大学物理_角动量_转动惯量分解

v 4mgh m 2m
R
m'
0
m
v
h
求加速度
dv a dt
m
4mg 1 ds 2m g m 2m 2 s dt m 2m
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第四章 刚体的转动2
上题若用转动定律求加速度、张力、速度等
M J 1 1 1 2 FT R mR FT mR ma 2 2 2 1 mg FT ma mg ma ma 2 a R 2m mm a g FT g 2m m 2m m
1）守恒条件：M=0，外力矩为零，或 M内力矩>>M外力矩； 2）内力矩不改变系统的总角动量； 3）是自然界中一个基本规律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明。 花样滑冰
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第四章 刚体的转动2
例1. 如图示，一长度为l，质量为m的细杆在光滑水平面内沿杆 的垂向以速度v平动。杆的一端与定轴Z相碰撞后杆将绕Z轴转动， 求杆此时转动的角速度。
第四章 刚体的转动2
例3.一质量为m，半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩 擦的水平轴转动，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体，问 物体在静止下落高度h时，其速度的大小为多少? 解： 系统：物体、圆盘、地球 重力势能零点为0点 o
1 1 2 2 0 J O mv mgh 2 2 1 J O mR 2 v R 2 11 1 mR2 2 mv2 mgh 22 2
L1 L2
m1
v 1 r sin 2 m1r 2 2 2
o
r

L1 m2 vr sin 1
L2 m2
m2
v
v 1 m2 vr sin 60 m2 r sin 30 m1r 2 2 2

a
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，

§11-1 角动量 物体绕定轴旋转
一、角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r
o
刚体的角动量？
r sin
P
mv
m
对于绕固定轴oz转动的
质元 mi 而言:
Li
ri mi
ri2mikvi
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi ri
mi
L
N
miri2 I
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
上式和牛顿第二定律的微分形式相似，所以上式有时 也叫做角动量定理的微分形式。
牛顿第二运动定律
F ma 或者写成动量形式 F dp dt
类似写出刚体定轴转动定律
I
I I d dt d (I) dt dL dt
d dt
dL dt
二、角动量守恒
dL dt
由上式可知合外力矩为零时，角动量守恒，即：
（2）参考点为质点系或刚体的质心。
§11-5 刚体的角动量和力矩
计算刚体转动沿转轴方向的角动量：
（因为角速度
ur
的方向平行于转轴，所以
沿转轴方向的角动量记为 L ）
物体上任一质点，对O点的角动量为
r Li
rri
pr i
此角动量沿转轴方向的分量为
Li ri pi cos miviri cos r
例11-5 一人站在一个静止的、无摩擦的、可自由旋转的 台面上，手持一个旋转的自行车轮（如图所示）。如果 突然翻转旋转的车轮，即车轮向相反方向旋转，想想看 会发生什么情况？ 解答：将桌子、人、自行车轮看作一个
系统，系统角动量守恒。故自行车轮反 方向旋转后系统仍需保持此角动量。因 此可以断言：此人将按照自行车轮初始 的旋转方向开始转。

m
I = I C + md
2
刚体绕质心轴的 转动惯量最小。 转动惯量最小。
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例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 ： 的转动惯量如何计算？ 棒长为 棒长为L、圆半径为R） 的转动惯量如何计算？(棒长为 、圆半径为 ）
1 2 I L1 = m L L 3 1 I o = mo R 2
1 1 2 I = m LL + moR 3 2
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.转动惯量的计算 2 .转动惯量的计算
Δm 2 分立质点系 I = ∑( iri ) = ∑ Ii
质量连续分布的刚体
I = ∫ r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 质量为面分布
dm = λ dl
dm = σ ds 质量为体分布 dm = ρ dV
Fiτ ri + ∑ f iτ r i = ∑ ∆mi ai ri = ∑ ∆mi ri 2 β ∑
∑ F τ r + ∑ f τ r = ∑ ∆m a r = ∑ ∆m r
i i i
2
⇓ 合外力矩
⇓
i
i i i
i i
β
内力矩之和
刚体定轴 转动定律！ 转动定律！
⇓ Iβ
合外力矩） 用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M = Iβ 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 某一固定转动轴 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 下所获得的角加速度的乘积。 下所获得的角加速度的乘积。 注意几点: 注意几点: 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、I、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 4. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。 5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当