2013年北京丰台区高三二模理科数学试题及其答案

2013年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.3．（5分）（2013•丰台区二模）设向量=（4，x），=（2，﹣1），且⊥，则x的值是（）由题意可得•=4×2﹣解：由题意可得4．（5分）（2013•丰台区二模）双曲线的离心率为（）．利用双曲线的离心率公式=解：由双曲线可得∴离心率=．熟练掌握双曲线的离心率公式=5．（5分）（2013•丰台区二模）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）．中的函数的最小正周期都是=4；把代入，不满足条件，排除中的函数的最小正周期都是代入，故此函数的图象关于直线对称，故满足条件．代入，没有取得最值，故不满足条件，排除6．（5分）（2013•丰台区二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）0+4+4××2×=20+4．7．（5分）（2013•丰台区二模）在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是（）大于×bP=，由题意得：＞，∴b＞8．（5分）（2013•丰台区二模）已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（﹣2，0]时，f（x）=﹣x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x﹣2）（a﹣x）（a∈R）．关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；②当a=3，m=时，直线l与图象G恰有6个公共点；③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．=，m==令其等于可得x=x=x=个公共点﹣，﹣，，=，或x=，，，，=，＜＞＞二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•丰台区二模）过点P（0，2）且与直线2x﹣y=0平行的直线方程为2x﹣y+2=0 ．10．（5分）（2013•丰台区二模）已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为，则a的值等于0.9 ．解：∵==把样本中心点代入回归直线方程11．（5分）（2013•丰台区二模）等差数列{a n}中，a3=5，a5=3，则该数列的前10项和S10的值是25 ．由已知结合等差数列的通项公式可得，12．（5分）（2013•丰台区二模）若tan（π﹣x）=2，则tan2x的值是．tan2x===．13．（5分）（2013•丰台区二模）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是或．；a==a=故答案为：或．14．（5分）（2013•丰台区二模）已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，与函数y=log4x 的图象交于C，D两点，则直线AB，CD的交点坐标是（0，0）．，故可得）=，故方程为=，故方程为1=联立①②可解得三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•丰台区二模）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得再由，（Ⅰ）∵．∴∵sinA≠0，∴16．（13分）（2013•丰台区二模）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm）的统计数据用茎叶图表示（如图）．（Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率．，答：甲乙两位同学在同一小组的概率为17．（13分）（2013•丰台区二模）如图，多面体EDABC中，AC，BC，CE两两垂直，AD∥CE，ED⊥DC，，M为BE中点．（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD．MN=ECEC18．（13分）（2013•丰台区二模）已知函数．（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．，∴a=0，．﹣（（=19．（14分）（2013•丰台区二模）已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，）满足m≠0，且．（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．再利用离心率的计算公式即，∴，=，y=，，∴，∴=的方程为：y=20．（14分）（2013•丰台区二模）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{c n}的前50项和S50；（Ⅲ）把集合∁U A中的元素从小到大依次排列构成数列{d n}，写出数列{d n}的通项公式，并说明理由．。

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i−在复平面内对应的点位于 (A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪−≤⎩，则2x ye+的最大值是 (A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e − 5.已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈−∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧¬ (C) ()p q ¬∧ (D) ()()p q ¬∧¬6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a −+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线1y x =++总有公共点，则圆C 的面F 积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=−⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是___。

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=- 6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 【答案】A解析2(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A. 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）0 【答案】B 解析因为,a b 方向相反，所以设,0b ma m =<，则有(4,)(,1)(,)x m x mx m ==，所以4mx m x=⎧⎨=⎩，解得22m x =-⎧⎨=-⎩，选B.3.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-6 【答案】A解析展开式的通项公式为4421441()(1)kkk k k k k T C xC x x--+=-=-，由420k -=，解得2k =，所以常数项为2234(1)6T C =⨯-=，选A.4. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C解析若{a n }为等差数列，一定有1322a a a +=。

若1322a a a +=，不妨取数列，0,0,0,2,0，满足1322a a a +=，当数列不是等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的充分而不必要条件，选C.5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-【答案】C解析因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，si n(2)si n 11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选C.6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞【答案】D解析其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72 【答案】B解析从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用133C =中选法，而6与8可以交换位置有222A =种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有336A =种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是32636⨯⨯=.选B ．8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 【答案】D解析①当a=4时，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：存在直线l ，如y=0，与图象G 恰有5个公共点；故①正确；②若对于[0,1]m ∀∈，由于偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；③(1,)m ∀∈+∞，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；其中正确命题的序号是①②③．选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】3：三角函数一、选择题1．（2013北京东城高三二模数学理科）已知3sin()45x π-=,那么sin 2x 的值为 （ ）A ．325B ．725C ．925D ．1825【答案】B 2237sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()244525x x x x πππ=-=-=--=-⨯=,选B.2．（2013北京丰台二模数学理科）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】C因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，sin(2)sin11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选C.（2013北京房山区二模数学理科试题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = .由正弦定理得32sin sin6Bπ=，解得1sin 3B =.因为a b >，所以B A <,即cos B ==,所以sin tan cos B B B ===3．（2013北京顺义二模数学理科）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin __________,ABC ∆的面积=S __________.由1cos 3A =得sin A =.所以s i n s i n ()s i n c o s c o s s iC B C B CB C =+=+13==.由正弦定理sin sin a bA B =得20sin sin 3b a A B =⋅==，所以ABC ∆的面积为1sin2S ab C =120523=⨯⨯=4．（2013北京西城高三二模数学理科）在△ABC 中,2BC =,AC =,3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______.【答案】3由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB=或1AB =-，舍去。

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编11：概率与统计（一）概率一、选择题1 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D ．2 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ）A ．14B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 【答案】C3 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma nD ．2na m【答案】C ．4 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p =(m,n),q =(3,6),则向量p 与q共线的概率为 （ ）A ．13 B ．14C ．16D ．112【答案】D 5 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在下列命题中,①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件;②341()2x x+的展开式中的常数项为2;③设随机变量ξ~(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=,则1(10)2P p ξ-<<=-.其中所有正确命题的序号是 （ ）A ．②B ．③C ．②③D ．①③【答案】C6 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （ ）A ．316B ．14C ．34D ．116【答案】A7 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】 C ．二、填空题8 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】 112π- 三、解答题9 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的概率;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ;(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这30名学生中任选一人,分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==. 从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13(Ⅱ)由已知得,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=;112312124(1)()()33279P X C ==⋅==; 22131262(2)()()33279P X C ==⋅==;3303121(3)()()3327P X C ==⋅=.随机变量X所以0123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅲ)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分. 设从这30名学生中,随机选取2人,记其比赛成绩分别为,m n .显然基本事件的总数为230C .不妨设m n >,当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为111673()C C C ⋅+; 当60m =时,30n =,其基本事件数为11103C C ⋅; 所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==. 所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分的概率为348710．（2013届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）(0.20.16)15018+⨯⨯=这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分 （Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1())0.729P B P A =-=()1()0.271P B P B =-=所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271……………8分 （IIIEX =此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．……………………………13分11．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）国家对空气质量的分级规定如下表:某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下: 34 140 18 73121 210 40 45 7823 6579207 81 6042 101 38 163 154 22 27 36 151 49 103 135 2016 48根据以上信息,解决下列问题:(Ⅰ)写出下面频率分布表中a ,b, x ,y 的值;(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示,求X 的分布列和均值EX.【答案】解:(Ⅰ)101,51,3,6====y x b a ,(Ⅱ)由题意,该市4月份空气质量为优或良的概率为P=3252154=+, 4411(0),381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,8183132)1(314=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P,2783132)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ,81323132)3(334=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P444216(4)381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X ∴的分布列为:X~B(4,32), ∴38324=⨯=EX12．（2013届北京海滨一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生 “数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【答案】解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186 161718192045454545455 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以ξ的数学期望为865………………13分13．（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：2 2 2 61 15ApA==．（Ⅱ）X的可能取值是：0,2,4,6,8,10．所以02468104555151515EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．14．（2013届房山区一模理科数学）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【答案】（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天记“从15天的 2.5PM 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A则1241131544()91C C P A C == ……………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能值为0,1,2,3， ……………………4分0351031524(0)91C C P C ξ=== 1251031545(1)91C C P C ξ=== 2151031520(2)91C C P C ξ=== 305103152(3)91C C P C ξ=== ……………………………………………8分所以ξ的分布列为…………………………………9分24452030123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分 （Ⅲ）15天的空气质量达到一级或二级的频率为102153= ………………11分2136524333⨯=，所以估计一年中有12433天的空气质量达到一级或二级. ……………… 13分（说明：答243天，244天不扣分）15．（2013北京西城高三二模数学理科）某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;(Ⅱ)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A , 则 2334A 1()A 4P A ==,故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14(Ⅱ)解:随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,201(0)4P X ==, 2224A 1(5)A 6P X ===, 222344A 11(10)A A 6P X ==+=, 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===, 3344A 1(20)A 4P X === 所以,随机变量X 的分布列为:051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 16．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.【答案】解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,/0．0．0．0．06.0570.01=-=∴x 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人).(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. 故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , 故X所以955739529512850=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 17．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=，…………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．…2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ……3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==， 故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． …………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅，211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 18．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ,获得50元奖金的概率为2%. (I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ 则ξ可以取5,0,45,145--ξ的分布列为所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--所以当 1.61450p ->时,即8725p <所以当80725p <<时,福彩中心可以获取资金资助福利事业19．（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数5.2PM (单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示: （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优或良的天数, 求X 的分布列及数学期望.【答案】解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好.………2分（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=，………4分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， ………6分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯. ………8分(Ⅲ)X 的取值为2,1,0， ………9分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P X 的分布列为：数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ………13分20．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的3 0 2 24 4 8 9 6 6 15 1 7 8 8 2 3 09 8 甲城市 3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 7 9 1 8 0 9乙城市颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;(Ⅲ)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望.【答案】21．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为43,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为32,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.【答案】解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ,“该射手射击乙靶命中”为事件D . 由题意知,()()()32,43===D P C P B P , 所以()()()()CD B P D C B P D BC P A P ++=()()()()()()()()()D P C P B P D P C P B P D P C P B P ++=324343132431433214343⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯= 167=(II)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()()4813214314310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-===D C B P X P , ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+==32143431321431431D C B P D C B P X P 81=. ()()()D C B P D BC P X P +==24811324314313214343=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=, ()()()CD B P D C B P X P +==34132434313243143=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=, ()()BCD P X P ==483324343=⨯⨯=, 故X 的分布列是所以617834413481128114810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX (III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件1A ,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件1B ,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件2B ,则21211,,B B B B A ⋃=为互斥事件.()()()211B P B P A P +=3243433214343132143143⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 21=. 所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为21 22．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,45. (Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率; (Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数X 的数学期望;(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.【答案】(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件,则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=(Ⅱ)依题意,X 的可能取值为0,1,2.341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=,34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=,343(=2)=455P X ⨯=随机变量的分布列为:173310122020520EX =⨯+⨯+⨯= (Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为Y ,则1(3,)2Y B , 所以13322EY =⨯= 因为EX EY >,所以选择路线1上学最好23．（2013北京东城高三二模数学理科）某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取人,其中成绩为优的有30人. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本,从中任选2人,记X 为抽取女生的人数,求X 的分布列及数学期望.【答案】(共13分)解:(Ⅰ)设该年级共n 人,由题意得5030180120n =+,所以500n =. 则500(180120702030)80a =-++++=. (Ⅱ)依题意,X 所有取值为0,1,2.22251(0)10C P X C ===,1123253(1)5C C P X C ===,23253(2)10C P X C ===.X 的分布列为:1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=24．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取40位市民,对他们的生活满意指数进行统计分析,得到如下分布表:(I)求这40位市民满意指数的平均值;(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任选3人,记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求ξ的分布列;(III)从这40位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为m ,然后再随机选另一个人,记他的满意指数为n ,求60n m ≥+的概率.【答案】解:(Ⅰ)记X 表示这40位市民满意指数的平均值,则1(9015601730602)63.7540X =⨯+⨯+⨯+⨯=(分) (Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3.1251)51()54()0(3003===C P ξ ,12512)51()54()1(2113===C P ξ 12548)51()54()2(1223===C P ξ ,12564)51()54()3(0333===C P ξ ∴ξ(Ⅲ)设所有满足条件60+≥m n 的事件为A①满足600==n m 且的事件数为:1121734A A = ②满足900==n m 且的事件数为:1121530A A =③满足9030==n m 且的事件数为:1161590A A =24034309077()780P A A ++∴== 所以满足条件60+≥m n 的事件的概率为7778025．（2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习（二）数学（理科）（丰台二模）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数)43(i i +的虚部为 ( )3.A i B 3.4.C i D 4.2．设向量),,4(),1,(x b x a ==若a ，b 共线且方向相反，则x 的值是 ( )2.A 2.-B 2.±c 0.D4)1.(3xx -展开式中的常数项是 （ ） 6.A 4.B 4.-C 6.-D4．已知数列},{n a 则 “{}n a 为等差数列”是,,2231a a a =+的( )A .充要条件B ．必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D ．既不充分又不必要条件5．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线=x 12π对称的是 ( ) )32sin(.π+=x y A )32sin(π-=⋅x y B )32sin(π+=⋅x y C )32sin(π-=⋅x y D 6．在平面区域⎩⎨⎧≤≤≤≤10,10y x 内任取一点P(x ，y)，若(x ，y)满足b y x ≤+2的概率大于,41则b 的取值范围是 ( ))2,.(-∞A )2,0.(B )3,1.(c ),1.(+∞D7．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 ( )A18 B.36 C ．54， D ．728．已知偶函数),)((R x x f ∈当]0,2(-∈x 时，2()(x x f -=),x +当),2[+∞∈x 时，).)()(2()(R a x a x x f ∈--=有关偶函数)(x f 的图象G 和直线)(:R m m y l ∈=的3个命题如下： ①当a-4时，存在直线L 与图象G 恰有5个公共点；②若对于],1,0[∈∀m 直线L 与图象G 的公共点不超过4个，则;2≤a ),,1(+∞∈∀m ③),,4(+∞∈∃a 使得直线L 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等，其中正确命题的序号是 ( )A ．①② B①③ C．②③ D．①②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案 填在题中横线上．9．圆θρ cos 2=的半径是 10.已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得(x ，y)的一组数据如下：(0，1)，(1，2)，(2，4)，(3，5)，其回归方程为=yˆ,4.1a x +则a 的值是 11.如图，已知⊙0的弦AB 交半径OC 于点D ；若OC BD AD ,3,4==,4=则CD 的长为12.若双曲线)0(13:222>=-a y ax C 的离心率为,2则抛物线x y 82=的焦点到C 的渐近线的距离是 13.曲线211)(=+=xEx x x x f 处的切线方程是在21=x 处的切线与直线x y =和y 轴围成三角形的面 积为14.在圆2522=+y x 上有一点P(4，3)，点E ，F 是y 轴上两点，且满足∣ PE ∣=∣PF ∣，直线PE ，PF 与圆交于C ，D ，则直线CD 的斜率是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且.2sin 3)(sin 22A C B =+(I)求A 的度数；(Ⅱ)若,5,7==AC BC 求△ABC 的面积S ．根据以上信息，解决下列问题：(I)写出下面频率分布表中a ，b ，x ，y 的值；(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将(I) 中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天 数用X 表示，求X 的分布列和均值EX ．17．（本小题共13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于点E ，现将 △ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置如图(2)．（I ）求证：PB ⊥DE; (Ⅱ)若PEIBE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为,30 求PE 的长．18.（本小题共13分）已知函数-+=221ln 2)(ax x x f ).()12(R a x a ∈+ （I ）当21-=a 时，求函数],1[)(e E x f =/上的最大值和 最小值； (Ⅱ)若a>0，讨论)(x f 的单调性．19.（本小题共14分）已知椭圆14:22=+y x C 的短轴的端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点)21,(m M 满足,0=/m 且.3±=/m（I ）求椭圆C 的离心率P ；(Ⅱ)用m 表示点E ，F 的坐标；(Ⅲ)若△BME 的面积是△A MF 面积的5倍，求m 的值．20.（本小题共14分）已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n 3=,2-等比数列}{n b 中，.1,3411+==a b a b 记集合=A =∈=B N n a x x n *},,|{*},,|{N n b x x n ∈=,B A U=把集合 中的元素按从小到大依次排列，构成数列}.{n c(I)求数列}{n b 的通项公式，并写出数列}{n c 的前4项；(Ⅱ)把集合A C 中的元素从小到大依次排列构成数列},{n d 求数列}{n d 的通项公式，并说明理由； (Ⅲ)求数列}{n c 的前n 项和 n S。

2013北京模拟：不等式【高三二模题组】2、（2013丰台二模，文7）在平面区域0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +≤的概率大于18，则b 的取值范围是（ ） A 、(,1)-∞ B 、(0,1) C 、(1,4) D 、(1,)+∞3、（2013丰台二模，理6）在平面区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（ ） A 、(,2)-∞ B 、(0,2) C 、(1,3) D 、(1,)+∞5、（2013房山二模，文6理5）已知M ，N 是不等式组11106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则MN 的最大值是（ ）ABC、 D 、1726、（2013房山二模，文12）实数a ，b 满足25a b +=，则ab 的最大值是 。

10、（2013西城二模，文13）已知命题p ：函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题q ：不等式20x x c -+≤的解集是∅，若命题p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是 。

11、（2013朝阳二模，文2）已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件12、（2013朝阳二模，文13理12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费之和最小，则每次需购买 吨。

答案：2、D3、D 5、B 6、25810、(1,)+∞ 11、A 12、30 2013北京模拟：概率统计基础 【高三二模题组】1、（2013昌平二模，文5）在区间(0,)2π上随机取一个数x ，则事件“tan cos x x ⋅≥”发生概率是（ ）OA 、34 B 、23 C 、12 D 、132、（2013昌平二模，理5）在区间[0,]π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ⋅≥”发生的概率是（ ） A 、13 B 、12 C 、23 D 、343、（2013昌平二模，文11）某校在2013年自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a = ；若要从成绩在[85,90)，[90,95)，[95,100]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[95,100]内的学生中，学生甲被选中的概率为 。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。

2013北京模拟：解析几何综合【高三二模题组】1、（2013昌平二模，文19）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(0,1)（I ）求此椭圆的方程；（II ）已知定点(1,0)E -，直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点，是否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过点E ，如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

2、（2013昌平二模，理19）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率2e =，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ⋅= （I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于A ，B 的任一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q ，使得HP PQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系。

3、（2013丰台二模，文理19）已知椭圆22:14x C y +=，其短轴端点分别为A ，B （如图），直线AM ，BM 分别于椭圆交于E ，F 两点，其中1(,)2M m 满足0m ≠，m ≠（文理I ）求椭圆C 的离心率e ；（文理II ）用m 表示E ，F 两点的坐标；（文III ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关； （理III ）若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值。

4、（2013海淀二模，文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且直线:30l x y +-=上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值。

5、4、（2013海淀二模，理19）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆M 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求△AOB （O 为原点）面积的最大值。

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）41()xx展开式中的常数项是（）A．6 B．4 C．-4 D．-62 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）某岗位安排3名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有（）A．10种B．12种C．18种D．36种3 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）在(2x2-1x)5的二项展开式中,x的系数为（）A．-10 B．10 C．-40 D．404 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是（）A．18 B．36 C．54 D．725 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为（）A．32B．36C．42D．486 ．（2013届北京西城区一模理科）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．96种7 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．420 B．560 C．840 D．201608 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（）A．36 B．30 C．24 D．129 ．（2013届门头沟区一模理科）有4名优秀学生A．B．C．D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有A．24种B．30种C．36种D．48种10．（2013届北京海滨一模理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A．12种B．15种C．17种D．19种二、填空题11．（2013北京东城高三二模数学理科）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有一名志愿者的方案共有___种.12．（2013北京西城高三二模数学理科）5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______.(用数字作答)13．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）二项式51(2)x x +的展开式中3x 的系数为___________.14．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64,则n 等于____,该展开式中的常数项为____.15．（2013届东城区一模理科）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种．16．（2013届北京大兴区一模理科）设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

2013年高三数学二模理科试卷（丰台区有答案）丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为（A）3（B）（C）4（D）2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是（A）2（B）-2（C）（D）03.展开式中的常数项是（A）6（B）4（C）-4（D）-64.已知数列{an}，则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分又不必要条件5.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）（B）（C）（D）6.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A)18(B)36(C)54(D)728.已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）. 关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：①当a=4时，存在直线与图象G恰有5个公共点；②若对于，直线与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；③，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.圆的半径是________。

10.已知变量具有线性相关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值是。

11.如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

12.若双曲线C:的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______。

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，5-a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或8 2．“0x >”是“12x x +≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13(B)12(C)23(D)564．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A)3 (B) 23 (C) 1 (D) 25．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C在第二象限开 始结束S =0, n =0输出S S S n ⎡⎤=+⎣⎦n =n +1 n >4?否是内，56A O C π∠=，且|OC|=2，若O C O A O B λμ=+，则λ，μ的值是（ ）(A)3，1 (B) 1，3 (C) -1，3 (D) -3，18．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0 (C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 10．已知直线y=x+b 与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若|AB|≥22，则b 的取值范围是________.11．12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．12．圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，则a 的值是 _______. 13．已知A B C ∆中，AB=3，BC=1，sinC=3cosC ，则A B C ∆的面积为______． 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)m n a m =≥.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围．14 12，14 34，38，316…如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3B C =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.18．（本题共14分） 已知函数2()(0)x ax bx cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值.19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= 32， 54A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．xyBAOED A BCP已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令()21,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11nni ii i b c==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCCABCDA二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．2±(只写一个答案给3分)；13．32； 14．5,1612n m + (第一个空2分，第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)xg x a x =-≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，..………………………..……3分 B={|2,2}{|4}xy y a x y a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分（Ⅱ）∵A B B = ，∴B A ⊆， ..……………………………………………. 9分 ∴41a -<-或3a -≥， …………………………………………………………...11分 ∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是(,3](5,)-∞-+∞ ．…………………….13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求s i n ()αβ+的值； xyBAO（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得， 3c o s 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=-．………………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB|=|OB OA - |, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分∴9224O A O B -⋅= ，∴18O A O B ⋅=- ．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8O A O B AB AO B O A O B +-∠==-， …………………10分∴OA OB ⋅ =1||||cos 8O A O B A O B ∠=- ． ………………………………… 13分17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3B C =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小．解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分EDBCAP_ E_ D _ B_ C_ A_ P//D E B C ，BC ⊥ AB ，∴ DE ⊥ AB ． .... .......................................................................................................6分 又 PD DE D = ，∴AB ⊥平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE ． ..........................................................................................................9分 （Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，∴ PD ⊥平面ABC ．................................................................................................10分 如图,以D 为原点建立空间直角坐标系 ∴B (1,0,0)，P (0,0,3)，E(0,32,0) ,∴PB =(1,0,3- )，PE =(0, 32, 3-）． 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =得1(3,2,3)n =． ............................11分DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =．………………….......................................12分设二面角的A PB E --大小为θ，由图知，121212||1cos cos ,2n n n n n n θ⋅=<>==⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒． ..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)x ax bx cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；_ E_ D _ B_ C_ A_ Pzyx（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()xxxxax b e ax bx c eax a b x b cf x e e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，因为0x e >，所以'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同.又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分 当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分 所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得1,5,5a b c ===， …………………………………………………………11分所以255()xx x f x e++=.()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, …………………………………………………12分 ∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者. …………….13分而555(5)5f e e--==>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是55e ．.…14分19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=32， 54A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：（Ⅰ）设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b+=,其中1,01a b ><<．..2分C 1 ,C 2的离心率相同，所以22211a b a-=-,所以1ab =，……………………….…3分∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=32时，A 3(,)22a -,C 13(,)22a ． .………………………………………….5分又 54A C =,所以，15224a a+=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214xy +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-21a m -,m), B(-211m a-,m) ． …………………………………………9分OB ∥AN,∴OB AN k k =, ∴221111m m a mma+=----,∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e=-，∴221e m e-=． ………………………………………12分01m <<，∴22101e e-<<，∴212e <<．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A ，1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令()21,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11nni ii i b c==<∑∑，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ） ∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得112x y ==，即点A 1的坐标为（2，2），进而得1(4,0)B ．…..3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得11n n n nn n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*） …………………………..5分n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==， ∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴*12()n n y y n N +-=∈， ………………………………………………………..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，∴其通项公式为2n y n =(*n N ∈)． ……………………………………………....8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222n n y x n ==，∴2(1)n n n a x y nn =+=+， ……………………………………………………9分 ∴12(1)i b i i =+，()12122iy i i c -+==．∴11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =11(1)21n -+．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nni n ni c +=-=+++==--∑． ……………………….11分（方法一）1n i i b =∑-1ni i c =∑=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nnn n n n n n ++---=-=+++． 当n=1时11b c =不符合题意， 当n=2时22b c <，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有11nni ii i b c==<∑∑．（*）观察知，欲证（*）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边,∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n，即1n i i b =∑<1ni i c =∑成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分（方法二）欲证11nni ii i b c==<∑∑成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n ．()12323211...1...nnnnnnnnnnnnC C C C C n C C C =+=+++++=+++++ ， 并且23...0nn n n C C C ++>，∴当2n ≥时，21nn ≥+.。

2013年北京市丰台区中考数学二模试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约只有0.000 000 7毫米2，将0.000 000 7用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.计算（-a）3•（-a）2的正确结果是（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=68°，则∠ACB的度数为（）A.B.C.D.4.抛物线y=（x-2）2+2的顶点坐标为（）A. B. C. D.5.下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A. B. C. D.6.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米（0＜a＜12）、4米．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，且将这棵树围在花圃内（不考虑树的粗细）．设此矩形花圃的最大面积为S，则S关于a的函数图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共38.0分）7.若分式的值为0，则x的值为______．8.因式分解：xy2-4xy+4x=______．9.在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是______．10.如图，在△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=A1B1=1．以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1B2，与OB1相交于点B2，设△OA1B1与扇形OA1B2之间的阴影部分的面积为S1；然后过点B2作B2A2⊥OA1于点A2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2B3，与OB1相交于点B3，设△OA2B2与扇形OA2B3之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续操作，设△OA n B n与扇形OA n B n+1之间的阴影部分面积为S n．则S1=______；S n=______．11.已知关于x的方程x2-（m-2）x+m-3=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线y=x2-（m-2）x+m-3与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值．12.在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图①，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图②，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O不是AC中点时，如图③，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F 两点，若，求的值．13.如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，，，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．（1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；（3）若点M（-4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．三、计算题（本大题共4小题，共20.0分）14.解方程：．15.已知，求m（m+3）+（1+2m）（1-2m）的值．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积．17.6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2013年空气质量的相关信息如下：请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）：（1）请将图表补充完整；（2）请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年（365天）中空气质量级别为优和良的天数大约共有多少天？四、解答题（本大题共6小题，共30.0分）18.计算：．19.已知：如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠B=∠D．求证：△ABC≌△CDE．20.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．21.如图，四边形ABCD中，CD=，∠BCD=90°，∠B=60°，∠ACB=45°，∠CAD=30°，求AB的长．22.已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．23.操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：0.000 000 7=7×10-7；故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.【答案】B【解析】解：原式=（-a）3+2•=（-a）5=-a5．故选：B．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行运算即可．此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题需要熟练掌握同底数幂的运算法则．3.【答案】C【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠ACB=∠AOB=×68°=34°．故选：C．直接根据圆周角定理求解即可．本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=（x-2）2+2，∴抛物线y=（x-2）2+2的顶点坐标为：（2，2），故选：C．根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．5.【答案】A【解析】解：A、是三棱柱的平面展开图；B、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意．故选：A．根据三棱柱的展开图的特点作答．熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．6.【答案】C【解析】解：设AD长为x，则CD长为16-x，所以，矩形ABCD的面积为S=x（16-x）=-（x-8）2+64，=64，当x=8时，S取得最大值，S最大所以，0＜a＜8时，矩形花圃的最大面积为S为定值64，8＜a＜12时，∵S=x（16-x）的S随x的增大而减小，∴x=a时S取得最大值，S=a（16-a），∴S=，纵观各选项，只有C选项函数图象符合．故选：C．设AD长为x，表示出CD长为（16-x），根据矩形ABCD面积公式列式整理并根据二次函数的最值问题求出最大值S时的x的值为8，然后分0＜a＜8时，和8＜a＜12时两种情况讨论S与a的函数关系，从而得解．本题考查了动点问题函数图象，解决本题的关键是先根据矩形ABCD的面积表达式，利用二次函数的最值问题求出矩形的面积最大时的AD的值．7.【答案】4．【解析】解：由分式的值为零的条件得，由x-4=0，得x=4，由x+2≠0，得x≠-2．综上，得x=4，即x的值为4．故答案为：4．根据分式的值为零的条件可以得到，从而求出x的值．本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8.【答案】x（y-2）2【解析】解：xy2-4xy+4x=x（y2-4y+4）=x（y-2）2．故答案为：x（y-2）2．先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底．9.【答案】【解析】解：因为在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中，轴对称图有等边三角形、矩形、圆，所以从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是．故答案为．先根据轴对称图形的定义得到在所给图形中轴对称图有等边三角形、矩形、圆三个，然后根据概率公式进行计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形．10.【答案】；【解析】解：如图，∵在△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=A1B1=1．∴∠B1OA1=45°．=-以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1B2，得到S1=S△OA1B1-S扇形OA1B2=；=-在直角△OA2B2中，OB2=1，则OA2=，得到S2=S△OA2B2-S扇形OA2B3=-；依此类推得到S n=．故答案是：；．=-以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1B2，得到S1=S△OA1B1-S扇形OA1B2=；又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2B3，得到=-π；依此类推得到S n=．S2=S△OA2B2-S扇形OA2B3本题考查了扇形面积的计算．此题是根据直角三角形以及扇形的面积公式找出规律．11.【答案】（1）证明：△=b2-4ac=（m-2）2-4（m-3）=m2-8m+16=（m-4）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：抛物线y=x2-（m-2）x+m-3与y轴交点为M（0，m-3），抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m-3，0），它们关于直线y=-x的对称点分别为（0，-1）和（0，3-m）．由题意，可得：-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．【解析】（1）通过该一元二次方程的根据的判别式△≥0可得此方程总有两个实数根；（2）根据函数解析式易求得该函数图象与x、y轴的交点坐标，然后根据“抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M”可以列出-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12.【答案】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2．②成立．证明：连结OB．∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，又∵∠EBO=∠FCO，在△OEB和△OFC中∴△OEB≌△OFC（ASA），∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2．（2）如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴，∵，∴．【解析】（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；②成立．连结OB，求出，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF2+BE2=EF2，即可得出答案；（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出，证△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．本题考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，证明过程类似．13.【答案】解：（1）依题意得：，．∵OC=2，CE=，∴，．∵抛物线经过原点和点B、E，∴设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．∵抛物线经过点，，∴．解得：a=．∴抛物线的解析式为；（2）∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2）．分两种情况：（i）当△OQP∽△BEC时，则=，即=，解得：x=1，∴点P的坐标为（1，）；（ii）当△PQO∽△BEC时，则=，即=，解得：x=，∴点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是，或，；（3）存在．因为线段M'B'和CD的长是定值，所以要使四边形M'B'CD的周长最短，只要使M'D+CB'最短．如果将抛物线向右平移，显然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短，显然应该将抛物线向左平移．由题知M（-4，6）．设抛物线向左平移了n个单位，则点M'和B′的坐标分别为M′（-4-n，6）和B′（2-n，）．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（-n，）．要使M'D+CB'最短，只要使M'D+DB″最短．点M′关于x轴对称点的坐标为M″（-4-n，-6）．设直线M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），点D应在直线M″B″上，∴直线M″B″的解析式为y=x+将B″（-n，）代入，求得．故将抛物线向左平移个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为．【解析】（1）求得B，E的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）点P的坐标可设为（x，x2）．因为∠BEC=∠OQP=90°，所以以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似时，Q与E一定对应，然后分两种情况进行讨论：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可；（3）左右平移时，使M'D+CB'最短即可，那么作出点M′关于x轴对称点的坐标为M″，得到直线B″M″的解析式，令y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，矩形、平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．14.【答案】解：方程变形得：-=1，去分母得：-2-3x=x-1，移项合并得：-4x=1，解得：x=-，经检验x=-是原方程的解，∴原方程的解是x=-．【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.【答案】解：∵m+=1，∴m2-m=-1，∴原式=m2+3m+1-4m2=-3m2+3m+1=-3（m2-m）+1=-3×（-1）+1=4．【解析】原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：单项式乘多项式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．16.【答案】解：（1）∵点B（1，-2）在函数y=的图象上，∴m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-，∵点A（-2，n）在函数y=-的图象上，∴n=1，即A（-2，1），∵y=kx+b经过A（-2，1）、B（1，-2），∴ ，解得：，∴一次函数的解析式为y=-x-1；（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=-1，∴点C（-1，0），即OC=1，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=．【解析】（1）将B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将A 坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于直线AB，令y=0求出x的值，确定出OC的长，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17.【答案】解：（1）根据题意得：空气质量级别为轻度污染占3÷30=10%，空气质量级别为优占1-（50%+7%+13%+10%）=20%；空气质量级别为优的天数为30×20%=6（天）；空气质量级别为轻微污染的天数为30×13%=3.9≈4（天），补全统计图及表格，如图所示：（2）根据题意得：365×（20%+50%）≈256，答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天．【解析】（1）根据30天中轻度污染的天数求出百分比，进而求出优占得百分比，补全扇形统计图；求出优与轻微污染的天数，补全条形统计图；补全表格即可；（2）求出优与良占的百分比，乘以365即可得到结果．此题考查了条形统计图，扇形统计图，表格，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．18.【答案】解：原式=--2+1+=．【解析】先分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及0指数幂的计算法则是解答此题的关键．19.【答案】证明：∵AC∥DE，∴∠ACB=∠E．∵在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．【解析】首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠E，再加上条件AC=CE，∠B=∠D可以利用AAS定理证明两个三角形全等．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20.【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）•2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=-2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，难度一般．21.【答案】解：过点D作DE⊥AC于E，过点A作AF⊥BC于F．∵∠ACB=45°，∠BCD=90°，∴∠ACD=45°．∵CD=，∴DE=EC=1．∵∠CAD=30°，∴AE==．∴AC=．∴FA=FC=．∵∠ABF=60°，∴．【解析】如图，过点D作DE⊥AC于E，过点A作AF⊥BC于F．根据已知条件易证得△CED是等腰直角三角形，则DE=EC=1．然后通过解直角△AED求得直角边AE=，则AC=+1；再同解等腰直角△AFC和直角△ABF即可求得线段AB的长度．本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．22.【答案】（1）证明：连结OC，∵点C在⊙O上，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°．∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．（2）解：过点O作OG⊥AB于G，∵∠OCD=90°，CD⊥PA，∴四边形OCDG是矩形，∴OG=CD，GD=OC，∵⊙O的直径为10，∴OA=OC=5，∴DG=5，∵tan∠ACD=，设AD=x，CD=2x，则OG=2x，∴AG=DG-AD=5-x，在Rt△AGO中，由勾股定理知AG2+OG2=OA2，∴（5-x）2+（2x）2=25，解得x1=2，x2=0（舍去），∴由垂径定理得：AB=2AG=2×（5-2）=6．【解析】（1）连接OC，求出∠DAC+∠DCA=90°，得出∠DCA+∠OCA=90°，根据切线判定推出即可；（2）过点O作OG⊥AB于G，得出矩形GOCD，求出CD，解直角三角形和根据勾股定理求出AD，求出AG，即可求出答案．本题考查了矩形的性质和判定，切线的判定，垂径定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．23.【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D 点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．【解析】（1）根据{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}，进行计算即可；（2）由“平移量”的加法法则，分别找到各点坐标，继而可作出图形；（3）找到A→E→B→A的平移规律，用“平移量”表示出即可．本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．第21页，共21页。

北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习（一）数学（理科）（丰台一模）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数ii z 1-=在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限 2．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，,0243=+a a 则=13a s ( ) 2.A 3.B 4.C 5.D3．执行下面的程序框图，则输出k 的值是( )3.A4.B5.C6.D4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+,1,01,1y x x y x 则y x e +2的最大值是 ( )3.e A 2.e B 1.C4.-e D5．已知命题,23),,0(:x x x P >+∞∈∀命题,(:-∞∈∃x q ,23),0x x >则下列命题为真命题的是 ( )q P A ∧. )(.q P B ⌝∧ q P C ∧).(⌝ )().(q P D ⌝⌝∧6．已知,Z a ∈关于x 的一元二次不等式062≤+-a x x 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )13.A 18.B 21.C 26.D7．如果函数)(x f y =的图象上任意一点的坐标(x ，y ）都满足方程,lg lg )lg(y x y x +=+那么下列选项正确的是 （ ） )(.x f y A =是区间),0(+∞上的减函数，且4≤+y x)(.x f y B =是区间),1(+∞上的增函数，且4≥+y x)(x f y C =⋅是区间),1(+∞上的减函数，且4≥+y x)(x f y D =⋅是区间),1(j ∝+上的减函数，且4≤+y x8．动圆C 经过点F(l ，0)，并且与直线 x = -1相切，若动圆C 与直线122y ++=x 总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值πC 有最小值3πD ．有最小值4π第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案 填在题中横线上．9．在平面直角坐标系中，直线⎩⎨⎧-==t y t x C 1:1是参数）被圆θθθ(sin cos :2⎩⎨⎧==y x C 是参数）截得的弦长为 10．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期 中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，据此绘制的频率分布直方图如图所示，则分数在[70，80)内的人数是____．11．如图，已知直线PD 切⊙0于点D ，直线PO 交⊙0于点E ，F ．若,1,32=+=PD PF 则⊙0的半径为 =∠EFD ,12.在直角梯形ABCD 中，===∠AD AB A BC AD ,90,// E BC ,2,1=是CD 的中点，则=⋅BE CD13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积之和是 ．14.已知M 是集合)2*,}(12,,3,2,1{≥∈-k N k k 的非空子集，且当M x ∈时，有,2M x k ∈-记满足条件的集合M 的个数为=)2(),(f k f 则 )(k f =三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数-+=2)cos (sin )(x x x f .c 22x os (I)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求函数)(x f 在]43,4[ππ上的值域．16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD1平面,//,MD NB ABCD 且.2,1==MD NB（I ）求证：AM//平面BCN ；(Ⅱ)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(Ⅲ)若E 为直线MN 上的一点，且平面ADE ⊥平面MNME MNC 求,的值．17.（本小题共13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获 得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机 抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取 1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖 400元．(I)求甲和乙都不获奖的概率；(Ⅱ)设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和数学期望EX ．18.（本小题共13分）已知函数2)(,1)(bx x g ax x f =+=.3x + (I)若曲线)()()(x g x f x h -=在点(1，O)处的切线斜率为O ，求a ，b 的值；(Ⅱ)当),,3[+∞∈a 且ab=8时，求函数)()()(x f x g x =ϕ的单调区间，并求函数)(x ϕ在区间[-2，-1]上的 最小值．19.（本小题共13分）已知以原点为对称中心，F(2，O)为右焦点的椭圆C 过),2,2(P 直线)0(:=/+=k m kx y l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ．（I ）求椭圆C 的方程．(Ⅱ)是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q(0，3)?若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请 说明理由．20.（本小题共14分）设满足以下两个条件的有穷数列,1a n a a ,,2 为n(n=2，3，4，…，)阶“期待数列”：;0221=++++n a a a a ①.1||||||||321=++++n a a a a ②(I)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．(Ⅱ)若某*))(12(N k k ∈+阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．(Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为,,3,2,1( =k s k ),n 求证：;21||)1(≤k s ⋅-≤∑=n i a i n i 2121||)2(1。