2017-2018学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期期末数学试卷解析

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

北京一零一中2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题【答案】C【解析】p q ∨为真命题，即至少有1个为真，p q ∧为假命题，即至少有1个为假，∴p ，q 一真一假．故选C ．2．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程210x x -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）．A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】D 【解析】12k =，即1(1)2f '=，11(1)12f +==， ∴(1)2(1)2f f '+=．故选D ．3．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 的中点M 的横坐标是（）． A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线定义可知，1212||14AB x x P x x =++=++=，123x x +=， ∴M 横坐标为12322x x +=． 故选C ．4．函数()e x f x x =⋅的最小值是（）．A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在【答案】C【解析】()e x f x x =⋅，()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，∴当1x <-时，()0f x '<，()f x 单减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 单增， ∴min 1()(1)ef x f =-=-． 故选C ．5．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，∵sin [1,1]x ∈-，当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，∴当1a >时，()f x 恒增，当()f x 恒增时，a 可以为1．故选A ．6．已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若OFP △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．ABC ．2 D【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(,0)F c ， P 在渐近线b y x a=上，OFP △为等腰直角三角形， 只能90OPF =︒△或90OFP =︒∠，均有45POF =︒∠， 即1b a=，∴e = 故选B ．7．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）．A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【答案】A 【解析】2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上为增函数，12(,)x x 为减函数，∴0a >，12203b x x a +=->， ∴0b <，12.03c x x a=>，∴0c >，0d >．故选A ．8．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧 AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（）．A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11) 【答案】C【解析】由图可知，PC PQ QC PQC ++=△周长，Q 为抛物线上点，准线方程1x =-，延长PQ 交准线方程于M ，∴QC QM =，∴PQC △周长为5PM PC PM +=+，2224(1)25y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(1)25x +=，4x =，当P 在A 上，PM 最短，当P 为圆x 轴交点时PM 最长，∴周长(10,12)∈．故选C ．二、填空题共6小题．9．命题0x ∃>，20x x +≤的否定是__________．【答案】0x ∀>，20x x +>【解析】否定为：0x ∀>，20x x +>．10．若椭圆221(4)4x y m m +=<的离心率为12，则m =__________．【答案】3【解析】∵4m <，∴24a =，2b m =，1e 2=， ∴22222241e 44c a b m a a --====，∴3m =．11．函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值是__________最小值是__________．【答案】3；17-【解析】22()333(1)f x x x '=-=+，∴当[3,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当[1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴max ()(1)1313f x f =-=-++=，{}{}min ()min (3),(0)min 17,117f x f f =-=-=-．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1a <-或3a >【解析】若命题为真，则0∆>，2(1)40a -->，∴1a <-或3a >．13．抛物线28y x =的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．【答案】【解析】28y x =，准线方程为2x =-，双曲线渐近线方程为y =，∴交点分别为(2,A -，(B -，∴||AB =∴122OAB S =⨯⨯=△．14．设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤ （1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）2；（2）(,1)-∞．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤， 当0x >时，()0f x <，当0x ≤时，2()33f x x '=-，∴()f x 在(,1)f -∞-上为增，在(1,0)-为减，∴max ()(1)2f x f =-=，∴max ()2f x =．（2）由①可知，33x x -在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数，在(1,1)-上为减函数，如图所示：①当12a -<≤时，最大值为(1)2f -=，②当2a ≥时，3max ()()3f x f a a a ==-，③当1a <-时，没有最大值．综上，当1a <-时，函数没有最大值．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设函数32()f x x ax bx c =+++满足(0)4f '=，(2)0f '-=．（1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵2()32f x x ax b '=++，依题意(0)4(2)1240f b f a b ⎧'==⎪⎨'⎪-=-+=⎩， ∴4b =，4a =，2()384f x x x '=++，32()44f x x x x c =+++，∴(0)4k f '==，(0)f c =，∴切点坐标为(0,)c ，∴切线方程4y x c =+．（2）∵()(2)(32)f x x x '=++且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =-，223x =-，∴(2)f c -=，2327f c ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 若()f x 有2个不同零点，则(2)0f c -=>，2320327f c ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，右焦点为((1,0)F ． （1）求椭圆E 的方程．（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=．（2）1x y =+． 【解析】（1）2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=． （2）依题意，直线l 斜率不为0，设l 方程为1x my =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消22:(2)210x m y my ++-=， ∵相交，∴2244(2)0m m ∆=++>，m ∈R ，1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∵OM ON ⊥， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+= ，∴1212(1)(1)0my my y y +++=，21212(1)()10m y y m y y ++++=， ∴212m =，直线l方程为1x y =+．17．已知函数()ln f x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：当0x >时，1()1f x x-≥． （3）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）10x y --=．（2）见解析．（3）max 1a =．【解析】（1）∵1()(0)f x x x'=>， ∴(1)1k f '==，(1)0f =，∴切线方程为1y x =-，10x y --=．（2）证明：设1()()1g x f x x=--+，(0,)x ∈+∞， 1ln 1x x=+-， 则22111()x g x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增函数， ∴min ()(1)0g x g ==，∴()(1)0g x g =≥， ∴1()1f x x-≥． （3）设()1ln h x x a x =--，(0,)x ∈+∞， 则()1a x a h x x x-'=-=， ①当1a ≤时，()0h x '>对(1,)x ∀∈+∞恒成立， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h >=，∴1ln 0x a x -->在(1,)+∞上成立， ∴1a ≤成立．②当1a >时，令()0h x '=，∴x a =且(1,)a ∈+∞，当(1,)x a ∈时，()0h x '<，∴()h x 单减， 当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单增， ∴min ()()(1)0h x h a h =<=，∴不成立， 故1a ≤，max 1a =．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求圆O 和椭圆C 的方程． （2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．【答案】（1）222x y +=；22142x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）依题意22224a b c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得2a =，b c =， ∴圆方程222x y +=，椭圆C 方程22142x y +=． （2）设00(,)P x y ，10(,)Q x y ， ∴2200142x y +=，22102x y +=，00y ≠， ∵AP 方程00(2)2y y x x =++，令0x =时，0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，BP 方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得02020,y N x -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴01002,2y QM x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ ，01002,2y QN x y x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， ∴2222220000102200(42)2042x y y y QM ON x y x y -⋅=+=-+=-- ， ∴90MON =︒∠．。