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第五章三维几何变换三维的几何变换是在二维的基础上增加子坐标的考虑而得到的，平衡、缩放较简单，但旋转则要复杂一些。
旋转：1、绕三个坐标轴的二维旋转的复合据给定轴的方向和旋转角度建立的旋转阵§1、平移tx,ty,tz,为x,y,z坐标平移的距离空间的点用齐次坐标表示（）列向量§2、旋转物体旋转时，必须指定一个旋转轴和旋转角度二维旋转，旋转轴为子轴三维旋转，可能指定为围绕空间任意直线进行，平行于坐标轴的旋转是其中最简单的。
通常沿坐标轴的正半轴向原点作观察，绕坐标轴的逆时针旋转为正向旋转。
这与二维旋转是一致的。
如绕子轴的旋转的齐次坐标变换绕x轴绕y轴△一般三维旋转1、绕过原点的直线的旋转设直线l过原点，且表示它的单位向量，绕l旋转角，角为+，观察者的目光与e的方向相反，逆时针方向。
顺时针方向，从几何上考虑， BP’垂直于，也垂直于绕坐标轴的旋转成为特例绕z轴（0，0，1）绕y轴（0，1，0）绕x轴（1，0，0）2、绕空间任一直线的旋转直线l过点P0(X0，Y0，Z0)，方向（）可通过变换的合成1）P2）绕过原点方向为的直线旋转3）（0，0，0）→P§3、缩放相对于坐标原点的缩放变换相对于绽点的缩放变换三个变换的合成§4、反射和错切一、反射三维反射可以是关于给定反射轴的或者是关于反射平面的1、关于给定轴的反射等价于绕此轴的旋转180度2、关于某点的反射P （）1）平移P0（x0，y0，z0）→（0，0，0）2）关于原点的反射R P3）平移（0，0，0）→（）3、关于平面的反射设平面过P 过，转向为关于点的反射，可看成为二、错切错切变换将改变物体的形状，也用于获得一般投影变换的三维观察中。
如子轴错切效果用一个与子值成比例的数值来改变x和y的坐标值，同时保持子坐标不变。
对其它x轴，y轴可类似地定义关于平面§5、复合变换运用变换矩阵的左乘形成复合变换阵首先设置一个单位阵§6、坐标系变换观察坐标系统变化1）平移2）旋转R物体在xyz坐标系下致到期坐标系下的变换阵R将功赎罪分别变到轴上第六章二、三维观察变换§1、二维观察二维观察操作（变换）将世界坐标平面上的点变换到输出设备平面中的象素位置，经过平移、旋转、缩放、裁剪等操作。
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
![[课件]第5章 三维图形变换PPT](https://uimg.taocdn.com/80c52cfa7f1922791788e807.webp)
三维几何变换利用3×3矩阵，可以实现部分三维变换，如绕X轴、Y轴、Z 轴旋转的变换矩阵为Tx=[1 0 0 ][0 cosθ sinθ][0 -sinθ cosθ]Ty=[cosθ 0 -sinθ][ 0 1 0 ][sinθ 0 cosθ]Tx=[cosθ sinθ 0 ][-sinθ cosθ 0][ 0 0 1]但是，利用齐次坐标变换更方便。
三维空间点[X Y Z]用四维齐次坐标表示为[X Y Z]或[X’Y’ Z’ H]，因此三维空间点的变换可写为[X Y Z H]T=[X’ Y’ Z’H]=[X’/H Y’/H Z’/H1]=[X’ Y’ Z’ 1]式中T为变换矩阵，与二维变换矩阵对应，三维变换矩阵为4×4方阵，即T=[a b c|p][d e f|q][h i j|r][-------|-][l m n|s]=[3×3|3×1][----|----][1×3|1×1]此方阵也可以分为4个部分，由二维变换可知，其中3×3矩阵起比例变换，映射变换，错切变换和旋转变换的作用，1×3矩阵起平移变换的作用，3×1矩阵起透视变换的作用，而1×2矩阵起比例变换的作用，下面通过具体图例说明各部分算子的作用，也就是基本三维几何变换。
1、三维比例变换在3×3矩阵中，主对角线上算子a、e、j控制比例变换，令其他算子为零，则三维点[X Y Z]的比例变换写为[X Y Z 1]·S=[X Y Z 1][[a 0 0 0][0 e 0 0][0 0 j 0][0 0 0 1]]=[aX eY jZ 1]=[X* Y* Z* 1]由上式可知，a、e、j分别控制X、Y、Z的比例变换，若令a=e=j=1,则算子S可使整个图形按同一比例放大或缩小。
[X Y Z 1][[1 0 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0][0 0 0 1]]=[X Y Z S]=[X/S Y/S Z/S 1]=[X* Y* Z* 1]上式中，若S>1，则整个图形缩小；若S<1，则整个图形放大。
第5章 三维变换p178§5-1 三维几何的变换5-1-1 概念三维坐标系：右手坐标系法则三维形体的变换是二维图形变换的推广。
本节主要讨论旋转变换和投影变换5-1-2基本变换1、 平移变换变换矩阵 T=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010000100001z yxT T T2、 比例变换变换矩阵 S=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000000000z y x S S S 3、 错切变换变换矩阵 H=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010101i h f d c b 其中b,c 为x 方向的错切系数；d,f 为y 方向的错切系数； h,i 为z 方向的错切系数。
4 、旋转变换绕坐标轴旋转，坐标系为右手坐标系，逆时针旋转为正。
图5.1 右手坐标系上的旋转 （1）绕x 轴逆时针旋转θ角空间的立体绕x 轴旋转时，立体上各顶点的x 坐标不变，只是y ，z 坐标发生相应的变化，这里旋转角θ的确定方法是：将空间直线投影到yoz 平面，投影线由y 朝z 轴方向旋转的角度即为空间直线绕x 轴旋转的角度。
变换矩阵 R x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000cos sin 00sin cos 00001θθθθ图5.2绕x 轴旋转θ度 图5.3 绕y 轴旋转（2）绕y 逆时针旋转θ角注意绕y 轴旋转时是从z 到x 方向（见上右图），所以x*=x*cosθ+z*sinθ，y*=y ，z*=z*cosθ-x*sinθ变换矩阵 R y =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000cos 0sin 00100sin 0cos θθθθ（3）绕z 逆时针旋转θ角变换矩阵 R z =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000010000cos sin 00sin cos θθθθ5-1-3三维形体的复合变换绕空间任意轴的旋转变换图形绕空间任意轴（不通过坐标原点）的旋转，可以通过组合变换来实现。
方法：①将空间直线平移，使该直线通过坐标原点；②将通过坐标原点的直线旋转到xoz 平面内； ③通过绕y 轴旋转，使直线与z 轴重合， ④绕空间任意轴的旋转变为绕z 轴旋转⑤再分别绕y 轴，x 轴作相反方向的旋转、平移，恢复空间直线的空间位置。
3.1.2 三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。
三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。
下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。
并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。
一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。
在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1 绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。
2 绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)2 绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为Ry(θ)。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。
首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。
然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。
最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。
这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。
旋转角度为 (图3.6)。
这7个基本变换是：1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5 R y(－β)，作3的逆变换；6 R x(－α)，作2的逆变换；7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
