； 然后，确定相机方向、相机朝向及绕视线的旋转；
☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影
三维坐标系定义
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ● 三维坐标系定
义 ● 三维坐标表示 ● 三维缩放变换 ● 三维旋转变换 ◘ 坐标轴旋转 ◘ 任意轴旋转 ◘ 任意旋转矩阵 ◘ 坐标对齐矩阵 ● 三维反射变换 ● 三维错切变换 ● 三维坐标系变 换
• 右手坐标系
– 右手的四个手指按照x轴向y轴旋转90度的方向握住 z轴，大拇指所指的方向与z轴正向一致。
– 一般地，当拇指与某一坐标轴同向时，四指所指的 方向为绕该轴的正向旋转方向。
x轴：y→z；
y轴：z→x；
z轴：x→y。
Y Z Y Z X y
•
最后，按下快门。
– 拍摄时，可以走动，并以任何角度、各种距离和方 向。 – 景物按相机镜头的大小来修剪，光线从可视表面投 影到相机胶片上。在取景器中出现的都被投影到胶 片上； – 相机镜头的类型和大小决定景物出现在最终相片中 的部分。
三维观察与变换特点
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 对三维图形应用而言，照相机“照相”概念思想渗入三 维图形包中，但图形包生成景物的视图有更大的灵活性 和更多的选择。

[课件]第5章 三维图形变换PPT

第5章 三维 图形变换
5.1 三维图形齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对 z 坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
式中sx、sy和sz分别表示点P(x, y, z）沿 X、 Y及 Z轴方 向相对坐标原点的比例变换系数。系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx、sy和sz 被赋予相同值时，使图形产生三个坐标轴方向相对比例一 致的变换， sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.2 缩放变换 x' x s x 相对于原点的 缩放变换的表示式为： y ' y s y
z' z s z
s x 0 矩阵表示是： x ' y ' z ' 1 x y z 1 0 0
0 0 0 s 0 0 y 0 s z 0 0 0 1
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x 、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
y z sin y x' xcos y' y z xsin zcon y y
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主视图:
侧视图:
俯视图:
由于在三视图上保持了有关比例的不变性，可以精 确地测量长度和角度等量，因此常用于工程制图。下图 是一个三视图投影的例子。
（2）正轴测投影 正轴测投影是能够显示形体多个侧面的投影变
换，如果投影平面不与任一坐标轴垂直，就形成正 轴测投影。正轴测投影有正等测、正二测和正三测 三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时 为正等测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等 时为正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都 不相等时为正三测。正等测投影中三个坐标分量保 持相同的变化比例；正二测投影中三个坐标分量中 的两个保持相同的变化比例；正三测投影中三个坐 标分量的变化比例各不相同。
下图表示了立方体的斜投影的例子。从图中可以看 出，这种图形的真实感较强。(ctgα=2)
5.3.3 透视投影 透视投影不同于平行投影，它必须设定投影中心。投 影中心也称为视点，它相当于观察者的眼睛。投影面位 于投影中心与需要投影的三维图形之间，将三维图形上 各点与投影中心相连所得到的投影线与投影面相交，其 交点就是三维图形的透视投影。如下图所示，设投影中 心在坐标原点，投影面与Z轴垂直，在z=d的位置上。
当三维图形用透视变换投影到投影面上，图形中与投 影面平行的平行线投影后仍保持平行。不与投影面平行的 任一组平行线投影后收敛于一点，此点称为灭点。
平行于某一坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点 又称作主灭点。因为有X、Y和Z三个坐标轴，所以主灭点最 多有三个。当某个坐标轴与投影面平行时，则该坐标轴方 向的平行线在投影面上的投影仍保持平行，不形成灭点。 投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定， 并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。一点透 视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两 个坐标轴平行；两点透视有两个主灭点，即投影面与两个 坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭 点，即投影面与三个坐标轴都相交。
5.3 投影变换
• 什么是投影变换(投影变换的作用)
由于显示器和绘图机只能用二维空间表示图形,
这就需要我们把三维坐标表示的几何体变换成二维坐 标表示的图形，这就是图形的投影变换。 • 投影变换的要素 视点（投影中心）,投影平面，投影线等
5.3.1 投影变换分类 在投影变换中，观察平面称为投影面。将三维图形 投影到投影面上，有两种基本的投影方式，即平行投 影和透视投影。在平行投影中，图形沿平行线变换到 投影面上；对透视投影，图形沿收敛于某一点的直线
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.3 旋转变换 三维图形作旋转变换时，需要指定一个旋转轴和旋 转角度。三维旋转变换可围绕空间任意直线轴进行。通 常规定图形绕某轴逆时针方向旋转时角度为正。 旋转变换前后三维图形的大小和形状不发生变化， 只是空间位置发生了变化。 绕坐标轴的旋转变换是最简单的旋转变换，当三 维图形绕某一坐标轴旋转时，图形上各点关于此轴的 坐标值不变，而在另两坐标轴所组成的坐标面上的坐 标值相当于一个二维的旋转变换。
即n1=sinθ x sinθ y，n2= cosθ x，n3= sinθ 虑到n12+n22+n32=1，可解得：
x
cosθ y。同时考
将矩阵相乘后并将中间变量替换掉可得复合变换矩阵， 展开成代数方程为：
x’﹦(x﹣xc)(n12﹢(1﹣n12)cosθ ﹢(y﹣yc)( n1n2(1﹣cosθ )﹢n3sinθ ) ﹢(z﹣zc)( n1n3(1﹣cosθ )﹣n2sinθ )﹢xc y’= (x﹣xc)( n1n2(1﹣cosθ )﹣n3sinθ ) ﹢(y﹣yc)( n22﹢(1﹣n22)cosθ ) ﹢(z﹣zc)( n2n3(1﹣cosθ )﹢n1sinθ )﹢yc z’= (x﹣xc)( n1n3(1﹣cosθ )﹢n2sinθ ) ﹢(y﹣yc)( n2n3(1﹣cosθ )﹣n1sinθ ) ﹢(z﹣zc)( n32﹢(1﹣n32)cosθ )﹢zc
透视投影
平行投影
平行投影保持物 体的有关比例不变， 物体的各个面的精确 视图可以由平行投影 得到。透视投影不保 持相关比例，但能够 生成真实感视图。对 同样大小的物体，离 投影面较远的物体比 离投影面较近物体的 投影图象要小，产生 近大远小的效果。
5.3.2 平行投影 平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分成两类： 正投影和斜投影。当投影方向与投影面的夹角为90°时， 得到的投影为正平行投影，否则为斜平行投影, 如下图 所示。
平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对z坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
2．一般三维旋转变换
更一般的旋转变换是绕空间任意轴作旋转变换。我
们可以用平移变换与绕坐标轴旋转变换的复合变换得到 其变换公式。如果给定旋转轴和旋转角，可以通过平移 及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴完成指 定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。
1．绕坐标轴的旋转变换 （1） 绕Z轴旋转变换 绕Z轴旋转时，图形上各点z坐标不变，x、y坐标的变化 相当于在XY二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
（2） 绕X轴旋转变换 绕X轴旋转时，图形上各点x坐标不变，y、z坐标的变化 相当于在YZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
1．正平行投影 正平行投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分成两 类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐 标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与 这个坐标轴的方向一致。否则，得到的投影为正轴测 投影，如图所示。
（1）正投影 正投影有主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与 X轴、Y轴和Z轴垂直。三视图的投影变换矩阵分别为：
(3) 将I轴绕X轴旋转x角，同Y轴重合，其变换矩阵为：
(4) 将P(x,y,z）点绕Y轴旋转θ角，其变换矩阵为：
（5）绕X轴旋转-x角，其变换矩阵为：
（6）绕Y轴旋转-y角，其变换矩阵为：
（7）将Pc(xc,yc,zc)平移回原位置，其变换矩阵为：
复合变换矩阵为：T﹦T1T2T3T4T5T6T7 变换过程式中，sinθ x 、sinθ y 、cosθ x 、cosθ y 为中间 变量，应使用已知量n1 、n2 、n3 表示出来。考虑I轴上的 单位向量n，它在三个坐标轴上的投影值即为n1 、n2 、n3 。 取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋转-θ x角，再绕Y轴旋转θ y角，则此单位向量将同单位向量n重合，其变换过程为：
各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。
已知空间一点的坐标是P(x,y,z),设给定的旋转轴为I， 它对三个坐标轴的方向余弦分别为：
Pc
如右图所示
旋转角为θ，轴上点 Pc(xc , yc , zc)为旋转的中心点。
复合变换的过程为： (1) 将Pc(xc,yc,zc)平移到坐标原点 变换矩阵为：
(2) 将I轴绕Y轴旋转y角，同YZ平面重合，其变换 矩阵为：
Q P R
从图中可以直接得出斜投影的坐标是：
常用的两种斜平行投影是斜等测和斜二测。当
ctgα=1，即投影方向与投影面成α=45°角时，得到 的是斜等测投影。这时，和投影面垂直的任何直线段， 其投影的长度不变。当ctgα=2（α≈63.4°）时，得 到的是斜二测投影，这时，和投影面垂直的任何直线， 其投影的长度为原来的一半。而角β通常选择为30° 或45°。
其它两坐标不变，因此，其变换的矩阵表示为：
同样，相对于XZ平面的对称变换只需改变y坐标的正负号, 其变换的矩阵表示为：
相对于YZ平面的对称变换只需改变x坐标的正负号, 其 变换的矩阵表示为：
如果需要相对于任一平面作对称变换时，可以将此平面 转换成与某一坐标平面相重合，并运用上述简单的对称 变换，然后再将平面反变换回原来的位置即可。
2．斜平行投影
斜平行投影与正平行投影的区别在于投影方向与
投影面不垂直。斜平行投影能够将正平行投影的可 测量性和正轴测投影的立体效果特性结合起来。比 如选择投影面垂直于某个坐标轴，这样，对平行于 投影面的物体表面其长度和角度投影后保持不变，
可进行测量。同时，它还可以显示一些其面。
斜平行投影的倾斜度可以 由两个角来描述，如图所示。 此图中投影面选择垂直于Z坐 标轴，且过原点。下面我们 推导斜平行投影的变换矩阵。 空间一点P(x,y,z）投影到投 影 面 上 的 位 置 是 Q(x′,y′,0 ） ， 其 正 投 影 坐 标是R(x,y,0）。PQ与QR的夹 角α，QR与 投影面水平方向 构成夹角β。记QR长度为L， 则有：L=zctgα
5.2.5 错切变换 相对于三个坐标轴的错切变换矩阵表示为：
三维图形错切变换，一个坐标方向的变化受另外两个坐标 变化的影响。如果变换矩阵第一列中元素c和e不为0，产生 沿X轴方向的错切；第二列中元素d和g不为0,产生沿Y轴方 向的错切；第三列中元素f和h不为0,产生沿Z轴方向错切。 同二维图形变换的情况相同,上面讨论的五种变换也属于 仿射变换,具有保持直线、平面及平行关系的 投影面上的位置是 P(x′,y′,d），将P和P点分别 投影到XZ平面上和YZ平面 上如下图（b）（c）所示， 根据相似三角形对应边成比 例的关系，可得：
其中h=z/d。
利用三维齐次坐标的矩阵形式表示透视变换为：
称
为透视变换矩阵。
投影平面上的投影坐标计算为：