管内湍流流动速度分布和温度分布的推导

管内湍流流动速度分布和温度分布的推导
一、流体在圆管内的速度分布
流体在圆管内的速度分布是指流体流动时管截面上质点的速度随半径的变化关系。

无论是层流或是湍流，管壁处质点速度均为零，越靠近管中心流速越大，到管中心处速度为最大。

但两种流型的速度分布却不相同。

由于速度场与雷洛数有十分密切的关系所以在此我们先介绍下流型判据——雷洛数：
1、流型判据——雷诺准数
流体的流动类型可用雷诺数Re 判断。

μρu
d =R
e （1-28）
Re 准数是一个无因次的数群。

大量的实验结果表明，流体在直管内流动时，
（1） 当Re ≤2000时，流动为层流，此区称为层流区；
（2） 当Re ≥4000时，一般出现湍流，此区称为湍流区；
（3） 当2000< Re <4000 时，流动可能是层流，也可能是湍流，与外界干扰有关，该区称为不稳定的过渡区。

雷诺数的物理意义 Re 反映了流体流动中惯性力与粘性力的对比关系，标志流体流动的湍动程度。

其值愈大，流体的湍动愈剧烈，内摩擦力也愈大。

下面我们重点推到湍流时管内的速度场:
2、湍流时的速度分布
湍流时流体质点的运动状况较层流要复杂得多，截面上某一固定点的流体质点在沿管轴向前运动的同时，还有径向上的运动，使速度的大小与方向都随时变化。

湍流的基本特征是出现了径向脉动速度，使得动量传递较之层流大得多。

此时剪应力不服从牛顿粘性定律表示，但可写成相仿的形式：
dy u d e .
)(+=μτ （1） 式中e 称为湍流粘度，单位与μ相同。

但二者本质上不同：粘度μ是流体的物性，反映了分子运动造成的动量传递；而湍流粘度e 不再是流体的物性，它反映的是质点的脉动所造成的动量传递，与流体的流动状况密切相关。

湍流时的速度分布目前尚不能利用理论推导获得，而是通过实验测定，结果如图1所示，
其分布方程通常表示成以下形式：
n R r u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1max . （2） 式中n 与Re 有关，取值如下：
101102.3Re 71,102.3Re 101.161,
101.1Re 1046
6
554=⨯>=⨯<<⨯=⨯<<⨯n n n 当7
1=n 时，推导可得流体的平均速度约为管中心最大速度的0.82倍，即 max 82.0u u ≈ （3）
二、流体在圆管内的温度分布
1、控制方程
控制方程包括混合物质量守恒方程、动量守恒方程，第二相质量守恒方程以及混合物能量守恒方程，见公式（1-4）。

()S T T l +∇∇=app l p,33k ]c [v ρ ( 4 )
2、湍流方程
湍流换热情况下为了使方程组封闭，需要增加标量方程。

RNG k-ε模型的湍流动能方程（k 方程）和耗散率方程（ε方程）的通用形式如下：
图1 湍流时的速度分布
选用近壁模型法处理近壁面区域的边界问题。

该方法把整个流场划分为两个区域，即粘性力主导区和湍流核心区，两区的界限用一个基于远离壁面的距离y 的湍流Rey 数来表示：
当Rey > 150 时，RNG k-ε模型适用，当Rey < 150时，需要作以下修正。

其中，系数cμ=0.084，c1=1.0，c2=1.83，σk=1.69，σε=1.3。

上述控制方程组中，混合物参数由固液两相的参数按质量比进行加权平均。

混合物表观导热系数采用如下表达式：
其中，k eff 为层流时的有效导热系数，包含了颗粒与周围流体之间存在相对运动而引起的微对流强化导热作用，按文献[9-10]给出的公式计算：
k t 是湍流时的导热系数，根据流体流动时热量传递与动量传递的类似性，可以写出流体的湍流普朗特数Pr t 表达式：
经过变换可得k t 表达式：
在某一温度下Pr t 为常数,可根据流场计算的湍流粘度μt 得到湍流导热系数。

3、结论
（1）通过实验对所建立的管内对流换热的二维轴对称对模型的精度进行了验证，误差在±8.5%以内，吻合度良好。

（2) 通过对管内截面流体温度分布的计算，展示了热量的传递过程。

（3) 管长方向的温度变化得到相变过程的三个区域，即未融化区、部分融化区和完全融化区。