第五章三维图形变换

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

三维空间旋转变换公式摘要：1.三维空间的基本概念2.三维空间的旋转变换公式3.旋转变换公式的应用4.总结正文：一、三维空间的基本概念三维空间是一个由三个相互垂直的维度组成的空间，通常用长、宽、高三个参数来表示。

在三维空间中，每个点都具有三个坐标值，即x、y、z，它们分别表示该点在三个维度上的位置。

三维空间广泛应用于物理、数学、工程等领域，对于研究和解决实际问题具有重要意义。

二、三维空间的旋转变换公式在三维空间中，旋转变换是一种基本的几何变换，它可以将一个点或一个物体从一个位置旋转到另一个位置。

旋转变换公式可以用来描述这种变换。

假设有一个点P(x, y, z) 在一个以原点为中心，长、宽、高分别为a、b、c 的三维空间中，现在将这个点围绕原点逆时针旋转α角度，那么旋转后的点P"(x", y", z") 可以通过以下公式计算：x" = xco sα - zsinαy" = ycosα + xsinαz" = zcosα + ysinα其中，α表示旋转的角度，x、y、z 表示点P 的坐标，x"、y"、z"表示旋转后点P"的坐标。

三、旋转变换公式的应用旋转变换公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，利用旋转变换公式可以将一个图形从一个位置旋转到另一个位置，从而实现图形的变换；在物理学中，旋转变换公式可以用来描述物体的旋转运动，从而研究物体的运动规律；在工程领域，旋转变换公式可以用来解决各种实际问题，如机械设备的旋转、建筑物的倾斜等。

四、总结三维空间的旋转变换公式是一种基本的几何变换公式，它可以描述一个点或一个物体在一个三维空间中的旋转变换。

三维坐标系变换三维坐标系变换可以理解为将一个三维点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。

在实际应用中，我们常常需要对物体或者场景进行三维建模和渲染，而三维坐标系变换是不可或缺的一个基础环节。

本文将介绍三维坐标系变换的相关概念和常见应用，以及一些实用的解决方案。

一、常见的三维坐标系变换方式在三维坐标系变换中，常见的方式包括平移、旋转、缩放和仿射变换。

它们分别对应了三维空间中的平移、旋转、比例变化和直线间的关系变化。

在实际应用中，我们可以通过矩阵乘法的方式进行数学计算，也可以利用计算机图形学库中封装好的函数来实现。

1. 平移：将对象在三维坐标系中沿着某个方向移动一定的距离。

平移变换可以用一个形如平移向量的矩阵表示，在三维空间中的坐标变换表达式为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 tx; 0 1 0 ty; 0 0 1 tz; 0 0 0 1]其中，tx、ty、tz 分别表示在 x、y、z 方向的平移距离。

2. 旋转：将对象绕三维空间中的某个坐标轴或者任意轴进行旋转变换。

如果绕 x 轴旋转，那么旋转变换矩阵为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta) 0; 0 sin(theta) cos(theta) 0; 0 0 0 1]同样的，绕 y 轴、z 轴旋转的矩阵也可以类似地表示。

对于绕任一轴的旋转，可以使用 Rodrigues 公式等数学方法来求解。

3. 缩放：将对象在三个方向上分别进行缩放变换，可以分别用三个缩放因子表示，对应矩阵表示为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]其中，sx、sy、sz 分别表示在 x、y、z 方向放缩的比例因子。

三维几何变换矩阵-回复什么是三维几何变换矩阵？怎样表示一个三维几何变换矩阵？这些矩阵有哪些性质？在三维图形的空间变换中，如何使用这些矩阵来实现平移、旋转、缩放和剪切等操作？本文将一步一步回答这些问题。

首先，我们来介绍一下三维几何变换矩阵。

在三维空间中，几何变换是指对点、线、面等进行平移、旋转、缩放、剪切等操作的数学表示。

而三维几何变换矩阵是用来表示这些变换操作的一种工具。

它由一个3×3的旋转矩阵和一个3×1的平移向量组成。

接下来，我们来看一下如何表示一个三维几何变换矩阵。

一般来说，一个三维几何变换矩阵可以写成如下的形式：[T] = [R T][0 1]其中，[R]是一个3×3的旋转矩阵，[T]是一个3×1的平移向量，表示矩阵的分割线，0和1是分别表示的3×1的零向量和1这两个数。

这种表示方法被称为仿射变换矩阵。

这样的表示方法非常直观，便于对变换进行组合和计算。

接下来，我们来看一下三维几何变换矩阵的性质。

首先，几何变换矩阵是可逆的，即可以通过逆矩阵将一个变换恢复到原来的状态。

其次，变换矩阵的乘法满足结合律，即[T1][T2][T3]=[T1T2][T3]。

此外，变换矩阵的乘法顺序也影响着变换的结果。

例如，平移变换的矩阵和旋转变换的矩阵乘积的结果与旋转变换的矩阵和平移变换的矩阵乘积的结果是不同的。

在三维图形的空间变换中，我们经常需要用到平移、旋转、缩放和剪切等操作。

下面，我们来分别介绍这些操作在三维几何变换矩阵中的表示方法。

首先是平移操作。

平移是指将一个点或物体沿着指定的方向按照指定的距离移动。

在三维几何变换矩阵中，平移操作可以通过平移向量来表示。

假设平移向量为(Tx, Ty, Tz)，则平移变换矩阵可以表示为：[T] = [1 0 0 Tx][0 1 0 Ty][0 0 1 Tz][0 0 0 1]其中，Tx、Ty和Tz分别表示在x、y和z轴上的平移距离。

苏科版数学七年级上册第五章走进图形世界—立体图形、图形的变化教教学设计一. 教材分析《苏科版数学七年级上册》第五章“走进图形世界”主要介绍了立体图形和图形的变化。

这一章的内容是学生从二维图形向三维图形过渡的关键章节，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。

本章内容主要包括立体图形的概念、特征和分类，以及图形的变化，如平移、旋转等。

通过本章的学习，学生能够掌握立体图形的的基本知识，了解图形的变化规律，提高空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了基本的二维图形知识，如三角形、四边形等。

但立体图形对学生来说是一个新的概念，需要通过实例和模型来帮助学生理解和掌握。

另外，图形的变化对学生来说也是一个新的知识点，需要通过大量的练习来熟练掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解立体图形的概念，掌握立体图形的基本特征和分类；学生能够理解图形的变化规律，学会用平移和旋转的方法来变换图形。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美妙；培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

四. 教学重难点1.立体图形的概念和分类2.图形的变化规律五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，从而达到理解知识的目的。

同时，结合“实例教学”和“小组合作”的方法，让学生在实际操作中学习，在团队协作中成长。

六. 教学准备1.准备立体图形模型和图片，用于展示和讲解。

2.准备相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“你们在生活中见过哪些立体图形？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示立体图形模型和图片，引导学生直观地理解立体图形的概念和特征。

同时，讲解立体图形的分类，如柱体、锥体、球体等。

三维空间旋转变换公式摘要：1.三维空间旋转变换公式的概念2.三维空间旋转变换公式的分类3.三维空间旋转变换公式的应用4.三维空间旋转变换公式的举例正文：一、三维空间旋转变换公式的概念三维空间旋转变换公式是一种在三维空间中对物体进行旋转变换的数学公式。

在物理学、工程学、计算机图形学等众多领域中，对物体的旋转变换有着重要的应用。

通过三维空间旋转变换公式，可以实现对物体在三维空间中的自由旋转，从而满足各种实际需求。

二、三维空间旋转变换公式的分类三维空间旋转变换公式主要分为以下三种：1.欧拉角旋转变换公式：欧拉角是一种用来描述物体三维空间旋转的三个角度，通常用φ、θ、ψ表示。

欧拉角旋转变换公式可以实现对物体在三维空间中的任意旋转。

2.四元数旋转变换公式：四元数是一种用来表示三维空间中物体旋转的矩阵，通常用q 表示。

四元数旋转变换公式具有计算简便、表达紧凑的优点，广泛应用于计算机图形学中。

3.旋转矩阵旋转变换公式：旋转矩阵是一种用来描述物体在三维空间中旋转的矩阵，通常用R 表示。

旋转矩阵旋转变换公式可以实现对物体在三维空间中的线性旋转，具有较高的数学表达能力。

三、三维空间旋转变换公式的应用三维空间旋转变换公式在众多领域中都有着广泛的应用，例如：1.在物理学中，研究物体在三维空间中的运动轨迹，需要用到三维空间旋转变换公式。

2.在工程学中，对机械零部件进行设计和组装，需要用到三维空间旋转变换公式，以实现零部件之间的精确配合。

3.在计算机图形学中，为了实现真实的三维视觉效果，需要对物体进行旋转变换，从而模拟物体在三维空间中的运动。

四、三维空间旋转变换公式的举例假设有一个长方体，其在三维空间中的坐标为P，想要将这个长方体绕着x 轴旋转90 度，可以使用欧拉角旋转变换公式进行计算。

假设长方体的尺寸为a、b、c，旋转后的坐标为P"，则有：P" = P + [cos(90°) -sin(90°) 0] * a[sin(90°) cos(90°) 0] * b[0 0 0] * c通过上述公式计算，可以得到旋转后的长方体的坐标P"。